1 x6.10 一般的な命題 命題 N 次元空間 (x i ) に計量 g ij が与えられている f ij を (x i ) 上の (2;0) 次交代テンソルとするとき i ( p g g r p f ip )=0 が成り立つ ここで g r p は計量 g ij のChr

x６.１０ 一般的な命題

命題 6.10.1 N 次元空間 (xi_{) に計量 g} ij が与えられている。fij を (xi) 上の (2; 0) 次交代テンソルとするとき、等式 @i(pg grpfip) = 0 が成り立つ。ここで g_r p は計量 gij の Christoff el の記号による共変 微分とする。 （証明） ci₌ g_r pfip とおく。 @i(pgci) = (@ipg)ci+pg@ici である。右辺の各々の項を計算すると、 (@ipg)ci= @ipg(@pfip+ gÄpprfir) 命題 1.7.6 によれば、 g_Äp pr= @rlog pg であるから、上式は (@ipg)ci = (@ipg)@pfip+ (@ipg)(@rlog pg)fir この式の第２項は、 = (@ipg)p1 g(@r p_g)fir_{= 0} よって、 (@ipg)ci= (@ipg)@pfip (1) 一方で、 ci= @pfip+ gÄpprfir より、 @ici= @i@pfip+ @i(gÄpprfir) この右辺の第１項は 0 であるから、 @ici= @i(@rlog pgfir)

= (@i@rlogpg)fir+ (@rlogpg)@ifir この式の第１項は 0 であるから、 p_g@ ici=pg(@rlogpg)@ifir= (@rpg)@ifir = Ä(@ipg)@pfip (2) (1) と (2) より結果を得る。（終） 命題 6.10.2 N 次元空間 (xi_{) に計量 g} ij が与えられている。gij 関係の 変分について、 égij _{= Äg}ikgjlégkl (1) ég = ggij_ég ij (2) が成り立つ。 （証明） まず、(1) は gik_g kl= éli より、 (égik)gkl+ gikégkl = 0 この両辺に gjl _{をほどこすと、} (égik)gklgjl+ gikgjlégkl = 0 これより、結果を得る。 次に、(2) は命題 1.7.6 の最初の部分と同様の方法で、得ることがで きる。（終） 命題 6.10.3 この命題はかって数学者の Hilbert が導いたものだと思う が、確認のためもあって、ここに計算の詳細を記述する。 N 次元空間 (xi_{) に計量 g} ij が与えられている。gR を gij によるス カラー曲率とするとき、g_{Rpg に変分 ég} ij をほどこすと、 é(gRpg) = Äpg( gRij_Ä1 2 g_Rgij_)ég ij +@ifpg(gprégÄiprÄ gipégÄrrp)g となる。この式の第２項はある式 Pi _{によって @} iPi と書けるが、この形 の式をここでは除去項と呼んで、第１項と区別する。

ここで、計量 gij による曲率を次のように定義している。 g_Ri jkl= @j gÄiklÄ @k gÄilj+ gÄijpgÄpklÄ gÄikpgÄplj g_R ij = gRppij ; gRij= gipgjr gRpr ; gR = gpr gRpr ここで、 g = det(gij) としている。gRij = gRjiが成り立つ。 （証明） g_{Rpg = pgg}ij_(@ k gÄkijÄ @i gÄkkj) + pggij(gÄkkl gÄlijÄ gÄkil gÄlkj) ここで、ñgij_{= pgg}ij _{とおくと、この右辺第１項は、} = @k(ñgij gÄkij) Ä @i(ñgij gÄkkj) Ä @kñgij gÄkij+ @iñgij gÄkkj となる。この式の第１項、第２項は除去項になるから、最後にまとめて処 理することにして、一時的に除外する。そうすると、変分の対象として、 L1=pggij(gÄ_klk gÄl_ijÄ gÄk_il gÄl_kj) Ä @kgñij gÄkij+ @iñgij gÄkkj を考えればよい。 L1を次の各項を独立変数とする関数とみて、この各項で偏微分すると、 g_Äi jk ; gij ; g ; @kgij ; @ipg まずg_Äi jkの偏微分は、 @L1 @g_Äs tu = ñgij_ék sétkélugÄijl + ñgij gÄkklélséitéujÄ ñgijéksétiélugÄlkj Äñgij gÄkiléslétkéujÄ @kgñijéskéitéju+ @iñgijéksétkéju = ñgij_ét sgÄuij+ ñgtu gÄkksÄ ñgtj gÄusjÄ ñgiu gÄtis Ä@spggtuÄpg@sgtu+ @ipggiuéts+ pg@igiuéts = Äpg(@sgtu+ gtj gÄusj+ giu gÄist ) +pgést(@igiu+ gij gÄuij) +pggtu gÄkks+ @ipggiuéstÄ @spggtu = Äpg(@sgtu+ gÄuspgpt+ gÄtspgpu) + pgést(@igiu+ gÄuijgij+ gÄiipgpu) Äpg gÄiipgpuéts+pggtu gÄkks+pg gÄppigiuéstÄpggÄppsgtu ここで、最後の２つの項に命題 1.7.6 の @ipg =pg gÄppi

を使った。 この第１項の ( ) 内は g_r sgtu = 0 、第２項の ( ) 内はgrigiu = 0 、また、第３項から第６項までも互いに打ち消しあって 0 となる。すな わち、 @L1 @ g_Äs tu = 0 さて、次のために L1 の ñgij を元に戻して、 L1= pggij(gÄk_kl gÄl_ijÄ gÄk_il gÄl_kj) Ä @kpggij gÄijk Äpg@kgij gÄkij +@ipggij gÄkkj+ pg@igij gÄkkj としておく。 その他の偏微分は、 @L1 @gpr = pg( g_Äk kl gÄlprÄ gÄkplgÄlkr) Ä @kpggÄkpr+ @ppg gÄkkr @L1 @g = 1 2pgg ij₍g_Äk kl gÄlijÄ gÄkilgÄlkj) Ä 1 2pg(@kg ij g_Äk ijÄ @igij gÄkkj) @L1 @(@igpr) = Ä p_g g_Äi pr+pgépi gÄkkr @L1 @(@spg) = Äg ij g_Äs ij+ gsj gÄkkj となる。 これらの偏微分を使用して、éL1 を éL1= @L1 @ g_Äs tu égÄstu+ @L1 @gprég pr₊@L1 @g ég+ @L1 @(@igpr)é(@i gpr)+ @L1 @(@spg)é(@s p_g) から計算する。この右辺第１項はすでに見たように 0 であるから、第２ 項から始める。ここで、命題 6.10.2 を用いる。 @L1 @gprég pr = Äpg(gÄkkl gÄlprÄ gÄkpl gÄlkr)gpsgrtégst (1) +(@kpggÄkprÄ @ppggÄkkr)gpsgrtégst (2) 次は、まず等式 @L1 @(@igpr)é(@i gpr) = @ @xi n @L1 @(@igpr) égpro_Än @ @xi @L1 @(@igpr) o égpr の右辺の第１項は、除去項であるから、最後に処理するとして除外すると、 = (Ä@ipg gÄiprÄpg@i gÄipr+ @ipgéip gÄkkr+ pgéip@i gÄkkr)gpsgrtégst

= (Ä@ipg gÄiprÄpg@i gÄipr+ @ppg gÄkkr+pg@pgÄkkr)gpsgrtégst (3) ここで、 (1) + (2) + (3) を考えると、 (2) と、(3) の第１項と、(3) の第３ 項の和は 0 になる。残りの和は、 (1)+(2)+(3) = Äpg(@igÄiprÄ@pgÄkkr+gÄkklgÄlprÄgÄkplgÄlkr)gpsgrtégst この ( ) 内は、計量 gij の曲率gRpr であるから、 = Äpg gRprgpsgrtégst= Äpg gRstégst となる。 次に、等式 @L1 @(@ppg) @p(épg) = @ @xp n @L1 @(@ppg) épgo_Ä @ @xp n @L1 @(@ppg) o épg この右辺の第１項は、除去項であるから、最後に処理するとして除外す ると、 = Ä(Ä@pgij gÄpijÄgij@pgÄpij+@pgpj gÄkkj+gpj@pgÄkkj) 1 2pggg st_ég st (4) 次に、 @L1 @g ég = 1 2 p_ggij₍g_Äk kl gÄlijÄ gÄilk gÄlkj)gstégst Ä1₂pg(@kgij gÄkijÄ @igij gÄkkj)gstégst (5) 上の (4) と (5) の和は、 (4) + (5) = 1 2 p_ggst_ég stgij(@p gÄijp Ä @i gÄkkj+ gÄkkl gÄlijÄ gÄkil gÄlkj) = 1 2 p_ggst_ég stgij gRij = 1 2 p_ggst_ég st gR これらより結果の第１項を得る。 さて、次に残った４つの除去項を集めると、 éf@k(pggij gÄkij)g = @ifé(pggpr gÄipr)g = @i(épggpr gÄipr+ pgégpr gÄipr+ pggprégÄipr) éfÄ@i(pggij gÄkkj)g = Ä@ifé(pggij gÄkkj)g = Ä@i(épggij gÄkkj+ pgégij gÄkkj+ pggijégÄkkj)

@i n @L1 @(@igpr) égpro= @if(ÄpggÄpri + pgépi gÄkkr)égprg @in @L 1 @(@ipg) épgo= @if(Ägpr gÄipr+ gip gÄrrp)épgg これらの４つを足しあわせると、多くが互いに打ち消し合って、 @ifpg(gprégÄiprÄ gipégÄrrp)g となる。（終） 命題 6.10.4 ４次元計量 Gij = ïBji について、そのスカラー曲率 G_{R の値は、} G_{R = Ä6ï}Ä1_(Bij_@ i@jò+ Bij@iò@jò) ; ò= log p ï または、 G R = Ä6pïÄ3Bij@i@j p ï である。 （証明） 定義より、 G_R ij = @h GÄhjiÄ @j GÄhhi+ GÄhhp GÄpjiÄ GÄhjp GÄphi とするとき、 Gij のスカラー曲率は G_{R = G}ij G_R ij である。これを計算すると、まず命題 1.7.3 より G_Äh ji= éhjCi+ éhiCjÄ BhlClBij ; Ci= @iò である。これを用いれば、 @h GÄhji= @jCi+ @iCjÄ Bhl@hClBij @j GÄhhi= 4@jCi であることがわかる。さらに G_Äh hp= 4Cp

G_Äh hp GÄpji= 8CiCjÄ 4BklCkClBij ÄG_Äh jp GÄphi= Ä6CiCj+ 2BklCkClBij である。これらより、 G_R ij = Ä2@iCj+ 2CiCjÄ 2BklCkClBijÄ Bkl@kClBij を得るが、さらに G_{R = ï}Ä1_Bij G_R ij を計算して結果を得る。また、第２の結果は等式 p ïÄ1@i@j p ï= @i@jò+ @iò@jò を用いて得られる。（終）

x６.１１ Kaluza 計量に関する計算

Kaluza 計量（５次元） kïñを kïñ= Gïñ+ AïAñ によって定義する。また、 fij; fij を fij= @iAjÄ @jAi fij _{= G}ip_Gjr_f pr と定義する。 命題 6.11.1 kïñ_{を k}ïã_k ãñ= éñïなるテンソルとすると、 k00= GijAiAj+ 1 ; k0i= ki0= ÄGilAl; kij = Gij である。 （証明） kïñ_{= h}ïñ_{(0; x}1_{; :::; x}4 ) と書ける。これに命題 2.5.1 を使用すれば得られる。（終） 命題 6.11.2 Kaluza 計量 kïñ について、その Chirstof f el の記号 k_Äï ñóの値は、 k_Äï ñ0= 1 2k ïl_f ñl (1)

k_Ä0 jk= 1 2( G_r jAk+ GrkAj) Ä1 2ApG pl_(f jlAk+ fklAj) (2) k_Äi jk= GÄijk+ 1 2G il_(f jlAk+ fklAj) (3) （証明） 命題 2.5.2 の証明を参考にすれば、次の等式が成り立つ。 k_Äï ñó= 1 2k ïã_(@ ñGóã+ @óGñãÄ @ãGñó) +1 2k ïã_(A ñfóã+ Aófñã+ AãSñó) ここで、 Sñó= @ñAó+ @óAñ とする。これを使って、 (1) は、 k_Äï ñ0= 1 2k ïã_(@ ñG0ã+ @0GñãÄ @ãGñ0) +1 2k ïl_(A ñf0l+ A0fñl+ AlSñ0) +1 2k ï0_{(0 + 0 + 0)} これより結果を得る。 (2) は、 k_Ä0 jk= 1 2k 0l_(@ jGkl+ @kGjlÄ @lGjk) +1 2k 00 (@jGk0+ @kGj0Ä @0Gjk) +1 2k 0l_(A jfkl+ Akfjl+ AlSjk) +1 2k 00 (0 + 0 + A0Sjk) この右辺第１項が、 ÄAp GÄp_jk であることに注意すれば、 k_Ä0 jk= ÄAp GÄp_jkÄ1 2ApG pl_(A jfkl+ Akfjl+ AlSjk) +1 2(G pr_A pAr+ 1)Sjk これより結果を得る。 (3) は、 k_Äi jk= 1 2k il_(@ jGkl+ @kGjlÄ @lGjk) +1 2k i0_(@ jGk0+ @kGj0Ä @0Gjk)

+1 2k il_(A jfkl+ Akfjl+ AlSjk) +1 2k i0_{(0 + 0 + S} jk) この右辺第１項が、G_Äi jk であることに注意すれば、 k_Äi jk= GÄijk+ 1 2G il_(A jfkl+ Akfjl+ AlSjk) Ä1 2G il_A lSjk これより結果を得る。（終） 命題 6.11.3 Kaluza 計量 kïñについて、その曲率テンソル kRïñの 値は、 k_R 00= 1 4f pr_f pr (1) k_R 0i= 1 2G pr G rpfir+1 4f pr_f prAi (2) k_R ij = GRij+1 2G pr_(A i Grpfjr+ Aj Grpfir) +1 4f pr_f prAiAjÄ1 2G pr_f ipfjr (3) k_{R =} G R Ä1₄fprfpr (4) 曲率テンソル k_R ïñの定義は、命題 6.10.3 のそれに従う。 （証明） 以降の計算においては、わずらわしいので、 Kaluza 計 量の曲率テンソルや Christof fel の記号の左肩の k は省略する。例え ば、k_{R は単に R と書く。しかし、 Kaluza 計量以外の曲率テンソルや} Christof f el の記号については、省略は行わない。

R

_ij

の計算

Rij= @ãÄãijÄ @iÄããj+ ÄããóÄóijÄ ÄãióÄóãj (a) の各々の項について計算を行っていく。 これより、 (a:1) の表現によって、式 a の第１項を指すものとする。 (a:2:3) は式 (a:2) の第３項を指す。 (a:1) @ãÄãij = @lÄlij = @l GÄlij+ 1 2@lG lk_(f ikAj+ fjkAi) +1 2G lk_@ l(fikAj+ fjkAi)

この第１項は ＜まとめ ４＞ へ、この第２項は ＜まとめ ３＞ へ、 (a:1:3) 1 2G lk_@ l(fikAj+ fjkAi) =1 2G lk_@ lfikAj+1 2G lk_f ik@lAj+1 2G lk_@ lfjkAi+1 2G lk_f jk@lAi この４つの項はすべて ＜まとめ ２＞ へ。これによって、 (a:1) の項は すべて ＜まとめ＞ へ持って行かれ、ここに残る項はない。 (a:2) Ä@iÄããj= Ä@iÄkkjÄ @iÄ00j = Ä@i GÄkkjÄ 1 2@ifG kl_(f klAj+ fjlAk)g Ä @iÄ00j (a:2:2) Ä1₂@ifGkl(fklAj+ fjlAk)g （この第１項は 0 ） = Ä1 2@i(G kl_f jlAk) =1 2@i(k 0l_f jl) = @iÄ00j これによって、 (a:2) = Ä@i GÄkkj となる。この項は ＜まとめ ４＞ へ、これによって、 (a:2) の項はすべて ＜まとめ＞ へ持って行かれ、ここに残る項はない。 (a:3) ÄããóÄóij = ÄkkóÄóij+ Ä 0 0óÄóij (a:3:1) Äk kóÄóij = ÄkklÄlij+ Äkk0Ä0ij (この第２項は 0 ) = f GÄkkl+ 1 2G kp_(f kpAl+ flpAk)gfGÄlij+ 1 2G lr_(f irAj+ fjrAi)g = G_Äk kl GÄlij+ 1 2 G_Äk klGlr(firAj+ fjrAi) +1 2G kp_f lpAk GÄlij +1 2G kp_f lpAk1 2G lr_(f irAj+ fjrAi) この第１項は ＜まとめ ４＞ へ、この第２項は ＜まとめ ３＞ へ、 (a:3:2) Ä0 0óÄóij = Ä00kÄkij+ Ä000Ä0ij

(この第２項は 0 ) =1 2k 0l_f klfGÄkij+ 1 2G kp_(f ipAj+ fjpAi)g = Ä1₂Glr_A rfkl GÄkijÄ 1 4G lr_A rfklGkp(fipAj+ fjpAi) ここで、 (a:3:1:3) + (a:3:2:1) = 1 2G kp_f lpAk GÄlijÄ 1 2G lr_A rfkl GÄkij = 0 (a:3:1:4) + (a:3:2:2) =1 2G kp_f lpAk1 2G lr_(f irAj+ fjrAi) Ä1₄GlrArfklGkp(fipAj+ fjpAi) = 0 となり消える。 これによって、 (a:3) の項は消えるか、＜まとめ＞ へ持って行かれ、 ここに残る項はない。 (a:4) ÄÄãióÄóãj= ÄÄkióÄókjÄ Ä 0 ióÄó0j = ÄÄkilÄlkjÄ Äki0Ä 0 kjÄ Ä 0 ilÄl0jÄ Ä 0 i0Ä 0 0j (a:4:1) ÄÄkilÄlkj = ÄfGÄkil+ 1 2G kp_(f ipAl+ flpAi)gfGÄlkj+ 1 2G lr_(f krAj+ fjrAk)g = ÄGÄkil GÄlkjÄ 1 2 G_Äk ilGlr(fkrAj+ fjrAk)g Ä1₂ GÄlkjGkp(fipAl+ flpAi) Ä1₄Gkp(fipAl+ flpAi)Glr(fkrAj+ fjrAk) この第１項は ＜まとめ ４＞ へ、この第２項は ＜まとめ ２＞ へ、この 第３項は ＜まとめ ２＞ へ、この第４項は ＜まとめ １＞ へ、 (a:4:2) ÄÄk i0Ä 0 kj = Ä1 2k kl_f il1 2( G_r kAj+ GrjAk) +1 4k kl_f ilApGpr(fjrAk+ fkrAj) この第１項は ＜まとめ ４＞ へ、この第２項は ＜まとめ １＞ へ、 (a:4:3) ÄÄ0 ilÄl0j= ÄÄlj0Ä0li

= Ä1₄klk_f jk(GrlAi+ GriAl) +1 4k lk_f jkApGpr(firAl+ flrAi) この第１項は ＜まとめ ４＞ へ、この第２項は ＜まとめ １＞ へ、 (a:4:4) ÄÄ0i0Ä 0 0j = Ä1₂k0lfil1 2k 0p_f jp= Ä1 4AkG kl_f ilArGrpfjp この項は ＜まとめ １＞ へ、 これによって、 (a:4) の項は消えるか、＜まとめ＞ へ持って行かれ、 ここに残る項はない。 次に行う ＜まとめ＞ によって上記の (a) に属する項目を比較し、打 ち消し合うものを消し、残るものを指摘する。 ＜まとめ １＞ (a:4:1:4) Ä1₄Gkp_(f ipAl+ flpAi)Glr(fkrAj+ fjrAk) = Ä1₄Gkp_Glr_f ipAlfkrAjÄ1 4G kp_Glr_f ipAlfjrAk Ä1₄Gkp_Glr_f lpAifkrAjÄ1 4G kp_Glr_f lpAifjrAk (a:4:2:2) 1 4k kl_f ilApGpr(fjrAk+ fkrAj) =1 4G kl_Gpr_f ilApfjrAk+1 4G kl_Gpr_f ilApfkrAj (a:4:2:2:2) = 1 4G kp_Glr_f ipAlfkrAj (a:4:3:2) 1 4k lk_f jkApGpr(firAl+ flrAi) =1 4G lk_Gpr_f jkApfirAl+1 4G lk_Gpr_f jkApflrAi =1 4G lr_Gkp_f jrAkfipAl+1 4G lr_Gkp_f jrAkflpAi (a:4:4) Ä1₄AkGklfilArGrpfjp = Ä1₄GklGprfilAkfjrAp

ここにおいて、次の項目は互いに打ち消し合う。

(a:4:1:4:1) + (a:4:2:2:2) = 0 ; (a:4:1:4:2) + (a:4:3:2:1) = 0 (a:4:1:4:4) + (a:4:3:2:2) = 0 ; (a:4:2:2:1) + (a:4:4) = 0

これによって、＜まとめ １＞ において、残る項目は (a:4:1:4:3) のみで ある。この項は ＜結果＞ へ。 (a:4:1:4:3) = Ä1₄GkpGlrflpAifkrAj =1 4AiAjf pr_f pr ＜まとめ ２＞ (a:4:1:2) Ä1 2 G_Äk ilGlr(fkrAj+ fjrAk)g = Ä1 2 G_Äk ilGlrfkrAjÄ1 2 G_Äk ilGlrfjrAk (a:4:1:3) Ä1 2 G_Äl kjGkp(fipAl+ flpAi) = Ä1 2 G_Äl kjGkpfipAlÄ1 2 G_Äl kjGkpflpAi (a:1:3:1) + (a:4:1:2:1) 1 2G lk_@ lfikAjÄ1 2 G_Äk ilGlrfkrAj =1 2G lk_A j GrlfikÄ1 2G lk_A j GÄp_lkfpi この第１項は ＜結果＞ へ、この第２項 (m2:1) は ＜まとめ ３＞ へ、 (a:1:3:3) + (a:4:1:3:2) 1 2G lk_@ lfjkAiÄ1 2 G_Äl kjGkpflpAi =1 2G lk_A i GrlfjkÄ1 2G lk_A i GÄplkfpj この第１項は ＜結果＞ へ、この第２項 (m2:2) は ＜まとめ ３＞ へ (a:1:3:2) + (a:4:1:3:1) 1 2G lk_f ik@lAjÄ1 2 G_Äl kjGkpfipAl =1 2G lk_f ik GrlAj

この項 (m2:3) は ＜まとめ ４＞ へ、 (a:1:3:4) + (a:4:1:2:2) 1 2G lk_f jk@lAiÄ1 2 G_Äk ilGlrfjrAk =1 2G lk_f jkGrlAi この項 (m2:4) は ＜まとめ ４＞ へ、 これによって、 ＜まとめ ２＞ へ残る項はない。 ＜まとめ ３＞ (a:1:2) + (m2:1) + (m2:2) + (a:3:1:2) 1 2@lG lk_(f ikAj+ fjkAi) Ä1 2G lk_A j GÄplkfpi Ä1₂GlkAi GÄp_lkfpj+1 2 G_Äk klGlr(firAj+ fjrAi) = 1 2(fikAj+ fjkAi)(@lG lk₊ G_Äk prGpr+ GÄpprGrk) =1 2(fikAj+ fjkAi) G rlGlk= 0 ＜まとめ ３＞ の結果は 0 となり、先へ持ち越す項はない。 ＜まとめ ４＞

(a:1:1) + (a:2:1) + (a:3:1:1) + (a:4:1:1)

@l GÄlijÄ @i GÄkkj+ GÄkkl GÄlijÄ GÄkil GÄlkj= GRij この項は ＜結果＞ へ、 (a:4:2:1) + (a:4:3:1) + (m2:3) + (m2:4) Ä1 4k kl_f il(GrkAj+ GrjAk) Ä1 4k lk_f jk(GrlAi+ GriAl) +1 2G lk_f ik GrlAj+1 2G lk_f jk GrlAi = 1 4G lk_f ik(GrlAjÄ GrjAl) +1 4G lk_f jk(GrlAiÄ GriAl) = 1 4G lk_f ikflj+1 4G lk_f jkfli

= 1 4G lk_f ikflj+1 4G lk_f ikflj = Ä1₂Gklfikfjl この項は ＜結果＞ へ、 ＜結果＞ Rij= GRij+1 2G pr_(A i Grpfjr+ Aj Grpfir) +1 4AiAj(f pr_f pr) Ä1 2G pr_f ipfjr

R

_0j

の計算

R0j = @ãÄã0jÄ @0Äã_ãj+ Äã_ãóÄó_0jÄ Äã_0óÄó_ãj (b) の各々の項について計算を行っていく。 これより、 (b:1) の表現によって、式 b の第１項を指すものとする。 (b:2:3) は式 (b:2) の第３項を指す。 (b:1) @ãÄã0j= @lÄl0j= 1 2@lk lk_f jk+1 2k lk_@ lfjk この第１項、第２項は ＜まとめ＞ へ。 (b:2) Ä@0Äã_ãj= 0 (b:3) Äã ãóÄó0j= ÄkkóÄó0j+ Ä 0 0óÄó0j = Äk klÄl0j+ Äkk0Ä 0 0j+ Ä 0 0lÄl0j+ Ä 0 00Ä 0 0j (b:3:1) ÄkklÄl0j= fGÄkkl+ 1 2G kp_(f kpAl+ flpAk)g1 2k lr_f jr ここで、 Gkp_f kp= 0 に注意。 =1 2 G_Äk klklrfjr+1 4G kp_f lpAkklrfjr =1 2 G_Äk klGlrfjr+1 4f rk_A kfjr

この第１項は ＜まとめ＞ へ、第２項は (b:3:3) と打ち消し合う。 (b:3:2) Äkk0Ä 0 0j= 1 2G kl_f klÄ00j= 0 (b:3:3) Ä00lÄl0j = 1 2k 0p_f lp1 2k lr_f jr= Ä1 4G pk_A kflpGlrfjr = Ä1₄Akfrkfjr この項は (b:3:1:2) と打ち消し合う。 (b:3:4) Ä000Ä 0 0j= 0 (b:4) ÄÄã 0óÄóãj= ÄÄk0óÄókjÄ Ä 0 0óÄó0j = ÄÄk 0lÄlkjÄ Äk00Ä 0 kjÄ Ä 0 0lÄl0jÄ Ä 0 00Ä 0 0j ここで、(b:4:2) = (b:4:4) = 0 である。 (b:4:1) ÄÄk0lÄlkj= Ä 1 2G kp_f lpfGÄlkj+ 1 2G lr_(f krAj+ fjrAk)g = Ä1₂ GÄlkjGkpflpÄ1 4G kp_f lpGlrfkrAjÄ1 4G kp_f lpGlrfjrAk = Ä1₂ G_Äl kjGkpflpÄ1 4f rk_f krAjÄ1 4f rk_f jrAk この第１項は ＜まとめ＞ へ、第２項は ＜結果＞ へ、第３項は (b:4:3) と 打ち消し合う。 (b:4:3) ÄÄ00lÄl0j = Ä 1 2k 0p_f lp1 2G lr_f jr= 1 4AkG kp_f lpGlrfjr = 1 4Akf rk_f jr この項は (b:4:1:3) と打ち消し合う。 ＜まとめ＞ (b:1:1) + (b:3:1:1) = 1 2@lG lk_f jk+1 2 G_Äk klGlrfjr

= 1 2@lG lk_f jk+1 2 G_Äl lpGpkfjk =1 2fjk(@lG lk₊ G_Äl lpGpk+ GÄklpGlp) Ä 1 2fjk G_Äk lpGlp この第１項は G_r lGlk = 0 である。第２項は (m:1) とする。 (b:1:2) + (b:4:1:1) + (m:1) =1 2G lk_@ lfjkÄ1 2 G_Äl kjGkpflpÄ1 2fjk G_Äk lpGlp = 1 2G lk_@ lfjkÄ1 2G lk G_Är ljfrkÄ1 2G lk G_Är lkfjr = 1 2G lk_(@ lfjkÄ GÄrljfrkÄ GÄrlkfjr) =1 2G lk G_r lfjk この項は ＜結果＞ へ。 ＜結果＞ R0j= 1 2G lk G rlfjk+1 4Aj(f pr_f pr)

R

00

の計算

R00= @ãÄã00Ä @0Äã_ã0+ Äã_ãóÄó00Ä Äã0óÄóã0 (c) この第１項、第２項、第３項は 0 であるから、第４項のみを計算する。 (c:4) ÄÄã0óÄóã0= ÄÄk0óÄók0Ä Ä 0 0óÄó00 この右辺第２項は 0 である。 = ÄÄk0lÄlk0Ä Äk00Ä 0 k0 この第２項は 0 である。 = Ä1₂Gkpflp1 2G lr_f kr= 1 4f pr_f pr ＜結果＞ R00=1 4f pr_f pr

R

の計算

R = kïñRïñ= kijRij+ 2k0jR0j+ k00R00 (d) (d:1) Gij_R ij= Gij GRij+ GijGprAi Grpfjr+1 4G ij_A iAj(fprfpr) Ä1₂Gij_Gpr_f ipfjr この第２項は、 Gij_Gpr_A i Grpfjr= Ai Grpfip である。 (d:2) 2k0jR0j = ÄGjiAiGlk GrlfjkÄ1 2G ij_A iAj(fprfpr) = ÄAi GrlfilÄ1 2G ij_A iAj(fprfpr) (d:3) k00R00= k001 4(f pr_f pr) = 1 4(f pr_f pr) +1 4G ij_A iAj(fprfpr) ここまでで、 (d:1:2) と (d:2:1) は打ち消し合う。 ＜まとめと結果＞ R = (d:1) + (d:2) + (d:3) = G_{R +}1 4G ij_A iAj(fprfpr) Ä1 2(f pr_f pr) Ä1 2G ij_A iAj(fprfpr) +1 4(f pr_f pr) +1 4G ij_A iAj(fprfpr) これより、 R = GR Ä1₄(fprfpr) を得る。（終） 命題 6.11.4 Kaluza 計量 kïñ について、その曲率テンソル kRïñの 値は、 k_R00 = apar GRpr+1 4f pr_f prÄ1 2a i_aj_Gpr_f ipfjrÄ Ap Grrfpr (1)

k_R0i₌ k_Ri0_{= ÄG}ip_ar G_R rp+1 2a r_f rpfip+1 2 G_r pfip (2) k_Rij₌ G_Rij₊1 2G jr_fip_f pr (3) である。ここで ai_{= G}ip_A p とした。 曲率テンソル k_Rïñ_{の定義は、命題 6.10.3 のそれに従う。} （証明） 以降の計算においては、わずらわしいので、 Kaluza 計量 の曲率テンソルや Christof fel の記号の左肩の k は省略する。例えば、 k_Rij _{は単に R}ij _{と書く。しかし、 Kaluza 計量以外の曲率テンソルや} Christof f el の記号については、省略は行わない。 まず、 Rïñ= kïikñjRij+ kï0kñjR0j+ kïikñ0Ri0+ kï0kñ0R00 である。これを使って、

R

kl

_の計算

Rkl= kkikljRij+ kk0kljR0j+ kkikl0Ri0+ kk0kl0R00 これを、 (a) とする。 (a:1) kkikljRij= GkiGljRij = GRkl+1 2G ki_Glj_Gpr_(A iGrpfjr+AjGrpfir)+1 4G ki_Glj_A iAj(fprfpr) Ä1 2G ki_Glj_Gpr_f ipfjr = GRkl+1 2a k G rpflp+1 2a l G rpfkp+1 4a k_al_(fpr_f pr) Ä1 2f kr_Glj_f jr (a:2) kk0_klj_R 0j= 1 2k k0_Glj_Gpr G_r pfjr+1 4k k0_Glj_A j(fprfpr) = Ä1₂ak G_rpflpÄ1 4a k_al_(fpr_f pr) (a:3) kki_kl0_R i0= Ä1 2a l G rpfkpÄ1 4a l_ak_(fpr_f pr) (a:4) kk0kl0R00= 1 4a k_al_(fpr_f pr)

＜まとめ＞

次の項が打ち消し合う。

(a:1:2) + (a:2:1) = 0 ; (a:1:3) + (a:3:1) = 0 (a:3:2) + (a:4) = 0 ; (a:1:3) + (a:2:2) = 0 結果は、 Rkl₌ G_Rkl₊1 2G lj_fkr_f rj

R

0l

_の計算

R0l_{= k}0i_klj_R ij+ k00kljR0j+ k0ikl0Ri0+ k00kl0R00 これを、 (b) とする。 (b:1) k0ikljRij = ÄaiGlj GRijÄ1 2a i_Glj_Gpr_(A i Grpfjr+ Aj Grpfir) Ä1₄aiGljAiAj(fprfpr) +1 2a i_Glj_Gpr_f ipfjr = ÄGlj GRijaiÄ1 2a i_A i GrpflpÄ1 2a l_A k Grpfkp Ä1 4a i_A ial(fprfpr) +1 2a i_f ipflp (b:2) k00_klj_R 0j= 1 2k 00_Glj_Gpr G rpfjr+1 4k 00_al_(fpr_f pr) =1 2k 00 G rpflp+1 4k 00 al(fprfpr) (b:3) k0jkl0Rj0= 1 2k 0j_kl0_Gpr G rpfjr+1 4k 0j_kl0_A j(fprfpr) = 1 2Aka l G rpfkp+1 4a i_A ial(fprfpr) (b:4) k00_kl0_R 00= Äk00al1 4(f pr_f pr) ＜まとめ＞

次の項が打ち消し合う。 (b:1:4) + (b:3:2) = 0 ; (b:2:2) + (b:4) = 0 ; (b:1:3) + (b:3:1) = 0 (b:1:2) + (b:2:1) = (Ä1₂aiAi+1 2k 00 )Grpflp= 1 2 G rpflp これらより、結果は R0l_{= ÄG}lj GRijai+1 2a i_f ipflp+1 2 G rpflp

R

00

_の計算

R00= k0ik0jRij+ k00k0jR0j+ k0ik00Ri0+ k00k00R00 これを、 (c) とする。 (c:1) k0ik0jRij = aiaj GRij+1 2a i_aj_Gpr_(A i Grpfjr+ Aj Grpfir) +1 4a i_aj_A iAj(fprfpr) Ä1 2a i_aj_Gpr_f ipfjr = aiaj GRij+ aiAiAk Grpfkp +1 4a i_aj_A iAj(fprfpr) Ä1 2a i_aj_Gpr_f ipfjr (c:2) k00_k0j_R 0j= Ä1 2k 00_aj_Glk G_r lfjkÄ1 4k 00_aj_A j(fprfpr) (c:3) k0jk00Rj0= Ä1 2k 00 ajGlk G_rlfjkÄ1 4k 00 ajAj(fprfpr) (c:4) k00k00R00= k00k001 4(f pr_f pr) ＜まとめ＞ (c:1:4) + (c:2:2) + (c:3:2) + (c:4) = 1 4(f pr_f pr) (c:2:1) + (c:3:1) = Ä(1 + ai_A i)Ap Grlfpl

これらから、 R00= aiaj GRij+1 4(f pr_f pr) Ä1 2a i_aj_Gpr_f ipfjrÄ Ap Grlfpl （終） 命題 6.11.5 Kaluza 計量 kïñに関して、 Qïñを Qïñ₌ k_Rïñ_Ä1 2 k_Rkïñ と定義するとき、 QïiAï= QpiAp+ Q0i =1 2 G rpfip (1) Qij ₌ G_Rij Ä1₂ GRGij Ä1₂Gjr_f rpfip+1 8G ij_f prfpr (2) が成り立つ。 （証明） ai_{= G}ip_A p とする。 QïiAï= QijAj+ Q0i において、 Qij_A j= GRijAj+1 2G jr_A jfipfprÄ1 2G ij_A j GR +1 8G ij_A jfprfpr Q0i₌ k_Ri0₊1 2a i₍G_{R Ä}1 4f pr_f pr) = ÄGip GRrpGrkAk+1 2a r_f rpfip+1 2 G rpfip +1 2a i G R Ä1₈aifprfpr これらより、 (1) を得る。 (2) は簡単なので省略する。（終） ────────────────────── 2010 年3 月　 Ver1.1 　発行 著者：渡辺 満 , 発行者：渡辺 満 Copyright 　渡辺 満　 2010 年