局所ファジイ再構成法による有義波高の短期予測

局所 フ ァジィ再構成法 による有義波高 の短期予測

太 田 隆 夫 ・ 白神 健 司・ 木 村 晃

社 会 開発 シス テ ム エ 学 科

Short‐tcltt Prediction of hc Signiicant Wavc Height

by the hcal Fuzzy〕Reconsttuction Mcthod

Takao OHTA,KcttiSHIRAGA andAkira KIMURA

Departmcnt of Social Syste】ms Engince ng,Faculty Of Enginccring Tottott Un crs■y,Totto _{,680 Japan}

E―ma』i ohta@Orange,cv.tottori― u.acjP

Abstract:In this study,a prcdiction mcthod which is based on thc chaos thOory is applied to tilnc scttcs data of the significant wave height,Hrst,it is necessary to vcrify hc chaodc charactc stics of thc signiacant wave height data.Thc cottclation integral and he Lyapunov cxponent arc calculatcd fЮ m hc data forthis purpose.Ifthe time sc cs data is chaotと _{,itis considcrcd to bc gcncratcd by} a detcrministic nonlincar systcmt he dynamics of thc systc■ l is cstimatcd frona thc obtaincd data and is used in perfor■ ling thc prediction. Thc local fuzzy rcconstruction mcthod is applicd to the cstimation of thc dynamics. Short‐ term prcdiction of thc signincant wavc hcight is pcrformcd by using the estimatcd dynamics.

Key wordsi Significant wavc hcight, Prediction,Chaos, Fuzzy,Corrdation integral, Lyapnov exponent

l.は

じめ に 港湾工 事 の施工管 理や作業 時の安 全確 保 のため には

,数

時間 か ら数 日先 の波 浪予測 情報 が必 要 と され る。予測 の対象 とな るの は

,通

常

,有

義波高 と有 義波 周期 であ り

,こ

れまでにも

,波

浪推算法 [1]や重回帰モデル[21,13〕および物理因子重回帰モデ ル[4]などを用 いて予測 が行 われて きた。 しか し, 波浪 推算 法で は

,気

象学 の専 門知識 が必要で ある ことや

,計

算 に多 くの費用 と時間を要す るという 問題 があ る。 また

,重

回帰モデルや 物理 因子 重回 帰モ デル では

,気

圧 や風 速 といった気象 デー タの 作成・入 力に労力が 必要 であ るとい う問題が残 っ てい る。一方 で

,最

近

,観

測 された 時系 列データ のカ オス性 に基づ いた予 測法 (決定 論的非線 形予 測法

)が

経済 予測

,電

力や上 水の需 要予 測 に適用 され

,一

定の成果 を挙 げてきている

.こ

の方法は, ある時系列デ ータが カオ ス性 を有す るな らば

,そ

の時 系列 を生 じさせ てい るシステム は非線形 な決 定論 的法 則 に従 うもので あ り

,観

測 され た時系列 か ら逆 に この法則 を推定 して予測 を行 う とい うも ので ある。本研究で は

,解

析 および予測 の対 象 を 有義 波高 のみ とし, まず その観測デ ータ のカ オス 性 を検討 す る。ついで

,決

定 論的非 線形予測法の 一つ である局所 フ ァジィ再構 成法[5]を用 いて有 義 波高 の予測 を行 い

,そ

の適用性 を検討す る。

2.観

測 デー タのカオス性 本 研究 で用 いたデ ータは

,全

国港 湾海 洋波 浪観 測資 料[6]のうち

,深

浦港 (青森 県

)に

おける1985 年 12月 1日

0時

か ら1989年 6月 30日 22時まで (データ数15696)と

,鳥

取港 における1983年 6月 1日

0時

か ら1990年 3月31日22時まで_(デー タ数 2995り の有義波高のデータである。 このデータは 2 時間毎 に観測された ものであ り

,上

記 の期間のデー タ取 得率は

,深

浦が

99,8%,鳥

取が99.6%である。 また

,欠

測の影響 を小さ くす るため に

,連

続9回 以下 の欠 測に対 して は線 形補 間を行 い

,そ

れ 以上 の欠 測は観測波高 をゼ ロ とした

.決

定論 的非 線形 予測 法 を用 い るため には

,ま

ず この有義 波高 デー タのカオス性の有無 を判定す ることが必要 となる。 本研究で は,2.1に述べる相関積分法 と2.2に述べる リア プノフ指 数 を用 いて デー タのカ オス性 を判定 す るが, このためには最 初 に 「時間遅れ座標 によ る軌 道の再構 成」 を行 う。す なわち

,時

系列 デー タ

_{X(t)}か

ら次のような

m次

元ベク トルを作 る。

死_{1,死 1+/,_.,死 1+(″-1)/} 死_{2,死 2+r,…・,死2+(P2_1)/} 為

=(為

あ … …

>)但

) ここで

,rは

時間遅 れの大 きさ

_,mは

_{軌 道再構 成 を} 行 う空間の次元である。 これ らのベク トルは

,m次

元空 間上 の点 を表 し

,そ

_{の点 を結ぶ ことによ り軌} 道 を構成する ことになる。

2.1

相 関積分法 時 系列 デー タか ら再構 成 した軌道 の形状が フラ クタルで あれ ば

,も

_{との時系列デー タはヵォスで} ある可能性 を有 する と判定 され る。Grassbcrgcr・ Procaccia17]は

_,再

_{構 成 した軌道 に対 して相関積分} の計算 をする ことによ り

,フ

_{ラクタル次元 を表す} 尺度 の1つ_{で ある相 関次元 を求める手法 を提案 し} ている

.相

_{関積分は次式のように定義される} .

σ

"(ε_)=月

老

i皇

1〃

_(ε

―

lχ,一Xブ

け

(2)

二

:拠

舞発勢ξ

,3そ

七

矛

:豊

影

トル を X.=(χ_,1,χ乏,・・・,為″

),χ

_ブ

=(持

_1,為 2,・・・,為″) (3) とす る と, lχ:―

為卜た

ユ

lχ

激

―

み

￨ (4)

εの値 を変え て式

(2)の

_{相 関積分 を計 算 し}

_,そ

の結果 が σ″ (ε)∝ ε7(″

) (5)

のように表 され るとき

,

ソぃ)は相関指 数 とよばれ る

.軌

_{道 を再 構成す る空間の次元mを上 げなが らソ} lm)を計算 した とき, ソぃ)がぁる値 に漸近すればそ の値 が相 関次元 とな り

_,軌

_{道 を構成 す る もとの時} 系列 デー タはヵォスでぁる可含静性を有す ると判定 され る。本研究 では

,式 (1)の

1の_{値 を}30,40,50, 60時間 の

4通

り と し

,そ

れ ぞ れ に つ い て

mを

5,6,7,8,9,lo,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,35の 17通 りとして 軌道 の再構 成 を行 い

,式

(2)の

相 関積 分 を計算 した。 図

1,図

2は_{相 関積 分 の 結果} を示 した ものであ り

,図

1は_{深浦 のデー タで}r=50と した場合

,図

2は_{鳥取 のデー タで}r〓40と した場合 で ある 。 さ らに

,こ

_{れ らの グ ラ フの直 線部 分の 傾 き} か ら相 関指 数 ッぃ)を求 めた。mと ソ(m)の 関係 を示 した のが 図3と図

4で

,図

3が

深浦

,図

4が

鳥取 でのデー タに対す る結果 であ る。図3ではr〓50お よ び梓60の 場 合 に

,図

4で

_{は洋40の 場合 に相 関指数 の} 収束 が見 られ る 。 また

,深

浦 につ いて は,r〓40とr= 50の_{場 合 で相 関積 分 の値 が大 きな領域 (たと えば} 図

1で

縦 軸 の値 が

-3か

ら

-1の

あ た り

)に

直線 部分 が見 られ たため

,そ

_{の傾 きの変 化 も併せ て図} 3に示 した

.何

れ も2よ _{り少 し小 さ いあ た りに収} 束 して い る

.こ

れ らの結 果 よ り

_,こ

_{こで 用 い た深} 浦お よび 鳥取 の有義 波高 デー タはヵ ォス でぁ る可 能性 を有す ると考 え られ る。 ‐_{4 _2 o 2 4 6} 10828 図

1

相関積分の結果 (深浦)

-2o24

1°g28 図

2

_{相関積分の結果 (鳥取)} 一 一     〓 Ｘ ︲   為 ・４     ・８ ︵ じ ① ［ ∞ ⊇ ・４     ・８   ・２ ︵ じ ⑭ ［ ω 皇 ． て   ヽ ス   て ・ ︱ ←   Ｂ ′

5 10 15 20 25 30 35 μ …■♭…r=30 -o― r=40 ¨・●・・ r〓50 ・_c‐

r=60 +r〓

40b …・・￨・・・ r=50b 図

3

相関指数の変化 (深浦) 5 10 15 20 25 30 35 脇 中くD―r=30 -o― r=40 ・・・●・・ r=50 ‐_{()‐ r=60} 図

4

相関指数の変化 (鳥取)

2.2

リア プ ノフ指 教 カ オス のも う1つの特徴 と して

,軌

道 不安 定性 (もしくは初期値鋭敏性

)が

挙 げ られる。 これは, ある軌道 とそ の近傍 にあ る軌 道が時 間発 展 に とも なって指数関数的に離れていく性質の ことである。 リア プノフ指 数は軌 道聞距離 の変化 率 を表す指標 であ り

,

これ が正の値 を示せ ば軌道 間の距離 は拡 大 される こと にな り

,し

たが って軌 道不 安定性 を もつ と判 断される。 ここでは

,時

系 列デ ータか ら リアプノフ指数 を求 める方法 としてSano・Sawada[8] の方法 を用 い る。まず

m次

元空間に再構成 された軌 道上 の一点 を/rと し

,こ

の点 を中心 に して 距離 ε の範囲に入 る軌道上の他 の点為 を

M個

(た 1,2,…・

M)

探 し出す。 この とき為 の、 に対する変位ベク トル 勇は

,次

式で与え られる。 ノ!=Xた,―ズ ′

(6)

時間τ

の経過後

,、

_{はィ″τに}

,近

_{傍の各点挙とは、時}

にそ れぞれ 移動す るか ら

,時

刻t+τで の 変位 ベ ク ト ,レ_考は て

j=Xれ

+τ X′+τ

(7)

とな る。 ここで距離 εが十分 に小 さい とす る と,乃 か ら発への変化 は

,行

列 スrを用 いて次式 のよ うに表 す ことができる. え:〓Aι メ

, (8)

ここで

,式 (6)の

スとは

,次

式 のよ うに表 され る。 A′

y=c (9)

こ こに,

ソ

_朋

=デ

歩羞ノ

減ノ

河

ν∇

ね河



・

１

一

ν

〓 じ ２ τ ＋ ” ヽ ヽ ／ ／ τ ＋ ” τ 十 ι ／ ／ ヽ 、

河▼

_︵

一

ブ〓︲

て,た ノ,1 (10) 乃 ;乃の第k成分

,金

;z丁の第k成分 こ妍 府用いてリアプノフ指数 を求めるのである力ヽ それには

m次

元空 間に互いに直交す る単位 ベク トル の組v/(t),中●,vコ(t)を与え

,各

ベク トルのス′によ る変化 をみるという方法[9]をとる。すなわち, 9,(ど +τ)=A′ ".(′

) (11)

を求 め

,さ

らに 式

(12),(13)で

与 え られ る Gmm―Schmidtの_{直交化 によ り新 しい正規 直交系ロデ} ぐ樹)(卜 1,2,―・,m)へ変換する。 θ_{l'(′+τ )=じ 1(サ}+τ)― 】_,(チ +τ

₎₌

じど '(r+τ ) IЪ ′ い τ)￨ ただ し

,<,>は

内積を表す。つぎに

,「

Ar+τを求 めて式 (11)のようにv′ _(t+τ)を写像 し

,式

(12), (13)によ りさ らに新 しい正規直交系へ変換す る」 という操作 を繰 り返す ことによ りθメの系列 {θ′′(t )}を求 める。 これを用いて リアプノフ指数九,(卜1, 2,…。_,m)は以下のように与え られる. (13)

んの うち, 1つで も正値 の ものが あれ ば

,軌

道不安 定性 (初期値鋭敏性

)を

表 して いる とみな され る。 図5と図6に

,上

記 の方 法で 求 めた リア プ ノ フ指 数 の うち 最大 の もの (最大 リアプ ノ フ指 数

)を

示 す 。 図

5が

深 浦

,図

6が鳥取 でのデ ー タ に対 す る 結果 で ある.rを30,40,50,60時 _間の

4通

_り

,mを

_5∼ 15の 11通 り

,式

(14)の Nを600と して計算 を行 っ た。 これ らの 図か ら

,深

浦

,鳥

取 の 何れ の場 合 も 最大 リア プ ノ フ指 数 は正 値 とな って お り

,深

浦 で は

mが

10以 上 の範 囲で

,鳥

取 で は

mが

7から11の範 囲で概 ね変化 が緩や か になって いる ことがわか る. した が っ て, この結 果 か らも深浦

,鳥

取 の両 デー タ と もカ オス で ある可能 性 が 示 され た と考 え られ る。 4 6 8 10 12 14 胞 -r=30 -o― r=40 …・●¨ r=50 ‐虫_{Э ‐}r=60 図

5

最大 リアプノフ指数 (深浦) 陶 ―O―r=40 ‐_{()‐ r=60}

3,局

所 フ ァジィ再構 成法 観 測デ ータのカオ ス性 に基 づ く予 測法 では

,ま

ずそ のデータが決定 論的 な非 線形力学系 よ り生 じ たもので ある と考 え る。 さらに

,こ

の力学系 の状 態変化 を支配 す る法貝Jを時系列デー タか ら逆 に推 定 し

,こ

れを用 いて予測 を行 う。本研 究では

m次

元 空間 に再構成 した軌 道 を小 さな区間 に分 けて

,そ

れぞ れの区間 ごとに局所 的な支配法則 を推定 する 方法 を用 いる。 これ には多 くの手法 が提 案 されて いるが

,本

研究で は五百旗頭 ら[5]による局所 フ ァ ジィ再構 成法 を用 い る。 いま

,最

新 の観 測データ を含む畝 元ベク トル を、

,そ

の近傍 のベク トルの 集 合 を {ズ_たデ

}と

し

,(ズ

_そす

)の

時 間τ後 の集 合 を 働鳴十τ

)と

する。また

,、

の時間絵 のベク トルを 石時 とすると

,こ

れが予測の対象 となる

.こ

こで, τが決定論的因果性 を失 う時間幅以内であれば

,、

か らIμτへの状態変化 と

,

働鴫

}か

ら {ズ_脇

,へ

の 状態 変化 とが近似的 に等 価で あると仮定 でき る。 さらに

,、

_{か ら石時への変化 は}

,、

と (為

}と

の 距離 に影 響 されると考え られ

,こ

れ をフ ァジ ィ関 数 を用 いて表現すると式 (15)のようになる。

√ ″潅 ね ガ

,′

力

ι

麗 ″癒

+τ

ぬ ジ九

+τ (15)

ここに

,2ち

:(/t・

_)の

2Ji成

分

,

_βち

+了

:(為

十

τ

} の3Ji成 分 (ブ=1,2,―・

,n

この よ う にフ ァジィ関数 を用 いる こ とに よ り, 態 変 化 の非 線 形 性 を 取 り込 め る

.さ

ら に,

(1)に

示 したよ うに, '死た二十r' 'χ た1+(PPr_1)/ ,χた2+r,… ,χた2+(″-1)r ４ ヽ ＞ ノ ９ ｇ Ｏ

山ゃね

劇

１ 一 Ⅳ

吼

Ｉ Ｎ 〓 九 状 式 れ       諺 χ       χ 一 一       〓 χ     χ χ膨

=(栃 Jい

_{― 死Щ 脚 ン} ) (16) と表 され るか ら

,た

とえ ば ブ〓1に つ いて式 (15)は 以 下 の よ うにな る. 一 一   〓

＋

一

_肋

物

⋮

協

√ √αlれ J∫ 死た1 91A7t な _えた2 α_{lた1+τ ,∫ 死たI+τ} αlれ_十τ な _えた2+τ αlた_f+τ ,∫ 売れィ十τ (17)

√ α

lれ

た え瘤ゾ

図

6

最大 リアプノフ指数 (鳥取) μ 一

χ `-81 χ′ ガι+81 図

7

前件部 メンバー シップ関数 χ _{ttlt ズれ″}+τ 〆たltt ガ虚+τ ガれィ+τ χた1+, 図

8

後件部 メンバーシップ関数 また, 為

=(為

れ

+…

_{為 伸}

_>)⑩

であるか ら

,式

(17)を_、士の第1成分/rtの予測 に 用いるには,,1灯に為を代入すればよい。また

,IP

/k2,・ …_{,挙れはヽ の近傍のベク トルであるか ら}

,式

(17)の

前件 部の メンバ ー シ ップ関数は図

7の

よ うになる。図 中の εlは

,21那

由で の近傍 を表す範 囲で ある。な お

,後

件部 のメ ンバー シップ関数は 図

8の

よ うな シングル トン表 現 とす る。以上 のよ うなファジィルール とメンバーシップ関数 を用 い,

ゝの各成分を入カデータとしてファジィ推論を行

うと

,ィ

,τ

の各成分は携

+τ

として求められる。さら

に

,非

ファジィ化の操作

[10]を

行うことで、子

_τ

の各

成分が数値 と して与 え られ

,第

m成

分が最 新 のデー タか ら時間τだ け後 の予測値 とな る。 ま た

,本

研 究 で は非 フ ァジ ィ化 の 方法 と して

,一

般 に重心 法 と よばれ る方法 を用 いる。

4.有

義 波 高 の予 測 結 果

3.に

示 した方法 で有義波 高 の予測 を行 うには, 軌道 を再構成 す る際 の 時間遅 れrと

,軌

道 を再構成 す る空間の次 元

mを

決定す る必要が ある。 図4から 鳥取 につ いて はrを40時 間 とすれ ばよい こ とがわか 100 200 300 400 500 (hOurS) 100 200 300 400 500 (hOurS) 0 100 200 300 400 500 600 700 (hOurS) 0 100 200 300 400 500 600 700 (hOurS) 図

9

有義波高 の予測結果 (深浦) る

.深

浦 につ い ては

,図

3か

らr=40,50,60の

3通

り が考 え られ るが,rも0の場合 のみ低次元 と高次元 と もに収束 傾向 が見 られ る ことか ら, この値 を用 い る。mにつ いて は

,図

4にお い てr=40の場合 の 相 関 次元 が

7程

度 で ある ことか ら

,こ

れ 以上 の値 を と る必要が ある。 また

,図

6に示 したよ うに

,mが

7 ４     ２     ０ ︵ 日 ︶ 的_音 田 ４     ２     ０ ︵ 日 ︶ ф 音 田

表

1

予測の的中率 100 200 300 400 500 (hOurS) 100 200 300 400 500 (hOurS) 100 200 300 400 500 (hOurS) 0 100 200 300 400 500 600 700 (hOurS) 図

10

有義波高 の予測結果 (鳥取) か ら11の 範 囲 で最 大 リア プノ フ指 数の変 化が 小 さ い こ とか ら

,鳥

取 につ いて はm=loとす る 。一方, 深浦につ いて は図3から

,mを

2以上 ととる場合 と, 9以上 と とる 場合 の

2通

りが 考 え られ る

.図

5で は

mが

_{10以 上 の範 囲で最大 リアプノフ指数 の変化が} 小 さ くな って いるが

,鳥

取 との比較 の意 味で低次 深 浦 鳥

取 6時間後 12時 間後 6時間後 12時 間後 .88,1 _{0,732 0.577} 0。710 0.508 4 0.642 0,392 0.750 0.558 7 0,879 0,710 0.935 0.806 10 0,677 0.379 0.790 0,605 元側 の値 をと り

,試

行 的 にm=5とす る

.有

義波高 の 予測 は

,深

浦

,鳥

取 ともに1988年 1,4,7,10月 を対 象 と し, 6時間後お よび12時_{間後 の値 につ いて行 っ} た

.予

測 値 は0,6,12および18時の6時間 毎 に求 め た。 予測 に際 しては

,深

浦 に つ いて は予 測 を実施 す る時刻 か ら過去

2年

間 の有 義波高 デー タを

,鳥

取 につ い て は 同 じく

4年

間の デー タ で を用 い た。 図

9に

深浦

,図

10に鳥取 (ともに1988年 1月 と10 月

)の

6時間後お よび12時_{間後 の予測結果 を示す}. 第 線 が観 測値

,●

付 きの 点線 が予測 値 で ある

.6

時間 後予 測 の両者 の対応 は比 較 的 よ いが

,高

波浪 の立 ち上 が りの遅れ が見 られ る 。12B寺_{間 後予 測 で} は

,さ

らに立 ち上が りの遅れが 目立つ よ うにな る. 表1には予測 の的 中率 を示 した。 これ は

,後

藤 ら [4]にな らい次 の よ うな 基準 を用 いて求 め た もの で ある。 汀 。≦ ■

0(陶

)) 〃 。

>10(翻

)) (19) こ こ で

,打

っは観 測 値,Irρは予 測 値 で あ る 。 式

(19)で

表 され る範 囲 に入 る予測 値 の数 の

,全

予 測数 に対 す る割合 を 的中率 と した。 本研 究で は, 深浦 と鳥 取 の ともに 日本 海沿 岸 での 同 じ時期 を予 測の 対象 としたが

,表

1からわか る よ う に的 中率 に大 きな差 が 生 じる 場合 が あ る

.た

だ

,予

測 に用 いたデー タ数が

,鳥

取 に比べて深浦 の方 が少 な く, その影響 もある と思われ る。

5.

甘お

bり

に 本 研究 で は

,観

測 デー タの カオス 性 に基づ く時 系列 予測 法 (決定論 的非 線形 予測法

)の

有義 波高 予測 への適用 性 を検 討 した。 対象 と した のは

,深

浦港 と鳥 取港 で得 られた 有義 波高デ ー タ で あ る。 Fr′一打 。 ￨≦ 0,3(陶 )

〃

p―

打。

1/〃

。≦

0.3 ４     ２     ０ ︵ 日 ︶ ［ 音 田 i88.10 6‐_hour '88.10 12‐hour

これ らの観測 データ のカ オス性 につ いて は

,一

般 的に用 い られ る相関積分 とリアプノ フ指 数を求め ることに よ り検証 した。有義波高の予測 には

,決

定論 的非 線形 予測法 の一 つで ある局 所 フ ァジ ィ再 構成 法 を用 い た。予 測結果 は この方 法の適用 可能 性 を ある程度 示 して いるが

,高

波浪 時の立ち上が り遅れ という問題 を残す ものであった。 今考文 献 [1]山 口正隆・土屋義人・小矢 田 宏・渡辺 健 :有 限風域 場 にお ける波浪の数値予知法

,第

26回海 岸工学講演会論文集,pp.96‐100,1979 [2〕 須 田 熙・湯沢 昭 :波 浪予測に基づ く外海 シー バースの待ち行列 に関する基礎的研究

,土

木学 会論文報告集

,第

339号,pp.177-185,1983 13]小舟浩治・橋本典明・亀 山 豊 。久高将信 :重 回 帰式 を用 いた波浪予測手法の適用 について

,第

34回海岸工学講演会論文集,pp.167‐171,1987 [4]後藤智明 。柴木秀之・青野利夫・片山 忠 :波 浪 予測 を目的 とした物理 因子重回帰モデル

,土

木 学会論文集,No.473/11-24,pp.45‐ 53,1993 15]五百旗頭 正 。菅家正康・藤本泰成・鈴木新悟 : カオス的時系列 の短期予測のための局所ファジ ィ再構成法

,日

本 ファジィ学会誌

,Vol,7,

No.1, pp.186-194, 1995 [6〕 運輸省港湾局

/(財

)沿

岸開発技術研究センター 発行 :全_{国港湾海洋波浪観測資料 (NOWPH‐}

AS),1983∼

1990

[7]Grassberger,P,,Procaccia,I.:Characte zation of strangc Attractoぃ,Physical Revicw Lettcrs,v01.50,No.5,pp. 346‐349, 1983

[8]sano,M.,Sawada,Y.:Mcasurcmcnt of he Lyapunov

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,東

京電機大学出版

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,菅

野道夫:フ ァジィ制御

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刊工業 新聞社

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(受理 平成9年8月

25日

)