定理 10.1.1 X をノルム空間とする．

10 補足

10.1 完備化

定理 10.1.1 X をノルム空間とする．

a) バナッハ空間 Y と等長作用素 J : X → Y で，J X = Y なるものが存在する．

b) a) の Y は等長同型を除き唯一であり，これを X の完備化と呼ぶ．

c) X が内積空間なら Y はヒルベルト空間．

証明：a) X のコーシー列全体を Γ とする．また，c ∈ K 及び ξ = (x

), η = (y

) ∈ Γ に 対し

1) ξ + η

= (x

+ y

), c ξ

= (c x

), ∥ ξ ∥

def

= lim

n→∞

∥ x

∥

.

( ∥ x

∥

は実数値のコーシー列だから極限 ∥ ξ ∥

が存在する.) Γ は上の算法で線形空間 をなし， ∥ · ∥

は Γ 上の半ノルムとなる．更に，ξ = (x

), η = (y

) ∈ Γ は

∥ ξ − η ∥

= 0 即ち ∥ x

− y

∥

n

−→

0

なるとき同値とし，この同値関係による ξ ∈ Γ の同値類を ξ, 同値類全体を Y とする．

また，c ∈ K 及び ξ, η ∈ Y に対し

2) ξ + η

= ξ + η, c ξ

= c ξ, ∥ ξ ∥

= ∥ ξ ∥

.

これらは， ξ,η に対する代表元 ξ, η の取り方によらず定まる． Y は上の算法で線形空間を なす．∥ · ∥

は明らかに Y 上の半ノルムだが，同値関係の定め方からノルムである．次 に x ∈ X に対し ι(x) ∈ Γ を x

≡ x なる点列とする．このとき，線形写像： J : x 7→ ι(x) (X → Y ) は等長．実際，(半) ノルム ∥ · ∥

, ∥ · ∥

の定め方から

∥ J x ∥

= ∥ ι(x) ∥

= ∥ ι(x) ∥

= ∥ x ∥

.

次に J X = Y と Y の完備性を示す．X の任意のコーシー列 ξ = (x

) に対し ξ − J x

= ξ − ι(x

) = (x

− x

)

, よって ∥ ξ − J x

∥

= lim

n→∞

∥ x

− x

∥

m

−→

0.

よって J X = Y ．また，上の議論から J X の任意のコーシー列 J x

が ξ に収束するこ とも分かる．これと問 2.3.2 より Y は完備．

b):問 4.2.5 による．

c):J X は X と等長同型だから内積空間．よって Y もそう（問 2.1.7）． 2

10.2 境界値/初期値問題と積分作用素

6.2 節に登場したフレドホルム型積分作用素, ヴォルテラ型積分作用素は微分方程式の 境界値問題, 初期値問題から自然に導かれることを見よう.

例 10.2.1 ( 境界値問題としてのフレドホルム型積分方程式 ) I = [0, ℓ], b, y ∈ C(I ), sup

I

| b | < 4/ℓ

(10.1)

なら、次のような x が唯一存在する：

x ∈ C

(I ), I 上 − x

+ bx = y かつ x(0) = x(ℓ) = 0. (10.2) 証明 : グリーン関数 g ∈ C(I

) を次で定める：

g(s, t) =

{ ( 1 −

)

, t t ≤ s, ( 1 −

)

, s s ≤ t.

x ∈ C(I) に対し、(10.2) が次と同値であることを示す：

x(s) +

∫

I

g(s, t)b(t)x(t)dt =

∫

I

g(s, t)y(t)dt. (10.3) (10.3) ⇒ (10.2): y e = y − bx とすると、(10.3) は

x(s) =

∫

I

g(s, t) y(t)dt. e と書ける。この式から

x(0) =

∫

I

g(0, t)

| {z }

=0

e

y(t)dt = 0, x(ℓ) =

∫

I

g(ℓ, t)

| {z }

=0

e

y(t)dt = 0.

また、

x

(s) = − 1 ℓ

∫

t y(t)dt e

∫

( 1 − t

ℓ )

e

y(t)dt, − x

(s) = y(s) e となり、(10.2) が分かる。

(10.2) ⇒ (10.3): y e ∈ C(I) を所与とするとき、

1) z ∈ C

(I ), z(0) = z(ℓ) = 0, I 上 − z

= y e

なる z は唯一である（問 10.2.1）。(10.2) は 関数 x が y e = y − bx に対し 1) を満たす ことである。一方、関数 z を

z(s) =

∫

I

g(s, t) e y(t)dt

で定めると、 (10.3) ⇒ (10.2) の証明中見たように、この z は 1) を満たす。従って x = z.

これは、(10.3) を意味する。

(10.3) ⇐⇒ (10.2) より、示すべきは、任意の y ∈ C(I) に対し (10.3) を満たす x の一

意的存在と同値。更にそれは、

2) T x(s) = − ∫

I

g(s, t)b(t)x(t)dt とおくとき 1 − T : C(I) → C(I) が全単射 と同値。ところが、

3) sup

s∈I

∫

I

g(s, t) | b(t) | dt ≤ ℓ

sup

I

| b | /4. （問 10.2.2）

よって、(10.1) なら ∥ T ∥ < 1 となり、例 6.2.4 から 2) を得る。 2 注： 例 6.2.4 の注で述べた理由により、 (10.2) を満たす x の一意的存在について、 (10.1) は十分だが必要ではない。

問 10.2.1 例 10.2.1 証明中の 1) 満たす z は唯一であることを示せ。

問 10.2.2 例 10.2.1 証明中の g に対し ∫

I

g(s, t)dt = s(ℓ − s)/2 を示し、これから 3) を結論せよ。

問 10.2.3 I = [0, ℓ], b, y ∈ C(I) とし、(10.1) を仮定する。このとき、任意の c

, c

∈ R に対し次のような x が唯一存在することを示せ：

x ∈ C

(I), I 上 x

+ bx = y かつ x(0) = c

, x(ℓ) = c

.

例 10.2.2 初期値問題としてのヴォルテラ型積分方程式) I = [0, ℓ], a, b, y ∈ C(I) に対 し、次のような x が唯一存在する：

x ∈ C

(I), x(0) = x

(0) = 0, (10.4)

I 上 x

+ ax

+ bx = y. (10.5)

証明： 関数 x, w ∈ C(I ) が次の関係にあるとする：

1) x(s) =

∫

ds

∫

w =

∫

w(t)dt

∫

ds

=

∫

(s − t)w(t)dt.

このとき、

2) x ∈ C

(I), x

(s) =

∫

w(t)dt, x(0) = x

(0) = 0.

更に (10.5) が次と同値であることを示す：

w(s) −

∫

(a(s) + (s − t)b(s)) w(t)dt = y(s). (10.6) (10.5) ⇒ (10.6): 1)–2) より x, x

, x

は全て w を用いて表される。それらを (10.5) に 代入すると (10.6) を得る。

(10.6) ⇒ (10.5): 1)–2) より (10.6) は (10.5) に他ならない。

以上より、示すべきは、所与の y ∈ C(I) に対し (10.6) を満たす w の一意的存在と 同値。更にそれは、k(s, t) = a(s) + (s − t)b(s), T w(s) = ∫

0

k(s, t)w(t)dt とおくとき 3) 1 − T : C(I) → C(I) が全単射

と同値。ところが、k(s, t) は連続だから 例 6.2.5 より 3) を得る。 2 問 10.2.4 I = [0, ℓ], a, b, y ∈ C(I ), c

, c

∈ R に対し、次のような x が唯一存在するこ とを示せ：

x ∈ C

(I), x(0) = c

, x

(0) = c

, I 上 x

+ ax

+ bx = y.

10.3 境界条件つき微分作用素のスペクトル

例 10.3.1 ( 一階微分 ) I = [0, ℓ], X = L

(I )(1 ≤ p ≤ ∞ ) a ∈ C

に対し，作用素 T, T

: X → X を次で定める (定義 5.2.6 参照)：

D (T ) = { x ∈ AC(I) ; x

∈ X } , T x = x

, a ∈ C

なら D (T

) =

{

x ∈ D (T ) ; (

x(ℓ)

) ∈ C a }

, T

x = x

. このとき、全ての λ ∈ C に対し

N (λ − T ) = C φ

, 但し φ

(s) = exp (λs) . (10.7) 特に，

σ(T ) = σ

(T ) = C . (10.8)

一方,

σ(T

) = { λ ∈ C ; a

= a

φ

(ℓ) } (10.9)

=

 



 

σ

(T

) = C , a = 0,

∅ , a = (

1

) , (

0

) , σ

(T

) = { λ

}

, a

a

̸ = 0,

(10.10)

但し λ

= 1 ℓ

( log a

a

+ 2πin )

, (log

1

は e

=

1

の解 z のひとつ).

更に λ ∈ ρ(T

) = { λ ∈ C ; a

̸ = a

φ

(ℓ) } なら, (λ − T

)

y(s) = − a

φ

(ℓ)φ

(s)

a

− a

φ

(ℓ)

∫

0

φ

y − φ

(s)

∫

0

φ

y. (10.11) 証明 : λ ∈ C , y ∈ X に対し：

1) λx − x

= y ⇐⇒ x(s) = φ

(s)x(0) − φ

(s)

∫

φ

y.

実際，⇒ を言うには，

(φ

x)

= φ

(x

− λx) = − φ

y

に注意し，両辺を 0 から s まで積分すればよい．⇐ は微分を実行すればわかる．

1) で y = 0 として,(10.7) 及び次が分かる：

2) N (λ − T

) ̸ = 0 ⇐⇒ a

= a

φ

(ℓ) = ⇒ N (λ − T

) = C a

φ

. 一方，

3) a

̸ = a

φ

(ℓ) = ⇒ λ ∈ ρ(T

).

実際, a

̸ = a

φ

(ℓ) なら 1) で x(0) =

2−a1φλ(ℓ)

∫

0

φ

y とした解：

x(s) = − a

φ

(ℓ)φ

(s) a

− a

φ

(ℓ)

∫

0

φ

y − φ

(s)

∫

0

φ

y

について x ∈ D (T

). 従って λ − T

: D (T

) → X は全単射かつ逆写像は連続.

以上から (10.9)–(10.11) を検証する：

• a = 0 のとき: 2) より σ

(T

) = ∅ . また 1) で s = ℓ とすることで， ∀ λ ∈ C , ∀ x ∈ D (T

) に対し y

= λx − x

は ∫

0

φ

y = 0 を満たす．よって (λ − T

)X ̸ = X. 特に σ(T

) = C . 以上より (10.9)–(10.10) を得る.

• a = (

1

) , (

0

) のとき: 3) より ρ(T

) = C , 即ち σ(T

) = ∅ . 以上より (10.9)–(10.11) を 得る.

a

a

̸ = 0 のとき: 2) より a

= a

e

⇔ λ ∈ σ

(T

). これと 3) を併せて (10.9)–(10.11)

を得る. 2

注： 例 10.3.1 で更に m ∈ L

(I) を固定し， T x = x

+ mx, T

x = x

+ mx と一般化する．

このとき，φ

, λ

をそれぞれ φ

(s) = exp (

λs − ∫

0

m )

, λ

=

(

log

1

+ ∫

I

m + 2πin )

とおきかえれば，上と同様の結果が得られる（証明も同様）．

例 10.3.2 (二階微分) I = [0, ℓ],X = L

(I) (1 ≤ p ≤ ∞ ) とし，以下の作用素 (X → X) を考える

：

D (T ) = { x ∈ AC

(I) ; x

∈ X } , T x = x

,

D (T

) = { x ∈ D (T ) ; x(0) = x(ℓ) = 0 } , T

x = x

, D (T

) = { x ∈ D (T ) ; x

(0) = x

(ℓ) = 0 } , T

x = x

,

D (T

) = { x ∈ D (T ) ; x(0) = x(ℓ) = x

(0) = x

(ℓ) = 0 } , T

x = x

. このとき、

σ(T ) = σ

(T ) = C , σ(T

) = σ

(T

) = C ,

σ(T

) = σ

(T

) = { λ

}

, σ(T

) = σ

(T

) = { λ

}

, ただし λ

= − (nπ/ℓ)

. また、λ = re

(r ≥ 0, θ ∈ ( − π, π]) に対し √

λ

= √ re

, sh

(s) =

{

s λ = 0,

sinh( √ λs)/ √

λ, λ ̸ = 0, ch

(s) = cosh( √ λs) とする

とき、

N (λ − T ) = C sh

⊕ C ch

, ∀ λ ∈ C , (10.12) N (λ

− T

) = C sh

, n = 1, 2, .. (10.13) N (λ

− T

) = C ch

, n = 0, 1, 2, .. (10.14) 証明 : • T について: (10.12) を言えばよい．sh

, ch

∈ N (λ − T ) は明らか．また，

∀ x ∈ N (λ − T ) は x ∈ AC

(I), x

= λx の一般解として

x = x(0)ch

+ x

(0)sh

(10.15)

52

T

,T

の境界条件をそれぞれディリクレ境界条件，ノイマン境界条件と言う．

53

sh

, ch

は { x ∈ AC

(I) ; x

= λx } の基底（λ = 0 の場合も含めた統一的記法）．λ が負の実数な ら (特に (10.13)–(10.14) において) sh

(s) = sin( √

− λs)/ √

− λ, ch

(s) = cos( √

− λs).

と書ける. 以上より (10.12) を得る．

• T

について: λ ∈ C に対し以下を示せばよい：

a) λ − T

が単射 ⇐⇒ λ ̸ = λ

, n = 1, 2, ..

b) λ ̸ = λ

, n = 1, 2, .. なら λ − T

は全単射かつ (λ − T

)

は有界。

更に b) で (λ − T

)

を与える (フレドホルム型) 積分作用素を次のように書き下す為

に φ

= sh

, ψ

= sh

( · − ℓ) とおく．このとき (問 10.3.1)，

1) φ

= λφ

, ψ

= λψ

.

2) w

= φ

ψ

− φ

ψ

≡ sh

(ℓ).

3) w

= 0 ⇐⇒ λ = λ

, n = 1, 2, ..

そこで

g

(s, t) =

{ − ψ

(s)φ

(t)/w

, t ≤ s,

− φ

(s)ψ

(t)/w

, s ≤ t. (10.16) と定めると，

(λ − T

)

y(s) =

∫

I

g

(s, t)y(t)dt, y ∈ X. (10.17) 以下、これらを示す。

a) : x ∈ D (T

), (λ − T

)x = 0 とする。x は x ∈ AC

(I), x

= λx の一般解として (10.15) の形に書けるが、更に x(0) = x(ℓ) = 0 より

x

(0)sh

(ℓ) = 0.

この条件をみたす x ̸≡ 0 の存在は sh

(ℓ) = 0, 即ち λ = λ

, n = 1, 2, .. と同値．

b): λ ̸ = λ

, n = 1, 2, .. とする。λ − T

の単射性は既知ゆえ、全射性と (10.17) を言う。

任意の y ∈ X に対し

x(s) =

∫

I

g

(s, t)y(t)dt (10.18)

とするとき、x ∈ D (T

), (λ − T

)x = y を言う.

x = − ψ

w

∫

0

φ

y − φ

w

∫

·

ψ

y, x

= − ψ

w

∫

0

φ

y − φ

w

∫

·

ψ

y (他の二項は相殺) x

= − ψ

w

∫

0

φ

y − ψ

w

φ

y − φ

w

∫

·

ψ

y + φ

w

ψ

y

= λx − y.

となり、x ∈ AC

(I),λx − x

= y. また上式と φ

(0) = ψ

(ℓ) = 0 より x(0) = x(ℓ) = 0.

故に x ∈ D (T

).

• T

について: λ ∈ C に対し以下を示せばよい：

a) λ − T

が単射 ⇐⇒ λ ̸ = λ

, n = 0, 1, 2, ..

b) λ ̸ = λ

, n = 0, 1, 2, .. なら λ − T

は全単射かつ (λ − T

)

は有界。

証明は T

の場合と同様だが，以下のように修正される．φ

= ch

, ψ

= ch

( · − ℓ) と おく．このとき (問 10.3.1)，

4) φ

= λφ

, ψ

= λψ

. 5) w

= φ

ψ

− φ

ψ

≡ − √

λsh

(ℓ).

6) w

= 0 ⇐⇒ λ = λ

, n = 0, 1, 2, ..

そこで g

を (10.16) と同様に定めると，

(λ − T

)

y(s) =

∫

I

g

(s, t)y(t)dt, y ∈ X. (10.19) 以下、これらを示す。

a) : x ∈ D (T

), (λ − T

)x = 0 とする。x は x ∈ AC

(I), x

= λx の一般解として (10.15) の形に書けるが、更に x

(0) = x

(ℓ) = 0 より

x(0) √

λsh

(ℓ) = 0.

この条件をみたす x ̸≡ 0 の存在は √

λsh

(ℓ) = 0, 即ち λ = λ

, n = 0, 1, 2, .. と同値．

b): λ ̸ = λ

, n = 0, 1, 2, .. とする。λ − T

の単射性は既知ゆえ、全射性と (10.19) を言 う。任意の y ∈ X に対し x を (10.18) と同様に定めると, x

, x

が T

の場合と同様に計 算できる．よって x ∈ AC

(I),λx − x

= y. また x

, x

の計算式と φ

(0) = ψ

(ℓ) = 0 より x

(0) = x

(ℓ) = 0. 故に x ∈ D (T

).

• T

について: λ ∈ C に対し以下を示せばよい：

a) λ − T

は単射.

b) (λ − T

)X ̸ = X.

a): x ∈ D (T

), (λ − T

)x = 0 とする。x はが、x(0) = x

(0) = 0 より x ≡ 0.

b): x = sh

とし、次を示す：

7)

∫

0

xy = 0, ∀ y ∈ (λ − T

)X

7) から b) が分かる ( もし (λ − T

)X = X なら 7) を満たす x ∈ X は x ≡ 0 に限る).

y ∈ (λ − T

)X は y = (λ − T

)z, z ∈ D (T

) と書ける. そこで、

∫

0

xy = λ

∫

0

xz −

∫

0

xz

,

∫

0

xz

= [xz

]

| {z }

=0

−

∫

0

x

z

= − [x

z]

| {z }

=0

+

∫

0

x

z.

よって、 ∫

0

xy =

∫

(λx | {z } − x

=0

)z = 0. 2

問 10.3.1 例 10.3.2 証明中の 1)–6) を示せ。

問 10.3.2 例 10.3.2 で a, b ∈ C

に対し D (T

) =

{

x ∈ D (T ) ;

( x(0) x(ℓ)

)

∈ C a,

( x

(0) x

(ℓ)

)

∈ C b }

, T

x = x

. とする．このとき：

σ(T

) = { λ ∈ C ; δ

= 0 } , 但し δ

= a

b

+ a

b

− (a

b

+ a

b

)ch

(ℓ). (10.20) これを，以下の i)–iii) に分けて示せ．

i) δ

̸ = 0 なら λ ∈ ρ(T

). 更に y ∈ X に対し U

y(s) = ch

(s)

∫

0

ysh

− sh

(s)

∫

0

ych

, v

= − b

sh

(ℓ)

δ

ch

− b

− b

ch

(ℓ)

δ

sh

, V

y(s) = a

ch

(s)

∫

yv

, w

= a

− a

ch

(ℓ)

δ

ch

+ a

λsh

(ℓ)

δ

sh

, W

y(s) = b

sh

(s)

∫

yw

とするとき，(λ − T

)

= U

+ V

+ W

.

ii) δ

= 0 かつ a

, b

(i = 1, 2) のうち高々一つを除き ̸ = 0 なら N (λ − T

) ̸ = 0.

iii) δ

= 0 かつ a

, b

(i = 1, 2) のうちふたつ以上が = 0 なら (λ − T

)X ̸ = X.

i) のヒント： y ∈ X を任意，c, c

を未知定数，x = U

y + ca

ch

+ c

b

sh

とする．計 算すると λx − x

= y なので，x ∈ D (T

) なら x = (λ − T

)

y．一方，次の一次方 程式が c, c

について解ければ x ∈ D (T

) であることもわかる：

M ( c

c

)

=

( − U

y

− (U

y)

)

, 但し M = (

a

ch

(ℓ) − a

b

sh

(ℓ) λa

sh

(ℓ) b

ch

(ℓ) − b

)

この方程式は δ

= det M ̸ = 0 なら解けて，c = ∫

0

yv

, c

= ∫

0

yw

を得る．

ii) のヒント：δ

= 0 なら M (

c^′

) = (

0

) が解 (

c^′

) ̸ = (

0

) を持つ．これと仮定から x = ca

ch

+ c

b

sh

∈ N (λ − T

) \ 0 を示す． iii) のヒント：仮定のもとで与えられ た a, b に応じて x として ch

, sh

, ch

( · − ℓ), sh

( · − ℓ) のいずれかをとると λx − x

= 0 かつ任意の z ∈ (λ − T

)X に対し β(x, z) = 0 を満たす，但し β(x, z) = x(ℓ)z

(ℓ) − x(0)z

(0) − x

(ℓ)z(ℓ) + x

(0)z(0)．これを用い a = b = 0 の場合の証明（例 10.3.2）を一 般化する．

問 10.3.3 例 10.3.2 で a = (

1

) に対し以下を示せ： σ(T

) = { λ

}

, N (λ

− T

) = C ch

⊕ C sh

. (この境界条件を周期境界条件と言う.)

10.4 境界条件つき微分作用素の共役作用素

以下で述べる例を調べる為に，次の一般論を準備する：

命題 10.4.1 X, Y を内積空間，X →

Y , X ←

Y を作用素， D (T ) = X, N (S)

= N (S), T

⊃ S とする．このとき，次の条件を満たす写像 T

Y →

D (S), D (T ) ←

N (S)

が存在すれば T

= S：

全ての x ∈ T

Y , y ∈ N (S)

に対し SU x = x, T V y = y.

証明： y

∈ D (T

) を任意とし y

∈ D (S), Sy

= T

y

を示す．それには次を言えばよい：

1) y

− U T

y

∈ N (S).

実際，1) を仮定すると y

= (y − U T

y

) + U T

y

∈ D (S), Sy

= SU T

y

= T

y

. 1) を示すため y

∈ N (S)

を任意とする．このとき，

2) ⟨ y

, y

⟩

= ⟨ T V y

, y

⟩

= ⟨ V y

, T

y

⟩

また，T

⊃ S, U T

y

∈ D (S) より T

U T

y

= SU T

y

= T

y

. 従って

3) ⟨ y

, U T

y

⟩

= ⟨ T V y

, U T

y

⟩

= ⟨ V y

, T

U T

y

⟩

= ⟨ V y

, T

y

⟩

.

2)–3) を比べて y

− U T

y

∈ N (S)

= N (S) を得る. 2

例 10.4.2 ( 一階微分 ) X = L

(I) (I = [0, 1]) とする. a ∈ C

に対し作用素 T, T

: X → X を次で定める：

D (T ) = { x ∈ X ∩ AC(I), x

∈ X } , T x = x

D (T

) =

{

x ∈ D (T ) ;

( x(0) x(1)

)

∈ C a }

, T

x = x

. このとき

T

=

{ − T

, a ̸ = 0,

− T, a = 0. 但し b a = (

a^∗₁

)

. (10.21)

証明：まず，(10.21) の ⊃ を言う．a ̸ = 0 なら y ∈ D (T

), a = 0 なら y ∈ D (T ) とする.

このとき ∀ x ∈ D (T

) に対し,

⟨ T

x, y ⟩ =

∫

0

x

y

= x(1)y(1)

− x(0)y(0)

| {z }

=0

−

∫

0

x(y

)

= ⟨ x, − y

⟩ .

よって y ∈ D (T

), T

y = − y

. これで (10.21) の ⊃ が言えた. 以下 (10.21) の ⊂ を言う．

1) a ̸ = 0 のとき： (10.10) より σ(T

) ∪ σ( − T

) は高々可算集合．従って λ ∈ ρ(T

) ∩ ρ( − T

) なる λ ∈ R が存在する．X はヒルベルト空間，− T

は閉（問 5.2.4）. 以上より T

, − T

は命題 7.2.5c の S, T に対する条件を満たす

2) a = 0 のとき：U, V ∈ B (X → X) を U x = − ∫

0

x, V x = ∫

0

x と定める．このとき, D ( − T ) = D (T ) より：

x ∈ X = ⇒ U x ∈ D ( − T ), − T U x = x.

また，N ( − T ) = N (T ) = { 定数 } より

x ∈ N ( − T )

= ⇒ V x ∈ D (T

), T

V x = x.

以上より T

, − T は命題 10.4.1 の T, S に対する条件を満たす． 2

問 10.4.1 例 10.4.2 の T

に対し以下を示せ：i) iT

が対称 ⇔ | a

| = | a

| . ii) iT

が自 己共役 ⇔ | a

| = | a

| ̸ = 0.

例 10.4.3 (二階微分) I = [0, ℓ],X = L

(I ) とし，以下の作用素 (X → X) を考える (例 10.3.2 で p = 2 の場合)：

D (T ) = { x ∈ AC

(I) ; x

∈ X } , T x = x

,

D (T

) = { x ∈ D (T ) ; x(0) = x(ℓ) = 0 } , T

x = x

, D (T

) = { x ∈ D (T ) ; x

(0) = x

(ℓ) = 0 } , T

x = x

,

D (T

) = { x ∈ D (T ) ; x(0) = x(ℓ) = x

(0) = x

(ℓ) = 0 } , T

x = x

. このとき、T

, T

は自己共役. T

は対称だが自己共役でない, 実際，T

= T . 証明 : 段階に分けて示す.

1) T

⊃ T , T

⊃ T

, T

⊃ T

. 特に T

, T

, T

は全て対称．

T

⊃ T を言うため x ∈ D (T

), y ∈ D (T ) を任意とする．このとき，

[x

y

]

− [x(y

)

]

= x

(ℓ)y

(ℓ) − x

(0)y

(0)

| {z }

=0

− (x(ℓ)(y

)

(ℓ) − x(0)(y

)

(0))

| {z }

=0

.

⟨ T

x, y ⟩ =

∫

0

x

y

= [xy

]

−

∫

0

x

(y

)

= [x

y

]

− [x(y

)

]

| {z }

=0

+

∫

x(y

)

= ⟨ x, T y ⟩ . よって y ∈ D (T

), T

y = T y. T

⊃ T

, T

⊃ T

の証明も同様．

2) T

= T

, T

= T

.

1) より T

, T

は対称．また，例 10.3.2 とその証明より ρ

(T

), ρ

(T

) ⊃ C\R . 以上と 命題 7.3.2 より 2) を得る．

3) T

= T .

U ∈ B (X → X) を U x(s) = ∫

0

(s − t)x(t)dt と定める (従って (U x)

(s) = ∫

0

x)．この とき：

x ∈ X = ⇒ U x ∈ D (T ), T U x = x.

また，N (T ) = { 一次関数 } より

x ∈ N ( − T )

= ⇒ U x ∈ D (T

), T

U x = x.

以上より T

, T の組は命題 10.4.1 の T, S に対する条件を満たす． 2 問 10.4.2 例 10.3.2 で a = (

1

) に対し S

の自己共役性を示せ．

問 10.4.3 例 10.4.3 で a, b ∈ C

に対し D (T

) =

{

x ∈ D (T ) ;

( x(0) x(ℓ)

)

∈ C a,

( x

(0) x

(ℓ)

)

∈ C b }

, T

x = x

.

とする．このとき，以下を示せ：i) T

が対称 ⇔ a

b

= a

b

. ii) T

が自己共役 ⇔

a ̸ = 0, b ̸ = 0, a

b

= a

b

.

10.5 弱収束

定義 10.5.1 X をノルム空間とする．

I x, x

∈ X,n = 1, 2... について，任意の f ∈ X

に対し

f(x

) → f (x) (n → ∞ ) (10.22)

なら x

は x に弱収束（または w- 収束 ) すると言い，次のように記す：

x

−→

x

この収束を σ(X, X

)- 収束とも言い x

−→

x と記すこともある．

I f, f

∈ X

,n = 1, 2... について，任意の x ∈ X に対し

f

(x) → f(x) (n → ∞ ) (10.23)

なら f

は f に汎弱収束（または w

- 収束）すると言い，次のように記す：

f

−→

f.

この収束を σ(X

, X )- 収束とも言い，f

σ(X^∗,X)

−→ f と記すこともある．

注： 1) ノルム空間 X の点列に対し, 収束 ⇒ w-収束．また，その共役空間 X

の点列

に対し, 収束 ⇒ w

-収束．更に X が有限次元ならこれらの逆も正しい. X が無限次元

なら逆が正しい例もそうでない例もある (例 10.5.2–例 10.5.4)．

2) 定義 10.5.1 の記号 σ(X, X

) あるいは σ(X

, X ) は，例えば，X を X

に置き換えて 用いるときに意味が分かりやすい．例えば，σ(X

, X

) は σ(X, X

) で X を X

に置き 換えたもの，σ(X

, X

) は σ(X

, X ) で X を X

に置き換えたものである．

問 10.5.1 記号は定義 10.5.1 の通りとし，以下を示せ：

i)x

−→

x ⇒ ∥ x ∥

≤ lim

n→∞

∥ x

∥

. ii)f

−→

f ⇒ ∥ f ∥

≤ lim

n→∞

∥ f

∥

. 問 10.5.2 記号は定義 10.5.1 の通りとし，以下を示せ：

i) sup

∥ x

∥

< ∞ かつ (10.22) が成立する f 全体が X

で稠密なら x

−→

x.

ii) sup

∥ f

∥

< ∞ かつ (10.23) が成立する x 全体が X で稠密なら f

−→

f . 例 10.5.2 X をヒルベルト空間とする．リースの表現定理 (定理 4.3.4) より，∀ f ∈ X

,

∃ y ∈ X, f = ⟨ · , y ⟩

. 従って，x, x

∈ X,n = 1, 2... に対し

x

−→

x ⇐⇒ ⟨ x

, y ⟩

−→ ⟨ x, y ⟩

, ∀ y ∈ X.

このことと問 3.2.6 より，X が無限次元なら点列に関し, 収束 ̸⇐ w-収束．

また f, f

∈ X

,n = 1, 2... に対し f = ⟨ · , y ⟩

, f

= ⟨ · , y

⟩

とするとき f

w^∗

−→ f ⇐⇒ ⟨ x, y

⟩

−→ ⟨ x, y ⟩

, ∀ x ∈ X.

例 10.5.3 (S, A , µ) を σ-有限測度空間, 1 ≤ p < ∞ ,

+

= 1 とする．L

に対するリー スの表現定理 (定理 4.3.6) より，∀ f ∈ L

(µ)

, ∃ y ∈ L

(µ), f(x) = ∫

xy

dµ. 従って，

x, x

∈ L

(µ),n = 1, 2... に対し x

−→

x ⇐⇒

∫

x

y

dµ −→

∫

xy

dµ, ∀ y ∈ L

(µ).

また f, f

∈ L

(µ)

,n = 1, 2... に対し f(x) = ∫

xy

dµ, f

(x) = ∫

xy

dµ とするとき f

−→

f ⇐⇒

∫

xy

dµ −→

∫

xy

dµ, ∀ x ∈ L

(µ).

問 10.5.3 δ

: N → { 0, 1 } を δ

(s) = δ

で定める． 1 < p < ∞ に対し { δ

}

⊂ ℓ

( N ) は弱収束するが，収束部分列は含まないことを示せ (p = 1 については問 10.5.6 参照)．

問 10.5.4 (⋆) x : R

→ C に対し T

x(s) = n

x(ns) とする（1 < p < ∞ , n = 1, 2, ...）．x ∈ L

( R

), x ̸≡ 0 に対し { T

x }

⊂ L

( R

) は 0 に弱収束するが，収束部 分列は含まないことを示せ（p = 1 については問 10.5.8 参照）．

例 10.5.4 ℓ

( N ) の点列に関し, 収束 ⇐⇒ w-収束．

証明： ⇐ を示せばよい．x

−→

x かつ x

̸−→ x と仮定する．x

−→

x なら x

(s) −→

x(s), ∀ s ∈ N に注意（問 10.5.5）. このとき仮定から x

− x の部分列 y

及び δ > 0 を ∥ y

∥

≥ 4δ > 0, ∀ n ≥ 1 なるようにとれ,y

(s) −→ 0, ∀ s ∈ N . そこで自然数列 0 = s

< s

< ..., 1 = n

< n

< ... を次のようにとれる：

1) ∑

[0,sk)

| y

| < δ, ∑

[sk,sk+1)

| y

| > 3δ, ∑

[sk+1,∞)

| y

| < δ,

（省略記号： ∑

[a,b)

y = ∑

s=a

y(s) を用いた)．手始めに k = 1 を考える．このとき 1) の第 一式は自明．また s

を十分大きくとれば，第二・第三式が成立する．一般に n

, .., n

, s

, .., s

(k ≥ 2) までとれたとき n

> n

を十分大きくとり 1) の第一式が成立．これに 対し s

> s

を十分大きくとり 1) の第二・第三式が成立する．ここで次の z ∈ ℓ

( N ) を考える：

z(s) = y

(s)

| y

(s) | , s ∈ [s

, s

), 但し

= 0.

すると

∑

[0,∞)

y

z =



 ∑

[0,sk)

+ ∑

[sk,sk+1)

+ ∑

[sk+1,∞)



 y

z ≥ − δ + 3δ − δ = δ.

よって，y

̸−→

0, ゆえに x

̸−→

x (矛盾). 2

問 10.5.5 x

, x ∈ ℓ

( N ) (1 ≤ p ≤ ∞ ), x

−→

x なら x

(s) −→ x(s), ∀ s ∈ N を示せ．

問 10.5.6 問 10.5.3 の { δ

}

は ℓ

( N ) で w-収束部分列を含まないことを示せ．

問 10.5.7 (⋆) L

( R

) の点列に関し,「収束 ⇐⇒ w-収束」を示せ．