はじめに
平面代数曲線には長い歴史がある．古代ギリシャ時代には，直線 と円のユークリッド幾何学に続いて，楕円，放物線や双曲線などの 円錐曲線が研究された．17 世紀中頃，座標を用いて図形を考える ことが始まった．デカルトの座標幾何である．この立場では，円錐 曲線は2 次曲線と理解され，より高次の曲線が研究対象になった． 17 世紀後半には，早くも実 3 次曲線の分類がニュートンによって 行われている．ニュートンは特異点解析の創始者でもある．その 後，パスカルのカタツムリ曲線，カッシーニの卵形曲線，ベルヌー イのレムニスケート曲線などの特殊な曲線が研究された． 一方，18 世紀後半から 19 世紀前半には，近代絵画や図学におけ る射影の概念から，射影幾何が発展した．モンジュやポンスレー，vi はじめに 同次座標を導入したプリュッカーなどがその代表的研究者である． 平面曲線も，射影平面曲線の枠組みで研究されるようになった． 19 世紀中頃，リーマンにより双有理幾何の重要性が提唱され， 代数曲線論の一大転機となった．続いて，クレプシュ，マックス・ ネーター等により，代数曲線における双有理幾何の基礎が構築され た．その後も，代数曲線は魅力的な研究テーマであり続け，現在に 至るまで，活発に研究されている． 本書は平面代数曲線の平易な入門を目標にしている．第1 章で は，歴史的に有名な曲線について概観する．第2 章では，多項式 の基本事項を復習する．多項式は意外に奥が深いものである．第 3 章では，アフィン平面曲線を定義し，アフィン変換，接線，特異 点などについて述べる．第4 章では，終結式を導入し，平面曲線 への応用を述べる．第5 章では，射影平面に舞台を移し，射影平 面曲線を考察する．射影変換，特異点，接線，変曲点などについて 述べる．平面曲線論の基軸になるのは，二つの曲線の交点の個数 に関するベズーの定理である．第6 章では，最初に，直線と 2 次 曲線に関する射影幾何を扱い，複比の原理や円錐曲線上の6 辺形 に関するパスカルの定理を述べる．次に，3 次曲線の射影同値類に ついて議論する．第7 章は，特異点における局所解析の話である． べき級数を導入し，ブローイング・アップの手法を解説する．
vii 各章の末尾に「発展」として，関連する興味深いトピックスやも う少し先の段階で必要になる概念に触れておいた．最初に読むとき には，この発展の部分は省略しても差し支えない． 本書の主要部分は1998 年から 2011 年にかけて，埼玉大学，学 習院大学，およびその他の大学で行った講義や集中講義を基にまと めたものである．講義の準備には，標準的な教科書であるFulton [17] や Walker[31] をはじめ，多くの文献のお世話になった．有名 な曲線の性質を整理したWeb サイト Famous Curves Index1）も参 考にした．また，曲線の描画には，戸野恵太氏制作の公開ソフト ICURVE2）と堀井雅司氏によるWinTpic を用いた．美しい曲線を 描くことができたのは，これらの優れたソフトのおかげである． 最後に，本書執筆をお勧めいただいた飯高茂先生（学習院大学教 授）に，永年のご指導とご厚情を深く感謝したい．また，出版に際し てお世話になった共立出版の野口訓子さんにお礼を申し上げたい． 2012 年 2 月 酒井文雄 1）http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Curves/Curves.html 2）http://www.saitama-u.ac.jp/lab.jp/FumioSakai.html
