2002年度 基礎数学ワークブック

2002年度 基礎数学ワークブック

著者 井上 昌昭

雑誌名 高知工科大学 基礎数学ワークブック

巻 2002年度版

発行年 2002

URL http://hdl.handle.net/10173/248

電子・光システム工学科

井上 昌昭 著

2002年度基礎数学ワークブックSer. A,N o.6 −1−

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部分積分法

例題 Z

xcosdxを求めよ。

(解) 微分してxcosxになる関数の候補としてxsinx を考える。積の微分法より (x×sinx)⁰ = (x)⁰×(sinx) + (x)×(sinx)⁰

= 1×sinx+x×cosx となる。これを式変形すると

xcosx= (x×sinx)⁰ −1×sinx となる。この式の両辺を積分すると

Z

xcosdx=x×sinx− Z

1×sinxdx

=xsinx+ cosx+C 注) (x×sinx)⁰を積分するとx×sinxになる。

微分と積分は逆の操作であり、微分したものを積分すると元にもどる。

問 積の微分法の公式より

¡f(x)×g(x)¢0

=f⁰(x)×g(x) +f(x)×g⁰(x) である。これを式変形すると

f(x)×g⁰(x) =¡

f(x)×g(x)¢₀

−f⁰(x)×g(x)

である。この両辺を積分することにより、次の不定積分をg⁰(x)を使わないで表せ。

Z

f(x)×g⁰(x)dx=

2002年度基礎数学ワークブックSer. A,N o.6 −2−

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部分積分法

前ページ 問より Z

f(x)g⁰(x)dx=f(x)g(x)− Z

f⁰(x)g(x)dx

が成り立つ。この公式を利用する方法を部分積分法という。

例1

Z

(2x+ 1) sinxdx

= Z

(2x+ 1)×(−cosx)⁰dx= (2x+ 1)×(−cosx)− Z

(2x+ 1)⁰×(−cosx)dx

=−(2x+ 1) cosx+ Z

2 cosxdx=−(2x+ 1) cosx+ 2 sinx+C

例2

Z

logxdx= Z

(logx)×1dx= Z

(logx)×(x)⁰dx= (logx)×x− Z

(logx)⁰×xdx

= (logx)×x− Z 1

x ×xdx=xlogx− Z

1dx=xlogx−x+C

問 次の不定積分を求めよ。

(1) Z

(3x−2) sinxdx

(2) Z

xe^xdx

(3) Z

(x²+ 1) cosxdx

(4) Z

(logx)×xdx

2002年度基礎数学ワークブックSer. A,N o.6 −3−

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三角関数の不定積分

三角関数の不定積分は三角関数の性質を使って、簡単な不定積分に直してから 積分する。特に次の公式はよく使う。

1.半角の公式 sin²α = 1−cos (2α)

2 , cos²α = 1 + cos (2α) 2 2.積を和に直す公式

sinαcosβ = 1

2{sin (α+β) + sin (α−β)} cosαcosβ = 1

2{cos (α+β) + cos (α−β)} sinαsinβ = 1

2{cos (α−β)−cos (α+β)}

これらの公式は、右辺を加法定理により展開すると左辺が得られる。

例 (1) Z

cos²xdx= Z 1

2{1 + cos (2x)}dx= 1 2x+ 1

4sin (2x) +C (2)

Z

sin (2x) cosxdx= Z 1

2{sin (3x) + sinx}dx

=−1

6cos (3x)− 1

2cosx+C 問 次の不定積分を求めよ。

(1) Z

sin²xdx=

(2) Z

cos (3x) cos(2x)dx=

(3) Z

sin(4x) sinxdx=

2002年度基礎数学ワークブックSer. A,N o.6 −4−

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不定積分の検証

不定積分 Z

f(x)dx=F(x) +Cが正しいかどうかを調べるには、右辺を微分し てF⁰(x) =f(x)となっているかどうかを調べればよい。

例1

Z

x²(x³ + 1)⁴dx= 1

15(x³+ 1)⁵+C

が正しいかどうか検証する。右辺を微分すると合成関数の微分法より µ 1

15(x³+ 1)⁵

¶0

= 1 15

¡(x³+ 1)⁵¢0

= 1

15 ×5(x³+ 1)⁴×(x³+ 1)⁰

= 1

3 ×(x³ + 1)⁴×3x² =x²(x³+ 1)⁴ より正しい。

例2

Z

tanxdx= log (cosx) +C

が正しいかどうか検証する。右辺を微分すると

¡log (cosx)¢₀

= 1

cosx ×(cosx)⁰ = 1

cosx ×(−sinx) =−sinx

cosx =−tanx より正しくない。

例3

Z

(2x+ 1) sinxdx=−(2x+ 1) cosx+ 2 sinx+C

が正しいかどうか検証する。右辺を微分すると(積の微分法より)

¡−(2x+ 1) cosx+ 2 sinx¢0

=−(2x+ 1)⁰×cosx−(2x+ 1)×(cosx)⁰ + 2×(sinx)⁰

=−2 cosx−(2x+ 1)×(−sinx) + 2 cosx= (2x+ 1) sinx より正しい。

問 次の式の右辺を微分することにより次の不定積分が正しいかどうか判定せよ。

(1) Z

x³(x⁴−1)³dx= 1

4(x⁴−1)⁴+C

(2)

Z x

x²−1dx= 1

2log|x²−1|+C

(3) Z

x²e^xdx=x²e^x−2xe^x+ 2e^x+C

2002年度基礎数学ワークブックSer. A,N o.6 −5−

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数列の類推

例題 奇数列1, 3, 5, 7, 9, · · · ^の第n項までの和を a_n= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +· · ·+ (2n−1) とする。第5項までを求め、一般項を類推せよ。

(解) a1 = 1 , a2 = 1 + 3 = 4 = 2² , a3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 3² , a4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² , a5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² よりan =n²と類推される。

問1 2つの数列

an= 1²+ 2²+ 3²+· · ·+n² , bn= 6

n×(2n+ 1)an

に対し、共に第5項まで求め、bnの一般項を類推せよ。

a1 = a2 = a3 = a4 = a5 =

b1 = b2 = b3 = b4 = b5 =

bn =

問2 2つの数列

an= 1 + 2 + 3 +· · ·+n , bn= 1³+ 2³+ 3³+· · ·+n³ に対し、共に第5項まで求め、bnをanで表せ。

a1 = a2 = a3 = a4 = a5 =

b1 = b2 = b3 = b4 = b5 =

bn =

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和の記号

(

シグマ

数列の和を表すのに、記号P

を使って、次のように書くこともある。

Xn k=1

ak =a1+a2+a3+· · ·+an

ここでakは数列の第k項を表し、

Xn k=1

は、kが1, 2, 3, · · · , nとかわるときの

akをすべて加えることを表す記号である。

Pは、(アルファベットのsの大文字)Sに相当するギリシャ文字で、シグマと読む。

例 ① X5

k=1

ak =a1+a2+a3+a4+a5

② X6

k=1

bk =b1 +b2+b3+b4+b5+b6

③ X7

k=1

k² = 1²+ 2²+ 3²+ 4²+ 5² + 6²+ 7²

④ X10

k=1

2^k = 2¹+ 2²+ 2³+· · ·+ 2¹⁰

⑤ X5

k=1

(3k−2) = 1 + 4 + 7 + 10 + 13

⑥ Xn

k=1

k³ = 1³+ 2³+ 3³+· · ·+n³

問 次の和をP

を使わないで表せ。(和は計算しなくてもよい) (1)

X7 k=1

k

(2) X4

k=1

k⁴

(3) X5

k=1

(2k+ 1)

(4) X6

k=1

(5k−12)

(5) X7

k=1

1

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和の記号

(

シグマ

a1 +a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10= X10 k=1

an

のように記号P

を使うと、和が簡単に書ける。

例1 (1) 2 + 4 + 8 + 16 +· · ·+ 2ⁿ= Xn k=1

2^k

(2) 1²+ 3²+ 5²+· · ·+ 99²は第k項が(2k−1)²である数列の 初項から第50項までの和だから

1²+ 3²+ 5²+· · ·+ 99² = X50 k=1

(2k−1)² 問1 次の和を、P

を使って表せ。

(1) 1 + 2 + 3 + 4 +· · ·+n=

(2) 1×2 + 3×4 + 5×6 +· · ·+ (2n−1)2n= (3) 1 + 4 + 7 +· · ·+ 16 =

(4) 5 + 10 + 15 +· · ·+ 100 = Xn

k=m

akは数列{ak}^の第m項から第n項までの和を表す。

例2 (1) X7 k=3

ak =a3 +a4+a5 +a6+a7

(2) X6 k=2

(3k−2) = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 (3)

Xn k=0

3^k = 3⁰+ 3¹+ 3²+· · ·+ 3ⁿ= 1 + 3 + 9 +· · ·+ 3ⁿ

問2 次の和をP

を使わないで表せ。(和は計算しなくてもよい) (1)

X7 k=3

(k²−8)

(2) X8

k=4

(3k−2)(k−3)

(3) Xn

k=0

4^k

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和の記号

(

シグマ

記号P

の定義から次の性質がわかる。

Xn k=1

(ak+bk) = Xn

k=1

ak+ Xn

k=1

bk

Xn k=1

cak =c Xn k=1

ak (cは定数)

また Xn

k=1

1 = 1 + 1 +| {z· · ·+ 1} =nと等差数列の和(ワークブックSer.A , N o.4)の n個の和

結果より

Xn k=1

1 =n ,

Xn k=1

k= n(n+ 1) 2 が成り立つ。

例1

Xn k=1

(4k+ 3) = 4 Ã _n

X

k=1

k

! + 3

à _n X

k=1

1

!

= 4× n(n+ 1)

2 + 3×n= 2n²+ 5n 問1 次の和を求めよ。

(1) Xn

k=1

(2k+ 3) =

(2) Xn

k=1

(8k−5) =

例2 1 + 5 + 9 + 13 +· · ·+ (4n−3)

= Xn k=1

(4n−3) = 4 Ã _n

X

k=1

k

!

−3 Ã _n

X

k=1

1

!

= 4× n(n+ 1)

2 −3×n= 2n²−n 問2 次の和を求めよ。

(1) 1 + 3 + 5 + 7 +· · ·+ (2n−1) =

(2) 2 + 7 + 12 + 17 +· · ·+ (5n−3) =

(3) 3 + 10 + 17 + 24 +· · ·+ (7n−4) =

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和の記号

(

シグマ

5ページ問1の結果より

1²+ 2²+ 3²+· · ·+n² = n(n+ 1)(2n+ 1) 6

が成り立つ。

問1 上の公式をP

を使って表せ。

例 (1) 1²+ 2²+ 3² +· · ·+ 10² = X10 k=1

k²

= 10×(10 + 1)×(2×10 + 1)

6 = 10×11×21

6 = 385

(2) 1²+ 2²+ 3² +· · ·+ (n−1)² =

n−1

X

k=1

k²

= (n−1)¡

(n−1) + 1¢¡

2(n−1) + 1¢

6 = (n−1)n(2n−1)

6 問2 次の和を求めよ。

(1) 1²+ 2²+ 3²+· · ·+ 7² =

(2) 1²+ 2²+ 3³+· · ·+n²+ (n+ 1)² =

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和の記号

(

シグマ

5ページ問2の結果より

1³+ 2³+ 3³+· · ·+n³ =

½n(n+ 1) 2

¾2

が成り立つ。

問1 上の公式をP

を使って表せ。

例 (1) 1³+ 2³+ 3³ +· · ·+ 10³ = X10 k=1

k³

=

½10×(10 + 1) 2

¾2

= 55² = 3025

(2) 1³+ 2³+ 3³ +· · ·+n³+ (n+ 1)³ = Xn+1

k=1

k³

=

((n+ 1)¡

(n+ 1) + 1¢ 2

)2

=

½(n+ 1)(n+ 2) 2

¾2

問2 次の和を求めよ。

(1) 1³+ 2³+ 3³+· · ·+ 7³ =

(2) 1³+ 2³+ 3³+· · ·+ (n−1)³ =

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和の記号

(

シグマ

Xn k=1

akを X

15k5n

akなどと記す場合もある。また Xn k=1

akは、

k以外の文字を使って、

Xn i=1

a_i , Xn

j=1

a_jのように書いてもよい。

例1

X5 i=1

ai =a1+a2+a3+a4 +a5

X6 j=2

2^j = 2² + 2³+ 2⁴+ 2⁵+ 2⁶ 問1 次の和をP

を使わないで表せ。

(1) X4

i=2

xi =

(3) Xn

i=1

i² =

(2) X6

j=3

yi =

(4) Xn

j=2

j³ =

例2

X3 i=1

( ₄ X

j=2

(xi+yj) )

= X3

i=1

{(xi+y2) + (xi+y3) + (xi+y4)}

= (x1+y2) + (x1+y3) + (x1+y4) +(x2+y2) + (x2+y3) + (x2 +y4) +(x3+y2) + (x3+y3) + (x3 +y4) (注) 例2の和を

X3 i=1

X4 j=2

(xi+yj) = X

15i53 25j54

(xi+yi)等で表すこともある。

問2 次の和をP

を使わないで表せ。

X4 i=2

( ₅ X

j=4

(xi×yi) )

=

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区分求積法

 曲線で囲まれた領域の面積を求める方法の1つとし て以下で述べる区分求積法を紹介する。関数f(x)は a5x5bの範囲で正(f(x)>0)でかつ増加関数と する。図1の斜線部分の面積Sを求めたい。

図2と図3はaからbまでを4等 分して階段状の領域(斜線部分)の 面積をS4とS₄^∗とする。図より

S4 < S < S₄^∗ である。

図4と図5はaからbまでを8等 分し、斜線部分の面積をS8とS₈^∗ とする。図より

S4 < S8 < S < S₈^∗ < S₄^∗ である。

図6と図7はaからbまでを16等 分し、階段状の領域の面積をS16

とS₁₆^∗ とする。図より

S8 < S16< S < S₁₆^∗ < S₈^∗ である。

図8と図9はaからbまでを32等 分し、階段状の領域の面積をS₃₂ とS₃₂^∗ とする。図より

S16 < S32< S < S^∗₃₂ < S₁₆^∗ である。

以上よりS₄ < S₈ < S₁₆ < S₃₂ < S < S₃₂^∗ < S₁₆^∗ < S₈^∗ < S₄^∗である。面積Sに最 も近いのがS32とS₃₂^∗ である。等分を細かくしていくほどSに近い値がわかる。

そこでaからbまでをn等分し、階段状の領域を作り、その面積をSnとS_n^∗と おくと

S1 < S2<· · ·< Sn<· · ·< S <· · ·< S_n^∗ <· · ·< S₂^∗< S₁^∗ となり極限をとると

nlim→∞Sn5S 5 lim

n→∞S^∗_n

である。この両方の極限が一致する時面積Sが求まる。この方法を区分求積法 という。

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区分求積法

例 曲線y =x²とx軸および直線x = 1とで囲まれた 領域の面積S(図1)を求めたい。前ページの区分求 積法を適用する。0から1までをn等分し、分割し た分点を

0 =x0 < x1 < x2 <· · ·< xn−1< xn = 1 とする。分割した小区間の幅をhとおくと

x1 =h, x2 = 2h,· · · , xn=nh, h= 1 n となる。図2の斜線部分の面積をSnとすると Sn = (x1)²h+ (x2)²h+· · ·+ (xn−1)²h

=h²h+ (2h)²h+· · ·+¡

(n−1)h¢2

h

=©

1 + 2²+· · ·+ (n−1)²ª h³ =

(_n−1 X

k=1

k² )

h³

9ページより

n−1

X

k=1

k² =   で、h= 1

n^{であるから} Sn =

½1

6(n−1)n(2n−1)

¾ µ1 n

¶3

= 1 6

³

1− ´ ³

2− ´

問1 上の   の中に適当な文字式を入れよ。

問2 次の値を求めよ。

S1 = , S2 = , S3 =

問3 Snの極限値を求めよ。

nlim→∞Sn=

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区分求積法

問 前ページ図1の斜線部分の面積Sを求めたい。

以下の問に答えよ。

(1) 右図の斜線部分の面積をS_n^∗ とする。

S_n^∗をn等分点x1, x2,· · · , xnと小区間 の幅hで表せ。

S_n^∗ =

(2) x1 =h, x2 = 2h,· · · , xn =nhであること を用いて、S_n^∗ を書きなおし、記号P

で表せ。

S_n^∗ =

=³ P ´

×h³

(3) Xn

k=1

k²の公式(9ページ)とh= ¹_nを用いて、S_n^∗をnの式で表せ。

S_n^∗ =

(4) 次の値を求めよ。

S₁^∗ = , S₂^∗ = , S₃^∗ =

(5) S_n^∗の極限値を求めよ。

nlim→∞S_n^∗ =

(6) 前ページ図2のSnに対しSn < S < S_n^∗であるから

nlim→∞Sn5S 5 lim

n→∞S_n^∗

である。前ページの問3と上の(5)の結果を用いてSの値を求めよ。

S =

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区分求積法

図1の斜線部分の面積Sを求めたい。

以下の問に答えよ。

問1 0から1をn等分、分点を

0 =x0 < x1 < x2 <· · ·< xn−1 < xn = 1とする。

分割した小区間の幅をhとすると図2の斜線部 分の面積S_nは

Sn = (x1)³h+ (x2)³h+· · ·+ (xn−1)³h である。

(1) x1 =h, x2 = 2h,· · · , xn−1 = (n−1)hを 代入してSnをnとhの式で表し、P

を用い て書きなおせ。

Sn=

=nP o

h⁴

(2)

n−1

X

k=1

k³ =

½(n−1)n 2

¾2

とh= 1

n^{を代入して} Snをnだけの式にせよ。

Sn =

(3) Snの極限値を求めよ。

nlim→∞Sn =

問2 図3の斜線部分の面積をS_n^∗とすると S_n^∗ = (x1)³h+ (x2)³h+· · ·+ (xn)³h である。S_n^∗をnだけの式で表し、その極限値 を求めよ。

S_n^∗ =

nlim→∞S_n^∗ =

問3 図1の斜線部分の面積Sに対し、図2と図3よりSn < S < S_n^∗であるから

nlim→∞Sn5S 5 lim

n→∞S_n^∗ である。Sの値を求めよ。

S =

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区分求積法

 図1の斜線部分の面積S(x)を求めたい。

問1 0からxまでをn等分し、分割した分点を 0 =x0 < x1 < x2 <· · ·< xn=x

とする。分割した小区間の幅をhとする。

(1)図2の斜線部分の面積Sn(x)をx1, x2,· · · , xn−1

とhで表せ。

Sn(x) =

(2)x1=h, x2 = 2h,· · · , xn−1 = (n−1)hを代入して S_n(x)をnとhの式で表し、P

を用いて書き直せ。

Sn(x) =

=nP o

h³

(3)

n−1

X

k=1

k²の公式とh= x

n^{を用いて、}Sn(x)を nとxだけの式にせよ。

Sn(x) =

(4)Sn(x)の極限値を求めよ。

nlim→∞S_n(x) =

問2 図3の斜線部分の面積をS_n^∗(x)とする。

(1)S_n^∗(x)をnとxだけの式で表せ。

S_n^∗(x) =

(2)S_n^∗(x)の極限値を求めよ。

nlim→∞S_n^∗(x) =

問3 図よりSn(x)< S(x)< S_n^∗(x)であるから

nlim→∞Sn(x)5S(x)5 lim

n→∞S_n^∗(x) である。S(x)を求めよ。

S(x) =

(図1)

(図2)

(図3)

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区分求積法

 図1の斜線部分の面積S(x)を求めたい。

問1 0からxまでをn等分し、分割した分点を 0 =x0 < x1 < x2 <· · ·< xn=x

とする。分割した小区間の幅をhとする。

(1)図2の斜線部分の面積Sn(x)をx1, x2,· · · , xn−1

とhで表せ。

Sn(x) =

(2)x1=h, x2 = 2h,· · · , xn−1 = (n−1)hを代入して Sn(x)をnとhの式で表し、P

を用いて書き直せ。

Sn(x) =

=nX o

h⁴

(3)

n−1

X

k=1

k³の公式とh= x

n^{を用いて、}Sn(x)を nとxだけの式にせよ。

Sn(x) =

(4)Sn(x)の極限値を求めよ。

nlim→∞Sn(x) =

問2 図3の斜線部分の面積をS_n^∗(x)とする。

(1)S_n^∗(x)をnとxだけの式で表せ。

S_n^∗(x) =

(2)S_n^∗(x)の極限値を求めよ。

nlim→∞S_n^∗(x) =

問3 図よりSn(x)< S(x)< S_n^∗(x)であるから

nlim→∞Sn(x)5S(x)5 lim

n→∞S_n^∗(x) である。S(x)を求めよ。

S(x) =