1
平均・分散・標準偏差
定義 n個のデータ：x1, x2, . . . , xnの 平均 µ = 1 n n ∑ k=1 xk 分散 V = 1 n n ∑ k=1 (xk− µ)2 標準偏差 σ =√V 注意 分散は次のようにも計算できる. V = σ2= 1 n n ∑ k=1 x2k− µ2 問1 次のデータの平均µ, 分散V，標準偏差σ を求めよ. (1) 4, 7, 3, 1, 9, 6 (2) 14, 17, 13, 11, 19, 16 (3) 12, 21, 9, 3, 27, 18 (4) 27.2, 29.3, 29.1, 26.0, 27.2, 24.6, 30.2, 27.6, 25.6 問2 3つのクラスの平均点はそれぞれ79点，74点，82点だった。各クラスの学生数 はそれぞれ32人，25人，17人である。全体の平均点を求めよ。 問3 ある会社の従業員の平均月収は50万円である。男子の平均月収は52万円，女子 の平均月収は42万円であった。この会社の男子と女子の従業員の割合を求めよ。II (No.2)
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度数分布表
問4 下の度数分布表は, ある学校における身長のデータである. このデータの平均と 分散を求めよ. (1) 身長(cm) 人数 155− 160 5 160− 165 18 165− 170 42 170− 175 27 175− 180 8 (2) 身長(cm) 人数 155− 160 63 160− 165 51 165− 170 45 170− 175 60 175− 180 81 問5 ある畑で収穫された作物から36個を取り出し, 重量(単位はグラム)を測定して 次の結果を得た. 146.6 155.3 136.2 151.9 162.7 153.3 161.5 170.8 156.0 158.1 142.3 154.0 157.9 143.0 153.7 151.2 167.2 146.9 156.2 157.3 150.2 145.7 161.1 156.3 151.7 137.3 154.8 141.7 151.4 150.7 148.8 143.4 155.0 159.3 158.1 147.5 (1) 135g から始まる級間隔 5g の度数分布表を書け. (2) (1) を用いて平均, 標準偏差を計算せよ. (3) 平均, 標準偏差を度数分布表を用いずに計算せよ.3
正規分布
定義 確率変数X が平均µ, 分散σ2の正規分布に従うとき, X ∼ N(µ, σ2) とかく. 特に, 確率変数Z が平均0, 分散1の正規分布に従うとき, Z は標準正規分布に従う という. 問6 確率変数Z が標準正規分布に従うとする. (1) 0 < Z < 1.96 となる確率を求めよ. (2) −2.58 < Z < 2.58 となる確率を求めよ. (3) Z > 1.64 となる確率を求めよ. (4) 1.34 < Z < 1.79 となる確率を求めよ. (5) Z <−1.04 となる確率を求めよ. (6) Z < 1.27 となる確率を求めよ. (7) −1.57 < Z < 2.46 となる確率を求めよ. (8) Z >−1.70 となる確率を求めよ. (9) −2.89 < Z < −1.53 となる確率を求めよ.II (No.4) 定理 確率変数X が平均µ,分散σ2の正規分布に従うとき, Z = X − µ σ とおくと, Z は標 準正規分布に従う. このとき, a < X < bとなる確率は, a− µ σ < Z < b− µ σ となる確率と同じである. 問7 文部科学省の平成27年度学校保健統計調査によると，17歳女性の身長は平均 157.9cm, 標準偏差5.38cmである. (http://www.e-stat.go.jp/SG1/estat/NewList.do?tid=000001011648) (1) ある17歳女性の身長が162.5cm未満である確率を求めよ. (2) ある17歳女性の身長が150.0cm以下である確率を求めよ. (3) ある17歳女性の身長が155.0cm以上160.0cm未満である確率を求めよ. 問8 X ∼ N(µ, σ2) とする. (1) µ− σ 2 < X < µ + σ 2 となる確率を求めよ. (2) µ + 0.5σ < X < µ + 1.5σ となる確率を求めよ. (3) X > µ + 1.5σ となる確率を求めよ. 問9 S予備校のK大模試は平均点が80.3点, 標準偏差が5.7点であった. 一方, T予 備校のK大模試は平均点が58.1点, 標準偏差が10.3点であった. S予備校の模試を受け たA 君は88点, T予備校の模試を受けたB君は 75点だった. どちらの予備校も優劣が ないとすれば, A君とB君とでは, どちらが優れていると考えられるか. babababababababababababababababab X∼ N(µ, σ2)のとき Z = X− µ σ とおくとZ ∼ N(0, 1)
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母集団と標本
大きさnの標本をX1, X2, . . . , Xnとするとき, 標本平均 X =¯ X1+· · · + Xn n 標本の分散 S2= (X1− ¯X) 2 +· · · + (Xn− ¯X)2 n = X12+· · · + Xn2 n − ( ¯X) 2 不偏分散 U2 = (X1− ¯X) 2+· · · + (X n− ¯X)2 n− 1 定理 母平均 µ,母分散σ2,大きさN の母集団から大きさn の標本を 復元抽出したとき, ¯Xの平均はµ,分散は σ 2 n である. S2 の平均は n− 1 n σ 2， U2 の平均はσ2 である. 非復元抽出したとき, ¯Xの平均はµ,分散は N − n N − 1 · σ2 n である. S2 の平均は N N − 1· n− 1 n σ 2， U2 の平均は N N − 1σ 2である . 注意 標本の分散の平均はσ2ではないが，不偏分散の平均は(復元抽出のとき)ちょうどσ2に なる。このため, S2ではなくU2のことを標本分散と呼ぶ. 問10 4個の数1, 3, 9, 11からなる大きさ4の母集団がある. この母集団から復元抽出される大 きさ2の標本を考える. 以下のものをそれぞれ求めよ. (1) 母平均µ, 母分散σ2. (2) ¯Xの平均, 分散. (3) S2の平均 問11 上の問題と同じ状況で，非復元抽出の場合について (1) ¯Xの平均, 分散. (2) S2の平均，U2の平均. をそれぞれ求めよ. 問12 2000個の部品の重さが平均22.4g, 標準偏差4.8gのとき,この母集団から大きさ36の標 本を抽出する. 標本抽出が(1)復元抽出の場合, (2)非復元抽出の場合,のそれぞれについて,標本平 均の平均,標本平均の標準偏差,および標本分散の平均を求めよ. また，母集団の大きさが72個の場合について同じことを求めよ.II (No.6)
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標本平均の分布
注意 正規母集団(母集団が正規分布に従うとき,正規母集団という) からの抽出の場合, すべ て復元抽出とみなされる. 定理 母集団が平均 µ, 分散σ2の正規分布に従うとき, 大きさnの標本の標本平均X¯ は平 均µ,分散 σ 2 n の正規分布に従う. 問13 ある会社で製造されている玉の直径は平均が8.00mm, 標準偏差が0.80mmの 正規分布に従うとする. 製品の一群からとられた16個の玉の直径の平均が (1) 7.90mmと8.10mmの間にある (2) 8.20mmより長い (3) 7.70mmより短い となる確率を求めよ. 問14 上の問題を64個の標本をとった場合について解け. 問15 ある店で発送される商品の重さは, 平均30kgで標準偏差が5kgの正規分布に従 う. 積載容量780kgのエレベーターにその商品をのせる場合, 任意に到着した25個がそ のエレベータの容量を越える確率はいくらか. 24個の場合はどうか. babababababababababababababababab ¯ X∼ N ( µ,σ 2 n )6
区間推定
6.1
母平均の区間推定
(
母分散が既知の場合
)
【例題】 平均未知, 分散16の正規母集団から100個の標本を抽出したところ, そ の平均は5.7であった. 母集団の平均の95%信頼区間を求めよ. 問16 ある会社の電球の寿命の標準偏差は40時間である。250個の電球の寿命を計測 したところ, 平均824時間であった. 全ての電球の寿命の90% 信頼区間を求めよ. 問17 あるブラウン菅の寿命の標準偏差は100時間であることが知られている. 平均 寿命の99%信頼区間が±20時間以内になるようにするためには, 標本の大きさをどれく らいとらねばならないか. babababababababababababababababab ¯ X− µ σ/√n ∼ N(0, 1)II (No.8)
6.2
母平均の区間推定
(
母分散が未知の場合
)
定理 平均 µ の正規母集団から大きさn の標本を抽出したとき, 標本平均を X,¯ 標本標準 偏差をU とすると, X¯ − µ U/√n は自由度 n− 1 の t 分布に従う. 注意 nが大きいとき，tn はN (0, 1)で近似できる. 問18 成人女性15人の尿中の尿酸値を調べたところ, その平均値は 4.4g/dℓ, 標準偏 差は0.59g/dℓであった. 平均尿酸値の90%信頼区間を求めよ. 問19 ある島の原住民 9人の上左側犬歯の長さを調べたところ, 次のようであった. (単位はmm) 27.2, 29.3, 29.1, 26.0, 27.2, 24.6, 30.2, 27.6, 25.6 上左側犬歯の長さの平均の95%信頼区間を求めよ. 問20 全国一斉に数学のテストが行なわれた. 受験生から 120人を抽出したところ, 平均 58.3 点, 標準偏差 12.4 点であった. 全受験生の得点の平均値の 90% 信頼区間を求 めよ. babababababababababababababababab ¯ X− µ U/√n ∼ tn−1 n > 30のときは ¯ X− µ U/√n ∼ N(0, 1)6.3
母分散・母標準偏差の区間推定
定理 分散σ2の正規母集団から大きさn の標本を抽出したとき, 標本分散をU2 とすると, (n− 1)U2 σ2 は自由度 n− 1 のχ 2 分布に従う. 問21 ある会社で生産しているねじ10個の直径の標準偏差は1.20mmであった. こ の会社のすべてのねじの直径の標準偏差の90%信頼区間を求めよ. 問22 A君は今年ゴルフに14回行ったが, そのスコアは次のようであった. 96, 94, 107, 101, 98, 98, 104, 99, 95, 100, 102, 98, 96, 98 A君のスコアの分散の98%信頼区間を求めよ. babababababababababababababababab (n− 1)U2 σ2 ∼ χ 2 n−1II (No.10)
6.4
母比率の区間推定
定理 比率 pの無限母集団から取り出された大きさnの標本の比率P の平均はp, 分散は p(1− p) n である. 問23 ビデオリサーチ社の視聴率調査は, 首都圏では600世帯に対して行われている. ある番組の視聴率が10%と発表されたときの全視聴者に対する視聴率の90%信頼区間を 求めよ. 問24 2000人の有権者に対して, アンケートをとったところ, 現内閣を支持する人が 762人であった. 全有権者についての支持率の99%信頼区間を求めよ. babababababababababababababababab P − p √ p(1− p) n ∼ N(0, 1)7
最尤推定法
(
点推定
)
【例題】 たくさんの赤と白の球が入った袋の中から 10個の球を取り出したとこ ろ, 赤が6個, 白が4個出た. この袋の中の赤玉の割合 p の最尤推定値を求めよ. 問25 母集団が密度関数 f (x) = { λe−λx, 0≤ x, 0, それ以外 (λ > 0) を持つとする. この母集団から n個の標本 X1, X2, . . . , Xn が得られたときの, λ の最尤推定量を求めよ. 問26 母集団が平均µ，分散V の正規分布に従うとする。V が既知であるとき，この 母集団から n個の標本 X1, . . . , Xn が得られたときの, µの最尤推定量を求めよ. 問27 母集団が平均µ，分散V の正規分布に従うとする。µが既知であるとき，この 母集団から n個の標本 X1,· · · , Xn が得られたときの, V の最尤推定量を求めよ. N (µ, V )の密度関数はf (x) = √1 2πVe −(x−µ)2/2V である.II (No.12)
