平成 24 年度 佐野日大高校 SSH特別授業
折り紙と作図
(2012.5.15)
市原 一裕
日本大学文理学部
11.. 作図
中学校第1学年
線分の垂直二等分線，角の二等分線
⇒やってみよう
!
作図ソフト「シンデレラ」
ほかに．．．
2. 作図の歴史
! 古代エジプト （測量・建築のため）
直角の作図
（辺の比３：４：５の三角形の利用）
! メソポタミア
三平方の定理，円周率の近似値
学問としての「作図」
古代ギリシャで発展!
! ターレス （B.C.624-546 頃）!
!初めての論理的な「証明」!
! ユークリッド （B.C. 365-275 頃）!
!初めての幾何学の本「原論」!
!（実際には，総合数学書）．!
!形式：定義・公理・定理．!
!正三・四・五・六角形の作図
ギリシャの三大作図問題
3. 作図問題と代数学
作図問題を 代数学（Algebra） で研究!
⇔ 「方程式」の利用!
どのような点が作図できるか!
どのような長さを実現できるか!
ただし、定規とコンパスのみを使う。
正五角形は作図可能
である。
紀元前（２５００年前）から知られている
正七角形は作図可能
でない。
正五角形は作図可能
である。
正13角形は作図可能 でない。
正17角形は作図可能
である。
１７９６年に証明（およそ２０００年ぶり）
C.F. ガウス（ 1777-1855 ）
正１７角形は作図可能 証明（１７９６）
実際に作図の手順を 与えた訳ではない
作図可能であることを 代数的に証明作図可能性
［ガウスが示したこと］
定規とコンパスによる作図で表せるのは! 二次方程式を繰り返し解いて得られる!
!範囲の数だけ！
例えば
正p角形 (pは素数) が作図可能であるための 必要十分条件は、ある t に対して
= 2
2t+
の形となることである。1
p
作図可能な正 p 角形は、
無限にたくさんあるか？
それとも、有限個しかないか？
(ただし p を素数とする)
わからない（現在でも未解決）
三大作図問題は不可能！
ワンツェル（1837
）角の３等分・立方体倍積
リンデマン（1882
）円積問題（
π
の超越数性）4. 折り紙と作図問題
「定規とコンパス」だけでは不可能な作図
⇒ 他の方法ではどうだろうか？？
実は
「折り紙」では実現可能！！！
（1980．阿部 恒）
では実際に折ってみましょう．
角の３等分
折り紙の公理系
藤田文章（物理学者）
1989年，第1回「折り紙の科学国際会議」
（イタリア，フェラーラ）
「折り紙の公理」発表
「折紙の新しい可能性を偏見なく発見する」
⇒ 「折り紙」の科学的研究の発展へ！
近年の発展 （１）
近年の発展 （２）
第3回!
折り紙の科学・数理・教育に 関する国際会議!
（2001，アメリカ・モントレー）! アメリカのNGO団体!
「origami USA」スポンサー!
論文集⇒!
さいごに
定規とコンパスによる「作図」にも，
数学者たちによる長い研究の歴史が 秘められている．
教材として，また玩具として，広く親し まれている日本の伝統技「折り紙」．
もっと知って活用してください．
みなさんが知っている学校の「数学」は
「数学」という広い世界のほんの一部
「数学」は長く深い歴史をもち，しかし，
まだまだ未完成で活発に研究されている
さらに「数学」は単なる学問としてだけ でなく，「文化」「芸術」としてみるこ ともできる
