情報工学教室高田等 ATranslation of a Non−1inear Differential Equation into

(1)

非線形微分方程式に対し，線形独立な関数列の導入

による連立線形微分方程式への変換

（昭和52年5月31日原稿受付）

情報工学教室高田等

ATranslation of a Non−1inear Differential Equation into aSimultaneous Linear Differential Equations by using aSequence of Linearly Independent Functions

by Hitoshi TAKATA

ABSTRACT

This paper presents a new approach in constructing simultaneous linear differential equations，

which are equivalent or optimal to a given non−linear differential equation， by introducing a sequence

of linearly independent functions． A function space is generated from these independent functions．

The given non−linear function of a differential equation is translated into a linear mapping defined on

the function space． The following typical sequences of linearly independent functions are investi−

gated in the paper：a sequence of derivatives；a sequence of orthogonal functions・such as a trigonometrical series；asequence of Legendre polynomials， of Hermite polynomials， and of Laguerre polynomials；and a series of Taylor expansion．

The numerical examples give us promising results．

すなわち，与えられた非線形微分方程式に等価な，または

L序論最適な連立線形微方程式嚇成法について擦した．

ダイナミックスが非線形微分方程式∫＝∫（エ）（・はなおこの種の対応が行なわれた後は，本来の非線形問題

∂／4ので与えられる最適制御や推定問題などにおいては，取り扱いの容易な線形問題に帰着される。

は⊃が非線形関数であるためその取｝）扱いが容易でな 2澗題の齪い。これに対し従来は，テーラー展開の1次近似や，ガ

ウス分布重み関数の下での等価線形化近似などにより，つぎの1変数実数値関数の非線形微分方程式ハ

非線形微肪程鵡＝∫ωをパと同次元の線形微 X＝∫ω 。齪（1）

方程式∫＝砿＋bに近似して，これに既存の線形理論を

適用してきた。しかしこれは非線形性の程度によりそのが与えられたとしよう。ただしRは実数全体の集合で∫

近似がはなはだ悪いものになる。は非線形実数値関数である。すなわち（1）はそこで本稿においては，実軸上で定義された1変数実『R内の任意の点∬の微分方程式が，∫：R→R

数値関数の非線形微分方程式オ＝∫（x）に対し，適当な（非線形写像）により支配されている』

線形独立関数列｛ξη（克），ηε〜V｝を導入することにより，と述べることができる。本論文の目的はこれに対し・（1）

それの張るベクトル空間Xを構成する。X内の任意の関と全く等価に，あるいはある意味で最適に対応して，

数は｛ξ。｝の線形結合で表わされることから，各ξ，（エ）の『ベクトル空間X内の点の微分方程式がF：X→

微分方程式ξ，ω＝（∂ξ，（∬）／∂∫）∫（∬）（γεN）を，これと X（線形写像）により支配される』

全く等価な，あるいはある意味で最適なX内の関数に対と述べることができるようなベクトル空間Xと線形写像応させて，ξ。（エ）を｛ξ。（∬）｝の線形結合として記述した。 Fを構成することである・つぎにこれの一般的な解法に

(2)

ついて述べる。要な課題である。

独立関数列の代表的なものとして，つぎの4節で導関

3．一般的解法

数の列，5節で直交関数系および例としての三角フーリまず高々可付番無限個の線形独立な関数列｛ξ。（x）：η エ級数，6節でルジャンドル，エルミート，ラゲール多項

＝0，1，2，3，……｝を導入する（具体的には4〜7節式などの直交多項式系，および7節でテーラー級数とし参照）。ただし一般性を失なわないので，ξ。（エ）は常にての多項式系を導入した場合について考察しよう。

ξ゜（∬）＝1 （2） 4．独立関数列が導関数の場合

とする・この関数列の張るベクトル空間（関数空間）

@本節では線形独立な関数列として導関数。…＝岡

X＝〔ξ゜ω・ξ1（x），ξ2（エ），‥ …，ξ・ω，……〕（3） 4rη（ηε」V）を選ぶ場合について考察する。問題の解釈

を構成する。（1）より各ξ，（エ）（γ＝1，2，3，……）の微分を容易にするため，つぎの具体例を考えよう。

方程式は〔例題1〕

．変数rの範囲を 0≦r≦Tとし，定義域

ξ・（・）＝（∂ξ・（・）／∂・）f＝（∂ξ・（・）／∂・）∫（・）全∫・（・） D−｛＿・（，）＋2b。（，）＋。〉。，。≦r≦τ｝

（4）における非線形微分方程式

として与えられるので・各∫・ωをXのある関数1こうま仁砿・＋2由c （8）

く対応させれば、

。。について考える。関数列として，まず ∫，ω 〜Σα，ηξ。ω＋α，。（5）

η＝1 ξo＝ 1， ξ1＝エ， ξ2＝」…， ξ3＝ヱ， … ， ξη＝エ（η一D，…

と表わすことができる。これにより（4）を

（9）

ξ（∬）＝Aξ（エ）＋6 （6）を導入する。このとき（8）より

ただし ξ1＝xニξ2，

ξ（・｝＝〔ξ1ω・ξ・ω，，ξ・ω・〕τ ξ、＝｛（伽＋●）／砿・＋26。＋，｝X

6＝〔1Z10・ α20・ ∵ ・ αη0・〕T ＝ α∫＋6＝αξ1＋●＝ξ3，

、4ニ ∠Z11， 6夢12，・・．， 611η，．．・

α21，α22，…，α2η，…

62η1， αη2，．・°， αηη，・・．

ξ3 ＝αξ1＝αξ2＝ξ4，・・・… ，

ξr＝αξr＿1＝ξr＋1，・・・… （10）

である。よってすべてのxεDに対し，

α・ξ・＋α1ξ1＋α2ξ2＝α・＋α1∬＋α2 αエ2＋26∬＋c

なる線形微分方程式として記述することができた。すな＝0

わち（2），（6）はならば，α。＝α1；α2＝0でξ。，ξ1，ξ2は線形独立であ

x欄〕全x叶∴〕一…四る゜他竪監蕊㌃ll二1−1らば

に対しより α。＝α1＝α2＝α3＝0 でないものが無数に存在

X＝Fx （7）して ξ。〜ξ、は線形独立でない。よって（8）に対する

と等価であり，これにより（1）に対応するベクトル空間X 独立関数列としては，ξ・・ξ1・ξ・を選ぶことができる・

それ故（10）より⑧はと線形写像Fが構成できたことになる。従って以後（7）の

代懸）㍍驚㌶議；（1）う｝1対し，い〔1：H瓢：閲（ll）

かなる独立関数列を導入すればよいかということが，重と線形化された。付録Aよりエの初期値がx（0）のとき，

(3)

（11）の初期値をξ1（0）＝∬（0），ξ2（0）＝砲1。）＋2b∬（。）＋cに選 A＝

べば（8）と（11）は全く等価であることがわかる。なお（8）の解

∫（『）は（11）の解ξ1（r）からエ（r）＝ξ1（）として正確に求ま

る。

つぎに独立関数列が直交関数系の場合について考察し

よう。

α11， α12，， α1η，

α21， 6Z22， … ， 6Z2η，・・．

αη1， αη2，， αηη，

（17）

5．独立関数列が直交関数系の場合・。・＝∬細姻W∬ω（鋤（18）

実軸上の閉区間岡で鐵された重み関蜘・）が …一∬綱醐ぬ）W∬φ莞（鋤繊（1》

与えられたとしよう・ただし特に断わらなし限玩b ここで代表的な例として三角フ叫エ徽の場合につ

認㌃㌫笥轍乙はい芸㌔ニリ醐

とする・祓関数系として区間［。，b］（ただしb−。＋2。）におさてここで・2乗可齢関数の全体いて重み関数ωω＝1のときの1，、批。。蹴

L・（・，b）全｛カ・∬1酬・％（・脈・・｝（12）（。＝1，2，3，…）なる三角関数が選ばれたときの三角

に対し，その要素であるξ．ε、L2（α， b）（ηε2V）からなフーリェ級数は完全である。しかも∫（∬）が区間［α， b］

る線形独立な実関数列を導入して，それの張るベクトルにおいて連続，かつ区分的滑らか，すなわち有限個の点空間を除いて〃（∬）／ぬが連続で，さらに∫（α）＝∫（b）なら X＝〔ξ。，ξ1，ξ2，…，ξ。，…〕ば，この三角フーリェ級数は一様収束する。従ってこの場合はxの定義域［α，b］で与えられた（1）に対し（14）〜（1》の

を構成する。その際Xの任意の要素ん1，炬εXに対し

（励・）一∬綱・（・）ω（・）吻対三覧くき麗㌫を満足するつぎの具体例を考え

で内積を定義すればXは実内積空間となる。ただしノルよう。

ムは〔例題2〕

ll川＝願区間［一π，π］で定義された

である。このとき付録B・定理1より，選んだ独立関数列元＝、4s仇∬＋Bco∫2∬△∫（x）（20

｛ξ・｝に対し・その鮫関数系｛φ・｝カぎ完全（完備）であつなる非線形微分方禾呈式について考える．敵関数系として

て・しかも（4）よ略φ・（・）全∫・（・）が∫・（・）・L2（・，b）で φ。（。）−1，φ，。．1（。）＝、i鵬

あり・かつフーリェ徽が一様収束するならば（5）の対応 φ、。（。）一。。澗（。−1，2，3，…）

は全く等価で

。。とおく。このとき∫と各φ，（γε1V）はC°°関数で，か ∫・（・）＝恩…φ・（・）（13）っ∫（一。）一∫（。）であるので，すべての。＝1，2，3，…

ただしに対し

鋤＝

阨禔i∬）φ。（エ）ωω砒／五bφ；（加（泌 φ…1ω一…卵ω全ゐ・−1ω，

である．これから（6）または（7）に従い，つぎの線形微分方 φ・・ω＝一・・ご∫ω全力・ω

程式が構成される。は共に上記の条件をすべて満足している。さて φ（エ）＝Aφω＋b （14） φ・・−1（エ）＝ηcos批・∫ω

ただし＝（η、4／2）｛訂κ（η十1）∬−s仇（η一1）∬｝

φω一〔φ1ω，φ、ω，．・・，φ。ω，…〕・ ⑮ ＋（・β／2）｛…（・＋2）・＋…（・−2）・｝

b−〔。1。，、，。，…，。。。，．・・〕・（1θ ＝（・B／2）φ・・一・＋（一・A／2）φ・・一・

＋（崩／2）φ、。＋1＋（ηB／2）φ、。＋・（21）

(4)

φ2。（エ）＝一ηs沈批プ（∬）として容易に決定される。

＝（一η、4／2）｛−cos（η＋1）エ＋cos（η一1）エ｝なおこの場合付録B・定理2より直交多項式｛φ。｝が完

＋（一ηB／2）｛s η（η＋2、）∬＋s η（η一2）∬｝全であって，∫（∫）がα次（α＞1／2）のリップシッツ条

＝（一ηB／2）φ2。−5＋（一κ・4／2）φ2。．2 件を満足し，かつフーリェ級数の有限個の絶対値ど

＋（η、4／2）φ2。＋2＋（一ηB／2）φ2。＋3 （22） 1Σα，。φ。（エ）1（ψε2V）を押さえる可積分関数が存在

カコ

ただしすれば，（5）の対応は等価となり（14）〜（1》が満足される。

φ一1＝0，φ一2＝cos（−x）＝φ2，以下，拡張されたルジャンドル，エルミート，ラゲー φ．3二訪η（一κ）＝一φ1 ル多項式系について考察する。

（η＝1，2，3，……） 6．1 （拡張）ルジャンドル多項式系

であるので，各φ・（∬）（γεN）は単に4個の独立変数の有界閉区間［物一力，吻＋カ］（勿εR，カ＞0）上で重み線形結合で表わされていることがわかる。一般に，与え関数

られた微分方程式の非線形関数ル）力測匁）と…㈲ ωω一1／2ρ ㈱

（ヵと4は整数）の有限個の線形結合であるとき，各φ，（エ）

の場合について考える。このとき

（γε1V）も有限個の独立変数の線形結合で表わされる。

さて（2》の解∬（のは（21）￠2）からなる連立線形微分方程式の ζ1・（エ）＝（2ρ）−1（κ！）｛（2η）！｝−1〔（x−〆2一ρ2〕η （27）

解φ。（∬（r））から，例えばを導入すれば，（24）の条件を満たし（25）より x（の＝s仇（φ1（∬（の））（23） φ。ω＝1

として求められる

゜ φ1（エ）＝jr−〃2

つぎに本節の特別な場合である直交多項式系について φ2（エ）＝（∫＿勿）2＿カ2／3

考察しよう・ φ、ω一（⌒）・一ρ・（＿）．3／5

6．独立関数列が直交多項式系の場合3）・6） φ4（∬）＝（∬一勿）4一ρ2（∫一勿）2・6／7＋〆・3／35 φ5（∬）＝（x−〃2）5一ρ2（エー〃2）3・10／9十ρ4（エー〃2）・5／21

定義区間［α，司上の重み関数％（幻＞0に対するη次

゜°°・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （28）

の直交多項式をφ。（エ）とする。ただし一般性を失なわな

いので，φ。ω（ηε」V）の最献係数を1とする．そのである・付録B・定理3より｛φ・｝は完全である・また定

際理4よ y＝（κ一〃2）／♪と変嫉換したときげωが連

続な2次導関数をもつか，あるいは（A・9）の条件を満足蓋〔％｝。＝ω〕＝・！，すれ1ざ（14）一（1》の対応は等価である．もちろん定理4の代

閾▲一蜘L−。⑳㌶㌔蕊1：㌔三：灘：

（元＝0・1・2，…・η一1）別積分可能であることが確められれば（14）〜（1》の対応は等が満足される関数σ。（幻が導入されれば，κ次の直交価である。

多項式は 6．2 （拡張）エルミート多項式系

仏ω＝万鵠薯）M）（25）無撃戟F蕊隠覧｝（カ〉。）（29）

として定まる・またφ1ωはの場合について擦する．このとき

φ1（κ）＝∬一∫

ση（エ）＝（−1）ηρη（2π1））−1／2exp｛一（㌶τ一〃z）2／21）｝（30）

ただし qw∬一㌘；；24）の条件をより

であるので，本来求めるべき∬（のはφ1（エ（τ））から

φ1（∬）＝工一〃z

・ω＝φ1（∬（τ））＋万 φ、ω＝（・噺）・一力

(5)

φ3（x）ニ（エー〃の3−3（∬一沈）ρ 件が満足されるときの極限状態として解釈できる。すな φ4（エ）＝（エー〃2）4−6（エー〃z）2ヵ＋3ヵ2 わちテーラー級数はフーリェ級数の特別な場合として取

φ5（∬）＝（エー勿）5−10（∬一勿）3ρ＋15（∬一卿）ρ2 （31）り扱うことができることを示そう。

…・・………・……… 区間［α，司，重み関数z〃（∬，ヵ）＞0（ρはパラメータでである。付録B・定理3よりエルミート多項式系｛φ。｝もカ＞0）に対するη次の直交多項式とフーリェ係数は㈱，

完全である。また例えば定理2の条件か，あるいは（18，（19）から

㌶；：鑑嶽㌶蕊）が定理5の条輌）一％（圭ρ）撃ク）（伽（あρ）＝1）（3θ

：襲蹴巖系一 …一；二i蒜）㌦凡一

ω（エ）＝クー1．exp｛＿（エ＿勿）／ρ｝（ク＞0）（32）

として表わされている。すなわち（37）は（36）を用いて部分積

の問題について考察する・このとき分すれば

仇ω＝（一1）ηグー1（エー沈）η脚仁（∬一勿）／ρ｝（33） ∬琉）σ㍗・（ち鋤を導入すれば噸件轍し（2勃より @ 一∬輌蹴力・血

φ・（∬）＝1 ［∫，（x）σ》η一1・（尤ρ）］2一元b∫；（ガ）σ》η一1・（鵡力）ぬ

；：：鴬二㌶⑳＋2〆＝［伽Ω・σ識力・］乞一疏力・酬輌

φ3（エ）＝巨一〃2）3−9（x−〃2）2ρ＋18（エー〃z）カ2−6ρ3 となる。ここで04）の端点条件σlr−1｝（α，ρ）ニσ》 −1｝（b，ρ）

φ4（∬）＝（∬一勿）L16（エー〃2）3ヵ＋72（∬一〃2）2ρ2 ＝0を適用すれば

一96（∬一〃z）カ・＋24ク・ ∬∫；・・）U》・−1・Ω・吻

⌒霊（㌫㌫㌦となる．以三：鴎㌫霊＿条

・．・・．・．・・．．．．．… ．… ．・… ．… ．．．・．．．・・（34）

件を適用すれば

つぎにテーラー級数について考察する。と表わされる・従ってρ一〇にしたときo⑤・剛こ対し

φη（∬，ρ）→（∬一吻η （3》

7 テ＋級数の場合

@ 5綱全伊・（。，輌砒小・融

独立関数列｛ξη｝としてη次多項式

一→万η）（物）・㈹

ξη（エ）＝（エー〃2）η （ク2εN）

＿となれば，倒のテーラー級数が直交多項式によるフーリェが選ばれたときの展開・すなわちテーフー級数について

@徽の極限状態として得られたことになる．

考察する。

以下6．1〜6．3節のいずれのフーリェ級数も，ρ→0

（4）の∫・ωが解析麟のときはテープ弔開によりにしたときテーラー級数になることを示す．

∫「（∬）＝碧。α「〃ξη（x）（ηε1V）倒 7．1ルジャンドル多項式系の極限

だだし 6．1節の問題においてパラメータρをρ→0にしたと

砺，ニ∫膓・）（勿）／η！，ξ。（エ）＝（∬＿勿）・きの極限状態について考察する。

まず⑳すなわち㈱の形よりヵ→0のときと表示される。このテーラー級数は，独立関数列として

6節の鮫多城系が選ばれた際に，以下の0》と（4①の条 φ・・⑳＝・・酬η Ol）

(6)

となり（39）が成立する。つぎに∫，働が解析関数ならば（3》が成り立つ。㈹より

より ∫1∫仁・（・）（2・カ）一去・xp｛一（…）・／2舩

∫P・ω一細＋鰐i（勿）ピ Sm（カ）＝∫1（2。力己，xp｛−W2カ｝此

（ただし・全・一勿）（42）一∫：∫5・・（・）（2・靖・xp｛一（・一勿）・／2鋤

である。また（27）より・・

＝∫卿（勿）＋Σ［（2〃）！］−1∫｝2 ＋η｝（勿）

σ。（∬，ρ）＝（2カ）−1（。！）｛（2。）！｝−1（ε・一ρ・）・＝

であるので，（40は・｛1×3×5×…×（2ψ一1）｝カz

一鷲慧とな＿念1㌶∴ミート多：

式系によるフーリェ級数は極限状態（ヵ→0）でテーラー

＝∫働＋解享i（勿）・級数1・なる．

・鷲；警㈱糠鷺影ρ一た

となる。さてまず（33）すなわち（34）の形よりカー→0のとき

（・・一力・P一皇（膓）…ρ…一・）輌＝（・一耐㈲

よりとなり倒が成立する。つぎに∫，（ガを解析関数とすれば

∫1誰棚一鯛醐一゜2）が成り立襟㌫蒜けば

一｛…（2）2（＋1∴；：ll：ふ（カ）了一屹

⊇にψ＝。で一∫蹴＋群》；（勿）

∫1（ε2一ρ2）η4・一皇（り2（2i＋1丁カ2η（44）．∫二η＋ exp（一・／ρ）4・（49）

である・従って03）は ∫♂・xp（一ε／ヵ）4・

Sm（カ）＝〃働鰭雛）となる゜二

・議ごP芦∵∴…・∴ ＝鋼

となり（40）が成立する．馴）と㈲よりルジャンドル多項 Sm（カ）一∫酬＋菖（鵠！∫卿（勿）が

式系によるフーリェ級数は極限状態（カ→0）でテーラー一→∫卿（勿）（カー→0）㈹

級数になる・となり00）が成立する．結局（48）（50）よりラゲール多項式剰こ

7．2 エルミート多項式系の極限＿

6．2節の問題において，パラメータρをカ＿。にしよるフーリェ級数は極限〕犬態（卜→°）でアーラー級数

になる。

たときの極限状態について考察する。

まず（30すなわち（31）の形よりヵ一→0のとき 8．数値実験

φ・（∬，0）＝（∬一〃z）（46） 8．1 三角フーリェ級数

となり（3》が成立する。つぎに∫。（∬）、を解析関数とすれば（42） 5．1節例題2の三角フーリェ級数に対し，考慮する直

(7)

交関数系｛φ。（エ）｝の次数を1次から10次まで変化したと計算された近似値元（r）の軌跡を示し，Fig・1・（b）とFig・

きの，本手法により（23）式の計算された値元（）と真値∬（∫） 2・（b）は時刻τに対する誤差の絶体値の積分

を比較する・／ω一∬1・（τ）づ（τ）14・

Fig．1は、4＝−1， B＝0，すなわちX＝−s碗エで

を表わす。

その醐値が・（°）＝1のものであり・またFi苦2はA

@これらの結果より，考慮した敵関数系の次数の増加

：1㌶鷲㌧篇濃瓢1；；㌘似言一（・が真勧）へ近一いくこ

Fig．2−（a）は時刻rに対する真値パr）と，本手法により

∬（∫） x（∫）

1．0 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一一一一一一一 1．0 1st，2nd−order

0．8

0．6

0．4

0．2

0．8

、、 True value ＼一一一一一一フ

＼・、／ °・6

7th，8th−order ・ミミミこ

0．4

9th，10th−order 、

5th，6th−order ＼

3rd，4th−order O．2

6th，7th，8th−order

／

／ 10th−order

／

True value ！

＝〉・三多

／ノ『．／

／zケ／プ，／

フ ∠ ！ク・

5th−order 2nd，3rd，4th−order

1st−order

・・・・・・・・・… 81 ・ °・2 °・4 °・6 °・㍉，

Fig．1−（a）True value and Evaluated Fig．2−（a）True value and Evaluated

values when工＝＿si耽τ value8 when工＝cos2∬in in trigonometrical series． trigonometrical series・

ノ（の

10−2

10−4

10−6

10−8

ノ（の

、，、，2杷壁一一一一一一一

ノノ

ジ麹／一：：：：

∠ 10 6

10−8

・・2 ・・4 ・・6 ・・8 1・°1 ・ °・2 °・4 °・6 °・8 1・°，

Fig．1−（b）」（t）when工＝−sinエ Fig．2−（b）」（t）whenエ＝cos2エin in trigonometrical series・ trigonometrical series・

(8)

8．2 ルジャンドルとエルミート多項式系分散）カに対するノ（0．1），∫（0．5）のグラフである。7．2 6．1と7．1節のルジャンドル多項式系，および6・2と節よりρ＝0のときはテーラー級数に相当する。

7．2節のエルミート多項式系において，考慮する直交多 Fig・7はFig．3〜Fig．6においてカ＝0，すなわちテー項式｛φ。（め｝の次数を1次から5次まで変化したときのラー級数のときの初期値∬（0）に対する評価のグラフであ

本手法による計算値f（）と真値エ（τ）を比較する。り，Fig・7・（a）は／（0．1）およびFig．7・（b）は1（0．5）のも

非線形微分方程式としてはのである。

x＝x2 Fig．8とFig．9はヵ＝oにおけるテーラー級数においてを考え，各重み関数の対称点〃zとしては〃2＝0．5を選初期値がそれぞれ∬（0）＝−1．0とエ（0）＝0．5のときのもんだ。評価としてはFig・3〜Fig・7を通しすべて，Fig・・（a）のである。 Fig．8・（a）とFig．9・（a）は時刻xに対する計算についてはo．1秒間の誤差の絶体値の積分値f（『）と真値∬（r）の軌跡である。Fig．8・（b）とFig．9・（b）

／（・．1）一∫° 11・（・）一元（・）14・は時刻に対する評価

を，またFi忌．（、）については。．5秒間のノ（；）一∬1・（・）−f（・）14・

ノ（・．5）一∬51・（・）一元（・）14・のグラフを勧している・

これらの結果より，考慮する直交多項式の次数の増加

を用いた。 −

Fi忌3とFi苦4はルジャンドル多項式紅初期値がそとともに・近似計算イ三fωが真賦）へ近づいていく

れそれ。（。）一一1．。と。（。）＝。．5のときの動関数のパことがわかる・またF1＆7より初期値・（°）が重み関数のラメータρに対する評価／（。．1），ノ（。．5）のグラフであ対緬の近傍！こ選ばれた場合において・計算値の精度

る．特にカー。のときは7．1節よ・）テーラー級数に相当が良い三とが確認できる・なお⌒においては・ρ＝°

のテーフー級数の近傍において計算値の精度が安定して

する。

．いることもわかる。

F19．5とFig．6はエルミート多項式系の場合の結果で

あり・それぞれジャンDドル多項式系のFi＆3とFi鰺4に室：：㌶：：㌶：㌶嶽欝誉

対応する。すなわちFlg．5は初期値が∬（0）；−1．0およ

． EA．COM 230−60／75を用いた。

びFlg．6は初期値がx（0）＝0．5のときのエルミート多項式系による手法で，重み関数のパラメータ（正規分布の

ノ（0．1）ノ（0．5）

10−2

10−3

10−4

10−5

1st−order ・ 100

・一一・一・一・一・一・一・一・一・

̲1

、

＿血，4！一」竺竺．一，一，一．一一一｝1

一一一一一一一一一一｝一一

̀＼1 2。d．。，der ｝！

3・d−・・d・・ 10−1．．．一．一一．一．一．一、r

，、h．。，der ・、酬， 4，h−。，der ＼制

4th＿order 1

＿一一一一＿＿＿一一 1 、ノ ll

1 0 5th−order

）1 @ − 緬ボー一…、＼1！

1

10−2

° 1『61°『41°−z1°一》 ° ° 61°−41・−21°一三

Fig．3−（a）」（0．1）versus p whenエ（0） Fig．3−（b）」（0．5）versus、ρwhenエ（0）

＝−1．Oin Legendre poly・ニー1．Oin I」egendre poly−

nomials． nomials．

(9)

ノ（0．5）

ノ（0，1）

100

10−5

10−10

1°一5

D∠

4th−order

！ 10−2

10−6

10『lo

2nd−order ，

3rd−order

4th−order 1

5th−order

010−15 10−1・ 10−・ 10・ 0 10− ° 10−5 10°

P P

Fig．・4−（a）」（0．1）versus p wllenエ（0） Fig．4−（b）」（0．5）versus p whenエ（0）

＝0．5in I」egendre poly・＝0・5in I」ρgendre polyno・

nomials． mials．

ノ（0．1）

100

10−2

10−4

10−6

10−8

1st−order

ノ（0．5）

101

・・d−・・d・・

@＼Y 1ぴ

3rd＿order ＼／ノ

4th−order

、＼ 10−1 5th−order 、

10−2

一 1 2nd−order l

＿＿1

Q＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＼・1／

3rd−order 、 4th−order ∫1、・

5th−order ll

O lO−6 10−4 10−2 10° 0 10−6 10−4 10−3 10°

P P

Fig．5−（a）」（0．1）versus p whenエ（0） Fig．5−（b）」（0．5）versus p whenエω）

＝−1．Oin Hermite poly・ニー1．Oin Hermite poly・

nomials． nomials．

(10)

ノ（0．1）

loo

10『5

10−lo

10 15

ノ（0．5）

100

／／／／／

・三『と虻・一・一／／Z／／／ 1r5

／／／

2nd−order ／

一一一一

^{A ／}

＼、！

／ 3rd−order ／／／

坐・呉一／ 1r・

5th−order

一一一一一一一

^{A ／}

＼ノ／ 3rd−order ！

4th−order

5th−order

．！／！

トーL−−L一一L−」一〜一一⊥一一一L−一一L−⊥一

゜ 1°−61°−41°−21°三゜ 1°−61°一 1°−21°°P

Fig．6−（a）」（0．1）versus p when㌶τ（0） Fig．6−（b）」（0．5）versus p whenエ（0）

ニ0．5in Hermite polyno・＝0．5in Hermite polyno・

mials． mials．

ノ（0．1）ノ（0・5）

100

10m5

10一10

10−15

101 1st−order

ミミミこミ＼／彦多z

iii三芸・ミ影z／ 1ピ

5th−order 、1

10−7

2nd−order ，

i意iii 潮

一5 0 5。（0） −5 0 5・（0）

Fig．7−（a）」（0．1）versusエ（0）in Taylor Fig・7−（b）」⑩．5）versusエ（①）in Taylor

ココ

serles． serles．

(11)

∬ω

0

一1

一2

2nd−°「de「

@ ．ノ川

4th−order ／／／／／

／ニイ。。va1。・ 1『3

一・̲− 3rd−order

＼一＼． 10−8

1st−order ＼、

5th−order

1st−order 2nd−order

ロロニべらの

〃二三1三一煮z

！／ 4th−order

！ 5th−order

0 0・25 0・5r O O・25 0・5τ

Fig．8−（・）True value and Evaluated Fig．8−（b）」（f）whenエ（0）＝−1．O values whenエ（0）＝−1．O in Taylor series・

in Taylor series．

∬（）

0．65

0．60

0．55

ノ（の

True value 〃 10−3 2。d，3，d，4th，5th−。，d。，／

10−8

10−13

10−18

0．50

… 25 °・㍉゜ °・25 °・5f

Fig．9−（a）True value and Evaluated Fig．9−（b）」（のwhenエ（0）＝0．5in values whenエ（①）＝0．5 Taylor series．

in Taylor serie＆

慮して線形化し，これに線形推定理論を適用したものと

9．結言

考えることができる。

以上実軸上で定義された1変数の非線形微分方程式に本論文に対し終始有意義な御討論を頂いた本学の吉永対応する，すなわち等価なまたは最適な連立線形微分方恭一教授，および数値実験に御助力頂いた本学大学院生程式の構成を，線形独立関数列の導入により行なう方法三浦和彦氏に深甚の謝意を表します。

について考察した。これにより非線形問題は線形問題に

帰着された。なお本論文の立場からみれば，1）拡張カル付録A 微分方程式の同値性マンフィルタ14）と拡張線形オブザーバー15｝，2）2次近．

、つぎの微分方程式（1）と（ii）は同値である。

似法オブザーバー16），および3）等価線形化法フィルタ17）

は，それぞれ独立関数列のうち，1）7節のテーラー級（i）Xl− ^{醐値：・1（0）}

数法に対して1次，2）テーラー級数法の2次，および（A 1）

3）6．2節の（拡張）エルミート多項式の1次，までを考

(12)

（ii）｛㌶＋b初⇒llll。＿協（・）−6鴫胸・）鼻（輌輌

（A・2）（η＝1，2，3，……）

ただし晶＞0の範囲とする。により正規直交関数系｛φ。（κ）｝を構成することができる¶

（証明）この際，関数系の完全性と正規直交関数系の完全性とは

（i）において晶＝エ2とおけば（ii）が得られる。逆に（ii）が同値である：）

成立すると仮定する。αキ0のとき（A・2）を解けば晶＝また一般に，直交関数系｛φ。（エ）｝が完全であって，任意オ2＝α泊＋bよりの関数∫εL2（α， b）のフーリエ級数が項別積分可能，ある ∬1（の＝〃1θ万＋々2グ4万Lb／α いは特に一様収束するならば

｛。、（『）一 1万、万Lん、后、・，（A・3）．．

∫ω＝Σαηφ。ω （A・6）

ただし η＝o

隠ll：1：1㍑；ll；（A拳た∵㌫蒜／∬φ；＿

である。これをαxl＋26∬1＋cに代入し整理すれば（A・7）

汲ぞ＋2b∬1＋c＝必＝茸なるフーリェ展開ができる1）

となる。すなわち

x1＝一

が得られる。他方α＝0のとき（A・2）を解けばヱ1＝bよ

り

・1（『）−6〆／2＋・・（0）『＋・1（0）エ級数は［、，b］のほとんど至るところで収束する1・従｛

∬2（『）＝6『十∬2（0）

ってフーリェ級数の有限項和を

である・これを用いれば姻；8。。φ。ω

η＝0

26エ1（『）＋c＝∬多（r）＝五（r）（A．5）としたとき・ルベーグの収束定理5｝よりさらに

すなわち 1γ ω1≦s（∬）（！＝1，2，3，……）でかつ

Xl−2δ・1＋・ ∬・（加（鋤く∞

が得られる・結局（ii）から（i）が導出された。なる関数s（x）が存在すれば項別積分が可能となる。すな付録B 直交関数系の性質わち（A 6）（A◆7）のフーリエ展開ができる。

〔定理3〕1）・4）

特に断わらない限り区間［α，b］は，α＝一∞と6＝＋。。有界閉区間［α，b］（すなわち一〇。＜α〈●＜＋∞）にを許した実数値の閉区間とする。またノ（エ）は実変数∬において，重み関数2〃ωにより定義された直交多項式系対する実数値関数とする。｛φ。（∬）｝はL2（α，ゐ）で完全である。

〔定理1〕また定義域が半無限区間のラゲール多項式系，および Xを内積空間とする・ただし区間は［α，b］で，重み関無限区間のエルミート多項式系も完全である。

関数はル（∬）≧0である。さて，高々可付番無限個の線〔定理4〕3）

形独立な関数ξ・（∬）・ξ1（∬）・ξ・（x），……・ξ・（∬）・……が与（i）区間［−1，1］上で重み関数ω（〃）＝（1−y）λ（1＋y）μ

えられたとしよう。このときシュミットの直交化法により定義されたヤコビ多項式について考える。

￠。（エ）＝ξ。（z）／llξ。ωll，φ。（∫）ニμ。（エ）／ll微（∬）ll さてσ＝max｛λ，μ｝のときσ≧−1／2でヵを2σ＋2よ

り小さくない自然数とする。このとき［−1，1］で定義された連続なヵ次の導関数をもつすべての関数∫（y）（∫εただし

〔定理2〕

関数∫（∬）がα次（α＞1／2）のリップシッツ条件 1ル、）一ル1）1≦〃1エ、−Xllα

を満たすならば，直交多項式系｛φ。ω｝による∫ωのフー

(13)

Cρ）はヤコビ多項式により一様収束するフーリェ級数にで，さらに任意の実数値Zに対しても

展開される・ ∫ll・（・）1・・xp（％）砲く・・

従って例えば，λ＝μ；0のときのルジャンドル多項、

を満たすならば，∫（y）は（A・6）（A・7）のフーリェ展開がで式については∫εC2，およびλ＝μ＝1／2のときの第2

きる。

種チェビシェフ多項式については∫εC3の関数に対して

（A・6）（A・7）のフーリェ展開ができる。

⑰関数∫（y）に対し，τ次の多項式によるその最良近参考文献

似の偏差を 1）末岡：級数および直交関数系，コロナ社．1957．

2）R．Courand＆D， Hilbet： Methoden der Mathema−

E・θ一語聴1∫（y）一鋤）1 （A・8） …ch・n， Ph…瓦1・， V・・1・g S・…g・・1931・（斉藤・丸山としよう。このときルジャンドル多項式系については連訳：数理物理学の方法）

3）JL A． JIK）cTepHHKa H A． P．只Hno」lbcKoro： MaTeMaTHqecKH□

続関数∫（y）に対し AHa朋3・， Hay鴫1g6＆

lim 12・Ez（〆）；0，（A・9）（宮本松野゜須斎訳：現代応用数学ハンドブック1・解析 ‥°° 学1）

および，第1種のチェビシェフ多項式についてはすべて 4）高木：解析概論，岩波書店、1975．

の∫（y）に対し 5）日本数学会：岩波数学辞典岩波書店・1968・

6）赤坂：数値計算，コロナ杜，1974．

Iim lo9了・E 切＝0 （A・10） 7）土倉：フーリェ解析，至文堂．1972．

わ

、 8）伊藤：ヒルベルト空間入門，サイエンス社，1976．

であれば・各∫㎏）は各々の多項式により（A・6）（A・7）の ♂）末綱：確率論岩波書店，1941．

フーリェ展開ができる。 10）G．Szeg6： Orthogonal Polynomials ， Amer． Math． S㏄．

〔定理5〕9｝ Colloq． Publ．，1939．

11）G．Alexits： Convergence Problems of Orthogona1

実変数yに対し区間［一。。，＋。。］で定義された重み関数 Serles。， pergamon。press，1961．

2〃（y）＝（2π）−1／2exp｛−y2／2｝に関するエルミート多項式 12）E． D． Rainville； lnfinite Serles ， Macmi肱n C・．，1964．

系｛φ。㎏）｝が与えられたとしよう。 13）J・Kamp合de F6riet： Fonctions de la Physique

Math6matique ， Centre Natlonal de la Recherche Scient卜全区間［一∞，＋∞］で連続な関数∫（y）があるとき，つ flque， paris， lg57．

ぎの［一∞，＋∞］で連続な関数 14）H．Cox： On the Estimation of State Variables and Parameters for Noisy Dynamic Systems ， IEEE Trans．

9ω＝∫ω内） A。t。m。ti。 C。nt，。1．。。1．AG9， PP．5−12，1964．

を構成する。もしsがどんなに大きな整数であっても 15）RUeda H Takata S Nakagaki＆STakata：℃n the

Estlmation of Transient State of Power System by Disc・

lim ysgω＝ lim〃8・4g（〃）／砲＝O rete Nonllnear Observer ， IEEE trans． Power Apparatus

〃→±°° 〃→±°° 。nd Sy、t，m、，。。L PAS−94， N。．6， PP．2135〜2140，1975．

を満足し・かつ 16）上田・高田（等）・高田（茂）：2次項まで考慮した非線

∫ll♂・（yW｜・・xp｛〆／4｝吻く・・雀：㌫㌫よ，1繋：習1竺三慧こついて；

17）椹木・片山：非線形制御系の状態変数の推定について；

制御工学，11巻7号，PP．17〜24，1969．

情報工学教室高田等 ATranslation of a Non−1inear Differential Equation into

ATranslation of a Non−1inear Differential Equation into aSimultaneous Linear Differential Equations by using aSequence of Linearly Independent Functions

by Hitoshi TAKATA

ABSTRACT

which are equivalent or optimal to a given non−linear differential equation， by introducing a sequence

The given non−linear function of a differential equation is translated into a linear mapping defined on

微分方程式ξ，ω＝（∂ξ，（∬）／∂∫）∫（∬）（γεN）を，これと X（線形写像）により支配される』

3．一般的解法

@本節では線形独立な関数列として導関数。…＝岡

X＝〔ξ゜ω・ξ1（x），ξ2（エ），‥ …，ξ・ω，……〕 （3） 4rη（ηε」V）を選ぶ場合について考察する。問題の解釈

． 変数rの範囲を 0≦r≦Tとし，定義域

として与えられるので・各∫・ωをXのある関数1こうま 仁砿・＋2由c （8）

く対応させれば 、

ただし ξ1＝xニξ2，

α21，α22，…，α2η，…

に対し より α。＝α1＝α2＝α3＝0 でないものが無数に存在

べば（8）と（11）は全く等価であることがわかる。なお（8）の解

認㌃㌫笥轍乙はい芸㌔ニリ醐

とする・ 祓関数系として区間［。，b］（ただしb−。＋2。）にお さてここで・2乗可齢関数の全体 いて重み関数ωω＝1のときの1，、 批。。蹴

に対し，その要素であるξ．ε、L2（α， b）（ηε2V）からな フーリェ級数は完全である。しかも∫（∬）が区間［α， b］

（励・）一∬綱・（・）ω（・）吻 対三覧くき麗㌫を満足するつぎの具体例を考え

ll川＝願 区間［一π，π］で定義された

て・しかも（4）よ略φ・（・）全∫・（・）が∫・（・）・L2（・，b）で φ。（。）−1，φ，。．1（。）＝、i鵬

あり・かつフーリェ徽が一様収束するならば（5）の対応 φ、。（。）一。。澗（。−1，2，3，…）

ただし に対し

鋤＝

である．これから（6）または（7）に従い，つぎの線形微分方 φ・・ω＝一・・ご∫ω全力・ω

＋（一ηB／2）｛s η（η＋2、）∬＋s η（η一2）∬｝ 全であって，∫（∫）がα次（α＞1／2）のリップシッツ条

＋（η、4／2）φ2。＋2＋（一ηB／2）φ2。＋3 （22） 1Σα，。φ。（エ）1（ψε2V）を押さえる可積分関数が存在

゜ φ1（エ）＝jr−〃2

6．独立関数列が直交多項式系の場合3）・6） φ4（∬）＝（∬一勿）4一ρ2（∫一勿）2・6／7＋〆・3／35 φ5（∬）＝（x−〃2）5一ρ2（エー〃2）3・10／9十ρ4（エー〃2）・5／21

閾▲一蜘L−。⑳㌶㌔蕊1：㌔三：灘：

として定まる・またφ1ωは の場合について擦する．このとき

φ1（κ）＝∬一∫

であるので，本来求めるべき∬（のはφ1（エ（τ））から

・ω＝φ1（∬（τ））＋万 φ、ω＝（・噺）・一力

φ5（∬）＝（エー勿）5−10（∬一勿）3ρ＋15（∬一卿）ρ2 （31） り扱うことができることを示そう。

：襲蹴巖系一 …一；二i蒜）㌦凡一

の問題について考察する・このとき 分すれば

φ4（∬）＝（∬一勿）L16（エー〃2）3ヵ＋72（∬一〃2）2ρ2 ＝0を適用すれば

一96（∬一〃z）カ・＋24ク・ ∬∫；・・）U》・−1・Ω・吻

7 テ＋級数の場合

@徽の極限状態として得られたことになる．

考察する。

（4）の∫・ωが解析麟のときはテープ弔開により にしたときテーラー級数になることを示す．

だだし 6．1節の問題においてパラメータρをρ→0にしたと

砺，ニ∫膓・）（勿）／η！，ξ。（エ）＝（∬＿勿）・ きの極限状態について考察する。

6節の鮫多城系が選ばれた際に，以下の0》と（4①の条 φ・・⑳＝・・酬η Ol）

∫P・ω一細＋鰐i（勿）ピ Sm（カ）＝∫1（2。力己，xp｛−W2カ｝此

（ただし・全・一勿） （42） 一∫：∫5・・（・）（2・靖・xp｛一（・一勿）・／2鋤

＝∫卿（勿）＋Σ［（2〃）！］−1∫｝2 ＋η｝（勿）

σ。（∬，ρ）＝（2カ）−1（。！）｛（2。）！｝−1（ε・一ρ・）・ ＝

一鷲慧 とな＿念1㌶∴ミート多：

＝∫働＋解 享i（勿）・ 級数1・なる．

∫1（ε2一ρ2）η4・一皇（り2（2i＋1丁 カ2η（44） ．∫二η＋ exp（一・／ρ）4・ （49）

・議ごP芦∵∴…・∴ ＝鋼

となり（40）が成立する．馴）と㈲よりルジャンドル多項 Sm（カ）一∫酬＋菖（鵠！∫卿（勿）が

級数になる・ となり00）が成立する．結局（48）（50）よりラゲール多項式剰こ

6．2節の問題において，パラメータρをカ＿。にし よるフーリェ級数は極限〕犬態（卜→°）でアーラー級数

φ・（∬，0）＝（∬一〃z） （46） 8．1 三角フーリェ級数

きの，本手法により（23）式の計算された値元（ ）と真値∬（∫） 2・（b）は時刻τに対する誤差の絶体値の積分

Fig．1は、4＝−1， B＝0，すなわちX＝−s碗エで

その醐値が・（°）＝1のものであり・またFi苦2はA

1．0 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一一一一一一一 1．0 1st，2nd−order

、、 True value ＼ 一一一一一一フ

0．4

6th，7th，8th−order

／ 10th−order

True value ！

／zケ ／ プ ，／

フ ∠ ！ク ・

5th−order 2nd，3rd，4th−order

1st−order

・ ・・・ ・・・ ・・… 81 ・ °・2 °・4 °・6 °・㍉，

Fig．1−（a）True value and Evaluated Fig．2−（a）True value and Evaluated

ノ（の

ジ麹／一：：：：

∠ 10 6

・ ・2 ・・4 ・・6 ・・8 1・°1 ・ °・2 °・4 °・6 °・8 1・°，

本手法による計算値f（ ）と真値エ（τ）を比較する。 り，Fig・7・（a）は／（0．1）およびFig．7・（b）は1（0．5）のも

X＝〔ξ゜ω・ξ1（x），ξ2（エ），‥ …，ξ・ω，……〕（3） 4rη（ηε」V）を選ぶ場合について考察する。問題の解釈

．変数rの範囲を 0≦r≦Tとし，定義域

として与えられるので・各∫・ωをXのある関数1こうま仁砿・＋2由c （8）

く対応させれば、

に対しより α。＝α1＝α2＝α3＝0 でないものが無数に存在

とする・祓関数系として区間［。，b］（ただしb−。＋2。）におさてここで・2乗可齢関数の全体いて重み関数ωω＝1のときの1，、批。。蹴

に対し，その要素であるξ．ε、L2（α， b）（ηε2V）からなフーリェ級数は完全である。しかも∫（∬）が区間［α， b］

（励・）一∬綱・（・）ω（・）吻対三覧くき麗㌫を満足するつぎの具体例を考え

ll川＝願区間［一π，π］で定義された

ただしに対し

＋（一ηB／2）｛s η（η＋2、）∬＋s η（η一2）∬｝全であって，∫（∫）がα次（α＞1／2）のリップシッツ条

として定まる・またφ1ωはの場合について擦する．このとき

φ5（∬）＝（エー勿）5−10（∬一勿）3ρ＋15（∬一卿）ρ2 （31）り扱うことができることを示そう。

の問題について考察する・このとき分すれば

（4）の∫・ωが解析麟のときはテープ弔開によりにしたときテーラー級数になることを示す．

砺，ニ∫膓・）（勿）／η！，ξ。（エ）＝（∬＿勿）・きの極限状態について考察する。

（ただし・全・一勿）（42）一∫：∫5・・（・）（2・靖・xp｛一（・一勿）・／2鋤

σ。（∬，ρ）＝（2カ）−1（。！）｛（2。）！｝−1（ε・一ρ・）・＝

一鷲慧とな＿念1㌶∴ミート多：

＝∫働＋解享i（勿）・級数1・なる．

∫1（ε2一ρ2）η4・一皇（り2（2i＋1丁カ2η（44）．∫二η＋ exp（一・／ρ）4・（49）

級数になる・となり00）が成立する．結局（48）（50）よりラゲール多項式剰こ

6．2節の問題において，パラメータρをカ＿。にしよるフーリェ級数は極限〕犬態（卜→°）でアーラー級数

φ・（∬，0）＝（∬一〃z）（46） 8．1 三角フーリェ級数

きの，本手法により（23）式の計算された値元（）と真値∬（∫） 2・（b）は時刻τに対する誤差の絶体値の積分

、、 True value ＼一一一一一一フ

／zケ／プ，／

フ ∠ ！ク・

・・・・・・・・・… 81 ・ °・2 °・4 °・6 °・㍉，

・・2 ・・4 ・・6 ・・8 1・°1 ・ °・2 °・4 °・6 °・8 1・°，

本手法による計算値f（）と真値エ（τ）を比較する。り，Fig・7・（a）は／（0．1）およびFig．7・（b）は1（0．5）のも

を，またFi忌．（、）については。．5秒間のノ（；）一∬1・（・）−f（・）14・

Fi忌3とFi苦4はルジャンドル多項式紅初期値がそとともに・近似計算イ三fωが真賦）へ近づいていく

る．特にカー。のときは7．1節よ・）テーラー級数に相当が良い三とが確認できる・なお⌒においては・ρ＝°

3・d−・・d・・ 10−1．．．一．一一．一．一．一、r

＝−1．Oin Legendre poly・ニー1．Oin I」egendre poly−

Q＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＼・1／

＝−1．Oin Hermite poly・ニー1．Oin Hermite poly・

トーL−−L一一L−」一〜一一⊥一一一L−一一L−⊥一

ニ0．5in Hermite polyno・＝0．5in Hermite polyno・

ノ（0．1）ノ（0・5）

1st−order ＼、

True value 〃 10−3 2。d，3，d，4th，5th−。，d。，／

は，それぞれ独立関数列のうち，1）7節のテーラー級（i）Xl− ^{醐値：・1（0）}

（i）において晶＝エ2とおけば（ii）が得られる。逆に（ii）が同値である：）

｛。、（『）一 1万、万Lん、后、・，（A・3）．．

⑰関数∫（y）に対し，τ次の多項式によるその最良近参考文献

Math6matique ， Centre Natlonal de la Recherche Scient卜全区間［一∞，＋∞］で連続な関数∫（y）があるとき，つ flque， paris， lg57．

∫ll♂・（yW｜・・xp｛〆／4｝吻く・・雀：㌫㌫よ，1繋：習1竺三慧こついて；