Studies on Development of Eulerian Finite Element Method for Large Deformation Solid Analysis based on Unstructured Mesh

(1)

修士論文要旨（

2006

年度）

大変形固体解析のための非構造格子に基づく Eulerian 有限要素法の構築研究

Studies on Development of Eulerian Finite Element Method for Large Deformation Solid Analysis based on Unstructured Mesh

土木工学専攻

39

号山田豊

Yutaka YAMADA

1. 研究目的

固体力学における塑性加工や衝撃問題の解析においては，極めて大きな変形を取り扱うことが可能な数値解析手法が必要となる．固体力学の定式化では，従来，

物質の変形に追従した観測点において変形を記述する

Lagrangian

解法（図

-1

）により解析されることが一般的であった．しかし，

Lagrangian

解法は，大変形問題において，材料の変形に伴い解析格子が潰れ，解析が破綻とするといったことが度々生じる．上記の問題点を回避する方法として，空間に固定された観測点において変形を記述する

Eulerian

解法（図

-2

）が注目されている¹⁾．

この

Eulerian

解法では，固体の物体形状を流体計算に

おける自由表面と同様に取り扱うことで，任意の大変形の取扱いが可能となる．既往の研究において，四角形要素を用いた構造格子に基づく

Eulerian

解法が提案されており，大変形問題への有効性が示されている²⁾^，³⁾．しかし，構造格子では複雑な解析形状を有する問題に対して適用性に難点がある．

そこで本研究は，複雑な解析形状を有する固体の大変形問題に対して高精度かつ安定な

Eulerian

解法に基づく数値解析手法の構築を目的として，三角形要素を用いた非構造格子に基づく

Eulerian

解法の構築を行う．なお，体積ロッキングの回避に

B-bar

法⁴⁾を，移流方程式の解法には

CIVA

法⁵⁾を採用する．数値解析例として，

棒の衝突解析および鋼材の鍛造解析を取り上げ，本手法の有効性を検討する．

図

– 1 Lagrangian

解法

図

– 2 Eulerian

解法

2. Eulerian 解法の支配方程式 2.1 operator split

法

Lagrangian

記述による支配方程式は，物質時間導関

数により次式で示される．

φ ˙ = f (1)

ここで，上付き^·は物質時間導関数であり，

φ

は任意の関数，

f

は外力項を表す．また，物質時間導関数と空間時間導関数の関係は以下のように定義される．

φ ˙ = ∂Φ

∂t + u · ∂Φ

∂x (2)

ここで，

u

，

x

はそれぞれ速度ベクトル，位置ベクトルである．式（

1

），（

2

）より

Eulerian

解法における支配方程式は，次式のように表される．

∂Φ

∂t + u · ∂Φ

∂x = f (3)

ここで，式

(3)

に対して，次式のように

operator split

法を用いて

2

つに分割する．

∂Φ

∂t = f (4)

∂Φ

^∗

∂t + u · ∂Φ

^∗

∂x = 0 (5)

式

(4)

は，外力項を含んだ非移流ステップ

,

式

(5)

は，移流項を含んだ移流ステップにおける方程式である．このとき式

(5)

における

∗

印は，非移流ステップ後の値を意味し，式

(5)

において，応力，ひずみ等の非移流ステップ後の解を固定の計算要素に投影させている．

2.2

非移流ステップ

2.2.1

動的陽解法

Operator split

法における非移流ステップにおいては，通常の動的陽解法をそのまま用いる．

M ˙u

ⁿ

+ F

ⁿ_int

= F

ⁿ_ext

(6)

ここで

M

は，対角化された集中質量行列，

F

intは内力ベクトル，

F

extは外力ベクトルを表わす．また，上添字

n

は，現時刻ステップであることを意味する．式

(6)

に対して，中央差分法を適用させると時刻

t

ⁿ⁺¹ の位置ベクトル

x

ⁿ⁺¹ および，時刻

t

ⁿ⁺¹² の速度ベクトル

u

ⁿ⁺¹² は，次式のように求めることができる．

x

ⁿ⁺¹

= x

ⁿ

+ u

ⁿ⁺¹²

∆t (7)

u

ⁿ⁺¹²

= u

ⁿ⁻¹²

+ ˙u

ⁿ

∆t (8)

このとき加速度ベクトル

˙u

ⁿは，式

(6)

より求まる．

(2)

2.2.2

材料構成式

材料構成方程式として

von Mises

の降伏関数による関連流れ則を用いる．この構成方程式は金属材料で一般的に用いられるものである．微小変形問題において用いられる

Cauchy

応力速度テンソル

σ ˙

と微小ひずみ速度テンソル

ε ˙

を関連付ける４階の弾塑性構成テンソル

C

^ep を用いた次式を適用する．

˙

σ = C

^ep

: ˙ ε (9)

C

_ijkl^ep

= 2G[δ

ik

δ

jl

+ ν

(11)

式

(9)

で示される構成関係において，微小ひずみ速度テンソル

ε ˙

は，客観性のあるストレッチングテンソル

D

に，

Cauchy

σ ˙

は，客観応力速度の一つである

Jaumann

速度

σ ˙

^J に置き換えて新たに以下のように定義する．

˙

σ

^J

= C

^ep

: D (12)

式

(12)

は，有限変形問題において応力速度，ひずみ速度を両方とも客観性のあるものに置き換え，どれだけ物質が歪んだとしても微小変形状態における弾塑性理論が成立すると考えている．

2.2.3

応力積分法

式

(9)

と式

(12)

における

Cauchy

˙

σ

と

Jaumann

速度

σ ˙

^Jは，スピンテンソル

W

によって次式のように関係付けられる．

˙

σ

^J

= ˙ σ − W · σ + σ · W (13)

式

(13)

の関係を用いて

half-step rotation

と呼ばれる応力積分法を行う．詳細は，参考文献²⁾ を参照されたい．

2.2.4 B-bar

法

一般に，体積ロッキングの影響により，構造の剛性が堅くなり精度が著しく低下することが知られている．この影響を回避するために，

B-bar

法⁵⁾を用いる．図

-3

のように，応力速度は偏差成分と体積成分に分け，体積成分に関しては，大きな三角形要素の値として算出する．

4

要素に関してもそれぞれ，

σ

_(i)

˙

⁰ を算出し，平均

σ ¯˙

⁰を求め，それらを用いて応力速度の算出をし，以下のように応力の更新を行う．

σ

ⁿ⁺¹

= σ

ⁿ

+ ˙ σ∆t (14)

図

– 3

応力速度の取り扱い概要図

2.3

移流ステップ

2.3.1 CIVA

法

本研究では，自由境界面の表現に

VOF

(16)

のように表現できる．

図

– 4

上流点の評価方法

φ

ⁿ⁺¹

(x, t) = φ

ⁿ

のとき

3

次補間となる．

2.3.2

応力・相当塑性ひずみの更新

式（

5

）において解かれる物質内部諸量は節点上のものである．よってその値を節点で持つ界面関数では式（

5

）を解くことが出来るのに対して，応力や相当塑性ひずみなどの要素で定義される物質内部諸量は，そのまま解くことができない．そこで図

-5

のように，要素の重心点を擬似的な節点として配置し，新たな有限要素を定義する．この新たな有限要素を用いることによって要素で一定として与えられる物質内部諸量を節点上の諸量として

(3)

更新することが可能となる．なお，新たな有限要素の生

成には，

Delaunay

分割法を用いた．また新たに規定し

た節点での速度は，線形補間で求めている．

図

– 5

初期の解析格子および新たに構築した移流計算格子

3. 数値解析例 3.1

棒の衝突解析

数値解析例として，大変形解析のベンチマーク問題である金属材料の棒の衝突解析を行った．数値解析モデルは，図

-6

に示すように鋼材に対して鉛直下向きに初期速度

300(m/sec)

与える．構成方程式は先に述べた

von

Mises

の降伏関数による関連流れ則である．また，材料

特性は，バイリニア硬化型の

J

2流れ則を使用し，初期降伏応力は

0.02(GPa)

，ヤング率は

21.8(GPa)

，ポアソン比は

0.28

，密度は

1710(kg/m

³

)

を仮定する．また，解析要素には，構造格子および非構造格子を用いた．本手法の妥当性および有効性を検討するため，従来の手法である

Lagrangian

記述による解析および安定化有限要素法を適用した

Eulerian

解析³⁾（以下，

SUPG

法）との比較を行った．

1.5 cm

6.0cm

/

7.5cm

5QNKF 8QKF

図

– 6

数値解析モデル

図

-7-10

はそれぞれ

Lagrangian

解析，

Eulerian

解析

（

SUPG

法），本手法（構造格子），本手法（非構造格子）

における変形形状および相当塑性ひずみの等値面図を示したものである．また，図

-11

は棒下端部での自由境界面の先端変位を時刻歴で表したものである．これより，

三角形要素を用いた本手法は，構造格子，非構造格子ともに

Lagrangian

解析とほぼ同等の挙動を捉え，安定に解析を行えていることが確認できる．ただし，本手法は

ೋᦼᒻ⁁ ǴUGE ⋧ᒰ႟ᕈ߭ߕߺ

図

– 7 Lagrangian

解法

VKOGǴUGE

FKURNCEGOGPVEO

.CITCPIKCP

'WNGTKCP྾ⷺᒻⷐ⚛

ᧄᚻᴺ㕖᭴ㅧᩰሶ ᧄᚻᴺ᭴ㅧᩰሶ

図

– 11

先端変位の時刻歴

Lagrangian

解析や四角形要素を用いた

Eulerian

解法と比較して，相当塑性ひずみの分布に差異が見られた．また，先端変位の時刻歴に関して，本手法は

Lagrangian

解析や四角形要素を用いた

Eulerian

解法に比べ若干進行に遅れが生じているが，定性的に挙動を捉えていることが確認できる．

(4)

3.2

鍛造解析

応用例として，材料の流動方向が急変する部位が多く，

ひずみの局所化が発生しやすいといった特徴を有する鋼材の鍛造解析を行った．数値解析モデルは，図

-12

に示すように鋼材の上端部に鉛直下向きに速度

300(m/sec)

を与え，空隙領域に押し込む．鍛造成形においては異方性が問題となることは稀なため，本解析でも等方性材料を仮定している．材料特性は，棒の衝突解析と同様のものを用いた．また，解析要素には非構造格子を用いて，

参照解として文献⁶⁾ の解析結果と比較を行い，本手法の有効性を検討する．

E O E O

E O E O E O

図

– 12

数値解析モデル

図

-13

は

Benson

らによる四角形要素に基づく

Eu- lerian

解法による解析結果を，図

-14

は本手法による

30,60,90,120µsec

における変形形状を示したものである．これより，本解析例のような材料の流動方向が急変する部位を伴う問題に対しても，鋼材の挙動を捉え，

安定に解析を行えていることがわかる．また，本手法による解析結果は

Benson

らによる四角形要素に基づく

Eulerian

解法による解析結果と良い一致を示している

ことから，本手法の妥当性が確認された．

4. 結論と今後の課題

本研究は，複雑な解析形状を有する固体の大変形問題に対しても安定かつ高精度な数値解析手法の構築を目的として，非構造格子に基づく

Eulerian

有限要素法の構築を行った．数値解析例を通じて，以下の結論を得た．

•

本手法は，四角形要素の

Eulerian

解法に比べ，精度の面では若干劣るものの，定性的に変形や相当塑性ひずみの挙動を捉え，安定に解析を行えていることが確認された．

•

本手法は，鍛造成形のような流動方向が急変する部位を伴う問題に対しても，安定に解析を行えていることが確認された．また，本手法による解析結果は参照解と良い一致を示し，本手法の妥当性が示せた．

-5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 -6.00

-5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00

Material

1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00

図

– 13 Benson

らによる解析結果（参照解）

ǴUGE ǴUGE

図

– 14

変形形状

今後の課題として，本手法の複雑な解析形状を有する問題への適用，および三次元化が挙げられる．

参考文献

1) Benson,D.J. : Computatinal Methods in Lagrange and Eulerian Hydrocodes, Comput. Methods Appl.

Mech. Engrg.,99,pp.235-394,1992.

2)

岡澤重信，河口篤志，藤久保昌彦：各種メッシュ制御における動的陽解法，応用力学論文集，土木学会，

Vol.6

，

pp151-158

，

2003.

3)

金子恭久，樫山和男，岡澤重信：安定化有限要素法を用い

た

Eulerian

解法による固体の大変形解析，応用力学論文

集，土木学会，

Vol.8

，

pp311-317

，

2005.

4) Hughes,T.J.R. : Generalization of selective integraton procedures to inisotoropic and nonlinear media, Int.

J. Num. Meth. Engng., Vol.15,pp1413-1418,1980.

5)

田中伸厚：数値流体力学のための高精度メッシュフリー手法の開発，日本機械学会論文集（Ｂ編），