mod p 多重ゼータ値に対する Bowman-Bradley の定理

mod p多重ゼータ値に対するBowman-Bradleyの定理

斎藤 新悟 （九州大学）^∗1 若林 徳子 （九州産業大学）^∗2

1. 多重ゼータ値に対するBowman-Bradleyの定理

定義1.1 正の整数k₁, . . . , k_n (k₁ ≧2)に対して，多重ゼータ値ζ(k₁, . . . , k_n)，等号つ き多重ゼータ値ζ^⋆(k1, . . . , kn)を次で定義する：

ζ(k₁, . . . , k_n) = ^∑

m1>···>mn≧1

1

m^k₁¹· · ·m^k_nⁿ ∈R,

ζ^⋆(k₁, . . . , k_n) = ^∑

m1≧···≧mn≧1

1

m^k₁¹· · ·m^k_nⁿ ∈R.

定義1.2 正の整数の有限列(a₁, . . . , a_m), (b₁, . . . , b_n)に対して，それぞれの順番を保 ちつつ重ね合わせて得られる(m+n)!/m!n!個の有限列の形式的な和を

(a₁, . . . , a_m)x(b₁, . . . , b_n) と書く．ζ, ζ^⋆をこの形式和に対して線形に拡張する．

例1.3 m=n= 2のとき，次が成立する：

ζ⁽(a1, a2)x(b1, b2)⁾=ζ(a1, a2, b1, b2) +ζ(a1, b1, a2, b2) +ζ(a1, b1, b2, a2) +ζ(b₁, a₁, a₂, b₂) +ζ(b₁, a₁, b₂, a₂) +ζ(b₁, b₂, a₁, a₂).

定理1.4 (Bowman-Bradley [1], Kondo-S.-Tanaka [2]) 任意の非負整数m, nに 対して，

w= (3,1, . . . ,3,1

| {z }

2m

)x(2, . . . ,2

| {z }

n

)

とおくと，次が成立する：

ζ(w), ζ^⋆(w)∈Qπ^4m+2n. 注意1.5 この定理のwは

w= ^∑

∑2m i=0ni=n n0,...,n2m≧0

(2, . . . ,2

| {z }

n0

,3,2, . . . ,2

| {z }

n1

,1,2, . . . ,2

| {z }

n2

, . . . ,3,2, . . . ,2

| {z }

n2m−1

,1,2, . . . ,2

| {z }

n2m

)

と書ける．また，m = 0またはn = 0の場合を考えることにより，この定理から次が 従う：

ζ(2, . . . ,2

| {z }

n

), ζ^⋆(2, . . . ,2

| {z }

n

)∈Qπ²ⁿ, ζ(3,1, . . . ,3,1

| {z }

2m

), ζ^⋆(3,1, . . . ,3,1

| {z }

2m

)∈Qπ^4m.

∗1〒819-0395 福岡県福岡市西区元岡744 九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所

e-mail:[email protected]

web: http://imi.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/

∗2〒813-8503 福岡県福岡市東区松香台2丁目3-1 九州産業大学 工学部 基礎教育サポートセンター

e-mail:[email protected]

web: http://www.kyusan-u.ac.jp/J/noriko/

2. mod p多重ゼータ値に対するBowman-Bradleyの定理

定義2.1 (Zagier) Q代数Aを

A=^∏

p

(Z/pZ)^/⊕

p

(Z/pZ)

で定義する．ただし，pはすべての素数を動く添字である．

正の整数k1, . . . , knに対して，mod p多重ゼータ値ζ_A(k1, . . . , kn)，mod p等号つき 多重ゼータ値ζ_A^⋆(k₁, . . . , k_n)を次で定義する：

ζ_A(k₁, . . . , k_n) =



 ∑

p>m1>···>mn≧1

1 m^k₁¹· · ·m^k_nⁿ





p

∈ A, ζ_A^⋆(k₁, . . . , k_n) =



 ∑

p>m1≧···≧mn≧1

1 m^k₁¹· · ·m^k_nⁿ





p

∈ A.

例2.2 任意の正の整数kに対して，p−1/ k| なるすべての素数pに対して

p−1

∑

m=1

1

m^k ≡0 (mod p)

となるので，ζ_A(k) =ζ_A^⋆(k) = 0である．

定理2.3 (S.-Wakabayashi) m,nを(m, n)̸= (0,0)なる任意の非負整数とする．正 の奇数a1, . . . , am, b1, . . . , bm，正の偶数c1, . . . , cnに対して，

w= ^∑

σ,τ∈Sm

ρ∈Sn

(a_σ(1), b_τ(1), . . . , a_σ(m), b_τ(m))x(c_ρ(1), . . . , c_ρ(n))

とおくと，次が成立する：

ζ_A(w), ζ_A^⋆(w) = 0.

注意2.4 a1 =· · ·=am = 3, b1 =· · ·=bm = 1, c1 =· · ·=cn = 2の場合は w=m!²n!(3,1, . . . ,3,1

| {z }

2m

)x(2, . . . ,2

| {z }

n

)

となり，定理1.4の類似が従う．さらにn = 0の場合から金子昌信氏[3]の予想

ζ_A(3,1, . . . ,3,1

| {z }

2m

) =ζ_A^⋆(3,1, . . . ,3,1

| {z }

2m

) = 0

が従う．

参考文献

[1] D. Bowman and D. M. Bradley, The algebra and combinatorics of shuffles and multiple zeta values, J. Combin. Theory Ser. A 97(2002), 43–61.

[2] H. Kondo, S. Saito, and T. Tanaka, The Bowman-Bradley theorem for multiple zeta-star values, J. Number Theory 132(2012), 1984–2002.

[3] 金子昌信，有限多重ゼータ値mod pと多重ゼータ値の関係式，京都大学数理解析研究所講 究録 1813(2012), 27–31.