耐力低下を考慮した2方向復元力モデルと地震応答

【論　 文

1

UDO 　：624

．

042

．

フ　：620

．

1 日本建 築 学 会 構 造 系 論 文報 告 集 第 379 号

・

昭 和 62 年 9月

耐力

低 下

を

考慮

し た

2

方 向復

元 力

モ

デ

ル

と

地 震 応

答

正 会 員 正 会 員 正 会 員

市 之 瀬

滝 　 　

口

吉 　　井

　

＊ 艸 ホ 　 ホ 　 ホ

勝

己

行

敏

克

正 　§

1．

研 究 目 的 　（1） 耐 力低 下 を考 慮 し た

2

方向復元 力モ デ ルの_提案 　こ れ ま で

，

部 材の 1軸 復 元 力モ デルを2 軸に拡 張す る 方 法と し ては_， 滝 沢ら1）の よ うに

，

金 属 塑 性 論を用い た もの がほと ん どであっ た。 し か し

，Drucker2

〕_{の安定 硬} 化条件を仮 定する限り

，

図

一

1

，

図

一

2 （図の説 明は§

2

で行う）の よ う に耐 力低 下する部 材の 1_{軸 特 性}を塑 性 論 の みによっ て 2軸に拡 張 する こと は困 難で あ る。 　最近

，

ひずみ軟化 を考 慮し た材 料の 多軸 構 成 則がい く つ か提案さ れ てい る

。

Bazant ら3｝_は ，　Dougill ‘〕_の 弾 性 破 壊 理 論 を も とに_， 応 力空 間

一

ヒに塑 性ポテ ン シ ャ ルを

，

ひ ずみ空間上に破 壊ポテ ンシ ャ ル を仮 定し た コ ン クリ

ー

ト の塑 性 破 壊 理 論 を提 案し た

。

また前 川ら5）は

，

ひずみ空 間上に塑 性 ポテンシャ ル を仮 定 し， 最 大 等 価ひずみに応 じて弾 性 係 数 を 低 下 させ る こ と によ り

，

コ ン ク リ

ー

トの 弾塑性破壊理論を導いた

。

　 本報告で は

，

仮 想 復元力 平 面 （定 義は§3 で行 う） 上 に塑性 ポテンシャル を， 変 形 平 面 上に破 壊 ポテンシ ャ ル を仮 定す ること に よっ て， 耐力が低下 す る部 材の 1軸 特 性を 2 軸に_拡張す る

。

ま た

，

平面 保 持 仮 定に よる

RC

柱 断 面の解析を行っ て

，

提案モ デルの検 討を行う

。

で

託

M

°

K2

至

Σ ；

K3

1000

一

_φ

o 　

3

　　：

KIl

　　

I

S

0

，

03

一

〇

．

01

　

　

i

　　…

　

−

2000

　　‘

φo

OO3

φ

（

’m ） 　 （2） 耐 力 低 下 する復 元 力モ デルの 2_{方 向地 震 応 答} 　 耐 力 低 下 する復 元 力モ デル の

1

方 向 地 震 応 答は， 秋 山6） ， 山田 ら n_{な どに より調べ ら れ て き た} 。 本報告では

，

上 述の モ デル を用い て

，

2方 向地 震 応 答 解 析を行う。 そ して

，

2方 向 入 力 と耐 力低 下が地 震応 答に及ぼ す影響を 調べ _る

。

　§

2．

円形 RC 柱断面の平 面 保 持 解 析 　 　 　＝

・

2

種 類の耐 力 低 下パ タ

ー

ン

ー

　外 径

100cm

かぶ り厚 5cm の 円 形 柱 断 面を扱う。 全 鉄筋比は

2

％ と す る

。

断 面 を， 図

一

_{3の よ うに}

_，

_{円周 方} 向に

32

等分

，

半 径 方 向に 5等 分 する。 分 割し た要素内 で は， ひずみ は

一

_{様と す る}

_。

　鉄 筋の応 力ひずみ特 性は図

一

4（a_＞の よ うな完 全弾塑 性型 とす る

。

コ ンクリ

ー

トは

，

図

一

4（

b

）の よ う な モ デ ル と し， 引張側は応 力 を 負 担し な いもの とす る

。

　平 均軸力 を

F

。／4，

Fc

／6とし たと きの 1軸モ

ー

_{メン ト}

軍

〆

MoK2

羣

曹

　 　　

i

忌

一

）

K3

　　

　　…

　　

1000

一

φo

　　

i

　 　 l

KIl

φ

　　　　

o

s

QO3

　 　

−

0

．

01

　　

　　

　　

　　

1

　　

　　

　　

　　

i

　　　　　　　

−

2000

QO1

_φ

_（

_’

_{m ）}

図

一

2　単 調 劣 化型の 1方 向 復 元 力モデル

Reinforcement

歪

L

 

　 　 　 ● 図

一

1 蓄 積 劣 化 型の 1方 向 復 元 力モ デル 　＊ 名 古屋工業 大 学 　 助 手

・

工博 榊 東 京工業 大 学 　 助 教 授

・

工博 ． 韓 清 水 建 設 （株 ）

・

工修 　 （昭和 62 年 2 月 9 日原 稿受 理 ）

100

” ” ”

100

図

一

3　円 形 RC 柱 断 面の分 割

一

₃₈

一

曲 率関係を 図

一

5

，

6に示す

。

また_， こ の と きの_{材 軸}ひ ずみ εe の応答を図

一

7

，

8に示す

。

　平 均 軸 力 F

，

／4の 1軸モ

ー

メ ン ト曲率関 係 （図

一

5） では

，

繰り返し変形 を与え た と き第 1回 目の最 大 曲率に 達 する前に耐 力の低下 が起こる。 これに対 し， 平 均 軸 力

F

。／6の解 （図

一

6）で は， 第1回 目の最 大 曲率に達し た 後で耐 力の低 下が起こ る

。

この_{原 因}は

，

図

一

7， 8 よ り わ か る。 す なわち，

　

（a _{） 平 均 軸 力}



Fc_／4の解 （図

一

7 ）で は材 軸の ひず み ε

。

が コン ク リ

ー

ト圧 縮 強度時の ひずみ ε。

＝

0

．

002を 比較的 早い時 期か ら超え る

。

　

（

b

＞

　

こ れ に対 し

，

平 均 軸 力

F

。／6の解 （図

一

8＞で は ε

。

が ε。を 超 えな い。 つ ま り

，

材 軸の圧 壊が起 こっ ている か起こっ て いない か の違いが その原 因である

。

 

↑

1

_蘇

7

　　　

E

＝

200kN

_’

mm2

　

ノ

0

！ ！ ε

Fc

＋

羸

、

Ec

_，

｛a _）鉄筋

0

ε_c＝

2x10

昌

3

盆

　　　　　　　

_euMOxlO

−3

　 　 （

b

｝　コ ンク リ

ー

ト 　 　 　図

一

・

4　材料モデル

（

∈

2

ぎ ） Σ

1000

一

_〇

_．

₀₂

₀

_．

₀₂

₀

．

04

φ

（

ノm

_）

一

₂₀₀₀

図

一

5モ

ー

メ ン ト曲 率関 係 （平 均 軸 力Fc／4）

　

図

一5

，

6

の モ

ー

メン ト曲 率 関 係 を図

一1，2

の よ う に モデル化す る。 これらをそれぞれ， 蓄積 劣化 型

，

単 調 劣 化 型の_{復 元 力}モ デル と_呼ぶ_。 モデル の諸 定 数 を表

一

1に 示 す。

　

最後に

，

平 均 軸 力

F 。

／

4，F

。／6の と きの 2軸 応 答 を 調 べ _る

。

_図

一

_{9の ような半 径 15×}

10

』

3_／m の 曲 率 履 歴 を

2

回与え た と きの モ

ー

メ ン ト応答を図

一10

と図

一

11に示 す

。

F，／4の解で は

，

円 形 履 歴 を5／4周 し た と こ ろで コ ンク リ

ー

トが応 力 を負 担し な く なっ たの で

，

こ の時 点で 破壊と み な し

，

それ以 降の_履歴は示して いない

。

F 。

／4 の_解の方が Fe／6の解よ りずっ と激しい耐 力 低下を示し た

。

これ も

，

材 軸の圧 壊が起こ っ て いるか起こっ ていな いか の違いが原 因である

。

表

・

−

1 復 元 力モデル の_{諸 定 数}

肉

（

．

1

。

髴

Nm

・

誓

3

（

k

臨

》

（

φo

’m

）

昭

45000

．

5452548

α

0101

Fc

／

65000

．

52523720

．

0121

（ ε

2

畄 ） Σ

1000

伽

q

・

02

0

。

0

φ（

1m

）

一

₁₀₀₀

図

一6

　モ

ー

メン _{ト曲 率 関 係 （平均軸 力}Fc_／61 　 　 　 図

一

7材 軸ひずみ の応 答 （平均 軸 力 F

。

／4） ε

_c

− 一 一 一

〇

．

002

ε

₀

一 　 一 一 一 『 一 一

φ

0

．

03

　 　 −

0

．

01

0

．

01

　 　

0

．

03

図

一

8材 軸ひずみ の応答 （平 均 軸 力E。／6）

一

₃₉

一

A

手

15

」

，

b

尸

5

合

_φ

x10

−

3

’m

）

一

₁₅

₀

₁₅

15

1dMe

図

一

9　2軸 円 形曲率履歴

国

（a _{） 弾 性 時}

S

，

」

、

S

　曽

_’

ノ

宕

「

，

、 ’

・

ノ

 

．・Z

_己

　 　 創

■

　　

・

　　

唖

　

・

　　 ，

　　　，

_，

噸

　．

_・

　o

_●

．

o Σ

・

_・

．

．

．

₁₀₀₀

’ ご ：

6r

丿 …



　

　

■

　

　

，

　

．

．

　

●

一

₁₀₀₀

M1

_（

kN

・

h

_）

　 　 」

　　．

，

_「

●

_●

丿

．

_．

　　 ，

ぞ

亀

、

、

！

　　　　

，

’

．

₆

　■

　

・

　

，

　

・

　

凾

　　　■

　　 ■

　　■

■

，，

■

’

！ノ

瞭

］

（

b

｝ 塑 性 時 S 　 　 　 　 　 e

璽

5 図

一

10　2軸モ

ー

メント応答 （平均軸 力 Fc／4） （

ヱ

！

・

耄

●

　

，

　

■

　

・

　　，

　　　．

_●

・

　．

　 ．

　　，

●

■

．

　

’

　 　 　 個

・

’

_Σ

1000

．

o

・

　響

　■

　 騨

∫

●

_．

：

一

1000

　 　　 　 　…

MI

　

kN

・

’

m

）

：

_，

，

，

一

1000

o

曾

，

響

3

．

．，

　　　　　．

　 ，

　．

_■

，

●

・

o ，

　　　 ゆ

　　　■

，

，

　　

，

　

■

陰

図

一

112 軸モ

ー

メン ト応 答 （平 均 軸 力E

。

／6） 　§

3．

弾塑性破 壊モデル

　

本節で は， 耐 力 低 下 する 1軸 復 元 力モ デル を2軸に拡 張 す る方 法を示す。 な お本 節で は

，

列ベ ク トル を日 で

，

行ベ ク トル をL 」で ， 行列 を［］で表す

。

　

3−1

モ

ー

メ ン ト増 分の_{分 解} 　第 1 （初 期 弾 性）剛性を

K

，， 第2 （塑 性 〉 剛性を

K

，， 第 3 （破 壊）剛性をKs で表 垢 各剛性 部分で の モ

ー

メ

出

溺

　 　 （c_{） 破 壊}時 図

一

12　1軸 載 荷 時の モ

ー

メ ン ト増 分 関 係

　 一

勸

MY

個

_耐

、、

　蹲

｛

dM

｝

、

下

2Mr

，

慴一

　 ⊇ζ・_き

、

隷綴

_濺

’

｛

d

仰

X

呈

．

・

’

・

．

L

曽一

｛

（

_冴

F

＝

0

遨

止

図

一

13 塑 性 ポテン シャ ル とモ

ー

メ ン ト増 分の分解 ン ト増 分を

，

次の よ う に 分解す る

。

　（1） 第 1剛 性 部分 ：図

一12

（a_）ま た は 次 式の よ う に

，

弾 性モ

ー

メ ン ト増 分

ldMe

｝の みが生 じる と_考え る

。

　　 　

idM

｝

＝

ldMe

｝

…一 …一 …・

………・

（1） ただし

冒

｛

dMe

｝＝ ［

S

_］

ld

_φ｝

…・

…・

………・

………・

・

・

・

…

（2）

　

　

　

　

［・］

一

［

K

・］

一

［

舌£

i

］

・

一 …・

……一 …・

・

_（・） 　（2） 第2剛 性 部 分 ：_図

一

12 （

b

_＞ま たは次 式の よ う に

，

弾 性モ

ー

メ ン ト増 分｛

dMe

｝と同 時に塑 性モ

ー

メ ン ト 増分

ldM

外が生じ ると考え る

。

　　 　

ldM

｝

；

ldMel

十

ldM

『

・

−t…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4 ） た だ し

，

ldMal

＝一

［

S

］｛

d

φ『

…………・

…・

・

・

・

・

・

・

……・

（5 ）

ld

φ叫は

，

塑 性 曲 率 増 分と呼び

，3− 2

節で詳 述す る

。

　（3｝ 第3剛 性 部 分 ：図

一

12 （c_＞ま たは次 式の よ うに_，

ldMe

｝

，

1dM

外と同時に破壊モ

ー

メン ト増 分

ldM

｛が 生じ ると考える

。

　　 　｛

dMl

＝

ldMe

｝＋

ldM

外＋

ldM

ノト

・

・

…・

…………

（6） た だ し

，

｛

dM

つにつ い ては_， 3

−

4節で詳 述 する。 　 3

−2

　塑性曲 率 増 分

ldip

”

1

　 実 際の モ

ー

メ ン ト｛副 と破 壊モ

ー

メ ン ト

IM

りとの差， 　　 　

t

ル

f

｝

；

IM

｝

−

IM

！ ｝

・

・

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

77−77幽

一・

凾

・

9・

・

・

・

…

　（　7

』

） を仮 想モ

ー

メ ン トと呼ぶ

。

仮想モ

ー

メン ト平 面 上で

，

図

一

_{13の よ う な中心 回}

_，

_{半 径 M} ．の 円を考え

，

こ れ を 塑 性ポテ ン シ ャル F

＝

0と 呼ぶ

。

仮 想モ

ー

メ ン ト

IMI

が塑 性ポ テンシャ ル

F ＝0

の外 側へ _{進 もう とする と き}に _{塑 性} 曲 率 増 分 ｛

d

φ縛が生じ る もの と す る

。

一

₄₀

一

　こ こで

，Drucke

ド｝ の条件を仮 定す る。 す な わ ち

，

塑 性曲率 増 分

Id

姻 は塑 性ポ テン シャ ル F

；

Oの法 線 方 向 に生じ る と仮 定 する。

　　　

ld

φρ｝

＝

idF

／

dMl

　

d

λ

…

_rP・

・

…

_一・

・

・

・

・

・

…

_一・

・

・

・

・

…



_（

8

_） また

，

Ziegier8｝_と 同 様に次 式 を仮 定する

。

　 　　LdF ／

dMt

・

（

ldM

｝

一

［

W

］

ld

φ

fl

）

＝

＝

O ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

9

） 　た だ し

，

［

W

］

−

1

＝

［

K

君

一

1

−

［

S

］

−

1 　なお

，

図

一

13の よ うに_， 仮 想モ

ー

メン トの_{増分 ｝}

dM

_｝ の _{法 線 成 分}を

ldM

雪と表せ ば_， 式 （

8

＞（

9

）の_仮定よ り次式を得る

。

ld

φ外

一

（

1　 1K2 　

s

）

ldMM

……・

…・

…・

……一

_（1・） 　　 　　　しdF ／dM _」（［W ］十_［

S

_］）

idF

／

dMI

式 （8）

，

（11

’

）よ り塑 性 曲率増分

ld

φ烈が定まる

。

　塑 性 ポテン シャ ル を実 際の モ

ー

メ ン ト

IMi

で はなく仮 想モ

ー

メ ン ト｛

M

｝平 面 上で定義し た 理由は次の と おり で あ る

。

1軸 M

一

φモ デル上で仮 想モ

ー

メ ン ト増 分

dM

を描 く と， 図

一

_{12（c）の よ うに} ， 第 3剛 性 部 分 （破 壊 時 ） で の

dM

と第 2剛 性 部 分 （塑性 時 ）で の

dM

と が等し く な る

。

し た がっ て_， 破 壊 時に おいて も

Druckera

）_の条 件をそ の ま ま適 用で きる

。

ま た， 破 壊時に おい て も

dF

＝

_{0が成り立つ} ので， 次節で述ぺ る よ うに降 伏 曲 面を移 動

・

縮 小させ る こと がで き る

。

こ の 点

，Bazant3

）_{の塑 性} 破 壊 理 論と異なる

。

　3

−

3　降 伏 円の移 動

・

縮小ル

ー

ル 　耐 力 低 下 時の降 伏 円 （塑 性 ポテンシャル）の縮小を考 慮する ために_， 降 伏円の_{半 径}の_増分

dM

_．を次 式の よ う に仮 定 する。 　　 　　　 　　LM

一

α」［

s

］（【

s

］

一

［κ、⊃

一

’

ldM

！ ｝ 　 　 　

dMr

＝

一

　 　 　 　

・

…

　

一

一

（12） これ は_， 1軸 載 荷 時の図

一12

（

b

＞（c_）に対 応する。 図

一

12（

b

）（c＞の

ld

_φ彗を 比 較す る と

，

次の こ と が わか る

。

すな わ ち

，

従 来の塑 性理論で の塑性 曲 率 増 分

id

φ外は_， 図

一12

（

b

）の よ う に実モ

ー

メン ト増 分

ldM

｝を与えて取 り除いたときの残留曲率を表す。 これに対し

，

本 理 論の 破 壊 時の塑 性 曲 率増 分 は

，

図

12

（c_）の よ うに仮 想モ

ー

メ ン ト増 分

ldM

｝を与え て取 り除い た と きの残 留 曲 率 を 表 す。 　式 （8＞

，

（9）よ り次 式を得る。

　

　

　

d

・

一

、、。

嬲

灘

、

脅

、

……a…・

…一

_（11・ 上 式は_，

ldMl

＝ ［

S

］（ _φ

1

−

ld

_φ

第

お よ び_{式 （}8 _{） を利 用し} て次 式と な る。 　 　　　 　　 　　

LdF

／

dM

」［

Slld

φ

l

　 　 　

d

λ

＝

　 　　　 　　 　　　 　　　 　　　 　　

一

．………

（11

’

） 　 　 　 2Mr 上 式は

，

1軸 復 元 力 特 性が図

一

1

，

図

一

2の よ うに な る と い う条件

，

お よび

，

座標軸の回 転に対して解が 不変とい う条件か ら定め た。 　降 伏 円の移 動につ _い て は_， 仮 想モ

ー

メ ン ト平 面上 で Ziegler_則s）_{を仮定す る}

_。

_{す な わ ち降 伏 円}の 中 心

lal

は

，

次 式の よ うに_，

IM

一

α｝の方 向に移 動す るもの と す る

。

　　　

ldal

＝

IM

−

ald _ξ

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_一◆

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_r・

_（

13

_＞ 　

d

ξは_， 塑性 変形が進行す る間は

dF ＝

Oで あ るこ と か ら次 式で定ま る

。

　　

　

d

ξ

一L

”

謝

dML

響

……・

・

…………・

…

（

1

・） 　

3−4

破壊モ

ー

メン ト増分

ldM

∫ ｝ 　破 壊 ポテンシャル

G ＝

Oを曲率 平 面上で定 義 する

。

塑 性 条 件を 満 た し， かつ

，

曲 率ベ ク トル 刷が破 壊ポテ ン シャ ルの外側へ _{進も う と す る と きに破 壊モ}

ー

_{メ ン ト増 分}

idM

／

1

が生じ る ものと す る

。

　

こ こ で

，

Il

’

iushin3）の条 件す な わ ち次式 を仮定する

。

　 　　

ldMXI

＝−

ldG

／

d

φト

dx ………・

・

…・

…………

（15） つ まり

，

破 壊モ

ー

メ ン ト増 分

ldM4

が破 壊 ポテン シャ ル 曲 面に法 線 方 向を向くもの と仮 定する

。

　

これ は

，Dougill

‘）_{が弾 性 破 壊 理 論の} 中で破壊応 力増分

d

σ’ を求め る た め に用い た仮 定で あっ て_， 図

一

14に お い て ひず み増 分

d

ε を与えて取り除く間にな さ れ る仕 事

d2W

（図

一14

のハ _{ッチ 部 分}の 面 積 ） が 非 負であるとい う もの で ある

。

塑 性 理 論に お ける

Drucker2

，_の 条件に対 応 す る

。

本理論の場 合

，

曲 率 増 分

ld

φ

1

を与え て_取り除 く間に な さ れ る仕 事は

，

♂W

三一LdM

！ ＋

dM

ρ 」

ld

φ｝であ る。 こ の うち

，−

LdM ノ 」

ld

φ

1

は_， 式 （

15

）の_仮定お よ び 破 壊 ポテン シャ ル

G

が凸で あるとい う条件か ら必 ず 非 負と な る

。

ま た

，

式 （5）の定 義よ り

，−

LdM ρ 」

ld

φ｝

−

LdφP］［

S

］

ld

φ｝と なる か ら

，

こ の ［

d

φρ 」 に式 （8＞

．

（11

’

） を代入 す る と

，−

LdM

ρ 」

ld

φ

1

≧0が導かれ る。 　ま た，

3−2

節の式 （9）に対 応し て次式を仮定する

。

　　　LdG

／

d

φ」

・

（｛  ｝

一

［Z］

−

1｛dMtl）＝

o

　

ただし， ［

Z

］＝ ［

K2

］十［Ks］

………

（16）

　

な お， 図

一15

の ように

，

曲 率 増 分

ld

φ

1

の法線成分を ｛

d

捌 と表せば

，

式 （15）

，

（16）の仮 定よ り次式を得る

。

　　　

IdM

∫ ｝＝ _（

K

，＋Ks）

ld

φ性

…・

…・

……・

………・

・

…

（

17

） これ は，

1

軸載荷時の図

一

12（c）に対 応す る

。

　式 （

15

）

，

（16 ）より次 式 を得る

。

　

　

　

dx −

、

d

σ

嬲錚

11

害

譽

、、φ

「

…・

……・

・

……

_（

₁₈

_）

　

3

−2

節 と本 節の結 果を式 （6 ）に_代入 す る と

，

ld

φ｝と 図

一

14　11

’

iushinの条 件 図

一

15　 曲率 増 分の分 解

一

₄₁

一

ldMl

に関す る対 称な瞬 間 剛 性行列を得る。 　

3−5

　破 壊曲面の拡 大ル

ー

ル 　 §2で見た よ う な 2種 類の耐 力 低 下 形 式 に対 応 して， 次の 2種 類の _{拡 大}ル

ー

ル を考え る。 　 （

1

） 蓄積 劣化型

……

図

一1

の_{蓄積 劣化}型復元力モ デ ル に対 応す る。 破 壊 曲 面の初 期 状態 は

，

図

一16

（a）の破 線の _{よ う}に

，

中心 0

，

半 径

A

の _円と す る。 曲率　

iill

が初 期 破 壊曲面の外 側に あ る と き は

，

図

一16

（aXb _）の実線 の よ うに

，

その と きの 曲 率

1

φ｝か ら初 期 破 壊曲面に引い た接 線 と残りの初 期 破 壊 曲 面に よっ て構 成さ れ る曲面を 破 壊 曲 面とする

。

つ _{ま り}

，

_{破 壊}曲_面の形状は そ れ までの 曲 率 履 歴に影 響さ れ な い

。

　 （2） 単 調 劣 化 型

……

図

一

2の単 調 劣 化 型 復 元 力モ デ ル に対 応する

。

破 壊 曲 面は

，

図

一

17の 実 線の よ うに

，

前ス テップ までの破 壊 曲 面 （図の破 線 ） と現ステップの 曲 率 （図の黒 丸 ） を包 含 する面 積 最 小でかつ _{外 側}に凹で ない 曲 面 （図の実 線 ）とする

。

つ まり

，

破 壊 曲 面の形状 は そ れ ま での曲 率 履 歴に影 響される

。

1

　上 記いずれの拡 大ル

ー

ルに せ よ

，

破 壊 曲 面に は尖 点が 生じ るこ とに な る。 こ の尖点 上で， 曲 率増分ベ ク トル

ld

φ

1

が尖点を は さ む

2

つ の_{側 面}に立て た垂 線の間 を向く 場 合に は

，

図

一15

の 定 義 よ り，

ld

φ｝−

id

φ『とな る

。

尖 点が尖る ほ ど

ld

φ｝

＝

｛

d

φ謦と な る範囲 が広がる

。

　 破壊 曲面の拡大ル

ー

ルは

，

上記

2

種類 以 外に もいろい

φ

₂

0

、 、

ノ

φ〔

ジ

　

_φ

1

（a ） φ、の み与え た場合

φ

₂

＼

　

1

、 、

、

0

　　　　　’

／

．

φ1

冨

」

　（b） φ

．

を 与 え たのち φ2を与えた場 合 図

一

16　蓄 積 劣 化型の破壊曲 面の拡 大ル

ー

ル

φ

₂

唱

、 　　 、 　 　 　

、、

　 　 　 　 、_、 　 　 　 、

、

↑

0

_φ

1

図

一

17　単 調劣化 型の破 壊 曲 面の拡 大ル

ー

ル 　 　 　 〔φ、を与え たのち 晦を与え た場 合 ）

一 42 一

ろ設 定 し得る

。

破 壊 曲面が至るとこ ろ なめ ら か に な る よ うな拡 大ル

ー

ル を設 けることも可 能で ある。 こ の場 合に は

，

破 壊 曲 面上の ある 1 点か ら引き得る垂線の向きが常 に ただ

一

つ に な っ て しま う か ら

，

曲 率 増 分ベ ク トル の 向 きが刻々変 化 するよ うな曲 率 履 歴に対 して は

，

本 報の ル

ー

ル に比べ て破 壊の程 度 （具 体 的に は降 伏曲面の縮 小 の程 度 ）が ずっ と ゆるや かにな る

。

こ の ことの当 否は

，

図

一

9の よ うな円 形 曲 率 履 歴に対 する応 答 を調べ るこ と によっ て §4に て明ら か に な る

S

　な お_， 蓄 積 劣 化 型の拡 大ル

ー

ル で除 荷と載 荷を くりか え し た場 合に は_， たとえ そ れ が弾 性 範 囲 内であっ て も

，

破 壊 曲 面の縮 小と拡 大が生 じる

。

ただ し

，

3

−

4節で

，

_破 壊モ

ー

メ ン ト増分

ldM4

が生じ る条件とし て _「塑 性 条 件 を満た し

，

かつ

，…

」ど し たことに よ り， 蓄 積 劣 化 型の 拡 大ル

ー

ルで も弾 性 範囲内で の繰り返し に よっ て は耐 力 低下は生じな い

。

　

3−6

　弾性剛性の低 下ル

ー

ル

　　　　　　　

L

　

説 明の都 合 上， 式 （3）で は

，

弾 性 剛 性 を ［S］

＝

［K，］

一

_{定と し た}

_、

_しか し多くの部 材， 特に鉄 筋コ ン クリ

ー

_ト 部 材で は

，

最 大 経 験 変 形の大 き さによっ て弾 性 剛 性が低 下す る

。

そこで， 式 （3） を 次の よ うに置き換え る

。

　

　

　

［

s

］一

嵩

囮

一 ・

・

…………・

一

…

…一 ・

…

（・ ’ ） こ こ で

，

　　　　　　

「

　　　　　　　　

．

’

　

　

・ ・最 大 醗 性 率 ・

讐

　 　φ

，

：初 期 降 伏 曲 率　　　　　　

1

　φ

fm

。。 ：最 大 経 験 曲率の絶 対 値 （初 期 値は

，

φ． と す る） 　 §

4

．

提 案モデル と平 面 保 持 解 との比 較 　 平 面 保 持 解と の比 較に よ り

，

前 節の提 案モ デル の検 討 を行う

。

図

一

1の復 元 力モ デル と図

一

16の蓄 積 劣 化型 ル

ー

ルで半 径15x10

−

3／m の 円形 曲 率 履 歴 を2回 与え た と きの モ

ー

メ ン ト応 答 を 図

一

18に示 す

。

また

，

図

一

2の （

ε

　　　 ●

　

　

　

，

　

．

・

’

°

Z

。

’

　　 　 　 」直

曽



●

　　

●

F

　

●

．

　●■亀

_，

・

○

・

°

　 　 　 丶 　 　　 　 　 Σ

幽

_・

　・

　斷

●

₁₀₀₀

齢

●

_凾

r曾

o

_●

∫

1000

9

　

　

　

09

　

■

　

．

4000

　　

9

凶

（

_ド

N

’

m

_）

o

_▼

，

■

_，

’

■

，

_■

_卩

9

，

_■

_■

_，

P

．

，

二

_弐

_ソ

・

・

；

．

・

・’

「．

■

図

一

18　蓄積劣化型の 2軸モ

ー

メ ン ト応 答

復元 力モ デル と図

一17

の単調劣 化 型ル

ー

ル で同じ曲率 履 歴を与えた と きの モ

ー

メ ン ト応 答を図

一

19に示す。 図

一

18の 場 合， 蓄 積 劣 化 型で あるた め， 曲 率 履歴 が進 むにつれ て モ

ー

メ ン ト応 答は内 側に入っ て いく

。

逆に図

一

_{19の場 合}

_，

_{単 調 劣 化 型である た め}

_，

_{1周 目の 3／4付 近} か ら破 壊の進 行が緩や かになり

，

2周 目以 降は破 壊が 起 こら ずモ

ー

メ ン トは そ れ以上内 側には 入 ら な く な る。 こ れ ら は

，

§2の図

一

10

，

11と よ く対 応する

。

　モ

ー

メ ン ト応 答だ けでな く

，

鈴 伏 曲 面の縮 小につ い て も平 面 保 持 解 との比 較 を行っ て み る。 平 均 軸 力

F

。／4の 平 面 保 持 解 析で

，

半 径 15×10

”

’ ／m の円 形 履 歴を1回 与 え たあ と， 曲 げモ

ー

_{メ ン トを}

一

_{旦ゼロ に戻す}

_。

_{そこ か ら} 曲 率 平 面 上で 30eき ざみ に放 射 状の曲 率 増 分 を 与える。 こ の と き

，

モ

ー

メン トベ ク トル の絶 対 値が最 大に な っ た 時の モ

ー

メ ン トを図

一

20 に黒 丸で示す

。

こ れ ら の黒 丸 を結 んだ破 線は_， 平 面 保 持 解 析に よる降 伏 曲 面 とみな す ことが で きる

。

比 較の ため

，

蓄 積 劣 化 型ル

ー

ル に よる理 論 解を実 線で示 す

。

平 面 保 持 解 （破 線 ）， 理 論 解 （実 線 ） と も降 伏 曲 面の 直径が初 期 曲 面 （点 線）の 40％ 前 後に A

■

　 ，

　・

_●

「

．

．

．

∈

・

， ，

　　羣

　 ）

，



o

　

●

　

・

　　 ●

_・

_■

　 ●

　　●

　　 卩

　　　・

．

●

N

■

凾

，

，

Σ

1000

■

_，

．

　凾

三

：

P

一

1000

　　　　・

M1

（

kN

・

m

_）

　　　　．

，

鬮

_，

噛

_■

一

1000

_．

‘

「

_．

_「

，

呷

■

_，

_■

₉

■

，

_「

．

oo

　唖

■

．

　　　・

　　，

呷■呷

図

一

19　単調劣化型の 2_軸モ

ー

メ ン ト応 答 一

．

1

．一 ．

Remoin

　

plaeanalysis

■

　

，

．

　　　　　　　　　A

・

　 　 　 ε

　　　　　　■

　　　　　 ●

N 　 　 　

・

Σ 　 　 　 　

’

．

，

　

　

，

　

　

　

　

，

　

　

　

　

　

　

　

_．

　

，

　　 ノ ●Z ， ！

／

5

●　　 　　　 　　　 　　　　 　

’

丶 　 　

 

．

　

■

　

■

　

，

’

−

1000

評

（

kN

・

m

）

・

　

　

　

　

　

　

　

　

　

斷

　

　

　

　

　

　

　

．

　

　

　

　

．

　

　

■

．

丶

β

・

一

汐

MI

l

司

000

　 　 　

．

’

’

．

Theory

　．

　 o

　 ●

　凾

_．

■

■

_．

　 ．

，

_，

．

　　，

　・

響

，

　　

■

　　

．

　　

●．

　　

●

　　

曾

図

一

20　円 形履歴 1周 後の _降伏 曲 面 〔平均 軸 力 Fc／4） 縮 小し ており， こ の意味で両 者は よ く近似し てい る。 同 様に

_，

_平均 軸 力

F

，

f6

の解析で円形履歴 を 1回

，

お よび 2回与え た あ との降 伏曲面 を 図

一21，

22に示す。 これ らで も

，

平 面 保持解と理 論 解と が よ く

一

致し た。し た がっ て

，

3

−

5 節で_{設 定}し た破 壊 曲 面の_{拡 大}ル

ー

ル は_{妥 当}で あっ た ものと 判 断でき る

。

　§

5．

地 震応答解 析 　提案モ デルを 用い て地 震 応 答 解 析 を行い

，2

方 向 入 力 と耐力低 下が 地 震応答に 及 ぼ す 影 響 を 調べ _る

。

_{な お前節} まで の説 明で は

，

§

2

の平 面 保持解 析と の比 較の都合 上， 曲げモ

ー

メ ン トM と曲率φの _復元 力特性を対象と して き た が

，

本 節で は

，

これ ら を せ ん断 力

Q

，

変 形

P

と読 みか え る。 　5

−

1 解 析パ ラ メ

ー

タ 　 （1） 復 元 力モデル は

，

図

一

23（a_）の よ う な

，

破 壊の 起 こ ら ない弾 塑 性 型と

，

図

一

23 （

b

）の ような

，

降 伏と 同 時に破 壊が起こ る_弾性 破 壊 型の 2 種類とする

。……

降 伏 後しばらくし て か ら耐 力低 下す る ような ケ

ー

スは_， 今 後の研 究 課 題とし て保 留 する。 　 （2） 破 壊 曲 面の拡 大ル

ー

ル は

，

蓄 積 劣 化 型とす る

。

……

_{単 調 劣 化 型}につ い て は_， 今 後の研 究 課 題とし て保 留 す る

。

図

一

21円 形 履歴 1周後の降伏曲面 （平 均軸 力Fc／6｝ （

．

　

●

　

，

　

．

o

∈

_幽

i

，

　　 ．

　　　■

　　

，

　　

■

　　

・

，

　噸

_●

．

　 　 　4Z

「

「

●

、

■

，

・

4

_）

苫 丶

　　璽

● 　　 　

°

゜

_{！ N} 丶 　 　

゜

9

凾

　 1 Σ

b

　

’

_。

，

．

　 1 、　 　

・

．

　

■

　

卩

｝　

’

　 9

1

_丶

一

₁₀₀₀

0

°

　 唖

．

　・

一

1000

M1

_（

kN

・

_m

_）

　 　 ノ　 　

’

　　　　，

　

！ ●

　　

・

　　　 ●

■

_●

ノ 　 　 　

．

■

　．

、

　 ノ ・ ●

’

　，

_，

，

■

「

．．，



_．璽

　　　■



_．

_o

■■，

図

一

22円 形 履 歴 2周後の降 伏 曲 面 （平 均 軸 力Fe／6）

一

₄₃

一

Q

K2

Qo

冒一冒

．

下

K1SP

1

．

K2

（a） 弾 塑 性 型

QQo

一＿＿−

　　

1K3

「

Kl

S

Do

D

ψ

〆

K2

　 　 　 （b） 弾 性 破 壊 型 図

一

23　応 答 解 析 用 復 元 力モ デル 　 （3） 塑 性 剛 性と初 期 剛 性との比

，

K，／K，は

，

弾 塑 性 型で は_， K2／Kr

＝

o

．

　oo5 ， 0

，

03

，

0

．

1

，

0

．

2の 4種 類

，

弾 性 破 壊 型で は_， K2／K、

＝

0

．

001

一

定とする。 　 （4） 弾 性 破 壊 型の破 壊 剛 性と初 期 剛 性との比は

，

Ks／K，

＝

0

．

005， 0

．

03， 0

．

1， 0

．

2の 4種 類と す る。 　 （5 ） 入 力 地 震 波は_， 下 記に示 す6種 類とする。

　　

Imperial

　

Valley

地 震 （1940＞

El

　

Centro

記 録

　　　 　　　 　　

NS −EW

お よ び

NS

成 分×

te

　　十 勝沖地 震 （

1968

）八戸 港 湾記録 　　　 　　　 　　

NS −EW

お よ び

EW

成分 × 》

7

　　 宮城県沖地震 （

1978

） 東北大記録 　　　 　　　 　　

NS −EW

お よび

NS

成 分×V！

2

　1

方 向入力を語 倍し たの は_， 1方 向入力と2方 向入 力の パ ワ

ー

を同程度にする ためで ある

。

　 （

6

） 粘性減 衰は ゼ ロ と す る

。

　 （7 ） 固有周期 丁は_， 　　0

．

1 秒か ら1

．

0 秒まで は 0

．

1秒 間 隔の 10種 類 　　

1．

2

秒か ら

2．

0

秒ま で は

O．

2秒 間 隔の 5種 類 　 　あと

，

2

．

5秒 と 3

．

0秒の 2種 類 の計17種 類と する

。

　 （8） 降伏せん断 力係 数 C は

，

　 　 　 C

＝

Re

・

Co 　 　

R

，：建 築 基 準 法 施 行 令に よ る 普 通 地 盤での振 動特 性 　　　 　係 数 （固有周期

T

の _関数） 　 　C。：標 準せ ん断 力 係 数 と し

，

標準せ ん断力係数

C

。 は

，

0

．

2

，

0

．

3

，

0

．

4

，

0

．

6

，

0

．

8， 1

，

0の 6種 類とする

。

　な お

，

数 値 計 算に は衝 撃 加 速 度 法を用い

，

時 間きざみ

一 44 一

図

一

24　累 積塑性 変形倍 率の上限 は 0

．

01秒 とす る。 　5

−

2　 用 語の定 義 　（1） 累 積 塑 性 変 形 倍 率 ：η 　秋 山 （6） と 同じく， 累 積 塑 性 変 形 倍 率 ηを 次 式で 定 義する

。

　

．

　　

　

・

−

_Q

｛

玩

…・

……・

………・

………・

…・

…

（・

9

） ただし

，

Q

。：降 伏 耐 力　　　

Dy

：降伏 変 形 　　　 　

E

：地 震 中に消費さ れ た履歴吸収エ _ネルギ

ー

と する

。

　 （2＞ 累 積 塑 性 変 形 倍 率の上限 ：ηttnt 　図

一

24の よ う な 弾 性 破 壊 型の_復元 力特性に おい て， 斜 線 部の 面 積 をEum とし

，

　 Etcmに対 応す る ηを累積塑 性 変 形 倍 率の上限

，

ηtim と定 義す る

。

す な わ ち

，

　

　

　

n・・t

・

一

螽

一

圭

（

　 Kl1 ＋ 瓦

）

………

・

…・

…

（・・） と す る

。

　 （

3

）　 等価繰り返し 回数 ：

N

　最大応答塑性 率をμ と お き

，

一

μ と累積 塑 性 変 形 倍 率 η か ら

，

等 価 繰り返し回数

N

を次 式で定 義す る

。

　　　

N 一

詣

…・

一 ・

…・

1

・

一

・

…………一 …・

…・

・

_（21） 除 荷 剛 性の低 下し な い完 全 弾 塑 性 系 を例にとっ て N の 物 理 的 意 味 を 述べ る。 図

一

25におい て

，0 →A →B →

C

なる履 歴 を経た場 合の履 歴 吸 収エ _ネルギ

ー

E はハ ッ チ 部 分の面 積で表さ れ_， 累 積 塑 性 変 形 倍 率は _η

＝

_μ

一

1

，

等 価 繰り返 し回数は N

＝

1と な る。 同様に

，0 →A →B

→

C

→

D

→

E

→

0

な る履 歴を与え れ ば

，

N

＝

2となる_。 し た がっ て_， 応 答 解 析の結 果_， 振 動 系の 応答が原 点の ま わ り を何 度 も行 き来 する場 合に は

，

N が大き な値を と る。

QoQA

−r

8

圏

31

0K1

，

D

Dyc

μ［

_尋

E

D

図

一

25 等 価 繰り返し回 数の定 義

逆に， 振 動系の応 答が特 定の

1

方 向にどん ど ん進んでゆ く場合はN が 1に近い値 をと る

。

つ ま りN は， 応 答 変 位の_{特 定 方 向}へ の偏り や す さ を表す値である。 　

5−

3 剛 性 比 と等 価 繰り返し回 数N との関係

　

地震 応 答 解 析の例と して

，

　　入 力 波：エ ルセン トロ_{記 録}

EW −NS

　　

復元力モ デル ：弾 塑 性 型， 脇／

K

、

＝

O

．

1 とし

，

固有周 期 T と標 準せん 断 力 係 数 C。を前 述の と おり各々 17種 類，

6

種類と し て合計 17×6

＝

102種 類の 応 答 解 析 を 行い_{， 最}大 応答塑性 率μ と累 積 塑 性 変形倍 率 ηとの関 係 を図

一

26 （a）に白丸で プロ ッ トする。 図 中の 1点 鎖 線は， μ＝

1

， η

＝

0を通 り

，

白 丸の デ

ー

タを 近 似 するよ うに最 小

2

乗 法で求めた直 線 を示す

。

ま た， 復元 力モ デルを

，

弾 性 破 壊型

，K

，／

K

，

＝

O

．

1とし た と き の _{結 果 を 図}

一

26_（

b

_）に示す 。 図 中の 破 線は， 累 積 塑性 変形 倍 率の 上限 η“a を 示す

。

図中の 1点 鎖 線は_， 破 線 よ り左側の 白 丸の デ

ー

タ を最 小2乗 法で近 似 し た直線を 示す。 式 （21）の定 義に よ り，

1

点鎖 線の傾 きの逆 数は

，

等価繰り返し回 数N を表す

。

図

一

26（a_）

_，

_（

b

_）の比 較か ら

，

弾性破 壊 型 復元力モ デル の _{等 価 繰}り返し回数

N

は， 弾 塑 性 型 より小さい こ と が わ か る。

　5．

1

節に示し た地 震波の う ち2 方向入力 波に_対して得 られ た

N

を剛 性 比 （

K2

／

K

，また は

K

，ノ

K

，）別に平 均 し たもの を， 図

一27

に黒 丸で示 す

。

また， 1方 向入力波に つ いて は白 丸で示 す

。

これら の黒 丸と白丸を そ れ ぞ れ実 線と破線で 近似す る。 O 頃 　 O

_．

寸 　 O

，

の 　 O

，

N 　 O

_，

「

二 〇   ⊆ o 驚 o ＝ 》 葺 コ リ コ O

0

O 瞬 　 O

，

寸 　 O

_，

q 　 qN 　 O

_．

一

ユ Φ い 匚 。 研 。 α 》

蓁

り コ o ／ o　o o 　 　 　 Q

／

° o o oo 　 　 Q 　 　

FOOoo

「

o ELC

．

　EW

−

NS K2’K1＝

O．

1N 　＝4

．

82

　 　 　

to．

0 　 5

．

0 　 　 　 　15

．

0　 　 　 　 2QO N。rmallzed 　

Hysteretic

　

Energy

　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 η

　 （a_{） 弾}塑性 型Kz／Ki

’

＝

O

．

1

　 0　　　　 　 5

．

0　　　 　10

．

0

　 　 　 15

．

0　 　 　 　 2QO

　 　　 　 　 Normalized　

Hy5

量ere量ic　Ehergy

　 　 　 　η 　 　 　 （b＞ 弾 性 破 壊 Kt／K

、

＝ e

．

1 図

一

26　累 積 塑性変形倍率と最 大 塑 性 率の関 係 （

El

　

Centro

　2_方 　 　 　 向 ） o

｝

／ ρ

III

o　 　

「

…

： 1 　 　o ゆ （ 竜

90

°

　

ol _o3

．

　 　08 ）oi …

1

．

ELC

．

　EW

−

NS K3／K1

・

0．

_1N 　昌1

．

55

　

秋 山6｝_は ， 1方向 地震 応 答 解析を行っ て

，

弾 性 破 壊 型 復 元 力モ デル の_応答が弾 塑 性 型よ り正負いずれ かに偏り や すい こと を示し た

。

本 報の結 果か ら

，

秋山 （6）の結 論が2方向入力につ い て も正 しい こ と が わか る

。

さ ら に

，

次の こと がいえ る。

　

（a ） 弾塑性系の場 合

，

2方 向入力に よる応 答 変 位は

，

1方 向入力時よりも特 定 方 向へ _{偏り に くい} 。 したがっ て_， 弾塑性系の_{場 合}

_，2

_{方 向地 震 波に よ る最大応答 塑 性 率は} ， エ ネルギ

ー

入力が等 しい 1方 向地震波に よ る最 大 応 答 塑 性率 よ り小さ くな る

。

　

（

b

）

K

、／

Ki

＞

0．

04

の蓄積劣化 型 弾 性 破 壊 系の場合

，

2

方向入力による応 答変 位の_{特 定方 向}へ の偏り や す さ は 1方向入力と同 程 度である_。 し た がっ て

，

こ の場合の

2

方 向地 震 波に よる最 大 応 答 塑性率は

，

エ _ネルギ

ー

入力が 等しい

1

方 向地 震 波によ る最 大 応答塑 性 率と同 程度であ る

。

　 5

−

4　剛性 比と等価 速 度との関 係

　

秋 山6〕 と同じく， 総エ ネル ギ

ー

入 力

Et

お よ び等 価速 度 玲 を次 式で定義す る。

　　　E

，

＝Ee

十

E ……・

……・

……・

…・

………・

……

（22 ） 　

E

。：弾 性 振 動エ ネルギ

ー

　 　 E ：履 歴吸収エ _ネルギ

ー

　

　

　

VE

一

漉

…・

・

…………・

一 …………・

…・

一

_（・3） 　 　 　図

一

27　剛 性比 と等 価 繰り返し回 数の_関係

VE

・

170

_{cm ’sec200VE} （cm ’sec ） ▽

_名

畢

含

_呂

_吝

口

ELC

．

T

＝

tOEW

−NS

（sec ）

100

口 ■ ▽

CO

＝

0

．

2CO

＝

0

．

3CO

＝

O

，

4

△

CO

＝

0

．

6

K3

’

K1

_K2

_’

_K1

0

．

2

0

」

o ．

0

O

．

1

₀

．

2

図

一

28　 剛 性 比と等 価 速 度の関 係

一

₄₅

一

　 　

M

：質 量 入力 波 をエ ル セ ン トロ波

2

方 向

，

固有周

期

を T

＝

LOs と し， い ろ い ちな標 準せ ん 断 力 係 数

C

。につ いて等 価 速 度

VE

を計 算 した結 果を図

一

28に示す

。

実 線は

C

。

＝

0

．

3 の と きの平 均 値

VE

＝

170　cm _／s を示す

。

　

V

，は， 剛性 比に か か わ らずほ ぼ

一

定に なること が わ か る

。

ほ かの入力 波

，

固 有 周期に対し ても同 様の結 果を得た。 つ ま り， エ ネル ギ

ー

入力の 大き さは_， 耐 力 低 下の有無に ほ と んど影 響 さ れ ない。 　§

6．

最大 応答塑性 率の推 定

　

前 節まで の結果 を利 用 し て

，

弾 塑 性型 お よび弾 性 破 壊 型 復 元 力モデルの_最大 応 答 塑 性 率を 推定す ることが で き る

二

た だ し

，

入力 地 震 波の完 全 弾 塑性 系に_対する_等価 速 度 V，の応 答ス ペ ク トル， 振 動 系の固有 周期

T ，

降 伏せ ん 断 力 係 数

C ，

剛性比 K，

IK

、，　K，

IK

，は 与 え ら れるもの とする。

　

まず

，

弾性振動エ ネル ギ

ーE ．

を推定する。 変形が

1

方向の みに生 じるもの と仮 定すると_， E，は図

一29

の斜 線部の面 積

，

つ ま り_{次 式}で表さ れる。

　

　

　

Ee 一

伽

望

一

〇

f

’　_・ ・

Dv ………・

・

一 …・

（

24

） ただし

，

弾 塑 性 型の場合は，　 a

＝

十

K

，

IK

， 　　 　　弾 性 破 壊型の場合は

，．

α＝

一

陥／

K

_、とする

。

　エ ネルギ

ー

つ _り合い条 件の _{式 （}22 ＞に上 式の E、を代 入 し， 両 辺 を

Q

。Dy で割り

，

さ ら に式 （

19

）， （21）

，

（23 ） を利用 して次 式を得る。

　　　　　　　　

乖

（

1

＋_pa

−

・）： ＋（。

−

1）

N …．

，

（、，） 形 倍 率の 上 限 ηum か ら定まる

，

本 推定方法の適用 限界 を示す

。

　

振 動 系の 固 有 周期を

T ＝IS

， 等 価速度を

VE＝170

cm ／sと し

，

標 準せ ん断力係 数

C

。を

0．

15

か ら1までの さ まざ まな値 として

，

式 （25）に よ り推 定し た剛性比と 2軸 最 大 応 答 塑 性 率との 関 係を図

一31

に実線で示す

。

標 準せん断 力 係 数 C。が大きい と き は

，

振動 系が ほ ぽ弾 性にと ど まる た め， 剛 性 比 が 最 大 応 答 塑 性 率に及ぼ す影 響は小さい

。一

方

，

標 準せ ん断 力 係 数

C

。が小さい と き は_， 剛 性 比が最 大 応 答 塑 性率に及ぼ す影 響が大き く

，

2 倍 以 上の違いが生 じ る。 　 §ア

．

結　論 　（1） 耐 力 低 下する部材の_復元力特 性には

，

単調 載 荷 時の荷 重 変 形 関係と正 負 繰り返し載荷時の_荷重変形 包 絡 線 と が

一

致 する 「単 調劣化 型」と

一

致し ない _「蓄積劣化 型」の 2種 類がある

。

　

（

2

） 材 軸の 圧 壊 が 生 じ ない 曲 げ 破 壊 型 RC 部材の 復元力特性は 「単 調 劣 化 型 」にな る。 材 軸の圧壊が生 じ る曲げ破壊型

RC

部 材の復 元 力 特 性は 「蓄 積劣化 型」 に な る。 　 （3 ） 変形平面 上に破 壊 ポテンシャル を仮 定す ること に よっ て， 耐 力低下 する部 材の 1方向復元 力特性を

2

方 向に拡張でき る

。

　 　 　 ’

・

　

　

　

・

（

rr　

VECTg

）

2・＝

　

2

上 式の N （等 価 繰 り返し回 数 ）は

，

図

一

27の実線ま た は破 線の よ うに剛 性 比a の関 数と し て近 似で き る。 し たがっ て

，

上 式 （25 ）よ り， 任意の弾 塑 性 型また は弾性 破 壊 型 復 元 力モデル の_最大 応 答 塑 性 率 μ を推 定す るこ と が で きる

。

　振 動 系の固有周期を 丁

己1s

， 標 準せ ん断 力 係 数を

C

。

＝

₀

_．

₃

_，

_{等 価 速 度}を

V

，；

170

　cm ／s （

El

　

Centro

　2 方向入 力の値）として

，

式 （

25

）に よ り推 定し

t3

剛 性 比と

2

軸



ノ4 最 大 応 答 塑 性 率と の関係を図

一30

に実 線で示 す。 ま た， 2軸 応 答 解 析の結 果を同図 に黒 丸で示 す

。

実 線は黒 丸 を

　　

6

よく近 似して いる。 な お， 図中のハ ッ チば

，

累 積塑 性変 図

一

29　弾 性 振 動エ ネル ギ

ー

Ee

　

　

ゾ

η

li

而 ● 　 ト

6

μ

T

＝

1

．

O

　sec

C6

＝

0

・

3

・

庵

＝

170cm

’5

Bi

−

_axial

4

Analysis

_● ●

2

_Estimation

K3

’

K1

K2

’

K1

Oj

α

0

0

．

1

0

．

2

4

2

図

一

30　最大 応 答 塑 性 率の推定 （T

＝

1s

，

　C

。

＝

O

．

3_｝

CO

言

0 ．

75

？

_lim

_CO

言0

．

2 Co

＝

_0，

₅

CO

茸

O．

4 Co

＝

_0．

₃

CO ＝

0

．

71CO31

．

0

A

6

4

2

0

．

2

　　　 0 ．

1　　 ・

　

O

　　　　

O

．

1　　　

0

．

2

　

K3

∬

KI



K2

’

K1

　 図

一

31　剛性 比と最大 応 答 塑性 率と の関 係 〔T

＝

ls）

一

₄₆

一

　

（

4

＞ 破壊ポテン シャ ル の拡 大ル

ー

ル を， 図

一18

ま た は図

一

19の いずれ かとす ることに よっ て， 復元 力特 性が蓄積 劣 化 型で あ る か 単 調 劣 化 型で あ る かの違いをモ デル化で きる

。

　（5） 実 際の復 元 力か ら破壊復元 力を差し引い た 「仮 想 復 元 力 」 平 面 上で塑 性 ポテン シャ ル を仮定す ることに よっ て

，

耐 力 低 下 時に も塑 性 変 形が 進 行 し 塑_性ポ テン シャ ルが移 動

・

縮 小す るとい う モ デル化が可 能 と な る。

　

（6） 本 報の提 案モ デル によっ て

，RC

柱 断 面の平 面 保持解析結果を よく追 跡で き る

。

　

（7 ）弾 性 破 壊 系は，

1

方向入力時で も2方 向 入 力 時 でも， 弾 塑 性 系 と比べ て応 答変位が特定方 向に偏 り や す い。 し たがっ て

，

同じ地 震入 力 に対す る弾 性 破 壊 系の最 大 応 答 塑 性 率は， 弾塑性 系よ りも大き く な る。

　

（8） 弾 塑 性 系の_場合

，2

方向入力による応 答 変 位は_， 1方 向 入 力 時よ り も特 定 方向へ _{偏 り}に くい。 し たがっ て_， 弾 塑 性系の_場合，

2

_{方 向地 震 波}による最 大 応 答 塑性率は

，

エネル ギ

ー

入力が等しい 1方 向 地 震 波に よる最大 応答 塑 性 率よ り小さ く な る。 　（9 ） 軟化 剛性が初 期剛 性の 1／25 より大きい蓄 積 劣 化 型 弾 性 破 壊 系の場合

，

2 方向入力に よる応 答 変 位の_特 定 方 向へ の偏り や す さ は1方 向入力と同程度で ある_。 し た がっ て，

2

方 向 地震 波に よ る最 大 応 答 塑 性 率は， エ ネ ルギ

ー

入 力 が等しい

1

_方向地震 波による最 大 応 答 塑性 率 と同程 度で あ る

。

　

（10 ） エ ネルギ

ー

入力の大 き さは_{， 耐 力低 下}の_有無に ほと ん ど影 響され ない。

　

（11） 応 答変位の _{特 定 方 向}へ の偏り や す さを表す 「等 価繰り返 し回 数 」を図

一27

の実 線 また は破線の よ う に 近 似し，エ ネル ギ

ー

入カ

ー

定 則を考 慮する ことに よっ て

，

弾 塑 性 系お よ び蓄 積劣化型弾 性 破 壊 系の最 大 応答塑性率 を推 定する こと ができ る

。

　謝 　辞　 　 　

’

　

名 古屋工業 大学 教 授

　

工博 大 岸 佐 吉先生には

，

本 研 究 の すべて の段 階で

，

暖か い御 指 導と御援助を賜 り ま し た。 ま た， 大 成 建 設 （株 ） 市 之 瀬 和明氏に は

，

昭和

58

年度 名 古屋 工業大 学 卒 論 生と して数 値 解 析に御 協 力い た だ き ま し た

。

厚 く御 礼 申し上 げ ま す

。

参 考 文 献

1） Takizawa

，

　H

．

　and 　H

．

　Aoya皿a ：

Biaxia

且Effects　in　Mod

・

　　e且hng　Earthquake 　Response　of　

R

_／

C

　

Structures

，

　Earth

・

　　quake　Engineering　and _Structural　Dynarnics

，

　Vo1

．

4

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　 　No

．

5

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　pp

．

523

−

552

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　July　1976

2） Druckei

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　D

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C

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．

　　ial

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106

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　P

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S．

　

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　EM 　3

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4） Dougill

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W

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Mechanik，

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5_）前川宏

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宏：建 築 物の極

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藤 谷 秀 雄 ：パ ル ス応答 　 　解析によ る1質点 系の地 震応 答評価

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　A

．

A

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：

Ou

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　Ap

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　 　plied　Mechanics

，

　Z5

，

　_pp

．

74G

−

752

，

1961

SYNOPSIS

UDC ：624

．

042

．

7：620

．

1

　　　　　 BI

・

DIRECTIONAL

　

HYSTERESIS

　

MODELS

　

WITH

　

WORK

　

SOFTENING

　

AM

_）

　　　　　　

THEIR

　

EARTHQUAKE

　

RESPONSE

by　

Dr．

　TOSH 凪ATSU 　ICHINOS_鼠　　Research　Associate

，

　 　Nagoya　Intitute　of 　Techno艮ogy

，

　 Dr

．

　 KATSUK _匸TAK1

−

　 　GUCHI

，

　Associate　Professor

，

　Tokyo　Institute　of　Tech

．

　 　nology and_MASAYUKI 　YOSHH

，

　

Structural

　Engineer

，

　 　S』imizu　Construction　Co

．

，

Ltd

．

，

Membe 【s　of　A

．

1

，

J．

　

Bi・

directional

　hysteresis　models 　are　useful 　

for



dyna

_皿ic_{response 　anaiyses 　ef　structures 　under　two}

dimensional

seismic 　excitatio 皿

．

　

The

　theory　of　_plasticity　

for

　work 　

hardening

　materials　

has

　

been

　utilized 　

for

　the　

bi・

directional

extension 　of　uni

−directienal

　hysteresis　models

．

　The　work 　sQftening _（or　strength 　

degrading

_）

hysteresis

　models 　are

_，