電磁波
マクスウェル方程式から電磁波を導きます。
波動方程式についての簡単な話は知っているとしています
(力学の「波動方程式」参照)。
発生源となる電荷、電流がない領域での真空のマクスウェル方程式は
∇ · E(x, t) = 0 (1a)
∇ · B(x, t) = 0 (1b)
∇ × E(x, t) = − 1 β
b∂B(x, t)
∂t (1c)
∇ × B(x, t) = β
mβ
bα
∂E(x, t)
∂t (1d)
(1c)
と(1d)
から磁場B
を消せてβ α
∂
2E(x, t)
∂t
2= ∂
∂t ( ∇ × B(x, t)) (β = β
mβ
b)
= − β
b∇ × (
∇ × E(x, t) )
これのx
成分を書き出すとβ α
∂
2E
x∂t
2= − β
b( ∂
∂y
( ∇ × E )
z
− ∂
∂z
( ∇ × E )
y
)
= − β
b( ∂
∂y ( ∂E
y∂x − ∂E
x∂y ) − ∂
∂z ( ∂E
x∂z − ∂E
z∂x ))
= − β
b(( ∂
2E
y∂y∂x − ∂
2E
x∂y
2) − ( ∂
2E
x∂z
2− ∂
2E
z∂z∂x ))
= − β
b( ∂
2E
y∂y∂x − ∂
2E
x∂y
2− ∂
2E
x∂z
2+ ∂
2E
z∂z∂x )
(1a)
から∂
∂x ( ∂E
x∂x + ∂E
y∂y + ∂E
z∂z ) = ∂
2E
x∂x
2+ ∂
2E
y∂x∂y + ∂
2E
z∂x∂z = 0
なのでβ α
∂
2E
x∂t
2= − β
b( ∂
2E
y∂y∂x − ∂
2E
x∂y
2− ∂
2E
x∂z
2+ ∂
2E
z∂z∂x )
= − β
b( − ∂
2E
x∂x
2− ∂
2E
x∂y
2− ∂
2E
x∂z
2)
= β
b( ∂
2E
x∂x
2+ ∂
2E
x∂y
2+ ∂
2E
x∂z
2)
= β
b∇
2E
xβ
mα
∂
2E
x∂t
2= ∇
2E
xよって、電場の
x
成分E
x(x, t)
の位置と時間による変化はこれに従います。他のy, z
成分に対してはβ
mα
∂
2E
y(x, t)
∂t
2= ∇
2E
y(x, t) , β
mα
∂
2E
z(x, t)
∂t
2= ∇
2E
z(x, t)
となるので、電場の各成分は同じ式になります。そして、この形は波動方程式です。なので、弦の振動と対応させ れば、例えば
E
x(x, t)
の波動方程式は電場のx
成分が位置x
で時間t
のときどのように振動しているのか(値の
変化)を記述しています。最初に
B
を消しましたが、Eを消すようにすれば同様の手順でβ
mα
∂
2B
x(x, t)
∂t
2= ∇
2B
x(x, t) β
mα
∂
2B
y(x, t)
∂t
2= ∇
2B
y(x, t) β
mα
∂
2B
z(x, t)
∂t
2= ∇
2B
z(x, t)
このように、電場と磁場による波動方程式が出てきます。ただし、波動方程式の解が必ずマクスウェル方程式の解 になるわけではないです。
波動方程式は空間上で一定の形を持って一定の速度で伝わっていく現象を表現する方程式です。このことを波と 呼んでいます。一定の形というのが波が伝える影響で、今の場合は電場と磁場です。そして、波動方程式の性質か ら
E, B
は真空中を速度c =
√ α β
mで伝播していくことになり、その現象は電磁波
(electromagnetic wave)
と呼ばれます。電磁波は電磁場を言い換え ているだけとも言えます。電磁波は1887
年にヘルツ(Hertz)
の実験で確認されました。cは光速で、SIではc =
√ 1 ϵ
0µ
0となります。
波の関係式を簡単に求めておきます。電場、磁場で同じなので電場だけ使っていきます。波動方程式は三角関数 を解に持っています
(力学の「波動方程式」参照)。なので、計算を簡単にするために exp
によってE(x, t) = ae
i(ωt−p·x)(2)
という形を作ります。この形は平面波と呼ばれます。aは振幅、ωは角振動数、pは波数ベクトル、ωt
− p · x
は 位相です。波数ベクトルは波の進行方向と同じ向きです。(2)は一般的に複素数ですが、単振動と同じように実数 が物理的な量となります。これを波動方程式に入れれば
0 = β
mα
∂
2E
∂t
2− ∇
2E = ( − β
mα ω
2+ p · p)ae
i(ωt−p·x) なので| p |
2= β
mα ω
2= c
2ω
2となり、波数と角振動数の関係を与えます。また、位相が
ωt − p · x = const
となる面（ある時刻t
でこの関係を 満たす位置x
によって作られる面）は波面と呼ばれ、波の進行方向に垂直です。波面が平面なので(2)
は平面波 と呼ばれます。
ωt − p · x = const
から分かるように波面上で電場は同じ値を持ちます（振幅が定数なら）。波面の変化を見ると、変化は時間と位置によって起きるので
ωdt − p · dx = 0 ω = p · dx
dt
位置の時間微分は速度
v
で、この速度は位相が一定の面の速度で位相速度と呼ばれます。波の進行方向を単位ベ クトルn
によって表せばω = p · v = | p || v | n · n = | p || v | (p = | p | n, v = | v | n, n · n = 1)
これから波面の速度は| v | = c
と分かります。波の区別に横波と縦波があります。横波は波の進行方向に対して垂直方向に変化が起きている場合、縦波は進 行方向に変化が起きている場合です。電磁波が横波であることは簡単に分かります。
電磁波の進行方向を
z
軸方向とすれば、z軸に沿った振動なので、電場と磁場E(z, t), B(z, t)
の位置はz
にの み依存します。そうすると、マクスウェル方程式(1a),(1b)
においてz
微分以外の項は消えるので、∇ · E(z, t) = ∂
∂z E
z(z, t) = 0
となり、Ez
(z, t)
とB
z(z, t)
はz
軸の位置に対して一定でなければいけないです。つまり、z軸に沿って変化する のはE
x(z, t), E
y(z, t), B
x(z, t), B
y(z, t)
になります。もしくは、(2)を入れてみると∂
∂z E
z(z, t) = a
z∂
∂z e
i(ωt−p·x)= 0
から、az
= 0
となり、Eのx, y
成分のみが消えずに残ります。このように、進行方向に対しては変化せず、その垂直成分のみが変化することから電磁波は横波となり、電場と 磁場が進行方向に対して垂直に存在します。言い換えれば、電磁波の波数ベクトルと電場、磁場は直交するとい うことです。これが電磁場の問題を扱う時に大事になります。そして、直交さえしていればいいので、波数ベクト ルに対して電場、磁場は
2
つの向きを独立に取れます。このことから電磁場は２つの自由度を持つと言います。電磁波が横波で、電場と磁場がお互いに直交していることを具体的に見ます。そのために、z軸方向に進んでい る電磁波を見ていきます。電磁場の波としての変化は波動方程式に従っているので、z方向に進行する電磁波の電 場の変化は
x, y
成分のダランベールの解からE
x(z, t) = f
1(z − ct) + g
1(z + ct) (3a) E
y(z, t) = f
2(z − ct) + g
2(z + ct) (3b)
と書けます。z方向に進んでいるので、位置の依存性は
z
のみで、電場のz
成分は変化しないです。Ezは0
とし てしまってます。磁場も同様にB(z, t)
です。これらを(1d)
に入れれば∂B
z(z, t)
∂y − ∂B
y(z, t)
∂z = − ∂B
y(z, t)
∂z = β α
∂E
x(z, t)
∂t (4a)
∂B
x(z, t)
∂z − ∂B
z(z, t)
∂x = ∂B
x(z, t)
∂z = β α
∂E
y(z, t)
∂t (4b)
(4a)
の最右辺の時間微分に(3a)
を入れるとβ α
∂E
x(z, t)
∂t = β α
∂
∂t (f
1(z − ct) + g
1(z + ct))
= β
α ( − cf
1′+ cg
1′)
= β
α ( − c ∂(z − ct)
∂z f
1′+ c ∂(z − ct)
∂z g
1′)
= β
α ( − c ∂f
1∂z + c ∂g
1∂z ) f
1′ はz − ct、g
′1はz + ct
で微分したものです。(4a)から− ∂B
y(z, t)
∂z = β
α ( − c ∂f
1∂z + c ∂g
1∂z )
= − cβ α
∂
∂z (f
1− g
1)
微分を外せばB
y(z, t) = cβ
α (f
1(z − ct) − g
1(z + ct)) (5)
(4b)
についても同様にするとB
x(z, t) = − cβ
α (f
2(z − ct) − g
2(z + ct)) (6)
として、電場と同じ
f
1,2, g
1,2によって磁場の解を書けます。さらに具体的にするために、ダランベールの解に対して、z軸の正方向に進行しているとして
(f
1,2(z − ct)
だけ を取り出す)、電場が角振動数ω、波長 λ = 2π/k (k
は波数)、x軸の方向に振幅a
xを持っているとし、三角関数 によってE
x= a
xcos(kz − ωt) (7)
とします。axは実数の定数です。これは波動方程式に入れれば
β
mα
∂
2E
x∂t
2= − ω
2c
2a
xcos(kz − ωt)
∂
2E
x∂x
2+ ∂
2E
x∂y
2+ ∂
2E
x∂z
2= ∂
2E
x∂z
2= − k
2a
xcos(kz − ωt)
すでに見たように、角振動数と波数の関係
ck = ω
を入れれば波動方程式を満たすのが分かります。同様に他の成 分を与えてE
x= a
xcos(kz − ωt) , E
y= a
ycos(kz − ωt) , E
z= a
zcos(kz − ωt) B
x= b
xcos(kz − ωt) , B
y= b
ycos(kz − ωt) , B
z= b
zcos(kz − ωt)
とします。マクスウェル方程式(1a),(1b)
に入れれば∇ · E = ∂
∂z a
zcos(kz − ωt) = − ka
zsin(kz − ωt) = 0
∇ · B = ∂
∂z b
zcos(kz − ωt) = − kb
zsin(kz − ωt) = 0
なので、az
= b
z= 0
となり、電場と磁場のz
成分は0
です。z方向に変化していないので、横波と分かります。そして、これらは
( ∇ × B)
x= ∂B
z∂y − ∂B
y∂z = kb
ysin(kz − ωt) ( ∇ × B)
y= ∂B
x∂z − ∂B
z∂x = − kb
xsin(kz − ωt)
∂E
x∂t = ωa
xsin(kz − ωt)
∂E
y∂t = ωa
ysin(kz − ωt)
となっているので、(1d)に入れると
kb
ysin(kz − ωt) = β
α ωa
xsin(kz − ωt) ⇒ kb
y= β α ωa
x− kb
xsin(kz − ωt) = β
α ωa
ysin(kz − ωt) ⇒ − kb
x= β α ωa
y よってb
x= − cβ
α a
y, b
y= cβ
α a
x, b
z= 0 (ck = ω) (8)
これを
z = (0, 0, 1)
を使って書くとb = cβ
α (z × a) (a = (a
x, a
y, a
z) , b = (b
x, b
y, b
z))
z
はz
軸の単位ベクトルなので、zとa
のベクトル積がb
になることは、aとb
は直交していることを意味しま す。つまり、電場E
と磁場B
が直交しています。このように、電磁波は横波であり、電場と磁場は直交するとい う性質を持ちます。また、(8)(もしくは
(3a),(3b),(5),(6))
からE
x(z, t) = a
xcos(kz − ωt) , E
y(z, t) = a
ycos(kz − ωt) B
x(z, t) = − cβ
α a
ycos(kz − ωt) , B
y(z, t) = cβ
α a
xcos(kz − ωt)
なので、E
x(z, t) = α
cβ B
y(z, t) , E
y(z, t) = − α
cβ B
x(z, t)
このとき電場と磁場が直交する解として、ax
= 0
かa
y= 0
が任意に選べます(これが自由度 2
に対応)。例えば、a
y= 0
とすればE
y, B
xは0
となり、電磁波の振動は電場がx
方向、磁場がy
方向にすることになります。これを 電場がxy
平面に偏光していると言います。今の結果を使って電磁波のエネルギーと運動量を求めてみます。電磁場のエネルギー密度
u
はu = 1 8π ( 1
α E
2+ 1 β
bβ B
2)
からE
2= E
x2(z, t) + E
2y(z, t) = α
2c
2β
2(B
x2(z, t) + B
2y(z, t)) = α
2c
2β
2B
2 なのでu = 1 8π ( 1
α E
2+ 1 β
bβ
c
2β
2α
2E
2) = 1 8π ( 1
α E
2+ c
2α
β
mα E
2) = 1
4πα E
2= 1 4πβ
bβ B
2となり、これが電磁波が持つエネルギー密度です。ポインティングベクトルは
(a
x, a
yはどちらかを0
にできる)S = 1
4πβ (E × B) = 1
4πβ (0, 0, E
xB
y− E
yB
x)
= 1 4πβ ( cβ
α a
2xcos
2(kz − ωt) + cβ
α a
2ycos
2(kz − ωt))z (z = (0, 0, 1))
= c
4πα (a
2x+ a
2y)z cos
2(kz − ωt) u
はu = 1
4πα E
2= 1
4πα (a
2x+ a
2y) cos
2(kz − ωt)
なのでS = cuz
と書けます。また、βm
S /α
とすれば運動量密度と見ることもできます。最後に、電磁波は単振動
(調和振動子)
の解を持つことを示しておきます。これはt
とx
の依存性が分離した解 を求めることで分かります。依存性が分離しているので、解の形はE(x, t) = A
1(t)F (x) , B(x, t) = A
2(t)G(x)
とします。波動方程式に入れた方が早いですが、マクスウェル方程式を使った場合を先に行います。マクスウェル 方程式の
(1c)
に入れれば∇ × E(x, t) = − 1 β
b∂B(x, t)
∂t
∇ × (A
1(t)F (x)) = − 1 β
b∂
∂t (A
2(t)G(x)) A
1(t)( ∇ × F (x)) = − 1
β
b∂A
2(t)
∂t G(x)
分かりやすくするためにベクトルの成分で分けて書けばA
1(t)( ∇ × F (x))
x= − 1 β
b∂A
2(t)
∂t G
x(x) A
1(t)( ∇ × F (x))
y= − 1
β
b∂A
2(t)
∂t G
y(x) A
1(t)( ∇ × F (x))
z= − 1
β
b∂A
2(t)
∂t G
z(x)
なので、iが
x, y, z
を表すとしてA
1(t)( ∇ × F (x))
i= − 1 β
b∂A
2(t)
∂t G
i(x) 1
β
b1 A
1(t)
∂A
2(t)
∂t = − ( ∇ × F (x))
iG
i(x) (9)
左辺は時間のみ、右辺は座標のみに分かれています。別の依存性をしているものが両辺にあるので、その結果は 定数でなくてはいけません
(左辺の変数が t
のみなので、右辺に変数x
が現れてはいけなく、当然その逆もいけな い)。なので、その定数をC
として1 β
b1 A
1(t)
∂A
2(t)
∂t = C , − ( ∇ × F (x))
iG
i(x) = C
となり∂A
2(t)
∂t = β
bCA
1(t) , ( ∇ × F (x))
i= − CG
i(x) ( ∇ × F (x) = − CG(x)) (10)
次にマクスウェル方程式の(1d)
に入れてみると∇ × B(x, t) = β α
∂E(x, t)
∂t
∇ × (A
2(t)G(x)) = β α
∂
∂t (A
1(t)F (x)) A
2(t)( ∇ × G(x)) = β
α
∂A
1(t)
∂t F (x)
ここに(10)
を入れればA
2(t)( ∇ × ( ∇ × F (x))) = − β α
1 β
b∂
2A
2(t)
∂t
2F (x)
左辺にはベクトルの計算∇ × ( ∇ × F (x)) = −∇
2F (x)
を使って
A
2(t) ∇
2F (x) = 1 c
2∂
2A
2(t)
∂t
2F (x) ( β
mα = 1 c
2)
というわけで、(9)と同じ話から、定数をD
として1 c
2∂
2A
2(t)
∂t
2= D
2A
2(t) , ∇
2F (x) = D
2F (x)
定数を
D
2としているのは後で見やすくするためです。今知りたいのはA
2の方なので、F はこの方程式に従うと いうだけにして終わらせます。A1, G
とは(10)
によって関係しています。
A
2(t)
はよくある微分方程式なので、すぐにA
2(t) = e
Dctという解があるのが分かります。しかし、D >
0
のとき、これはt
の増加に対して単純に増加する解なので、電 磁波の振動しているという解になっていません。なので、定数の符号を反転させて∂
2A
2(t)
∂t
2= − D
2c
2A
2(t)
として、A2の解がA
2(t) = a cos(Dct + Φ)
と与えられるようにします(a, Φ
は定数)。これと、単振動の方程式と解∂
2x(t)
∂t
2= − ω
2x(t) , x(t) = a cos(ωt + Φ)
は同じです。よって、電場と磁場の時間依存部分は単振動と同じことから、電磁波は単振動の集まりと言えます
(固定された空間部分 F (x), G(x)
に対して)。また、空間部分をベクトルにしていることから予想できるように、偏光による性質は
F (x), G(x)
に入ってきます。波動方程式を使うなら
