2020 年度基礎解析学・同演義 I 期末レポート課題

(1)

2020

年度基礎解析学・同演義

I

^{（担当：松本佳彦）}^{期末レポート課題}

2020

年

8

月

5

日（水）出題

次のページの問題（

5

^{問）に答え，大阪大学}

CLE

^を通じて

8

月

7

日（金）17:00までに提出してください．何らかの理由で

CLE

を通じて提出できない場合は，郵送で

8

月

8

日（土）までに提出してください（

8

月

8

日までの消印があれば有効とします．ポストに投函する場合は，

土曜日の収集時刻よりも前に投函すること）．詳しくは，以下の注意をよく読んでください．

提出形式について

1.

手書きでも，

Word

，

TEX

などのソフトウェアを使ってもかまいません．

2.

表紙は不要です．

1

ページ目に，科目名，学籍番号，名前を必ず書いてください．

3. CLE

を通じて提出する場合は，

PDF

形式，ページサイズ

A4

，

10

ページ以内，ファイルサイズ

5 MB

以内としてください．

4.

やむを得ず郵送で提出する場合は，ページサイズ

A4

^{，片面のみ使用，}

10

^枚以内として，左上をホチキスで留めてください．「レターパックライト」を利用して送付し，不着に備えて追跡番号を保管しておいてください（レターパックライトは郵便局または一部のコンビニで入手可能．

370

円．費用は自分で負担してください）．宛先は以下のとおりです．

560-0043

　大阪府豊中市待兼山町

1-1

大阪大学大学院理学研究科　数学専攻　松本佳彦

不正行為に関する注意

答案の作成にあたっては，他の人と相談してもかまいません．

ですが，剽窃を行ってはいけません．「剽窃」には，本やその他の資料の記述，あるいは他の人の書いた答案などの記述を（引用以外の目的で）そのまま写す行為だけではなく，言葉を一部変更したり，記述の順序を一部変更したりして書く行為も含まれます．誠実に，自分の理解したことを，自分の言葉で記述することを心がけてください．

剽窃を防止するため，自分の答案を他の受講者に見せることもしないでください．

不正行為を行った場合は，今学期の全学共通教育科目の成績評価がすべて不合格となります．

アドバイス

このレポート課題には問題が

5

問ありますが，配点は各問に対し均等に行います．

難しい問題もあるので，過度に時間を使わないことを勧めます．他の科目の課題にも十分な時間を使えるようにしてください．

なお，各回の授業で出した課題には，

CLE

上で

8

月

14

日（金）23:59まで解答できるようにしておきます．すでに期限は過ぎていますが，これから提出したものにも一定の割合で得点を与えます．

(2)

1.

^極限

𝑥→0 lim

Tan ⁻¹ 𝑥 − 𝑥 𝑥 ³

の値を求めよ．ただし

Tan

とは

tan

を区間

(−𝜋/ 2 , 𝜋/ 2 )

^{に制限したもので，}

Tan ⁻ ¹

はその逆関数である．（ロピタルの定理は使わずに求めてください．）

2. 𝐷 = { (𝑥, 𝑦) ∈ R ² | (𝑥, 𝑦) ≠ ( 0 , 0 ) }

^{で定義された関数}

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 ² − 𝑦 ²

𝑥 ² + 𝑦 ²

を考える．

(1) 𝑓

^は

𝐷

の各点において全微分可能である．理由を説明せよ．

(2)

原点

( 0 , 0 )

^における

𝑓

の値をどのように定めたとしても，

𝑓

^は

R ²

^{上の連続関数} にはならない．理由を説明せよ．

3.

前問の関数

𝑓

^{について，}

Φ (𝑟, 𝜃) = (𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃)

^とおき，

𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑓 ( Φ (𝑟, 𝜃))

^と定める．合成関数の微分法を用いて，

𝑔 𝑟 (𝑟, 𝜃)

^および

𝑔 𝜃 (𝑟, 𝜃)

^{を求めよ（ただし}

𝑟 ≠ 0

^とする）．

4. sin 61 ^◦

^{の値を小数第}

4

位まで正確に求めよ．それが正確である理由も説明すること．

なお，必要ならば

√ 2

，

√

3

，

√

6

，

𝜋

のいくらでも精密な値を用いてよい．

5. (1) R ²

^{で定義された関数}

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 ^−𝑥

²

^−𝑦

² が極大値・極小値をとる点をすべて求めよ．

(2) 𝑎

^，

𝑏

を実数の定数とし，少なくとも一方は

0

でないと仮定する．

R ²

^{で定義され} た関数

𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)𝑒 ^−𝑥

²

^−𝑦

² が極大値・極小値をとる点をすべて求めよ．

2020 年度基礎解析学・同演義 I 期末レポート課題

2020

I

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8

5

5

CLE

8

7

CLE

8

8

8

8

1.

Word

TEX

2.

1

3. CLE

PDF

A4

10

5 MB

4.

A4

10

370

560-0043

1-1

5

CLE

8

14

1.

𝑥→0 lim

Tan −1 𝑥 − 𝑥 𝑥 3

Tan

tan

(−𝜋/ 2 , 𝜋/ 2 )

Tan − 1

2. 𝐷 = { (𝑥, 𝑦) ∈ R 2 | (𝑥, 𝑦) ≠ ( 0 , 0 ) }

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑥 2 + 𝑦 2

(1) 𝑓

𝐷

(2)

( 0 , 0 )

𝑓

𝑓

R 2

3.

𝑓

Φ (𝑟, 𝜃) = (𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃)

𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑓 ( Φ (𝑟, 𝜃))

𝑔 𝑟 (𝑟, 𝜃)

𝑔 𝜃 (𝑟, 𝜃)

𝑟 ≠ 0

4. sin 61 ◦

4

√ 2

√

3

√

6

𝜋

5. (1) R 2

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 −𝑥

−𝑦

(2) 𝑎

𝑏

0

R 2

𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)𝑒 −𝑥

−𝑦

Tan ⁻¹ 𝑥 − 𝑥 𝑥 ³

Tan ⁻ ¹

2. 𝐷 = { (𝑥, 𝑦) ∈ R ² | (𝑥, 𝑦) ≠ ( 0 , 0 ) }

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 ² − 𝑦 ²

𝑥 ² + 𝑦 ²

R ²

4. sin 61 ^◦

5. (1) R ²

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 ^−𝑥

^−𝑦

R ²

𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)𝑒 ^−𝑥

^−𝑦