固定効果のあるパネルデータモデルのロジット推定

固定効果のあるパネルデータモデルのロジット推定

片 岡 佑 作

要   旨

ある確率pitは0<p_it<1によって制限を受けるが、それが説明変数x_it^mに依存するとしよう。多くの場 合、そのもっとも簡単な表現方法は

（１） pit=exp(xit^mi)/[1+exp(xit^mi)]

（２） 1-pit=1/[1+exp(xit^mi)]

と書くことである。ここでx^m

itは既知の変数の行ベクタ、iは未知パラメタの列ベクタである。この（１）、

（２）は

（３） f_it log(p_it/(1 p_it)) x^m

= - = iti

あるいはTN個(i=1,g,N t; =1,g,T)を集めて

（４） f=xmi と書くことができる。

ここでf_it=log(p_it/(1-p_it))を確率pitのロジスティック変換、（４）を線形ロジスティックモデルと よぶ。

もし

（５） U_it=log(pt_it/(1-pt_it))

とすれば、以下のように表現できるであろう。つまり、

（６） U x

x

m

it it it

i t it it

e

e

= +

= + + + +

i

a n d b

c_in_i=0

!

ct^ld_t=0

!

( /( )) ( /( ))

( /( )) ( )

log

log p p p p

p p p p

1 1

1

it it it it it

it it it it

1

e ,

- - -

- -

=

-

t t

t

ここでeitはたがいに独立、近似的にN( ,0 /n )

it it

v2 にしたがう。これは本質的に正規回帰モデルである

が、eitの分散は不均一、かつ未知のパラメタに依存する。もしv_it²が既知であれば、（６）を

（７） Uit/wit=(a+ni+dt+xitb)/wit+eit^l

と書くことができる。ただしwit=vit nit、そうしてe^l_itは独立かつN( , )0 1 にしたがう。

この論文の目的は２通りある。第１に、w_itをその最尤推定値wt_it=vt_it n_it=(pt_it/(1-pt_it))^{-1 2/} n_it に おきかえ、（７）に最小２乗法を適用することである。第２にその結果としてみちびかれるbの推定値 buが、T、N、n_itの大きい値に対して一致性をみたす点を言うことにする。

キーワード：ロジットアプローチ、固定効果、パネルデータモデル、重み付最小２乗、一致性

内容目次：

第１章 序 第２章 展開

１ 序

パネルデータに２項のlogitモデルが重なったケースを

（１.１） U_it=a+n_i+d_t+blx_it+e_it log

U q

p

it it

= tit

t

p q p p

it it it

it it

e = t -

eit: 性質上不等分散になる ,

q_it=1-p_it pt_it: p_itの推定値

と書く。U_it、xit、eitはそれぞれ従属変数、説明変数、誤差項である。a、ni、dt、bが推定したい パラメタになっている。また、

（１.２） _i 0, _t 0

t

in =

!

d =

!

と仮定することが多い。（１.２）でなくてもよいが、それに近い制約をおかないとモデルを識別でき ない（たとえば、Stock-Watson［１］、畠中［２］を見る）。

すぐ気づくように（１.１）はパネルとlogitが重なっており、またこうしたモデルでもっとも単純

なfixed effectタイプのものである。error componentなどにすると話の内容は複雑になる（error

componentについても畠中［２］を見よ）。

ところで（１.１）が想定されるケースとは以下のようなものである。つまり ,

, z 1

0

itk=

=

高校から大学への進学 そうでない

として添字itkは地域i、時点t、ある個人kを意味する。内容を (z ) p , <p <

Pr itk=1 = it 0 it 1 , ,

k=1 gnit

と書く。こうしておいて（１.１）の表現はp_it（正確にはp_itの推定値pt_it）のオッズの対数がx_it（た とえば所得水準、保有資産の大きさ）の１次関数になっていることを言う。またfixed effectだから レヴェルが地域に関するni、時間に関するdtに加法的に分解されることも示している。

以下、この論文の目的の１つは不等分散の情報を使ってモデル（１.１）の未知パラメタをいかに 推定するかということである。当然GLS推定になるが、この場合の対応するパラメタ制約は（１.２）

ではなく、n_i, d_tにウエイトがかかったものになることがあらたに分かった点である。誤差項に関す る不等分散の情報を無視するのであれば、制約は（１.２）のままでよい（これは結果的にOLS推定 になる）。

つづいて、a、bのGLS推定値が一致性をみたすことを示しておいた（本文にはbのOLS推定値 についての一致性もあたえてある）。一致性は直観的にはあきらかではあるが、証明はわりとめんど うである。これはGLS推定値をeitで書いたとき、eitに関する表現が複雑になることに起因する。

紙面の関係で推定値の分散、共分散をあたえるのは次の機会にまわした。ここでとりあつかっている ようなパネルとlogitが重なっているモデルは実用性があるものの、あまり議論されていないようで ある。北村［４］の最近のサーベイ論文には十分なスペースをとってはいないが、この部分について 若干の記述がある。通常のパネルに関するfixed effect、error componentの詳しい話は畠中［２, pp.137- 138］を見るとよいだろう。

２ 展   開

２項のlogitモデルを

（２.１） U_it=a+n_i+d_t+blx_it+e_it

log

U p

p

it 1

it

= it

-t t

( )

p p

p p

it 1

it it

it it

e = - t -

と書く。ここで

（２.２） E(eit)=0 ( )

( )

n p p n p q

Var 1

1 1

it it it it it it it

it

e =

- =

=~ である。また _i 0

i

Nn =

!

、 _t 0

t

Ta =

!

などとしないとモデル（２.１）を識別できない。

（２.１）のpt_itは

（２.３） p n , , , z

k 1 n

it it

k itk

g it

=

!

=

t また

z 1

0

itk=

*

( ) , < <

Pr zitk=1 =pit 0 pit 1 である。そうして近似的に

（２.４） eit~N( ,0~it) i=1,g,N t; =1,g,T ( , ) i j t, s

Cov e_it e_js =0 ! !

となっている。佐和［5, p.174］を見る。そうすると

~N( , )0 1

/

it it

1 2e

~^-

だから、GLS推定をするには~itを~titにおきかえて（２.１）を

（２.５） ~t_it^{-1 2/}U_it=~t_it^{-1 2/}a+~t_it^{-1 2/} n_i+~t_it^{-1 2/} d_t+~t_it^{-1 2/} blx_it+~t_it^{-1 2/} e_it (n p (1 p ))

it it it it 1

= -

~t t t ^-

とする。以下、~t_it^{-1 2/} =w_itと書こう。また、簡単のためdim( )bl =1とする。

最小化するのは

（２.６） w (U x )

, it it i t it

i t

2 2

-a-n -d -b

!

である。a、b、ni、dtで（２.６）を微分すれば

（２.７） 2w (U x ) 0

, it it i t it

i t

2 -a-n -d -b =

!

( )

w x U x

2 0

, it it it i t it

i t

2 -a-n -d -b =

!

( ) , , ,

w U x j N

2 _jt jt j t jt 0 1

t

2 -a-n -d -b = = g

!

( ) , , ,

w U x s T

2 _{is is i s is} 0 1

i

2 -a-n -d -b = = g

!

となる。

wit=1では制約は

!

tdt=0、

!

ini=0でよいから正規方程式は

（２.８） w (U x ) 0

, it it it

i t

2 -a-b =

!

( )

w x U x 0

, it it it i t it

i t

2 -a-n -d -b =

!

( ) , , ,

w_jt U_{jt j} x_jt 0 j 1 N

t

2 -a-n -b = = g

!

( ) , , ,

w_is Uis s xis 0 s 1 T

i

2 -a-d -b = = g

!

ただし、wit、w_is、w_jtはすべて1。

ここでnjについては

, , ,

Ujt t j T txjt 0 j 1 N

T

t -

!

n - a-b

!

= = g

!

, , ,

U_jt T _j T x_jt 0 j 1 N

t

t - n - a-b

!

= = g

!

から出る。dsは

, , ,

N U_{is s} x_is 0 s 1 T

i i

i g

- a+

!

-

!

d -

!

b = =

N iUis N s i xis 0 - a+

!

- d -

!

b =

から来る。以下、（２.８）からOLS推定値をさがすと

（２.９） U NT x 0

,

, it i t it

i t -a -b

!

=

!

x U x x x x 0

, ,

, it it i t it i t it i , ,

i t i t it t i t it

-a

!

-

!

n - d -b 2=

! ! !

U_j T _jT x_j 0

t

t t-a -n -b

!

t=

!

Uis N sN ixis 0

i -a -d -b

!

=

!

ここでT U_jt U_j

t

1 = _$

-

!

などと書くと（２.９）の下の２つは Uj_$-a-nj-bxj_$=0

U_$s-a-ds-bx_$s=0 であるが、これを x U

, it it

!

i t ではじまる（２.９）に代入すると

( ) ( )

x U x x U x x U x x 0

, ,

, it it i t it i t it i i , ,

i t i t it t t i t it

-a

!

-

!

_$-a-b _$ - _$ -a-b _$ -b 2=

! ! !

さらに、整理すると

（２.10） x (U U U ) x x (x x x ) 0

,

, it it i t i t it ,

i t - _$- _$ +a

!

+b i t it i_$+ _$t- it =

!

c m '

!

1

となる。（２.10）のaに（２.４）の U

, it

!

i t ではじまる表現を代入して

( )

x U U U x

NT U

NT x

1 1

, , ,

, it it i t i t it i t it i t it

i t - _$- _$ +

! !

- b

!

!

c md n

( )

x x x x 0

, it it i t

-b^d

!

i t - _$- _$ ⁿ= つまり

( ) ( )

x U U U x U x x x x x 0

,

, it it i t i t it ,

i t - _$- _$ +

!

_{$ $}-b i t it it- i_$- _$t+ _{$ $} =

!

^c

!

^m

ゆえにbのOLS推定値btを

（２.11） x (U U U U ) _ x (x x x x )i

,

, it it i t i t it it i t

i t

1

= - - + - - +

b^t

!

_{$ $ $ $} ^'

!

_{$ $ $ $} ^1-

と書くことができる。ここで（２.11）が［3, p.20］と同じ表現になるのは以下の計算からわかる。

つまり

（２.12） ( )

( )

( )

x U U U U

x U U U U

x N U U

N x U U Tx N

, t it i t

i t

t t i it i t

t t t

t t t

g g

- - +

= - - +

= + - +

= - +

$ $ $ $ $

$ $ $ $ $

$ $ $ $

$ $ $ $ $ $

!

! !

!

!

( )

x U U x U U x

x NU NU Tx

, t it i ,

i t i t t it i i t t

t t t

- = -

= -

$ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

! ! ! !

!

したがって（２.12）のL.H.S.は

( )

x U U U U 0

, t it i t

i t _$ - _$- _$ + _{$ $} =

!

になる。また、

( )

( ) ( )

x U U U U

x U U x T U U

x U x TU T x U U TNx

Tx U Nx TU T x U U TNx 0

,

,

,

i it i t

i t

i it t i i

i i t

i it i i i i i

i t

i i i i i

i

- - +

= - + - +

= - - +

= - - +

=

$ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

!

!

!

!

!

!

!

!

最後に

(U U U U )

NTU NTU NTU NTU 0

, it i t

i t - - +

= - - +

=

$ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $ $

!

ゆえに（２.11）のbtを

（２.13） (x x x x )(U U U U ) (x x x x )

, it t i it t i ,

i t it t i

i t

2 1

= - - + - - + - - +

b $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

! !

-

t ' 1

と表わしてもよい。

以下（２.13）のbt が一致性を持つことを示しておこう（eitは近似的には正規分布にしたがう）。

この一致性の計算はのちのbのGLS推定値についての一致性をみるさいにも有用である。

モデル（２.１）で以下のようになる。

（２.13.１） U_it=a+n_i+d_t+bx_it+e_it

( )

U T U

T x

x 1

1

i it

t

i it it

t

i i i

e e

=

= + + +

= + + +

a n b a n b

$

$ $

!

!

U_$t=a+d_t+bx_$t+e_$t

( )

U T U

T x

x 1 1

t t

t t

t e

e

=

= + +

= + +

a b a b

$ $ $

$ $

$ $ $ $

!

!

したがって（２.13）のUに関する部分は

( ) ( )

U_it-U_i$-U$_t+U$ $=b x_it-x$_t-x_i$+x$ $ + e_it-e$_t-e_i$+e$ $

そうしてbtを

（２.13.２） x ( ) x (x x x x )

, it ,

i t it t i it it i t

i t

1

e e e e

= + - - + - - +

b b $ $ $ $ $ $ $ $

! !

-

t ' 1

と書くことができる。ここで

（２.13.３） N T x ( )

, it it t i

i t

1 1

e -e_$ -e _$+e_{$ $}

- -

!

を考える。ただしn_it=c n_it と書く。まず

( )

E eit-e_$t-ei_$+e_{$ $} =0 あと、分散を見ればよい。

（２.13.４） ( )

( )

x x Var

E

_ i

_ i

,

,

it it i t

i t

it it i t

i t

e e e e

e e e e

- - -

= - - -

$ $ $ $

$ $ $ $ 2

!

!

だから構成する１つ１つを見る。

（２.13.４.１） E_ x i

, it it i t

e 2

!

（２.13.４.２） E_ x i

, it t i t

e_$ 2

!

（２.13.４.３） E_ x i

, it i i t

e _$ 2

!

（２.13.４.４） E_ x i

, it i t

e_{$ $} 2

!

（２.13.４.５） E_ x x i

, , , it js it j

i t j s e e _$

!

（２.13.４.６） E_ x x i

, , , it js it s

i t j s e e_$

!

（２.13.４.７） E_ x x i

, , , it js it

i t j s e e_{$ $}

!

（２.13.４.８） E_ x x i

, , , it js i s

i t j s e e_{$ $}

!

（２.13.４.９） E_ x x i

, , , it js i

i t j s e e_{$ $ $}

!

（２.13.４.10） E_ x x i

, , , it js t

i t j s e e_{$ $ $}

!

これらの計算結果は次のようになる。

( )

( )

x

x n c p q

n x r

O n TN

E_ i

,

,

, it it i t

it it it it

i t

it it i t 2 2

2 1 1

1 2 1

1

e

=

=

=

- -

- -

-

!

!

!

ただしrit=c p qit it it>0である。（２.13.４.２）については x x

x x E

E

_ i

_ i

, , ,

, ,

it js t s

i t j s

it jt t

i t j 2

e e e

=

$ $

$

!

!

( ) ( )

( )

N N N

N n p q

N n r

E E

E E

_ i

_ i

_ i

,

t i it

it jt i j

i it

it it it i

k kt

2 2 2

2

2 2

2 1

2 1 1

e e

e e e

=

=

=

=

=

$

-

-

-

- -

- - -

!

!

!

!

!

したがって（２.13.４.２）は

( )

( )

x x N n r O N n TN O n TN

E_ i

, , , it jt kt

i t j k

2 1 1

2 1 3

1

=

=

- - -

- -

-

!

となる。（２.13.４.３）は x

x x x x E

E E

_ i

_ i

_ i

,

, , ,

, , it i i t

it js i j

i t j s

it is i t s

2

2 i

e

e e e

=

=

$

$ $

$

!

!

!

( )

( )

T T

T n p q

T n r

E E

E

_ i

_ i

, it is t s

t it

it it it t

t it

2 2

2 2

2 1

2 1 1

ei e e

e

=

=

=

=

-

-

- -

- - -

$

!

!

!

!

ゆえに

( )

( )

x x r T n x x r T n O T n T N O n TN

_ i

, ,

, , ,

it is u iu

i t s

it is iu i t s u

1 2 1

1 2 1

2 1 3

1

=

=

=

- - -

- - -

- -

-

!

!

!

（２.13.４.４）については

( )

( )

( )

x x E

x N T n p q

N T x n r

O N T N T n NT O n NT

E_ i

_ i

_ i

_ i

,

,

, ,

, ,

i t it

i t it

it i t it it it

i t

it i t it

i t 2

2 2

2 2 2 1 1 1

2 2 2 1 1

2 2 2 2 1

1

e e

=

=

=

=

=

$ $

$ $

- - - - -

- - - -

- - -

-

!

!

!

!

!

!

（２.13.４.５）は

x x x x E

E

_ i

_ i

, , ,

, ,

it js it j

i t j s

it is it i

i t s

e e e e

=

$

$

!

!

ここでe eit i$の部分は

( ) ( )

( ) T T

T n c p q n T r

E E

E 1 1

it i s it is

T

it

it it it

it 2

1 1 1 1 1

1 1 1

e e e e

e

=

=

=

=

$

- - - - -

- - -

!

ゆえに全体は

( )

( )

x x n T r O n T NT O n TN

, , it is it

i t s

1 1 1

1 1 2

1

=

=

- - -

- -

-

!

となる。（２.13.４.６）は x x

x x E

E

_ i

_ i

, , ,

, ,

it js it s

i t j s

it jt it t

i t j

e e e e

=

$

$

!

!

( )

( ) N

N N n r

E E

E

_ i

it t it jt

j

it

it 1

1 2

1 1 1

e e e e

e

=

=

=

$ -

-

- - -

!

ゆえに（２.13.４.６）は

( )

( )

x x N n r O N n TN O n TN

, , it jt it

i t j

1 1 1

1 1 2

1

=

=

- - -

- -

-

!

と計算される。以下同様に（２.13.４.７）は

E_ x x i

, , , it js it

i t j s e e_{$ $}

!

であるが

( )

( ) N T

N T N T n r

E E

E

_ i

it it s j, sj

it

it

1 1

1 1 2

1 1 1 1

e e e e

e

=

=

=

$ $ - -

- -

- - - -

!

( )

( )

x x N T n r O n N T N T O n NT

, , , it js it

i t j s

1 1 1 1

1 1 1 2 2

1

=

=

- - - -

- - -

-

!

と計算される。（２.13.４.８）は

( )

( ) N T

N T N T n r

E E

E

_ i

i s , it js

t j

is

is

1 1

1 1 2

1 1 1 1

e e e e

e

=

=

=

$ $ - -

- -

- - - -

!

( )

( )

x x N T n r O T N n T N O n TN

, , , it js is

i t j s

1 1 1 1

1 1 1 2 2

1

=

=

- - - -

- - -

-

!

（２.13.４.９）は

( ) ( )

( )

( )

( )

T N T N T N

T N n c p q

E E

E E

, ,

,

i j t s is jt

is it t s

t it

iu iu iu

u T

2 1

2 1

2 1 2

2 1 1 1

e e e e

e e e

=

=

=

=

$ $ $ - -

- -

- -

- - - -

!

!

!

!

から

( )

( )

x x T N n r O T N n T N O n TN

, , , it js u iu

i t j s

2 1 1 1

2 1 1 3 2

1

=

=

- - - -

- - -

-

!

!

となる。（２.13.４.10）については

( ) ( )

( )

( )

N T N T

N T n c p q

E E

E

t , , it ju

i j u

i it

kt kt kt

k

2 1

2 1 2

2 1 1 1

e e e e

e

=

=

=

$ $ $ - -

- -

- - - -

!

!

!

によって

( )

( )

( )

x x N T n c p q O N T n N T

O n NT

, , , , it js kt kt kt

i t j s k

2 1 1 1

2 1 1 3 2

1

=

=

- - - -

- - -

-

!

となる。

こうして（２.13.４）の分散のオーダーはすべてn^-1NTである。したがって（２.13.３）の期待値 は0、分散のオーダーはn^-1N^-1T^-1だから、n N T, , "+3でbt "bとなる。

GLS推定のためには制約 _i 0

in =

!

を

, , ; , ,

w 0 i 1 N t 1 T

, it i i t

2n = = g = g

!

に変える方がつごうがよい。

t=sにおいても

w_{is i} 0

i 2n =

!

w1_s w_s w_Ns N 0

2

1 2

2 2

g 2

+ + + =

n n n

である必要がある。

つまり、

（２.14.１） w 0, i e. ., w 0

, it i it i

i i t

2 2

= =

n

!

n

!

, . .,

w 0 i e w 0

, it t t it i

i t

2 2

= =

d

!

d

!

が必要になる。

以下、（２.８）のGLS推定を考える。witなどは1ではない。

（２.14.２） w (U x ) 0

, it it it

i t

2 -a-b =

!

( )

w x U x 0

, it it it i t it

i t

2 -a-n -d -b =

!

( ) , ,

w_jt Ujt j xjt 0 j 1 N

t

2 -a-n -b = = g

!

( ) , ,

w_is U_{is s} x_is 0 s 1 T

i

2 -a-d -b = = g

!

ここで（２.14.２）の下の２つを

（２.15） v_j1-(a+n_j)vj2-bvj3=0

( )

u1s- a+ds u2s-bus3=0 と書く。njについて解くと

（２.16） v_j1-av_j2-bv_j3=n_jv_j2

v v

v v

j j

j j

-a-b =nj 2

1

2 3

j j3

v^l₁-a-bv^l =n_j

dsについては

（２.17） u_1s-au_2s+bu_3s=d_su₂s

u u

u u

s s

s

s s

2 1

2

-a-b 3 =d u₁^l_s-a-bu₃^l_s=d_s

となる。（２.16）、（２.17）のnj、dsを（２.14.２）の w x

, it it i t

!

2 ではじまる表現に代入すると

( ( ) ( )

w x U v v u u x 0

,

l l l l

it it it i i t t it

i t 2

1 3 1 3

-a- -a-b - -a-b -b =

!

整理すると

( ( ))

w x U v u v u x 0

,

l l l l

it it it i t i t it

i t 2

1 1 3 3

- - +a-b - - + =

!

あるいは

（２.18） w x (z z ) 0

,

l

it it it it

i t

2 +a-b =

!

z_it^l v_i^l u^l_t x_it

3 3

= - - +

z_it U_it v_i^l u^l_t

1 1

= - -

となるが、もう１つは（２.14.２）の

（２.19） w (U x ) 0

, it it it

i t

2 -a-b =

!

である。（２.19）、（2.18）を

（２.20） m₁₁a+m₁₂b=m₁₀ m₂₁a+m₂₂b=m₂₀ と書けば

m m

m m

m m m

21 11

21 11 10

22 20

- b+ + b=

e o

からbのGLS推定値は

（２.21）

( ) ( )

m m

m m m m

m m

m m m m m m m m

22 11

12 21 1

20 11

21 10

22 11 12 21

1

20 11 21 10

= - -

= - -

b

-

-

u e o e o

となる。

ここで（２.20）のm_ij (0#i j, #2)は

（２.22） m w

, it 11 i t

=

!

2

m w x

, it it 12 i t

=

!

2

m w U

, it it 10 i t

=

!

2

m w x

, it it 21 i t

= -

!

2

m w x z , z v u x

,

l l l l

it it it it is st it

22 i t

=

!

2 = - - +

m w x z

, it it it 20 i t

=

!

2

である。

つづいてGLS推定値buの一般性を言う。準備として w_it=wt_it^{-1 2/}, w_it²=wt_it^-1

( ( ))

wt_it= n p_itt_it 1-pt_it ^-1

からn_it"+3で

( ( ))

n wit it pit 1 pit 1

" - ^-

t

また、xitは非確率的、zitについては

z U v u

U v v

u u

l l

it it i t

it i

i

1 1

2 1

2 1

= - -

= - -

t t

j j

v w U_{t jt}

t T 1

=

!

2

j j

v w_t

t T 2

=

!

2

u_t w U_{it it}

1 i

=

!

2

u2_t w_it

i

=

!

2

であった。

ここで w_it

i

!

2を考える。

( )

( ),

w w

n p p

n c p p n nc

1 1

i it i it

it it it

i

it it it it

i N

it

2 1

=

= -

= - =

! !

-

!

!

t

t t

t t