解答例＋引用題 文系数学 過去問

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１ 解答解説のページへ

の数字が書かれたカードを各枚数字が書かれたカードと数字が書

かれたカードを各 枚ずつ用意する。この中からカードを何枚か選び左から順に横

一列に並べる。このとき先頭のカードの数字が でなければカードの数字の列は

選んだカードの枚数を桁数とする正の整数を表す。このようにして得られる整数につ いて次の問いに答えよ。

の数字が書かれたカード各枚ずつ計枚のカードだけを用いて

表すことができる桁の整数はいくつあるか。

2007 岡山大学（文系）前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ

関数_{\ [のグラフ &上に点$D Dと%E Eをとる。ただしD＜ とE}

する。次の問いに答えよ。

線分$%と&で囲まれる部分の面積が

_{ED であることを示せ。}

線分$%の長さが一定値Oであるという条件のもとでの面積が最大になるのは

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３ 解答解説のページへ

N が より大きい自然数であるとき△2$$を ‘2 _N q ‘$ qで 面積がであるような直角三角形とする。またQ Nに対して点$_Qを

Q Q $

2$

△ が△2$Q$Qと相似であるように定める。U FRV‘2とするとき次

の問いに答えよ。

△2$$△2$$…△2$N$Nの面積の和6をUとNを用いて表せ。

2007 岡山大学（文系）前期日程 問題

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４ 解答解説のページへ

座標平面の原点を2とし 点 を頂点とす る長方形の周を5 とする。Q に対し を出発して 5上を反時計 回りに秒速 で移動する点の Q 秒後の位置を3Qとし 23Qと23Qのなす角度をTQ

とおく。次の問いに答えよ。

FRVT FRVT FRVT FRVTを求めよ。

すべてのQに対して FRVTQN FRVTQが成り立つような自然数Nのうちもっと

も値が小さいものを求めよ。

TQが最小となるときの3Qの座標をすべて求めよ。

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１ 問題のページへ

の枚のカードで桁の整数を得るには先頭の数字が以外であ

ればよいのでその個数は

u

先頭の数字が の場合と 以外の場合に分けて得られる 桁の整数の個数を

それぞれ求める。

L 先頭の数字がのとき

u

LL 先頭の数字がのいずれかのとき

u _˜

LLLより得られる桁の整数の個数は

［解 説］

2007 岡山大学（文系）前期日程 解答解説

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２ 問題のページへ

直線$%の方程式は

_D D E D E D [

\ \ DE[DE

すると線分$%と&で囲まれる部分の面積6は

^

`

³

6

³

³

^

`

³

^

`

>

@

D D D E D [ [

_{ED ED}

_ED

$% Oより _{E DE D} O_となり

O

E D E D

E D D E O

するとより

よって6が最大となるのは ED のときであり最大値はO である。

このとき線分$%の方程式は\ DEとなり[軸に平行である。

［解 説］

有名な

_{公式の証明とその応用です。}

2 [

\

$

%

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３ 問題のページへ

まず

2$ _2$2$

$ FRV ‘ Q Q Q Q U

すると△2$Q$Qと△2$Q$Qの相似比は U

Q

Q 2$

2$

これより△2$Q$Qと△2$Q$Qの面積比は

$ 2$ $

2$Q Q △ Q Q U

△

よって相似な直角三角形の面積の列は公比

U の等比数

列をなし△2$$ から

6 △2$$△2$$△2$$△2$N$N

N U U U U U N

^ `

U

UU

………＊

‘2 qのとき

U N となりこのとき6 6とおく。‘2 qのと

き

U N となりこのとき6 6とおく。

すると＊から

6

^ `

ここで 6 6 ˜

^ `

ORJ ORJ

ORJ ＞

ORJ ORJ ORJ

よって 6＞6より ‘2 qのときの6の値の方が大きい。

［解 説］

図形と数列の融合問題です。題意を把握するのに時間がかかりますが内容は基本

的なものです。

2 $

$

$

2007 岡山大学（文系）前期日程 解答解説

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４ 問題のページへ

題意より 3 3 3 3

3 3 ……となり 23Qと23Qのなす

角度がTQから

23 23 23 23 FRV ˜ Q Q Q Q Q T

これより

FRV ˜ T FRV ˜ T FRV ˜ T FRV ˜ T

まず 3Qと3Qは原点対称なので FRVTQ FRVTQが成

立する。

また\軸に関する対称性より

FRV

FRVT T

FRV

FRVT T

FRV

FRVT T

さらに FRVT となり の結果と合わせるとすべての Q に対して

Q N

Q T

T FRV

FRV が成り立つような自然数Nの最小値はである。

TQが最小となるのは FRVTQが最大のときである。 ≦Q≦において FRVTQが最大であるのはより

FRV

FRV FRV

FRVT T T T

周期性を考慮するとTQが最小となるときの3Qは

3 3 3 3 3

3 3 3

［解 説］

の周期を求めるとき図から明らかにであることはわかりますが同時に以

下の場合についての記述も必要です。