Intelligence May

Properties ^{of l in KS from the View} Point

of R

Thompson ^{' s} groups F

Akihir

^{Tak an 。 ( The} University ^{of To} kg

⁾

Joint Work with

Yuya ^{Kodama ( To} _kg

Metropolitan University ⁾

Intelligence ^{of Low}

dimensiono.IT _opo log _y

May ^26.2022

Introduction

[ Thompson ^{, 19651 defined the} groups F . T and ^V

•

They ^{are used to Con struct finite.ly}

^{presented groups}

with und able Word problem ^s

.

T and V are finite.ly

_presented ^Infinite Simple groups

[ Jones , 20173

•

introduced a method of Construction g ( Oriented ) Iink s from

element s of F ( _{or F} )

.

Shared an and _ogue of ( un Oriented ) Alexander ^{' s} theorem

だッ

寿 ^{as a closed b said}

and a Highly ^{We der result for the Oriented case}

( Aid 10,20201 Complete ^l y proud ^{the theorem for the Oriented case}

Brad _Group

Simple ^!

EEE EEE

Thompson ^{' s Group}

•

. . . . .

TI _{^ Complete d}

. ..

謐

Main result

We _{Contract a} sequence 側

_{。 CF}

Lk よし お

sociatedlink.lk ^: a Item ating ^{and fiber ed}

•

# Lk , d Ltd _, SW , b W

・

mini mol _genus Hat S ei fer t Surface s

I. Definition ^s and Construction ^s

2. Example ^s

3. Main result

I. Definition ^s and Construction ^s

2. Example ^s

3. Main result

Thompson

^s _Group ^F _{Tree diagram}

F ⁼ { ^{pair with s the of root same ed.pl number an an of bin Leaves any Trees し}

^{下り ~}

Description ^{s of Elements of F}

た

FII

下

) ⁼

下

or

T

The equivalent ^{relation : Care t}

= E F

The opposingcarets.is Tree called diagram the representing.GE reduced Tree ^F diagram ^{without pair of s g. of}

The _Group Operation

。

=

(T.T)

(T.T) ⁼ (T.T)

1 1 ¹ 1

(T.T)

t.T%ae.ws/g

• に

(T.T) ^EF ( T ^: bin _any Tree )

・

し

、

下

に _(T-T)

Presentation s of ^F [ McKenzie

Thompson ^{, 1 9 7 3 1}

F

N _, K _,

_。

つぐ

( _i ⁼ Ij ^{+ 、} ( i ^< j )

三 つ

0.x ^、

_、

, とつぐ

_, 心

心

つく

_。

、

つく

_、

、

つ_に ^二

、

・ ・ ・

Jones ^' Construction

^{( 1 )}

ーー ・ ・ ・ ・ ・

I

し

、

下

) EF ^: reduced Tree diagram ^{with int l Leaves}

Place the Leaves of し

、

下

) at ( 20 ^{) 、 ( ) 、}

^{、 ( 2} が

^{0 )}

Note that

^{CR × R} ≥ 。 and T

CR ^× R 。

(1) Con struct the Manor graph ^{ア (T.T) :}

Vert EX ^: (O.O) 、 ( 1

⁰ ) _.

_. ( h

O )

Edge ^: For ^{Inter seats} _of ^trans _{I and} ^{ver Sally} does ^jus not ^{t Once} do the ^{an Edge} other Edge ^{of s}

of し

、

下

)

F . T

Jones ^' Construction

4

v de int graph

た

^{( 1 )}

.fi ^、

ーー ・ ・ ・ ・ ・ ・

・

・

・

・ ・

が _Iink

Project ^Ion

。

: 1.

I

(T.T)

(2) Con struct the Media I graph ^MMF

^下り

Let G ^{be a Connect}

edplanargraph.Itsmedidgraphmisobtainedavertexi.me ^{Edge : Two} pondingedgesareadjacentonafo.ee ^{Vert very i Cesare Edge of join G ed if of the G}

^comes

Jones ^' Construction

た

^{( 1 )}

。

、

- . - ^。

_{: 1.} 謭

た

ア

(

) M

し

、下り

ん

がた ⁾

(3) Con struct the Link diagram ^{HIM :}

replacevertices.in | ^{R R × × R R with with}

Jones ^' Sub groups

FF 引 ^し

) EF ^ア し

、

下

) is 2

color able } ^{: Jones ' Sub} _groups

or

A graph ^{G is 2 color able} _Oriented Thompson ^{' s}

da 手 ^: _{MG )} ⁼ { Vert ices of _G } { ^t _,

} _groups

si.uisevaarejoinedfwJ.BY ^{Convention , the Vert ex (O.O) has the color t}

Example

(1) _{( 1 )}

+

・

・

t.it

| ⁺

| ²

^{color able NOT 2}

^{color able}

(II) ^{EF ~ ん し}

^{) is Natural I} _y ^Oriented

+ _- + - 謭 ^櫺 翲

color in g

ア

( たで

んし

) んし

)

- 䵷 ^- 謭

S (T.T)

^Orient

_(T.T) ^able _{is 2}

color able

checkerboard.SI Surface

んし

) obtained from

i

S (T.T) is ^a S e tert Surface

Blue _regions

of _HIT )

Generator s of F

Thin 1 Got an

Sapir ^{、 20171}

・ F is Gene ^rate d by ^{X : = 1}

^{i ≥ 0 } and}

※ ⁼ 1 ^{が ※ 、}

^{で i ≥ 0}

^{n ≥ 1} }

• F is generatedbjxa.x.kz ^{and DG}

• F

go.yi.bz 。

・ ・ ・ よ

ほ _{は i} ⁼ _{y ; + 2 ( i} < j )

片 (

^{(i) ( in )}

Remark F ⁼ たつ

し

、

下

) ^:

binarytrees.FI ^し

下

) ^{: 3}

_any ^Trees .

. . .

. 1 し

、

下

) ^{: k}

_any ^Trees

まで _、 i ⁼

お ⁼

I. Definition ^s and Construction ^s

2. Example ^s

3. Main result

[

1 1

ば ^{= n e} _{

ば ₎ ⁼

Fact All linksobto.in ed from element s of F with ^≤ 5 Leaves

are Tri vid

四

城 ^{= n}

ⁿ

、 : ⁿ 酈

酈 ^~

-

が

き _{: : : : : :} :

藩 蘐 ^蘂

a.

•

•

☒

. . .

= y ? y ? ^~

Lam [ Kodama

^T

20221

で が ⁼

• T 。

・ ・ 、

n n

( ^{n ≥ 1} )

ど が ⁼

T 。 。 。 。 。

n n

n + 1

n

. .

'

Y y T ^{u n}

_. が ^{n e}

' .

' .

' s

n n

k Gk ^{L #} L ^{C a Her} not in g ^fibered 8 b

0 で お ↳ a

2 ² YES YES ⁰ 2

1 で

? ⁴

^{I 4 YES YES 1 3}

2 で

? ^{Lia 、} 2 ⁵ YES YES 1 3

3 で

? Loaa ^{3 6 YES YES 1 3}

4

紂 ³ ha 、 2 7 YES YES ₂ 3

5 で が 8

1 8 ^{YES YES 3 3}

: b ^: braid Index

'

C ^: Crossing ^number

g ^: genus

I. Definition ^s and Construction ^s

2. Example ^s

3. Main result

Thin ^{[ Kodama}

^T

²⁰²²¹

ば がい _{( k} ⁼ _{2 m )}

{ Sho ^: _sequence ^{in F} _given by ^Sk _で ⁺² _yim

² _{( k = 2 m + 1 )}

↳ は

1 ( k ⁼ 6 ^{m +} 1 . 6 ^{m +} 5 )

で が⁼

• # Lk ⁼ | ^{2 3 ( ( k k = = 2} 6 ^m m ^{) +} 3 ) ⁱ

ど が⁼

• dL 。 ) ^{= 2} . c ( LA ⁼ k ⁺ 3 ( k ^{≥ 1} )

• Vk ^≥ 0.LK ^{: a Item} ating ^and fiber ^ed

• b ( Lo ) ^{= 2} . b ( ↳ ⁼ 3 ( k ^{≥ 1} )

M ( k ⁼ 2 m )

• g ( ↳ ⁼ | ³ 3 ^m m ^{+ +} 3 ^{l (} ( ^k k ^{= = 6} 6 ^{m m + + 1} 5 ^. ) ^{6 m + 3 )}

・ We Can easilyobtc.in ^{the mini mol} _genus ^{Hat S e tert}

Surface of h from SI

Proof ( ou Him )

キ、

Lk

Competition ^s using ^{the result} of Aid 10,20191

↳ ^: altemating.cl ^↳

※ 踝 ^{- 鱁 - 鰯 '}

𩻄 - ^- 𩻄 ^-

g ( ↳

, h ^: fiber ^ed

に

^: Iink , alt ) ^: Alexander pdynomid ^{of L}

L em [ Kodama

T

20221

「 k ^≥ 0 _, deg ^{↳ ( t ) = k + 1 and 近 ) : mon ic}

鼈 ^が

𩻄 ^"

~ Complete ^{thesetert Matrix}

Fact 1 ( to well , 19591.1 Murasugi ^{, 19583.1} Murasugi ^{, 1 9 6 3 ]}

L ^: non

Split ^{a Her} _voting ^Iink

・ deg ^{I ) = 2 g ( L ) + # L}

^{1 , ・ L : fibered Minori c}

b し ↳

に

^: Iink , alt ) ^: Alexander pdynomid ^{of L}

L em [ Kodama

T

20221

「 k ^≥ 0 _, deg ^{↳ ( t ) = k + 1 and LX : mon ic}

鼈 ^顙 𩻄 ^"

~ Complete ^{thesetert Matrix}

Fact [ Murasugi ^{, 1 9 9 1 ]}

L ^{: non}

Split ^{a Her} _voting ^{fibered Iink}

HL ) ⁼ dL )

deg ^{I ) + 1}

Se tert Surface

Le ^: Iink , alt ) ^: Alexander pdynomid ^{of L}

L em [ Kodama

T

20221

「 k ^≥ 0 _, deg ^{↳ ( t ) = k + 1 and LX : mon i c}

で

鼈 _{( ※} ^、

^{、 第} _※ ^{! 例 : mini and genus}

~ Complete ^{thesetert Matrix}

HS 。 ( お

^{" '} _. k ⁺ 1 ⁼ 2 9 ( S 。 はが ^# L

1

i.gl ^{S 。 ( お ) =} g ( L )