回帰分析から因果推論へ

(1)

図1：見かけ上の相関

www.safecom.org.au/sievx-kevin.htm

アイスクリームの売り上げと水死事故の数の間に強い相関があっても，両者に因果関係が認められないのは，この見かけ上の相関を引き起こした熱波が隠れた真の原因（交絡因子）であるからである．見かけ上の相関は，血圧と給料，小学生の足の大きさと成績など，いたるところに観察される．

図２：脂肪の摂取量と癌の発生率：回帰分析の誤用

S.K. Carroll (1975). Cance Research 35, p.3379 r

ところが，見かけ上の相関かどうか，

明らかでない場合が多いことが問題である．脂肪の摂取量と乳癌・結腸癌発生率

x

y

との間に強い相関が観察されたことを根拠に，

x

を

y

_の原因と

し，回帰分析

β ε

politedissent.com/archives/category/medicine/

回帰分析から因果推論へ

―統計的因果推論への誘い

α + +

= x

y

_を行い，

因果の効果を

β

で推定したくなるが，専門家には交絡因子の存在を確信しているようである．このように，回帰分析を因果分析の手段として誤用されることが目に余る．問題が更に深刻なのは，仮に，がの原因であっても，

x y β

を因果効果として採用するのは不適切である．

(2)

因果律とは何であろうか

― 古代から量子力学まで

http://www.causeeffect.org/

図３：神が全ての原因であった古代

図４：ヒュームの決定論的因果論

http://www.chicoobservatory.com/

図５：神はサイコロを振り給わず

http://chaos.swarthmore.edu/

古代人にとっての,人間を含む世の中の成り立ちは,全て神によって決定されるものなので,運命に従えばよく,因果律に悩まされる必要はなかった．

一方，太陽系の安定性を証明したラプラス(1749-1827) は

,

宇宙の現在は全て過去の結果であり,また将来を完全に決定する原因となる, とヒュームの決定論的因果論を繰り返していた．

アインシュタインは、ラプラシアン因果決定論を継承し,最後まで量子力学に異議を唱え,「神はサイコロを振り給わず」

の名言を残した．しかし，不完全因果論

とりわけ統計的因果推論が実験・観察研

究において役に立っているようである．

(3)

運動意識運動量ダイエット効果

食事量 0.15

-0.44 0.30 0.31

統計的因果推論とは

―

哲学？数学？統計学？

図６：人口的な宇宙

http://en.wikipedia.org/wiki/Jigsaw_puzzle

さて，互いに説明可能性をもつモノ（変数，概念）の集まりを宇宙とよぼう．２つのパズルピースに対して，これらが隣り合ってれば，説明可能と定義すると，

箱の中のパズルピースの集合は１つの人工的な宇宙である．

図７：図６の人口的宇宙の理想的整列

http://www.fell2earth.com/content.php?cid=2799

どんな複雑な宇宙に対しても，

Zorn

の補題により，美しく整然たる宇宙に整列可能である．しかし，整列するアルゴリズムは不明である．ヒュームの決定論的因果論から脱却し，統計的因果論へと方向転換すれば，解決の道は開いてくれる．

図８：統計的に推定された宇宙

http://www.puzzlehouse.com/phobutterfly.htm

統計学の出番である．実験・観察データからの不完全情報に基づいて，モノの因果順序を統計的に推定し，因果的にあるべき宇宙を統計的に推測していく．これが統計的因果推論である．

(4)

統計的因果順序：Ⅰ

―小さな宇宙

^U =

{

^x, ^y, ^z

} の話

図９：独立因果モデル

本質を見抜くために，ここでは３つのモノからなる単純な宇宙

^U ⁼

{

^x^, ^y^, ^z

}

において,因果順序について考えよう.

まず

x

,

y

_, の間に如何なる因果関係も存在しない，互いに独立な状況があろう．この状況をばらばらに置かれている３つの点で表し，次の式で特徴付ける．

z

¾ x ⊥ y, x ⊥ z, y ⊥ z

¾ x ⊥ y ∨ z, y ⊥ x ∨ z, z ⊥ x ∨ y

図１０：因果連鎖モデル

因果連鎖モデル：次に，

x

が

y

_の原因,

y

が

z

の原因（

x ; y

_,

y ; z

_{と書こう）}

という状況が考えられる．このとき，因果の直感的意味から，次の３つの事項を要請するのが自然であろう．

¾ x

も

z

の原因：

x ; z

¾ x

の下で,

y

_と

z

は独立：

y ⊥ z x

¾ y

_の下で,

x

_と

z

は独立：

x ⊥ z y

(5)

統計的因果順序：Ⅱ

―小さな宇宙

^U =

{

^x, ^y, ^z

} の話

図１１：共通原因モデル

共通原因モデル：

x

が

y

_と _{の共通原因}

（

z y

x ;

_, ）となるときもあろう．

因果律の本来の意味から，共通原因を与えれば，結果同士

z x ;

x y

_と _{は独立の筈な}

ので，次が成立することを要請する．

z

¾ x

の下で、

y

_と

z

は独立：

y ⊥ z x

図１２：複数原因モデル

複数原因モデル：がの原因

（）,

x z

z

x ; y

_も

z

_の原因（

y ; z

_）の

ときに当たる．これは，２つの独立な原因

x

と

y

_{によって，結果である} _を支配

していることを意味する．したがって，

一方の原因を与えれば、結果は他方の原因と独立となる状況なので，次の成立を要請する．

z

¾ x

の下で,

y

_と

z

は独立：

y ⊥ z x

¾ y

_の下で,

x

_と

z

は独立：

x ⊥ z y

(6)

図１３：モノの交わり

y

_との情報の統合を考える必要があり，これをと書き，

z

y ∨ y

_と _の交わ

りと呼ぼう．

z z z y y z

y ∨ ; , ∨ ;

_の成

立を要求することは当然であろう．

図１４：3点集合の冪集合のHasse Diagram

図１５：束(Lattice)の例

交わりから発生する自然な順序（集合の包含関係）をすべての交わりに対して適用すると，ブール代数が生まれ，対応するグラフ（図 14）はハッセ図として知られている（

φ

は空集合を表している）．

プール代数は統計的因果順序を構築するための出発点となるが，理論的展開において，ブール代数を一般化した束論

（

Lattice Theory

）を背景にした方が都合が良い．束論とは，交わりなどを一般化したプール代数と考えればよい．

http://en.wikipedia.org/wiki/Hasse_diagram

非統計的順序：束論

―プール代数から束へ

Hasse Diagram

http://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_(order)

(7)

Cain Algebra: I

― 因果推論のための新しい統計数学の試み

図1６：底をもつ束

底をもつ束：因果推論の根底には順序，非対称性，そして確率の概念が働いている．順序を考える出発点として，まず底

ϕ

_をもつ束

{

^x^, ^y^, ^z^,^"

}

L =

_{を考える．底}

ϕ

は順序の一番低いモノなので，全てのモノの結果として解釈される．ブール代数の場合，底

ϕ

_は空集合

である．底の存在は因果の議論が常に意味をもつための条件である．

図1７：束の直積：原始コインの形成

原始コイン(

atom coin

): 次に非対称性を論じるために，直積

^L⊗^L =

{

Π^xy ^x, ^y∈^L

}

を導入する．要素である

Π^xy

を原始コインと呼び，我々の思考における基本単位となる．原始コインは，非対称性を強調して，通常と書いたものと理解してよい．

x

Πy

(

x, y

)

図１８：コイン（原始コインの連結）

n n

x y x

y x

y Π Π

Π

=

Π ² "

2 1

1

さて，有限個の原始コインを，やきとりのように繋いだもの, ,をコインと呼ぼう．束が有限であっても，

コインは無限にあることに注意する．

n n

x y x

y x

yΠ Π

Π

=

Π ²"

2 1 1

L

(8)

Cain Algebra: II

― 確率モデルに代わる新しい概念：

Cainoid

図１９：Cainoid（C1-C5が満たされる束）

Cainoid

：さて，陽には出てこないが，

いよいよ確率の概念が登場する．束

{

^x^, ^, ^,^"

}

L = y z

_{の各点を確率変数（ベ}

クトル）と対応させ，コインの間に図１９で示される性質が満たされる「掛け算」を規定する．ただし，

などの略記を用いている．

図２０：ベイズの定理とその証明ベイズの定理：

ベイズの定理の証明：

公理

C1-C5

は，確率密度関数から導かれ

る最も基本的性質のアナローグである．

例えば，を確率密度関数

f (x)

， _をその逆数

1/ f (y)

と対応付ければ，

C5

は

) ( / ) , ( )

(x y

f = f x y f y

条件付密度関数の定義に対応している．これらの公理から，統計的因果推論を進める上での基本的性質を誘導し，理論的展開を行なっていく．例えば，色々な場面で重要な役割を果たすベイズの定理を，図２０のように証明できる．

図２１：数学的順序の埋め込み

Cain

では，元の束の順序を１つのコ

イン恒等式として表現でれる．

(9)

Cain Algebra: III

― 条件付独立性と見かけ上の相関

図２２：条件付独立性

統計的アプローチによる因果推論の最大の成果の１つに，条件付独立性の検証で，見かけ上の相関の検出ができることである．

（例えば熱波）を与えたとき，

x y

_（例え

ばアイスクリームの売り上げ）と

z

（例え

ば水死事故の数）の相関が見かけ上の相関であることは，条件付独立性の成立を検証すればよい．

図２３：コイン恒等式と条件付独立性 Cain algebra

では条件付独立性をコイン恒等式で表現し，コインの演算法則に従って，因果推論に必要な様々な概念・結果がここから導かれる．例えば，

Cain algebra

において，広い意味での情報的

irrelevance

を議論するための演繹的推理体系である，次の

separoid

の

公理

P1-P5

回帰分析から因果推論へ

関連は必ずしも因果を意味しない

ところが，見かけ上の相関かどうか，

明らかでない場合が多いことが問題 である．脂肪の摂取量 と乳癌・結腸 癌発生率

との間に強い相関が観察 されたことを根拠に，

を

の原因と

し，回帰分析

回帰分析から因果推論へ

―統計的因果推論への誘い

を行い，

因果の効果を

で推定したくなるが，専門家には交絡因子の存在を確 信しているようである．このように，回帰分析を因果分析の手段とし て誤用されることが目に余る．問題が更に深刻なのは，仮に， が の原因であっても，

を因果効果として採用するのは不適切である．

因果律とは何であろうか

― 古代から量子力学まで

古代人にとっての,人間を含む世の中の 成り立ちは,全て神によって決定される ものなので,運命に従えばよく,因果律 に悩まされる必要はなかった．

一方，太陽系の安定性を証明したラプラ ス(1749-1827) は

宇宙の現在は全て 過去の結果であり,また将来を完全に決 定する原因となる, とヒュームの決定 論的因果論を繰り返していた．

アインシュタインは、ラプラシアン因果 決定論を継承し,最後まで量子力学に異 議を唱え,「神はサイコロを振り給わず」

の名言を残した．しかし，不完全因果論

とりわけ統計的因果推論が実験・観察研

究において役に立っているようである．

統計的因果推論とは

哲学？数学？統計学？

さて，互いに説明可能性をもつモノ （変 数，概念）の集まりを宇宙とよぼう．２ つのパズルピースに対して，これらが隣 り合ってれば，説明可能と定義すると，

箱の中のパズルピースの集合は１つの 人工的な宇宙である．

どんな複雑な宇宙に対しても，

の補 題により，美しく整然たる宇宙に整列可 能である．しかし，整列するアルゴリズ ムは不明である．ヒュームの決定論的因 果論から脱却し，統計的因果論へと方向 転換すれば，解決の道は開いてくれる．

統計学の出番である．実験・観察データ からの不完全情報に基づいて， モノの 因果順序を統計的に推定し，因果的にあ るべき宇宙を統計的に推測していく．こ れが統計的因果推論である．

統計的因果順序：Ⅰ

―小さな宇宙

{

} の話

本質を見抜くために，ここでは３つのモ ノ か ら な る 単 純 な 宇 宙

{

}

において,因果順序について考えよう.

まず

,

, の間に如何なる因果関係 も存在しない， 互いに独立な状況があろ う．この状況をばらばらに置かれている ３つの点で表し，次の式で特徴付ける．

因果連鎖モデル ：次に，

が

の原因,

が

の原因（

,

と書こう）

という状況が考えられる．このとき，因 果の直感的意味から，次の３つの事項を 要請するのが自然であろう．

も

の原因：

の下で,

と

は独立：

の下で,

と

は独立：

統計的因果順序：Ⅱ

―小さな宇宙

{

} の話

共通原因モデル ：

が

と の共通原因

（

, ）となるときもあろう．

因果律の本来の意味から，共通原因 を 与えれば，結果同士

と は独立の筈な

ので，次が成立することを要請する．

の下で、

と

は独立：

複 数 原 因 モ デ ル ： が の 原 因

（ ）,

も

の原因（

）の

ときに当たる．これは，２つの独立な原 因

と

によって，結果である を支配

明らかでない場合が多いことが問題である．脂肪の摂取量と乳癌・結腸癌発生率

との間に強い相関が観察されたことを根拠に，

_の原因と

_を行い，

で推定したくなるが，専門家には交絡因子の存在を確信しているようである．このように，回帰分析を因果分析の手段として誤用されることが目に余る．問題が更に深刻なのは，仮に，がの原因であっても，

古代人にとっての,人間を含む世の中の成り立ちは,全て神によって決定されるものなので,運命に従えばよく,因果律に悩まされる必要はなかった．

一方，太陽系の安定性を証明したラプラス(1749-1827) は

宇宙の現在は全て過去の結果であり,また将来を完全に決定する原因となる, とヒュームの決定論的因果論を繰り返していた．

アインシュタインは、ラプラシアン因果決定論を継承し,最後まで量子力学に異議を唱え,「神はサイコロを振り給わず」

さて，互いに説明可能性をもつモノ（変数，概念）の集まりを宇宙とよぼう．２つのパズルピースに対して，これらが隣り合ってれば，説明可能と定義すると，

箱の中のパズルピースの集合は１つの人工的な宇宙である．

の補題により，美しく整然たる宇宙に整列可能である．しかし，整列するアルゴリズムは不明である．ヒュームの決定論的因果論から脱却し，統計的因果論へと方向転換すれば，解決の道は開いてくれる．

統計学の出番である．実験・観察データからの不完全情報に基づいて，モノの因果順序を統計的に推定し，因果的にあるべき宇宙を統計的に推測していく．これが統計的因果推論である．

本質を見抜くために，ここでは３つのモノからなる単純な宇宙

_, の間に如何なる因果関係も存在しない，互いに独立な状況があろう．この状況をばらばらに置かれている３つの点で表し，次の式で特徴付ける．

因果連鎖モデル：次に，

_の原因,

_,

_{と書こう）}

という状況が考えられる．このとき，因果の直感的意味から，次の３つの事項を要請するのが自然であろう．

_と

_の下で,

_と

共通原因モデル：

_と _{の共通原因}

_, ）となるときもあろう．

因果律の本来の意味から，共通原因を与えれば，結果同士

_と _{は独立の筈な}

_と

複数原因モデル：がの原因

（）,

_も

_の原因（

_）の

ときに当たる．これは，２つの独立な原因

_{によって，結果である} _を支配

一方の原因を与えれば、結果は他方の原因と独立となる状況なので，次の成立を要請する．

_と

_の下で,

_と

_との情報の統合を考える必要があり，これをと書き，

_と _の交わ

_の成

交わりから発生する自然な順序（集合の包含関係）をすべての交わりに対して適用すると，ブール代数が生まれ，対応するグラフ（図 14）はハッセ図として知られている（

は空集合を表している）．

プール代数は統計的因果順序を構築するための出発点となるが，理論的展開において，ブール代数を一般化した束論

）を背景にした方が都合が良い．束論とは，交わりなどを一般化したプール代数と考えればよい．

底をもつ束：因果推論の根底には順序，非対称性，そして確率の概念が働いている．順序を考える出発点として，まず底

_をもつ束

_{を考える．底}

は順序の一番低いモノなので，全てのモノの結果として解釈される．ブール代数の場合，底

_は空集合

): 次に非対称性を論じるために，直積

を原始コインと呼び，我々の思考における基本単位となる．原始コインは，非対称性を強調して，通常と書いたものと理解してよい．

さて，有限個の原始コインを，やきとりのように繋いだもの, ,をコインと呼ぼう．束が有限であっても，

いよいよ確率の概念が登場する．束

_{の各点を確率変数（ベ}

クトル）と対応させ，コインの間に図１９で示される性質が満たされる「掛け算」を規定する．ただし，

例えば，を確率密度関数

， _をその逆数