曲率テンソルが調和な超曲面について
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(2) . ９巻 第２号 北海道教育大学紀要（第２部Ａ）第３. 平成元年３月. ｌ Ｓｅｃ ｉ ｉ ｉ ｉ ｆＥｄｕｃａ ｉ ＩＡ）Ｖｏ ｌｏ ｆＨｏｋｋａ ｄｏ Ｕｎ ｔ ｔ ｔ Ｊｏｕｎ ｓ ｏｎ（ ｏｎｌ ・ ａ ｖｅｒ ｙｏ ，２ ．３９ ，Ｎｏ. Ｍａ ｒ ｃｈ ，１９８９. 曲率テ ンソル が 調和な超曲面につ いて. 諸. 橋. 正. 之. 北海道教育大学函館分校数学教室 ４０ 函館 ０. ０ｎ Ｈｙｐｅｒｓｕｄａｃｅｓ ｗ． ｉ ｔｈａ Ｈａｒｍｏｎ ｃ Ｃｕ１′ａｔｕｒｅ. Ｔｅｎｓｏｒ. Ｍａｓａ） ｎ ｉｋｉ ＭＯＲＯＨＡＳＨＩ ｈｅｍａ ｉ Ｎ 【 ｔ ｌ ｌ ｔ ｔ ｔ ｃ ｓＬａｂｏｒ ａ ｏｒｙ ｅ Ｃｏ ｅｇｅ ａ ， Ｈａｋｏｄａ ， Ｈｏｋｋａ ｉ ｄｏ Ｕがｖｅｒ ｉ ｆＥｄｕｃａ ｉ ｔ ｔ ｓ ｏｎ ｙｏ Ｈａｋｏｄａ ｔ ｅ０４０. Ａｂｓｔｒａｃｔ. ｈｅｃｏｎｄ ｉ ｉ Ｔ１ ｄｓｐａｐｅｒｇ ｉ ｆａｃｅ ｗｉ ｌ ｌ ｔ ｔｕｒｅｔ ｔｈｙｐｅｒｓｕ ｔｈａ ｈａｒｎ ｌ ｏｎｓｏｆａｃｏｎｆ ｏｍｎａ ｎｏｎ ｖｅｓｔ ｌ ｃｃｕｒｖａ ｅｎｓｏｒｉ ｎ ｙ ｎａ ｔｕｒｅ ａｓｐａｃｅｏｆｃｏｎｓｔ ａｎｔｃｕｒｖａ ，. １． 超曲面 ｎ Ｍｎ十１ ， ｎ≧４， を断面曲率αの （ｎ ＋１） 次元定曲率空間， Ｍ をその ｎ 次元超曲面， ｇめ ，. を Ｍｎ の 第 １ 基 本 テ ン ソ ル 第 ２ 基 本 テ ン ソ ル 曲 率 テ ン ソ ル 共 変 微 分 と す る こ Ｒ Ｈａ ｂ ， ，▽ ， ， ， ａｋｄ ，. こ で， ａ ，ｂ ， … …＝ １， ２， … …，ｎ と す る， ガウ ス お よ び コ ダ ッ チの 積 分 可 能 条 件 よ り （１， １） （１． ２）. Ｒａ ｂｄ ＝ ＫａＭ 十 α（ｇ ｄｇｂｃ － ｇ。ｇ ｂ ｄ） ａ － Ｈ Ｈ Ｋぬｄ＝ ＨｄＨｂ ｂ ｄ 。. ▽ Ｈ』 － ▽ｂＨ“ ＝ ０ ▽ Ｋｂ壷 十 ▽ｂＫ。ｄ ＋ ▽ｃＫａ ｂ ｄ ＝Ｏ ｂ ｄ ｃ ａ Ｋｄ ＝ Ｋぬｄｇ ， Ｋ ； Ｋａ ｄｇ と す る と （１． ４） よ り ｄ Ｉ ５ Ｋ ） ▽ （． ぬｂ ＝▽ Ｋｂ － ▽ｂＫ。 （１． ６） ２ ▽ｂＫｂ － ▽ Ｋ ＝ ｏ （１， ３） （１， ４）. とな る． Ｍｎの 共形 曲率 テ ンソ ルを Ｃぬｄ と す る と （１， １） ， （１， ２） ， （１． ５） ， （１， ６） より. （７）.
(3) . 諸. ”. （１， ７）. 為す. 橋. 正. 之. （楊。 畿 ｇ ．. Ｋ ＋ ｇａ （ａ ｄｇ ｂ ｂ ｄ） ｄ Ｋｂ ｄ） ＋ （ｎ一． ｃ一 ｇ ａ ｃｇ ａ ｃＫｂ ｃ冊 ｇ ）（ｎー２ ） ｇ. （１． ８） （１． ９）. Ｃａ ｂ ｄ ＝ － Ｃｂ ｄ ＝ － Ｃａｂｄ ｃ ＝ Ｃｍｂ ｃ ｂ ａ Ｃぬｃ ｄｇ ＝ ｏ. ０） （１， １. ▽』 －▽＆ ▽ｄ楊 ； 当 ｛ Ｉ. 翼. ｂ ａ▽ｃＫ － ｇ醸 ▽ｂＫ）｝ 可 （ｇ. とな る．. 補題 Ｍｎが共形的に平坦である必要十分条件は （ｋ ｄ） ＝ ０ ｃ－ ｋ ａ－ ｋｂ）（ｋ で ある． こ こ で ｋ は主 曲 率， ａ ，ｃ ，ｄ は全 て 異 な る， ，ｂ. 証明. ［１］ より Ｉ ２ ２ ｂ ｄ； ａ ｃ ｘ （ｋ Ｃａ ｂ ｄｃ ｂ） （』 榊 ｋｄ） ａ‐ ｋ ｃ ２（ｎ一． ） （ｎー２ ）. こ こ で和 は全て 異 な る ａ ，ｄ につ い てと る． 上 式 より 結 論 を 得 る． ，ｂ ，ｃ. ２． 主定理 この節では常に （２， １）. ▽ｄＫｄ ｂ ａ ｃ＝ ｏ. を仮定する， （１， ５） ， （２， １） より ， （１． ６）. （２．. ２）. ａ ▽ Ｋｂ 。－ ▽ｂＫ。＝ ０， ▽ａＫｂ ＝ ０， ▽ Ｋ ＝ ０. となる． （１． ４） とリッチの恒等式より ▽. ｂ ｄ ｃ ａ ▽ａ Ｋｅ ｂ ｄＫ ｃ ｆ ｅ ｅ ＝ ２（ ▽ａ▽声 Ｋｅ ｂ ｄ － Ｒａ ｂ Ｋｅ 云 ｄ ｂ ｄ 十 Ｒａ Ｋｅ ｃ ｃ ｃ ｆＫ ｂ ｄ ａ ｃ － ２Ｒｅ Ｋ ｂ ｆ ｄ） ａ ｃ ｅ. ▽ｅ Ｋａｂｃｄ Ｋａｂｃｄ ； ２ ▽. と な る， した が っ て （２． １） より. （８）.
(4) . 曲率テンソルが調和な超曲面について ｂ ｄ＝ ２（ＲｅＫ ｃ ｅｆ ▽ｅ ▽ Ｋａｂｃｄ Ｋａ ｂ ｆＭ ａ めｄ － Ｒａ ｆ ｅ ｂ ｄ ａ ｃ － ２Ｒ ａ Ｋ Ｋ ） ｂ ｆ ｄ ｃ ｅ. （２， ３）. を得る． 同様に ｂ＝ （ＲｃＫ － Ｒｃ ｄＫ ）Ｋａ ｂ ▽ｅ ▽ ＫｂＫａ ｂ ｃ ｄ ａ ぬ ａ. （２， ４）. を得る， ｛ｅ｝を主曲率ｋ に対する接空間の正規直交基底とする， このとき ａキｂならば ， ， （２， ５） （２， ６）. Ｒぬａ ｂ ｂ ｂ ＝ － Ｒａ ａ ＝ － ｋａｋｂ － α. Ｋａ ｂ ｂ ＝ － ｋａｋｂ ｂ ｂ ＝－ Ｋａ ａ. とな り， そ の 他 の Ｒぬ。 ｄ ｄ は全 て ０ で あ る． 同 様 に ，Ｋぬ‘. （２． ７）. Ｒ ｂ）ｋ 十 （ｎ － １）α ａ ａ；予 Ｒ劾ａ＝ 守 ｋ Ｋａ ｂ）ｋ ａ＝； Ｋ赦 Ｆ ｑ ｋ. （２， ８）. と な り， そ の他 の Ｒか Ｋｂ は全 て ０ で ある． （２． ３） （２， ５） （２ ６） （２ ７） よ り ， ． ， ， ， ｂ ｄ ＝ ４夏（Ｚ Ｒ ） Ｋ ２ ａ ｃ ▽ｅ ▽ｅＫａ ｂ ｂ ｂ ｄＫ ｃ ａ ａ ｃ ａ ａ ｃ －４ 翠 劾 Ｋ如 － ４ 平 拙 ｉＫ Ｋー ａ ａ 獅 。 ２十 Ｋ ２ － ２Ｋ ＝ 三雲Ｒ劾ａ×（Ｋ縦ｃ Ｋ 姉ｃ 獅 ｂめ。） ２ ＝ ええＲ劫 （Ｋ縦ｃ－ Ｋ 蜘 ）. 上式より ｂ ｄ＝ ２２ｋ２ ｃ ▽ｅ▽ｅＫ愈ｄＫａ ｋ － ｋｂ） （ 辱 （ｋ 鵡 十α） 。. （２． ９）. を得る． 同様に. ２ ▽ｅ聴 Ｋ 誕 ｂ－ を 礼儀 為 十α） ｋｒ ｋ一 戦 ＆） （. （２， ， 。） とな る， ▽. ｂ ｄの 発 散 を と ると ａ ｃ. ｂ ｄＣ ｃ. ▽ｅ（▽ｅＣａｂｃｄ ｃａｂｃｄ） ＝ ▽ｅ ｃａｂｃｄ ｂ ｄ＋ ｅ ａ ｃ ＝ ℃ア ℃フ ｂ ｄ ▽’ ｃ ｅ ｃａ ｃ ｅ▽. ▽ｅｃａｂｃｄ 十 ▽ｅ▽ Ｃａｂｃｄ ｃａｂｃｄ ｂ ｄ ａ ｃ Ｋａ ｂ ｄＫ ｃ. ４. ２Ｋ ｂ ｅ ａ ▽ｅ ▽ｅＫ ｂＫ 十 （ｎ－１ 【：す ▽ ▽ｅＫａ ） （ｎ■２ ）. （９）.
(5) . 諸. 橋. 正. 之. （２． ２） ， （２． ９） ， （２． １０） よ り ｂｄ ｂ ｄ ａ ｃ ｅ ▽ （▽ｅＣａｂｃｄｃ ） ＝ ▽ｅｃａｂｃｄ ▽ｅ ｃａｃ. ２. ２. 雫 ｋ〆 α）（馬 － 臨）２｛２（ｎ－２避 馬 －２ 眺 ）｝. 十. ｂ ｄ ｅａ ｃ ＝ ｔア ｂ ｄ ▽’ ｃ ｃ ｅ ｃａ. ２｝ ｋ － 耕 ｇ（＆ －１”） ｋふ 十α）（ ＋ ≠ 〆（ と な る， した が っ て （▽ｅ ▽ｅ. （２． １１）. ｂ ｄ ｅ ａｂｃｄ ｃ ａ ｋｄｃ ） ； ▽。Ｃ 疑ｄ ▽ ｃ. ｌ. ｋ 十１ ｋｄ 十 ２ α）（ｋａ － ｋｂＦ（＆ － ｋｄＦ 十 夏 に 可 ≧ （ｋ ． ａｂ を得る， ｎ 超曲面と 定理 Ｍｎ十１ ， ｎ≧４， を断面曲率αの定曲率空間， Ｍ をそのコンパク ト， 可符号な す る， こ のと き （ｉ ）. ▽ａＫめｄ ＝ ０. （ ＝）. ｋ ｄ十 ２ α ＞ ０ ａｋｂ十 ｋ 。ｋ. な ら ば，. Ｍｎは共形的に平坦である， 証明. （２． １１） と グリ ー ン の 定 理 よ り. ｅ ａｂｃｄ ” 瑳 Ｃぬ ｄ▽ ｃ 。. ２ ｖ＝０ ２ 富士〆 α “』＋ 嫡 十 回 鉛 ◎ 』 り ｝ｄ となる， 上式と（ ” ）より （ｋ － ｋｂ）（馬 － ｋｄ） ； ０ となり前節の補題によって Ｍｎは共形的に平坦である，. 文. 献. ＩＤｅ葱ｅｒ ｌ ｆｓｕｂｍａ山ｆ ｄｓ １９７３ ｔ ｏ ｒ ） ｏ ｃｅ ［１］ Ｃｈｅｎ ． ．１５０一１５１ ， Ｍａ ，Ｐ ， Ｇｅｏｍｅ ，Ｂ，Ｙ．（. ［２］. ｆ Ｍａ ｈ １ ｈ ｈａｒｍｏｌａｃ ｃｕｒｙａｔｕｒｅ， Ｔｓｕｋａｂａ Ｊ ｔ ｔ Ｕｍｅｈａｒａ １９８６ ） ，１０ ， ，ｏ ， ＶＯ ， Ｈｙｐｅｒｓｕぱａｃｅｓ ｗｉ ， Ｍ， （. Ｎｏ ，７９－８８ ． ，１ ，ｐ. （ １０ ）.
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