第１問
解答解説のページへ [1] O を原点とする座標平面において, 点 P( ,p q を中心とする円 C が, 方程式) 4 3 y= xで表される直線l に接しているとする。 (1) 円 C の半径 r を求めよう。 点P を通り直線 l に垂直な直線の方程式は, y= - (x-p)+ なので, Pq からl に引いた垂線と l の交点 Q の座標は( (
3 25 ウ p + エ q ,)
254(
ウ p + エ q))
となる。 求めるC の半径 r は, P とl の距離 PQ に等しいので 1 5 r = オ p - カ q ………① である。 (2) 円C が, x 軸に接し, 点 R( 2, 2) を通る場合を考える。このとき, p＞0, q＞0 であ る。C の方程式を求めよう。 C は x 軸に接するので, C の半径 r は q に等しい。したがって, ①により, p = キ q である。 C は点 R を通るので, 求める C の方程式は(
x - ク) (
2+ y- ケ)
2= コ ………② または(
x - サ) (
2+ y- シ)
2= ス ………③ であることがわかる。ただし, コ ＜ ス とする。 (3) 方程式②の表す円の中心を S, 方程式③の表す円の中心を T とおくと, 直線 ST は原点O を通り, 点 O は線分 ST を セ する。 セ に当てはまるものを, 次の○
0 ～○
5 のうちから1 つ選べ。○
0 1 : 1に内分○
1 1 : 2 に内分○
2 2 : 1 に内分○
3 1 : 1に外分○
4 1 : 2 に外分○
5 2 : 1 に外分 [2] 自然数m, n に対して, 不等式 3 2 2 3 log m +log n ≦ ……④を考える。 3 2 m = , n = のとき, 1 3 2 2 3 log m +log n = ソ であり, この m, n の値の組は ④を満たす。 4 m = , 3n = のとき, 3 2 2 3 log m +log n = タ であり, この m, n の値の組は ④を満たさない。 イ ア不等式④を満たす自然数m, n の組の個数を調べよう。④は 2 3 log m+ log n≦ テ ………⑤ と変形できる。 n が自然数のとき, log n のとり得る最小の値は ト であるから, ⑤により, 3 2 log m ≦ テ でなければならない。log m ≦ テ により, 2 m = ナ または m = ニ でなければならない。ただし, ナ ＜ ニ とする。 m = ナ の場合, ⑤は, log3n≦ となり, n ≦ ノハ と変形できる。2 よって, m = ナ のとき, ⑤を満たす自然数 n のとり得る値の範囲は, n≦ ヒ である。したがって, m = ナ の場合, ④を満たす自然数 m, n の組 の個数は ヒ である。 同様にして, m = ニ の場合, ④を満たす自然数 m, n の組の個数は フ で ある。 以上のことから, ④を満たす自然数m, n の組の個数は ヘ である。 チ ツ ヌ ネ
第２問
解答解説のページへ p を実数とし, f( )x =x3-pxとする。 (1) 関 数 ( )f x が 極 値 を も つ た め の p の 条 件 を 求 め よ う 。 ( )f x の 導 関 数 は, ( )x ¢ = f ア x - である。したがってp , ( )f x がx= で極値をとるならば, a ア a - = ウ が成り立つ。さらに, xp = の前後でのa f¢( )x の符号の変化 を考えることにより, p が条件 エ を満たす場合は, ( )f x は必ず極値をもつこと がわかる。 エ に当てはまるものを, 次の○
0～○
4 のうちから1 つ選べ。○
0 p = 0○
1 p > 0○
2 p≧ 0○
3 p < 0○
4 p≦ 0 (2) 関数 ( )f x が 3 p x = で極値をとるとする。また, 曲線y= f( )x を C とし, C 上の 点(
,( ))
3 3 p f p をA とする。 ( )x f が 3 p x = で極値をとることから, p = オ であり, ( )f x はx = カキ で 極大値をとり, x = ク で極小値をとる。 曲線C の接線で, 点 A を通り傾きが 0 でないものを l とする。l の方程式を求め よう。l と C の接点の x 座標を b とすると, l は点 ( ,b f( ))b におけるC の接線であ るから, l の方程式は b を用いて, y = ケ(
b - コ 2)
(x b- )+ f( )b と表す ことができる。また, l は点 A を通るから, 方程式 サ b - シ 3 b + = を2 1 0 得る。この方程式を解くと, b = ス , であるが, l の傾きが 0 でないこ とから, l の方程式は, y= x+ である。 点 A を頂点とし, 原点を通る放物線を D とする。l と D で囲まれた図形のうち, 不等式x≧ の表す領域に含まれる部分の面積 S を求めよう。D の方程式は, 0 y = ニ x - ヌ x であるから, 定積分を計算することにより, 2 24 S = となる。 イ セソ タ イ チツ テ ト ナ ネノ第３問
解答解説のページへ 数列{a の初項は 6 であり, {n} a の階差数列は初項が 9, 公差が 4 の等差数列であn} る。 (1) a = アイ , 2 a = ウエ である。数列 {3 a の一般項を求めよう。 {n} a の階差n} 数列の第n 項が オ n + カ であるから, 数列 {a の一般項は, n} n a = キ n + ケ n + コ ………① である。 (2) 数列 { }b は, 初項が 2n 5で, 漸化式 1 1 1 n n n n a b b a + + = - (n =1, 2, 3, ……②を満) たすとする。b =2 である。数列{ }b の一般項と初項から第 n 項までの和n n S を求めよう。 ①,②により, すべての自然数 n に対して, n 1 n n b b n + + = + ……③ が成り立つことがわかる。ここで, c = セ n + ソ n(
)
b ……④とするとき, n ③をc とn cn+1を用いて変形すると, すべての自然数 n に対して(
セ n + チ)
cn+1= セ(
n + ツ)
c n が成り立つことがわかる。これにより, d = セ n + テ n(
)
c ……⑤とおく n と, すべての自然数 n に対して, dn+1=dnが成り立つことがわかる。d = ト 1 であるから, すべての自然数 n に対して, d = ト である。したがって, ④と⑤ n により, 数列 { }b の一般項は n(
)(
)
n b n n = + + である。また n b n n = -+ + が成り立つことを利用すると, 数列 { }b の初項から第 n 項までの和n S は, n n n S n = + サ シス ク セ セ ソ タ セ ソ セ テ ト ナ セ ニ セ テ ヌ ネ ノ ソ第４問
解答解説のページへ 座標空間において, 立方体 OABC-DEFG の頂点を O( 0, 0, 0 ) , A (3, 0, 0 ) , B(3, 3, 0 ) , C( 0, 3, 0) , D( 0, 0, 3) , E(3, 0, 3) , F(3, 3, 3) , G( 0, 3, 3) とし, OD を 2 : 1 に内分する点を K, OA を1 : 2 に内分する点を L とする。BF 上の点 M, FG 上の点 N および K, L の 4 点は同一平面上にあり, 四角形 KLMN は平行四辺 形であるとする。 (1) 四角形 KLMN の面積を求めよう。ベクトル LKを成分で表すと(
LK = アイ , ウ , エ)
となり, 四角形 KLMN が平行四辺形であることより, LK = オ である。 オ に当てはまるものを, 次の○
0～○
3のうちから1 つ選べ。○
0 ML○
1 LM○
2 NM○
3 MN ここで, M(3, 3, )s , N( , 3, 3)t と表すと, LK = オ であるので, s = カ , t = キ となり, N は FG を 1 : ク に内分することがわかる。 また, LKとLMについて, LK LM ⋅ = ケ , LK = , LM = となるので, 四角形 KLMN の面積は である。 (2) 四角形 KLMN を含む平面をとし, 点 O を通り平面と垂直に交わる直線をl, とl の交点をP とする。 OP と三角錐OLMN の体積を求めよう。 P( , , )p q r とおくと, OPはLKおよびLMと垂直であるから, OP LK⋅ =OP LM⋅ = ソ となるので, p = タ r , q= rであること がわかる。OPとPLが垂直であることよりr = となり, OP を求めると, OP = である。 OP は三角形LMN を底面とする三角錐 OLMN の高さであるから, 三角錐 OLMN の体積は フ である。 コ サシ スセ チツ テ ト ナニ ヌ ハヒ ネノ第１問
問題のページへ [1] (1) 点 P( ,p q を通り直線) : 4 3 l y= x……ⓐに垂直な 直線は, 傾きが 3 4 - より, y= -43 (x-p)+ ………ⓑ q ⓐⓑの交点Q( ,x y は, ) 4 3( ) 3x= -4 x-p + より, q 25x=9p+12q, 3 (3 4 ) 25 x= p+ q 3 4 (3 4 ) 4 (3 4 ) 3 25 25 y= ⋅ p+ q = p+ q ここで, l に接する円 C の半径 r は距離 PQ に等しく, : 4l x-3y= から, 0 2 2 4 3 1 PQ 4 3 5 4 ( 3) p q r= = - = p- q + - ………① (2) 円 C が x 軸に接し点 R( 2, 2) を通るとき, p＞0, q＞0 で q= である。 r さらに, 4 3 q< pなので, ①より, 1 (4 3 ) 5 q= p- q , p=2q………Ⓒ ここで, PR= より, q (p-2)2+(q-2)2=q2………ⓓ Ⓒⓓより, ( 2q-2)2+(q-2)2=q2となり, 4q2-12q+ = から, 8 0 (q-1)(q-2)=0, 1, 2q = これより, q = のとき, 1 C: (x-2)2+(y-1)2= ………② 1 また, q = のとき, 2 C: (x-4 )2+(y-2)2= ………③ 4 (3) 方程式②の表す円の中心 S( 2, 1) , 方程式③の表す円の中心 T( 4, 2) なので, 線分 OT の中点が S となり, O は線分 ST を1 : 2 に外分する。 [2] ( ,m n =) ( 2, 1)のとき, 3 2 2 3log m +log n =log 8 log 12 + 3 =3 0 3+ =
( ,m n =) ( 4, 3)のとき, 3 2
2 3
log m +log n =log 64 log 92 + 3 =6 2 8+ =
さて, m, n を自然数とするとき, 不等式 3 2
2 3
log m +log n ≦ ……④に対し, 3
2 3
3log m+2log n≦3, log2m+23log3n≦ ………⑤ 1
ここで, log3n≧log 1 03 = から, ⑤により, log2m≦ となり, 1, 21 m =
1 m = のとき, ⑤はlog3n≦ となり, 32 3 2 3 n≦ からn2≦33=27, すなわちn≦ か5 ら( ,m n の組は 5 個である。 ) また, m = のとき, ⑤は2 log3n≦ となり, 0 n = から ( ,1 m n の組は 1 個である。 ) 以上より, ④を満たす自然数 ( ,m n の組の個数は, 5 1 6) + = である。 P Q p q O x y
