材料の力学解答集

材料の力学(第２章) 解答集

--- ☆各種応力の計算問題（No1) １．断面積100mm2_{の材料に1800N の引張荷重が働くとき，断面に生じる応力} はどれほどか。(解答：18（N/mm２ ）または18（MPa）） 解答： 18



/



18( ) ) ( 100 ) ( 1800 2 2 N mm MPa mm N A P _{  }   ２．直径14ｍｍの軟鋼試験片で引張試験を行った。引張荷重が 65ｋN のときに 生じた引張応力はいくらか。（解答:422.25（MPa）） 解答：

 

14 ( ) 422.25( / ) 422.25( ) 4 ) ( 10 65 2 2 2 3 MPa mm N mm N A P _  _{ }  _  ３．図のような直径20ｍｍのリベット に8.8ｋN のせん断力が作用してい る。リベットに生じている。せん断 応力はいくらか。 (解答：28.01（MPa）) 解答：

 

20 ( ) 4 ) ( 10 8 . 8 2 2 3 mm N A P      ) ( 01 . 28 MPa  ４．3ｋN の圧縮荷重を受ける部品を中実丸棒の鋼で作りたい。鋼の丸棒に作用 する圧縮応力を90MPa 以下にするには，部品の直径は最小いくら以上であ ればよいか。 (解答：6.51（ｍｍ以上）) 解答： 圧縮応力と断面積の関係から 0.033 10 ( ) 33.33( ) ) / ( 10 90 ) ( 10 3 3 2 2 2 6 3 mm m m N N P A          であり，材料に中実丸棒を使用するからその直径は _3.14159 6.515( ) 33 . 33 4 4 mm A d      ５．問題３.に示すようなリベット継手に 9.4ｋN の引張荷重が作用するとき， 直径10ｍｍのリベット 1 本に生ずるせん断応力を 40MPa 以下とするには ｄ せん断断面積A 4 2 d  荷重P 荷重P

リベットの本数は何本以上必要か。 (解答：3 本以上） 解答： 必要なリベットの本数をｎ，1 本の断面積をＡとして，リベットのせん断力＞＝せん断 荷重であれば良い。したがって，









本以上 ； 2.992 3 ) /4(m 0.01 N/m 10 40 (N) 10 9.4 A P n P An 2 2 2 6 3            ６．右図のような中空円筒を2 枚の板ではさみ，100ｋN の力で圧縮するとき， 円筒に生じる圧縮応力を70MPa 以下にとどめるには，円筒の外径ｄ２はい くら以上にすればよいか。ただし，円筒の内径ｄ1は20ｍｍとする。 （解答:47.1（mm 以上)） 解答： 長さの単位をメートルで統一して以下計算を行う。中空円筒の断面積Ａは，



2



1 2 2 4 d d A  であり，圧縮応力を とすれば， A P   より





1.4286 10 (m ) N/m 10 70 (N) 10 100 P A _{6 2} -3 2 3        したがって，







2



-3 1 2 2 3 -10 1.8189 -d 10 1.4286 d d A ₂2  ₁2   ； ｄ   4 



0.02



0.0471(m) 47.1(mm)以上 10 1.8189 d 10 1.8189 d 12 -3 2 3 -2         --- ☆2.3 ひずみの演習問題 １．長さ2ｍの棒材が圧縮荷重を受けて 0.0002 の縦ひずみを生じた。縮み（変 形量）は何ｍｍか。 （解答:0.4ｍｍ） 解答： 0 L    より， 0.0002；Ｌ₀＝2000（ｍｍ）を代入して， λ＝Ｌ0＝-0.00022000＝0.4（ｍｍ） したがって，0.4ｍｍ縮んだ。 ２．引張り荷重を受け材料の伸びが 0.6ｍｍ，縦ひずみが 0.0003 であるとき， 変形前の元寸法はいくらか。 (解答：2000(ｍｍ）) 解答： 0 L    より 0.0003；＝0.6（ｍｍ）を代入して， 2000( ) 0003 . 0 ) ( 6 . 0 0 mm mm L      荷重P 2 d 剛体壁面 剛体壁面 荷重P d120mm

３．直径30ｍｍの丸棒に引張荷重を作用させたところ，直径が 0.0042ｍｍ縮ん だ．横ひずみはいくらか。 (解答：-0.00014） 解答： 横ひずみの定義に従い， 0.00014 ) ( 30 ) ( 0042 . 0         mm mm d d d  ４．長さL0の丸棒を圧縮したところ，長さが200ｍｍ，縦ひずみが-0.005 にな った。変形前の元寸法は何mm か。 ( 解答:201(ｍｍ）) 解答： 縦ひずみの定義に従って， 0 0 L L L   より，LL₀L₀であり，したがって，変形前の元寸法は L L₀(1) となり，ここで，圧縮ひずみ(縦ひずみ)はε＝－0.005 であることに 注意して，



 



201.005( ) ) 005 . 0 1 ) ( 200 1 0 mm mm L L       --- ☆第 2 章 2.5～2.6 応力・ひずみ，ヤング率，ポアソン比など総合演習問題 １．表 2.1 を使って応力σ―ひずみε線図上に硬鋼，ねずみ鋳鉄，純アルミニ ュームの線を入れてみなさい。 解答： 省略。ただし，鋼，鋳鉄，アルミニュームの順に縦弾性係数（ヤング率）が小さい ことを理解しておく。 ２．断面が一辺 4ｃｍの正方形で長さが 10ｃｍの軟鋼製角棒が圧縮荷重を受け て，0.056ｃｍ縮んだ。このとき断面積はいくらとなるか。ただしポアソン 比は0.28 とする。 （解答：16.05(cm２ ）) 解答： 長さの単位をｃｍで統一して以下計算する，まず縦ひずみεは 3 0 10 60 . 5 ) ( 10 ) ( 056 . 0 _{ }     cm cm L   横ひずみε’は



3



3 10 568 . 1 10 60 . 5 28 . 0               圧縮後の一辺の長さを L，圧縮前のそれを L0とすれば,横ひずみの定義 



LL₀



/ L₀から LL₀L₀ L₀



1



4



11.568103



4.006272(cm) したがって,正方形の圧縮後の面積 A は AL2 



4.006272



2 16.0502(cm2) ３．直径 18ｍｍ，長さ 2.5ｍの軟鋼製丸棒を天井に溶接し，下端に 24000Ｎの

荷重を加えた。このとき，棒の伸びλ，棒に生じる応力σを求めよ。ただ し，丸棒の縦弾性係数（ヤング率）は206GPa とする。 （解答：λ＝0.1145(cm)，σ＝94.314(MPa)) 解答： 三つの基本式， P/A，＝ L0，＝Eから材料の伸びλは，ひとまず長さ の単位をメートル（ｍ）で統一して，



0.018



206 10 1.1446 10 0.1145(cm) 4 2.5 24000 AE PL -3 9 2 0      （ｍ） ＝ ＝ ＝  



0.018



( ) 9.4314 10 ( ) 94.314( ) 4 ) ( 24000 7 2 2 MPa Pa m N A P      _  ４．同一寸法の鋼棒と銅棒を同一の力で引張ったところ，伸びが3：5 の比とな った。鋼の縦弾性係数をEs=206GPa として，銅の縦弾性係数 Ecu を求め よ。 (解答：Ecu=123.6（GPa)） 解答： 鋼棒にｓ，銅棒にcu の添字をつけて，それぞれの伸びの式を表すと，A，P，L0は 同一であるから次式が得られる。 cu cu s s AE PL AE PL_{0 0} ,     題意から：s cu 3：5，すなわち









5 3 0 0    s cu cu s cu s E E AE PL AE PL   したがって， 206.0 10 123.6 10 ( ) 5 3 5 3 9 9 Gpa E E_cu  _s      5．右図に示すように，鋼(寸法Ls の部分)と銅(寸法 Lcu の部 分)を組み合わせた丸棒に引 張荷重Ｐを加えた時の全体の 伸びを求めよ。ただし，鋼， 銅の縦弾性係数をそれぞれ， Es=206GPa，Ecu＝102GPa とする。なお，各部の寸法および荷重は， Lcu=300mm，Ls＝200ｍｍ，直径 dcu=50mm，直径ｄs=40ｍｍ，荷重 P=80 ｋN とする。 （解答:λ＝0.182（ｍｍ）） 解答： 鋼棒にｓ，銅棒に cu の添字をつけて，それぞれの伸びの式を表すと，

Ｐ

cu d s d s L cu L

cu cu cu s s s AE PL AE PL     , 題意で与えられた数値を代入して



0.04



206 10 6.18078 10 ( ) 0.0618( ) 4 2 . 0 10 80 5 9 2 3 mm m AE PL s s s            



0.05



102 10 1.198344 10 ( ) 0.1198( ) 4 3 . 0 10 80 4 9 2 3 mm m AE PL cu cu cu             したがって,全体の伸びλは  _s _cu 0.06180.11980.1818(mm) 6 ． 下 図 に 示 す よ う に ， 内 側 に 直 径A50mmの 軟 鋼 の 丸 棒 ， 外 側 に 直 径 mm B100  の黄銅製中空円筒をはめた柱がある。これに圧縮荷重P150kNを 加えた時，各柱に生じる応力_a，_b，ひずみε，縮みを求めなさい。ただ し，各柱の縦弾性係数は軟鋼E_s 206GPa，黄銅E_b 110GPaとする。なお， 両材料の長さはL₀ 400mmで，変形しない黄銅と鋼の縮み板（剛体といい， この場合それぞれのひずみおよび縮みは等しいと考える）に取り付けられ ている。 (解答：σｂ=15.678（MPa），σs=29.361（MPa），ε＝1.425×10-4， λ＝0.057（ｍｍ）) 解答： 考え方として,黄銅の断面で受け持っている荷重 Pb と鋼が受け持つ荷重 Ps の和が圧縮 荷重 P に等しいと考える。すなわち,黄銅と鋼の断面積および応力をそれぞれ Ab,σb よび As，σs として，力のつりあい式は， PP_bP_s _bA_b _sA_s （１） さらに，両材料は剛体に取り付けられているから，両材料のひずみεb，εs または縮 荷重P 荷重P 黄銅 鋼 φ B φ A 0

L

みλb，λs は等しいと考える。すなわち， s s b b s b E E        （２） ここで未知数は,σb,σs の２つであるから，式（１），（２）を連立させれば解ける。 ｛解答｝ （１）部材の応力を求める。式（２）から， _b b s s E E _   であり，この応力を式（１）へ代入して，



_{b b s s}



b b s b b s b b s s b b A E A E E A E E A A A P       s s b b b b E A E A P E    ，同様にして s s b b s s E A E A P E    （３） となる。題意で与えられた数値を代入して，

  





2 2



9





2 9 3 9 10 206 05 . 0 4 10 110 05 . 0 1 . 0 4 10 150 10 110              _{ } s s b b b b E A E A P E 0.15678 10 ( ) 10 52433 . 10 10 65 . 1 10 044800 . 4 10 47953 . 6 10 16500 8 8 16 8 8 12 Pa           1.5678107(Pa)15.678(Mpa) さらに，σs は 15.678( ) 29.361( ) ) ( 110 ) ( 206 MPa MPa GPa Gpa E E b b s s       （２）ひずみεは， 2 4 9 7 9 7 10 425 . 1 10 01425 . 0 10 206 10 9361 . 2 ) ( 10 110 ) ( 10 5678 . 1 _{ }  _{ }          Pa Pa E E _s s b b    （３）縮みλはλb=λs であることに注意して，フックの法則および式（３）から ) ( 057 . 0 ) ( 10 57 . 0 4 . 0 10 425 . 1 4 4 0 0 0 L L m mm E L E _s b s b b s b           _{ }   _    となる。 --- ☆第 2 章 2.7～2.8 材料の機械的性質，安全直径，安全率などの総合演習問題 １．構造物の部材が鋼製の丸棒であり，引張荷重30kNを受けているものとする。 引張許容応力を 2 90N/mm とするとき，この丸棒の安全直径を求めよ。 （解答:20.6(ｍｍ以上）) 解答： 許容応力を_a，丸棒の直径をdとすれば，丸棒に許す引張荷重はP_aは現在受けてい る引張り荷重 30kＮより大きくなければならから，次式が満たされる必要がある。 P_a d _a 30

 

kN 4 2   

したがって，安全直径dは， 20.6( ) 90 14 . 3 10 30 4 10 30 4 3 3 mm d a          以上 ２．引張り荷重10kNが作用する丸棒の安全直径を求めよ。ただし，材料の降伏 点(基準強さ)を360MPa，安全率を３とする。(解答：10.3（ｍｍ以上)） 解答： 安全率の定義から，基準強さ（応力）を_S，許容応力を_aとすれば安全率 f は， a S f σ σ  で表されるから，このときの許容応力_aは 120 10 ( ) 3 10 360 6 6 Pa f S a       であり，丸棒の直径をdとすれば，丸棒に許す引張荷重はP_aは現在受けている引張り 荷重 10kＮより大きくなければならから，次式が満たされる必要がある。 Pa d a 10

 

kN 4 2    したがって，安全直径dは， 10.30( ) ) / ( 10 10 120 14 . 3 ) ( 10 10 4 10 10 4 2 6 6 3 3 mm mm N N d a           _  以上 ３．軟鋼丸棒を安全率７で使用する。丸棒の許容応力が 2 8820N/cm であれば， 直径2cmの丸棒を破断するにはいくら以上の荷重を加えればよいか。 (解答：1.9396×105_（N）) 解答： 安全率の定義から，基準強さ（応力）を_S，許容応力を_aとすれば安全率f は a S f σ σ  で表されるから，このときの基準強さ_Sは， S  fa 7882061740(N/cm2) したがって，この応力以上を加えれば破壊できると考え，丸棒の直径をd，破壊荷重 をPとして， 61740 1.9396 10 ( ) 4 2 14 . 3 4 5 2 2 N d P _S      ４．最大荷重0.2MNをクレ－ンで巻き上げるとき，破壊荷重0.5MNのワイヤロ ープを８本使った，安全率ｆはいくらか。 （解答：ｆ＝20） 解答： ワイヤーロープ８本が破壊に至る荷重Pは ) ( 10 4 ) ( 10 5 . 0 8 6 N 6 N P     クレーンに実際にかかっている最大荷重が0.2MNであるから，安全率 f は

20 10 0.2 10 4 f ₆ 6 ＝ ＝ 実荷重 破壊荷重    ５．図 2.18 のボルトに70kNの引張り荷重を加え る。ボルトの安全直径dとボルトの安全高さ hを求めよ。ただし，ボルトの許容引張り応 力 を 2 9000N/cm ， 許 容 せ ん 断 応 力 を 2 8500N/cm とする。 （解答:直径d3.147(cm)，ｈ8.33(ｍｍ)） 図 2.18 ボルトの強度 解答： 許容引張り応力を_a，ボルトの直径をdとすれば， ボルトに許容する引張荷重P_aは現在受けている引張り荷重 70kＮより大きくなければ ならから，次式 が満たされる必要がある。 Pa d a

 

N 3 2 10 70 4     したがって，ボルトの安全直径dは， 3.147( ) 9000 14 . 3 10 70 4 10 70 4 3 3 cm d a          以上 つぎに，ボルト頭部の高さhについては，この部分はせん断応力を受け，せん断面積を A，許容せん断応力を_aとすれば，次式を満たす必要がある。 A_a dh_a P_a 70103

 

N したがって，安全高さhは 0.833( ) 8.33( )以上 8500 147 . 3 14 . 3 10 70 3 mm cm d P h a a          --- ７０kＮ ｄ ｈ