調和平均によるウェイト推定法の拡張

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2001年度日本オペレーションズ・リサーチ学会秋季研究発表会

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調和平均によるウェイト推定法の拡張

01104400 法政大学

＊加藤豊 KATOYutaka

olOO7500 慶応義塾大学小棒正典 OZAWAMasanori

s・t・叫＝l

1．はじめに

一対比較行列からウェイトを推定するとき，主固有の最適解が

妄d言1）坊＝（

ベクトルを用いる固有ベクトル法は，関谷・八巻［2］に

ょり，理論的な意味付けが与えられた・また，Saaty−

Ⅴ訂gaS【1】は一対比較行列の各行の幾何平均がウエイト

の最小2乗推定量であることを示した・本研究では，

調和平均もウェイトの最小2乗推定量である［3］との

観点から，ウェイトの最小2乗推定量の拡張を試みた・

2．調和平均法によるAHP

1 〃＝一乃 1 〝

を用いて，品f＝〃〟〃，J＝1，‥．，〝で与えられること

から分かる．さらに，この間題の残差平方和は，

2 c・Ⅰ・H・＝姦云皇（席品ノー仰）日＝1ノ＝1 一1 項目数 −1 調和平均の和 Saaty−V訂gaSは，問題〈G）である．さらに， 2 （log8り−log（芸）） 1 ご「ご _{問題（M′）}

∑∑

■￣−￣ 2

㌫妄妄（（両町）イー（仰げ）

㍍2〝（〝−1）盲旨 s・t・酎1′〃＝1 mln W 一りr ’ （ 1t空 t一丁＝1 S．t．乃 nノ叫，′＝1，・‥・乃であるので・の最適解が動＝の最適解は，

Ar，f＝（精げr，Ar＝（

このとき，一対比較行列ーりr 幾何平均法を提案している．￣）主妄1二￣・の整合度（整合性のずれの度合）を問題〈G〉の残差平方和とするのが自然であるが，Saatyは，

を用いて，品f＝Ar．∫／Ar，f＝1，‥リ〝で与えられるの

で，一般平均もウェイトの最小2乗推定量である・

3．一般的な調和平均法

／（り，g（りを尺＋＝（0，∞）から尺＋への単調な関数

とする．このとき，つぎの問題を考える・

問題（M／〉聖n姦云皇（′（叫g叫卜掬）g（叫））2 J＝1ノ＝1 s・t・g−1（粒（wf））＝1

問題くM′）は，／の＝√，g（り＝′とおくと問題（H）・

さらに，／（r）＝′イ／2，g（り＝−−「とおくと問題（Mr）と

なる．入max−〝 C．Ⅰ．＝

＝∴（；妄妄叫宝−〃）

1 At㌔ l ′ 【

2 ∑∑言÷（小石品ノー何可 2〃（〝−1）缶盲糾ノ

を整合度として提案している．この整合度は，小

さな値をとるウェイトがあると，整合性のずれ

（小石品ノー挿可2が小さい場合でも大きい値をとる・

また，調和平均がウェイトの最小2乗推定量である

(2)

いま，f（t）Lこreciprocal性，性質1．J（1／り＝l／／（りを仮定すると，問題（叫）の最適解は， 3 2 1 0 −1 −2 ・3

動＝g−1（c／措

ここで，， g（1）言合了で・3 −2 −1 0 1 2 3 図：2：関数ク，曾の例関数g（小こついては，任意に定めることができるがそのウェイトの変換という性質があるので，比較値の変換関数／（りと同じものを採用することが自然である．で与えられる．この解は，一対比較行列の要素を関数／で変換したものにおける調和平均を取り，それを関数gについて逆変換したものになる．一対比較行列推定ウェイト ∧ 問題叫問題・（MJ）における制約式においてまた，︶︶ g 〃∑f＝l l一〃，

︵と

一く g おと＝C／g（1）変換g￣1 調和平均 wf＝g−1 几∑司．−ノとなり，Cを1にすることが可能となる．

4．まとめ

1．ウェイトの最小2乗問題として自然な調和平均法の観点から一般化を試みた．その際に，最適化問題の最適解としての形が調和平均を使用する形式を採用した． 2．一般平均を使用する方法の拡張になっている． 3．関数g（りの設定方法によるが，ウェイトの推定量がある意味で一般的な平均で示されるような場合に，それが最小2乗解となっていることが示せた． 4．この拡張であると幾何平均法や固有ベクトル法を含めることはできない．

参考文献

［l］Saaty，T．L．，V訂gaS，L．G．”Comparisonofeigenvalue， logarithmicleastsquareandleastsquaremethodsin estimatlngratio”，J．Math．Modelling，Ⅵ）1．5，pP・309− 324，1984，【2］Sekitani，K．andYamaki，N．‘Alogicalinterpretation fortheeigenvaluemethodinAHP”，JORSJ，Ⅵ）1．42， pp．219−232，1999 ［3］Kato，YlOzawa，M“ThecharaCteristicsoftheconsis− tencyfunctionofthegeneralmeanmethod’’，77−82， ProceedingsofISAHP’99，1999． J￠む）2 図：1：一般的な調和平均法ここで性質1を満たす関数は，つぎの性質2，3を満たす関数の合成関数で表すことにする．性質2．ク（−ズ）＝1／ク（ズ）性質3．ヴ（1／ズ）＝一々（ズ）したがって，／（ー）＝ク（句中））＝（ク○ヴ）（りとなる． 0性質2を満たす関数例： 1・ク1（ズ）＝eXp（dズ）

2．ク2（ズ）＝√了講声＋針Sg両州r

3．ク3（ズ）＝性質2を満たす関数の積 ○性質3を満たす関数例： 1・射（ズ）＝占log（ズ） 2．q2（ズ）＝あ・Sgn（ズーl／わlズー1／ズド 3．郎（ズ）＝み・Sgn（r（ズ）−r（l／ズ））lr（ズ）−r（1／ズ）ドここで，r（ズ）＝d〃ズ〃＋…＋dlズ，αf＞0 4．射（ズ）＝性質3を満たす関数の和もし，クl，ヴ一において，ム＝1／αであるならば，

調和平均によるウェイト推定法の拡張

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