不定値グラスマン
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シグマ模型の特殊解と次元簡約について
井上公人 (九州大学)
∗概 要
不定値グラスマン多様体に値をとるシグマ模型を導入し, 一つの次元簡約を与える. このと きシグマ模型の解に課される付加条件を, Riemann 問題や Lie 代数の Chevalley 底を用いて記 述する.
1
Introduction
微分方程式の定性的な解析として,複雑な方程式を高次元の基本的な方程式から導出することを ここでは次元簡約と呼ぶことにする. この用語は物理学において低次元の理論を高次元の理論か ら導出する議論を指して使われる. 次元簡約を方程式の解法に利用する形で, Eriksen [1]は正規分布の族から定まる統計多様体Nn の測地線を構成している. この結果は[2]において, Nnの対称錐への埋め込みを用いて幾何的に説 明された. 具体的に述べると,多様体Nnは正定値対称行列のなす錐Sym+n+1(R)のRiemann部分 多様体として Nn= { s = ( σ + µtµ µ tµ 1 ) ; σ ∈ Sym + n(R) µ∈ Rn } と実現される. 従ってNnの測地線はSym+n+1(R)の測地距離を拘束条件sn+1,n+1 = 1のもとで最 小化する曲線s(t)として与えられる. また測地線の方程式は関数∆(t) := σ(t)−1に対する次の方 程式と同値になる. (∆,t∆−1),t∆ = c, cは定行列. (1.1)Eriksen [1]は不定値グラスマン多様体SO0(n + 1, n)/ SO(n + 1)× SO(n)の測地線を導入し, 解 ∆(t)を行列代数的な方法で構成した. 次元簡約の観点からは,上述のNnの幾何は次表のようにKaluza-Kleinの重力理論([3]を参照) と比較することができる. 表1: Nnの幾何とKaluza-Klein理論の比較. 次元簡約 Nnの幾何 Kaluza-Klein理論 作用積分 測地距離 Einstein-Hilbert作用 高次元 Sym+n+1(R)の測地線の方程式 5次元のEinstein方程式 拘束条件 sn+1,n+1 = 1 計量gについてg˜55= 1 低次元 Nnの測地線の方程式 Einstein-Maxwell方程式 厳密解 Eriksenの構成
Nnの測地線の方程式はシグマ模型,つまり等質空間に値をとる調和写像の方程式([4]を参照)と みなすことができる. 従って, Eriksenの構成をシグマ模型の次元簡約として拡張することは自然 な問題となる. 本稿では,不定値グラスマン多様体SO0(n + r, n)/ SO(n + r)× SO(n)に値をとるRD上のシグ マ模型を導入し, 一つの次元簡約を与える. 2節ではまずこのシグマ模型を定義し, 次元簡約を定 理として与える. これがD = 1のときにEriksenの構成となることを見る. 定理において,シグマ 模型の解にはある付加条件が課される. 3節では, この条件を次の二つの観点から記述する. 一つ はRiemann問題によるものである. D = 3で解に軸対称性を仮定すると, 本稿のシグマ模型は定 常・軸対称のEinstein方程式と同じ形になる. この方程式はBelinski˘ı-Zakharov [5]によって明ら かにされたように, Lax pairを持ち, 解析がRiemann (またはRiemann-Hilbert)問題に帰着でき ることが知られている. 本稿ではUeno [6]の議論に従い,問題の付加条件をRiemann問題を通し, モノドロミーとFuchs型方程式の係数を用いて記述する. もう一つの観点はLie代数の構造論によ るものである. ここではシグマ模型の特殊解を半単純Lie代数の随伴表現を通して表示する. 特に 解に対する付加条件をLie代数のChevalley底を用いて記述する. Notation 本稿を通して, Mn,m(R)をn× m実行列のなす集合とし,taで行列aの転置行列を表 す. Mn,n(R)はMn(R)と書く. また, Symn(R)をn次の実対称行列のなす集合とし, Sym+n(R)を n次の正定値実対称行列のなす集合とする. n, r ≥ 1に対し,行列J, E1, E2∈ M2n+r(R)を J = 0 0 In 0 Ir 0 In 0 0 , E1= In 0 0 0 0 0 0 0 0 , E2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 In . と固定する. ここで, Ik∈ Mk(R)は単位行列である.
2
不定値グラスマン
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シグマ模型
n, r ≥ 1とし, 不定値グラスマン多様体Ω ∼= SO0(n + r, n)/ SO(n + r)× SO(n)の行列による 実現 Ω ={g ∈ Sym+2n+r(R); JgJ = g−1} を考える. RDをD次元Euclid空間とし, その座標系をt = (t1, . . . , tD)とする. 任意の関数f (t) に対して,各座標変数に関する偏微分をf,tp(t), f,p(t)のようにコンマ(, )を用いて表す. Definition 2.1. Ωに値をとるRD上のシグマ模型を, Lagrangian L(t, g, g,1, . . . , g,D) = 1 2 D ∑ p=1 tr((g,pg−1)2 ) によって定義する. これを不定値グラスマン-シグマ模型と呼ぶ. Lに対するEuler-Lagrange方程式は D ∑ p=1 (g,pp− g,pg−1g,p) = 0 (2.1)となる. この方程式は次と同値である. D ∑ p=1 (g,pg−1),p= 0.
2.1
次元簡約
Lemma 2.1. 任意のg∈ Ωは次の形に一意的に分解される. g = In 0 0 ta I r 0 tb −a I n h 0 0 0 Ir 0 0 0 h−1 In a b 0 Ir −ta 0 0 In , a∈ Mn,r(R), b ∈ Mn(R), b +tb =−ata, h∈ Sym+n(R). さらに,次の等式が成り立つ. g−1 = h−1 0 0 0 0 0 0 0 0 + g−1 0 0 0 0 Ir −ta 0 −a ata + h−1 g−1. (2.2) Proof. 第一の等式は定義J gJ = g−1と,正定値対称行列に対するCholesky分解から従う. この分 解をg−1= g−1gg−1に代入して第二の等式(2.2)が得られる. Theorem 2.2. 関数g :RD → Ωは方程式(2.1)を満たすとする. また次の等式がRD上で成り立 つと仮定する. E1(g,pg−1)E2= 0 (p = 1, . . . , D). (2.3) 関数h :RD → Sym+n(R)とup :RD → Mn,r(R) (p = 1, . . . , D)を次で定義する. g(t) = h(t) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ , g,pg−1 = ∗ up(t) 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ . このとき, h(t)とup(t)は次の方程式を満たす. D ∑ p=1 (h,pp− h,ph−1h,p)− up·tup = 0. (2.4) Proof. 式(2.2)を式(2.1)に代入すると, D ∑ p=1 g,pp− g,p h−1 0 0 0 0 0 0 0 0 g,p+ g,pg−1 0 0 0 0 Ir ∗ 0 ∗ ∗ g−1g,p = 0 が得られる. これと仮定(2.3)から, h(t)が方程式(2.4)を満たすことがわかる. 関数u1(t), . . . , uD(t)は定義と方程式(2.1)から次を満たすことがわかる. D ∑ p=1 (up),p = 0. (2.5)2.2
シグマ模型としての方程式 (2.4), (2.5) の導出
次の多様体を考える. ΩA= { s = ( ∗ ∗ ∗ Ir ) ∈ Sym+ n+r(R) } . Definition 2.2. ΩAに値をとるRD上のシグマ模型を, Lagrangian LA(t, s, s,1, . . . , s,D) = 1 2 D ∑ p=1 tr((s,ps−1)2 ) によって定義する. ΩAの各点を s = ( σ + µtµ µ tµ I r ) , σ ∈ Sym + n(R), µ∈ Mn,r(R) と表すと,LAに対するEuler-Lagrange方程式は D ∑ p=1 σ,pp− σ,pσ−1σ,p+ µ,ptµ,p= 0, D ∑ p=1 µ,pp− σ,pσ−1µ,p= 0 (2.6) となる. ここで変数変換(σ, µ,p)7→ (h, up)を行列の等式 ( h up tu p ∗ ) := ( σ + µ,ptµ,p µ,p tµ ,p Ir )−1 = ( σ−1 −σ−1µ,p −tµ ,pσ−1 Ir+tµ,pσ−1µ,p ) で定めると,方程式(2.6)は次のようになる. D ∑ p=1 h,pp− h,ph−1h,p− uptup = 0, D ∑ p=1 (up),p= 0. これで方程式(2.4), (2.5)が導出された. 多様体ΩAには,次のLie群 GA(n, r) := { a = ( a1 a2 0 Ir ) ; a1 ∈ GL(n, R) a2 ∈ Mn,r(R) } の作用が, s 7→ asta (s ∈ ΩA, a ∈ GA(n, r))によって定められる. この作用は明らかに推移 的で, In+r ∈ ΩAを固定する部分群は直交群O(n) に同型である. 従って等質空間として同型ΩA∼= GA(n, r)/ O(n)が成り立つ. 実際, ΩAは実Siegel領域と呼ばれるものである([7]のChapter
6を参照). Lagrangian LAはGA(n, r)の作用のもとで不変であることに注意する.
Remark 2.1. 報告[8]では定常軸対称のEinstein-Maxwell方程式がSiegel領域に値をとる場の方
2.3
特殊解
φ :RD → Rを調和関数とする; φ,11+· · · + φ,DD≡ 0. 関数g :RD → Ωを g(t) = exp φ(t) B a 0 ta 0 −ta 0 −a −B , B ∈ Symn(R), a∈ Mn,r(R) (2.7) によって定義する. このとき, g(t)は定理2.2の仮定を満たすことがわかる. この形の指数行列は Calvo-Oller [9]やImai-Takaesu-Wakayama [10]によって明示的に計算されている. いまの場合に は,関数h(t) = (gij)1≤i,j≤nは次のように計算される. h(t) = R(t)·tR(t), R(t) = cosh(Gφ(t)/2) + BG−1sinh(Gφ(t)/2). ここでG := B2+ 2ataで, Gは可逆行列であるとする. 2.3.1 Eriksenの構成(D = 1, r = 1) D = 1のとき,方程式(2.1)は (g,tg−1),t= 0 (t∈ R) となる. よって定理2.2の仮定を満たすg(t)は関数(2.7)の形で尽くされる. この場合,定理は次の ように述べられる. Corollary 2.3. 関数h :R → Sym+n(R)を h(t) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = exp t B a 0 ta 0 −ta 0 −a −B , B ∈ Symn(R), a∈ Mn,r(R) によって定義する. このとき, h(t)は方程式 (h,th−1),th = ata (1.1) を初期条件h(0) = In, h,t(0) = Bのもとで満たす. D = 1, r = 1のとき,方程式(2.6)はn次元正規分布の統計多様体Nnの測地線の方程式と一致 し,このcorollaryはNnの測地線のEriksenによる構成[1]に他ならない.3
付加条件
(2.3)
について
3.1
D = 3 で軸対称の場合
ここではD = 3の場合を考え,円柱座標(ρ, θ, z)をt = (t1, t2, t3) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z)によって 導入する. また,関数g(t)に軸対称性を仮定する; g = g(ρ, z). 領域をD = R>0× Rで定め, g(ρ, z) をD上の関数と考える. このとき,方程式(2.1), (2.4)はそれぞれ (ρg,ρg−1),ρ+ (ρg,zg−1),z = 0, (3.1) (ρh,ρh−1),ρ+ (ρh,zh−1),z = (uρtuρ+ uztuz)ρh−1 (3.2)となる. ここでuρ= u1cos θ + u2sin θ, uz = u3とする. 付加条件(2.3)は E1(g,ρg−1)E2= 0, E1(g,zg−1)E2 = 0 (3.3) となる. 方程式(3.1)は定常軸対称Einstein方程式と同じ形であることに注意する. この小節では, [5]と[6]に従い,方程式(3.1)をRiemann問題に帰着させ, g(ρ, z)に対するいく つかの条件をモノドロミー行列を用いて記述する. 3.1.1 Riemann問題について ここでP1 =C ∪ {∞}上のRiemann問題に関する以下の事実を用いる([11]の5章を参照). 以 下, i =√−1とし, zでzの複素共役を表す. S = {aν}mν=1⊂ Rをa1 < . . . < amとなる点の集合とする. {Lν}mν=1⊂ Md(C)は行列の集合で M1M2· · · Mm= Id, Mν = exp(2πiLν) を満たし,各Lνの固有値を{l(i)ν }di=1と書くと, l (i) ν − l(j)ν ̸∈ Z (i ̸= j)となるものとする. D0 :=P1\ {x ∈ R; a1 ≤ x ≤ am}とおく. いま, 正則関数Y : D0 → GL(d, C)が次の性質1–3 をもつとする: 1. 各aν ∈ Sの近傍において, Y (x)は次のように展開される. Y (x) = ∞ ∑ j=0 Yν,j(x− aν)j· (x − aν)Lν, Yν,j ∈ Md(C). 2. Y (∞) = Id. 3. Y (x)はP1\ S上の多価正則関数として解析接続できる. 与えられたデータ{(aν, Lν)}mν=1に対して, このようなY (x)は存在すれば一意的である. この関 数を Y (x) = Y (x; aν, Lν) = Y ( x; a1 . . . am L1 . . . Lm ) のように書く. Y (x; aν, Lν)は変数x, a1, . . . , amの関数として次の全微分方程式を満たすことが知 られている. dY = ( m ∑ ν=1 Aνd log(x− aν) ) Y, (3.4) Aν := Y (x)LνY (x)−1|x→aν (ν = 1, . . . , m). 上のように, (モノドロミー)行列Lνと係数AνはY (x)を通してimplicitに関係付けられる. 以 下では,これらのLν とAν にいくつかの条件を課していく.
3.1.2 方程式(3.1)の解 上述のRiemann問題の状況において,次のような設定を考える. d = 2n + r (n, r ≥ 1)とする. (i) w1 < w2<· · · < wmを任意の実定数とする. D上の関数a±ν (a−ν < aν)を行列 ( 2(wν − z) ρ ρ 0 ) , ν = 1, . . . , m, (ρ, z)∈ D の固有値として定義する. これらは具体的に次で定まる. a±ν = (wν− z) ± √ (wν− z)2+ ρ2. (ρ, z)∈ Dに依存して定まる集合S ⊂ Rを次のようにおく. S = {aµ}µ∈Λ, Λ ={±1, ±2, . . . , ±m}. (ii) Lµ(µ∈ Λ)は次を満たすとする. M1M2· · · Mm= I2n+r, Mµ= exp(2πiLµ), Lµ= Lµ, L−µ=−tLµ, L−µ= J LµJ. (iii) Aµ(µ∈ Λ)は次を満たすとする. E1AµE2 = 0. 関数Y (x)は領域D0 = P1\ {x ∈ R; a−1 ≤ x ≤ am}上で一意的に定まっている. (ii)の条件 M1M2· · · Mm = I2n+rはY (x)がカットa−m < x < a1を跨いで一価関数として解析接続できる ことを保証している. 特に,値Y (0)が一意的に定まる.
Proposition 3.1. (i)–(iii)を満たす与えられたデータ{(aµ, Lµ)}µ∈Λに対して, Y (x) = Y (x; aµ, Lµ) の存在を仮定する. 関数g :D → GL(2n + r, C)を g(ρ, z) = Y (0; aµ, Lµ) によって定義する. このとき, 次が成り立つ. 1. gはD上で方程式(3.1)と式(3.3)を満たす. 2. gはD上で実対称行列で, J gJ = g−1を満たす. 従ってgがD上で正定値となるとき, gはR3上の関数として定理2.2の仮定を満たす. 証明は[5]と[6]によるものに付加条件(3.3)の議論を加えた形で与える. Proof. 1 : まず,各aµ= aµ(ρ, z)は微分方程式 (∂ρ± i∂z)aµ= 2aµ ρ± iaµ
を満たすことが確かめられる. これと全微分方程式(3.4)から, Y (x; aν, Lν)は微分方程式系 ( ∂ρ+ i∂z+ 2x ρ + ix∂x ) Y = U + iV ρ + ix Y, ( ∂ρ− i∂z+ 2x ρ− ix∂x ) Y = U− iV ρ− ix Y を満たすことがわかる. ここでU, V :D → M2n+r(C)は式 U (ρ, z)± iV (ρ, z) =∑ µ∈Λ 2ρ ρ± iaµ Aµ で定まる関数である. この式でx = 0とおけば,関係式U = ρgρg−1, V = ρgzg−1が得られる. ま た,この微分方程式系の両立条件は { U,ρ+ V,z = 0, U,z− V,ρ+ ρ−1V + ρ−1[U, V ] = 0 となる. 以上より方程式(3.1)が成り立つ. 式(3.3)は(iii)から従う. 2 : 固定された(ρ, z) ∈ Dに対し, P1 上の対合x 7→ −ρ2/xを考える. この対合はP1 の向 きを保つ正則同型写像であり, 対応aµ 7→ a−µ (µ ∈ Λ), 0 7→ ∞を与える. ここで正則関数 Z1 : D0→ GL(2n + r, C)を Z1(x) :=tY (0)·tY (−ρ2/x)−1 で定義する. Z1(x)はデータ{(aµ,−tL−µ)}µ∈Λに対するRiemann問題の解,すなわち Z1(x) = Y ( x; a−1 . . . am −tL 1 . . . −tL−m ) となることがわかる. (ii)の条件L−µ=−tLµからY (x)≡ Z1(x)が従う. これからY (0) = Z1(0) = tY (0)となり,よってg = Y (0)は対称行列である. 同様に,正則関数 Z2(x) := J Y (0)−1Y (−ρ2/x)J, Z3(x) := Y (x) を考えると, (ii)の残りの条件により,D上でg = J g−1Jとなることとgの実性が示される.
3.2
特殊解 (2.7) の Lie 代数による表示
gを複素半単純Lie代数とする. gのCartan部分代数hをとる. ∆を順序づけられたルート系と する. ルート空間分解を g = h⊕⊕ α∈∆ gα と書く. ∆0 ={αi}ri=1で基本ルート系, ∆+で正のルート系を表す. {eα∈ gα, hα ∈ h (α ∈ ∆)}をgのChevalley 底,すなわち,次の交換関係を満たす基底とする. [hα, eα] = 2eα (α, β ∈ ∆), [eα, eβ] = hα (α + β = 0), Nαβeα+β (α + β∈ ∆), 0 (その他), Nαβ =−N−α,−β.Killing形式を⟨, ⟩ : g × g → Cで表す. ∆+の順序によって, 順序づけられたgの基底Eを次の ようにとる. E = { ˜ eα(α∈ ∆+), ˜hi (1≤ i ≤ r), ˜e−α (α∈ ∆+) } , ˜ eα:= 1 √ ⟨eα, e−α⟩ eα (α∈ ∆), {˜hi}ri=1: hの正規直交基底. 基底Eに関して,対称形式⟨, ⟩ : g × g → Cは次の行列で表示される. J = 0 0 In 0 Ir 0 In 0 0 , n =|∆+|, r =|∆0|. Killing形式はgの作用のもとで不変であるので, gの随伴表現adをEに関する表現行列を対応 させる写像 ad : g→{X ∈ M2n+r(C); JX +tXJ = 0 } とみなす. Proposition 3.2. 次のような元v∈ gをとる. v∈ h ⊕ ⊕ α∈∆0 C(eα+ e−α). (3.5) φ :RD → Cを任意の関数とする. 関数g :RD → GL2n+r(C)を
g(t) = exp(φ(t) ad(v)) = Ad(exp(φ(t)v)) によって定義する. このとき, g(t)の行列表現は次の形に書ける. g(t) = exp φ(t) B a 0 ta 0 −ta 0 −a −B , B ∈ Symn(C), a∈ Mn,r(C). (3.6)
Proof. Chevalley底の性質から, Lie代数の同型写像τ0 : g→ gが次で定義できる.
τ0 : h7→ −h (h∈ h), eα7→ −e−α (α∈ ∆). これによって, v∈ gに対する条件(3.5)は τ0(v) =−v, (2′′) v∈ h ⊕ ⊕ α∈∆+∪(−∆ 0) gα (3′′) と言い換えられる. これらは次と同値であることを示す. ⟨τ0(w1), ad(v)w2⟩ = ⟨τ0(w2), ad(v)w1⟩ (∀w1, w2 ∈ g), (2′) ⟨˜eα, ad(v)˜eβ⟩ = 0 (∀α, β∈ ∆+). (3′)
まず, (2′)⇔ (2′′)はKilling形式⟨, ⟩が非退化でτ0とad gのもとで不変であること,およびker(ad) = {0}から従う. 次に(3′)⇔ (3′′)を示すために, v ∈ gを v = h +∑ α∈∆ vαe˜α, h∈ h, vα ∈ C と書く. ルート系の性質を用いると,次のように同値が示せる. (3′)⇔ ⟨˜eγ, ad(v−β−γe˜−β−γ)˜eβ⟩ = 0 (∀β, γ ∈ ∆+) ⇔ v−β−γ = 0 (∀β, γ∈ ∆+) ⇔ (3′′). 行列X = ad(v)によって, 条件(2′), (3′)はtX = X, E1XE2 = 0と表せる. これらと直交性 J X +tXJ = 0を合わせると, g(t) = exp(φ(t)X)が式(3.6)の形となることがわかる. 以上で見てきた解g(t)と付加条件(2.3)についての記述を次の表にまとめる. 表2: 解g(t)と付加条件(2.3)の記述. Riemann問題 Lie代数 g(t) Y (0) exp(φ(t) ad(v)) 式(2.1) (i) φは調和関数 tg = g (ii) (2′′) J gJ = g−1 (ii) Killing形式 式(2.3) (iii) (3′′)
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