DEAのクロス効率値とファジィ測度−ショケ積分モデルによる最良評価、平均評価およびその中間の評価

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1996年度日本オペレーションズ・リサーチ学会 ・秋季研究発表会

DEAのクロス効率値とファジィ測度−ショケ積分モデルによる

最良評価、平均評価およびその中間の評価

会員番号01306420 専修大学 高萩栄一郎 mKAHAGIEiichiro

1 はじめに

DEAは、あるDMUにとって最も都合の良い入出力係 数でそのDMUを評価するものである。（最良評価）その とき得られた入出力係数は、そのDMUが目指している 入出力関係の方向と考え、そのDMUの評価方法と考え られる。したがって、ある種の自己評価とも考えられる。 また、あるDMUの評価方法で他のDMUの効率値を測 定したものはクロス効率値と呼ばれている。［1】そこで、 あるDMUについて、すべてのDMUの入出力係数で評 価した効率値の平均は、その対象となるDMU内（業界 内）の平均の評価といえるだろう。本稿では、ファジィ 測度−ショケ積分モデルを使い、パラメータ∈による最良 評価と平均の評価および最悪評価の中間の評価方法を提 案する。

2 DEA

一般的な定義にしたがって、DEAを定義する。 β凡才こ㌔：0番目のDMU、0＝1，2，…，m ごi。：β〟こ㌔の哀番目の入力値（非負）、宜＝1，…，m 的。：β〟仇のj番目の出力値（非負）、j＝1，…，β 町わ：β〃と㌔の豆番目の入力項目への係数 祝j。‥β〟U。のj番目の出力項目への係数 βα。：丑打払の入出力係数でのβ〟仇のクロス効率値 通常のDEAのD効率値（0。。）およびDMU。の入出力係 数（町名の祝j。）は、各0について、次の数理計画法の問題を 解くことにより得られる。 β m

最大化‥β。。＝（∑毎砺）／（∑鶴瓶）（1）

j＝1 宜＝1 β m．

制約条件：（∑勒砺）／（∑来航）≦1，α＝1，…，乃（2）

j＝1 宜＝1 町わ，祝j。≧0，∀豆，j（3） クロス効率値βα0は、次式で得られる。 β m

∂α。＝（∑鮎砺）／（∑鶴瓶）

（4） j＝1 宜＝1 モ 意味 1 最大値による評価（D効率値） 最大値と平均値の中間の評価 0．5 平均値による評価 平均値と最小値の中間の評価 0 最小値による評価 表1：∈と評価の関係

3 ファジィ測度tショケ積分モデルに

よるクロス効率値の集計

ファジィ測度−ショケ積分モデルを使うことにより、最 大値、平均値、最小値の中間の評価【4］ができる。 そこで、丑榔‰の個々のクロス効率値βα1，‥．，∂αれをフ ァジィ測度−ショケ積分モデルの集計関数長，れ‥【0，11乃→ 【0，1］を用いて、β〟仇の（総合）評価値βニを求める。（ 式（5））∈は、評価のパラメータで、表1のように、∈を変 化させることにより、最大値、平均値、最小値の中間の 評価を行うことができる。九￠）は、βα1，…，βαmの中で、 豆番目に大きい値である。 （5） ∂芸，α＝長，乃（βα1，…，βα乃）

＝￠。（ユ）（叫）−ん（2））＋￠β（呈）（ん（2ト叩））＋ れγも

＋￠β（竺ニー！）（伸一1）一坤））＋￠出）（頃可） れ ￠β：［0，1】→［0，1］，ざ∈［0，＋∞】 （6） ifざ＝O ifざ＝1 （7） ￠∫（祝） 1−tl−叫 irざ＝＋∞ （su−1）／（s−1）otherwise 〈 1ir O＜祝≦1 0ir祝＝0 Where ［u］＝ β ＝（（1／そ）−1）2 （8）

4 入出力係数の一意性

β。。＝1となるβ〟仇の入出力係数叫。，・り。は、一般に 一意に決まらない。【1】［3］等でいくつかの解決法が提案 −34− © 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.

5 数値例

数値例として、図1に、【2】の東京都の区立図書館の例 を示す。入力変数は、床面積、蔵書数、職員数、人口で 出力変数は、登録者数、貸出冊数である。同じD効率的 である目黒、港、文京での違いや、中央の評価方法（モ） により大きな差異があることなどが読み取れる。

参考文献

【1】T・R・Sextonetal・DataEnvelopmentAnalysis‥Cri− tiqueandExtensions，inR．H．Silkman（ed・）Mear

SurlngE抗ciency：AnAssessmentofDataEnvelop−

mentAnalysis，73−105（1986）・ 【21枇々木則雄，DEAにおける修正クロス効率値を1つに 決める方法，慶鷹義塾大学理工学部管理工学科テクニ カルレポート，No．95004（1995）． 【3】枇々木則雄，DEAにおけるクロス効率値を用いた評 価法，慶鷹義塾大学理工学部管理工学科テクニカルレ ポート，No．95005（1995）・ 【41高萩栄一郎，入ファジィ測度とショケ積分を利用した 最大値・平均値・最小値の中間の方法一重要度を考 慮した3つの方法−，第11回ファジィシステムシンポ ジウム講演論文集，日本ファジィ学会，439−442，沖縄 ，1995． 囲刀根薫，経営効率性の測定と改善一包絡分析法DEAに よる−，日科技連，1993． ［6］塚本弥八郎、不確実性を伴う意思決定問題のファジィ 測度論による分析、「ファジィ理論と人文社会科学」 （講座ファジィ14），日刊工業新聞社，1994・ されているが、本モデルでは、以下の方法を提案する。 まず、β。。＝1となる条件を入れたサブモデルを作成 し、0を除く各αについて、その効率値、および係数を 求める。サブモデルの変数には、肩字gを付ける。 β m 最大化：吃＝（∑鳴馳）／（∑戒恥） j＝1 豆＝1 β m

制約条件：（∑域鋤）／（∑戒御）≦1，

J＝1 豆＝1 わ＝1，．‥，0−1，0＋1，m ∫ m （∑勅0）／（∑戒恥）＝1 J＝1 宜＝1 （9） （10） （11） 硯，端≧0，∀豆，j （12） これは、【2】の最大値により修正クロス効率値を求めるこ とに対応している。このサブモデルのクロス効率値は、 β m

亀＝（∑鳴物）／（∑戒鋤），

j＝1 宜＝1 わ＝1，…，0−1，0＋1，…，m （13） となる。§3と同じモを用い、次式で、元のモデルで一意 に決まらなかったクロス効率値を求める。

βα。＝長，乃＿1（βgl，…，βg。＿1，βg。＋1，…，β￡）（14）

もし、サブモデルで、亀＝1となるDMUが存在した

ときは、吃は、一意に定まらない。そのときは、β〟仇 の効率値を1とする制約を加えたサブモデルのサブモデ ルを作成し、再帰的にクロス効率値を求めていく。 …◆… 千代田 一X一中央 …■… 台東 …●・‥ 荒川 ↓港 −−→トーー・文京 −−く〉−墨田 −＋−渋谷 −−1｝一目黒 −×−豊島 …▲… 新宿 0 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1 図1‥∈を変化させたときの評価値（β芸，α）の変化 −35− © 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.