Freed Uhlenbeck - " " Instant on s and Four manifolds 6. Introduction to Tribes ' s theorem ( PD) ' /2/22 6 0, 6. 1, Outline Instant. onson 6.

Freed

-

Uhlenbeck

"

Instant

ons

and

Four

manifold

s "

§

6

_.

Introduction

to

Tribes

'_s

theorem

佐藤 光

樹

( 東大

学 振 PD

)

「

佐久 分

トポロジー

'2 1 _{」 2021/2/22}

§

6 _, 0 _,

_Outline

§

6 .

1

.

Instant

onSon

が

§

6 . 2 .

A

Graf

ting

procedure

接合する

§

6 . 3 .

Tools

from

Analysis

§

6

.

4

.

Analytic

Properties

of

SPY

ME

Selfdual

Ting-Mills

§

6

. 0 .

Outline

復習

・

M

_:

closed

,

simply

-com ,

Oriented

4-

mfdwlpos.de

finite

|

interaction

form

I

₊

fgi

Riem

metric _{Chem number}

|

7

: 主 SU_に)

東

_over M k-_- いう )

[

M] d ,, 0 (ad加 べ派) : sections

ド

= 1

)

* :

SE

(

そ

₎

→

べ

(

う

)

: Star

operator

•・

D

: _com . on

7

t

Be

べ

(

7 )

: _Curiatune

de

f

D

:

self.de/tsFp=*FDrYang-MiHseG.

G

: =

0

1

7

)

_:

gauge

_Group

A

= =

{

D

_{: com} . on

そ

}

0

9

1

これ

-_-

は

{

Self

-

du

al

com

}

を

保っ

た

=

{

De

AIF

が

別

/

f

:

modal

i

Space

= の

Space

が

.se/ss._sConeonep2t-tA0(/

し

た

出

た

と

_mtd

t.TT?e(o.MxM

に

_なる

こと を

示す

の

が

目標

§

3 -

§

5

で

は

M

:

Smooth

, Orient

able

mfd

wl

finite

_sign

lality

まで

確かめ

られた

が

、

まだ

M

=

4

(

ほ

詣

ncible

_の

ない

と き

)

の

可能 性

も

残っ

て

_いる

!

Taubes

の

定理

によって

、

M

キ

4

(

実

は 1 0 . N

)

×

14

CM

)

が

示さ

れる

.

§

6 は その

導入

・

§

6 の

流れ

§

6

.

1

.. . 5 4

_上

の

Self

du

al

_com .

を

具体

的

に

構成

する

。

REIH.SE/HP!sul2)EImlH

の

対応

から 、

性質

の よい

bdl

た

4

や

Self

-

du

al

com . が

構成

できる 。

さらに

、 Ta :

54

→ 5 4 : [が いい した : 1 )

を 使っ

て 、

Family

{

d

=だ

た

。。

CM

1

5 4

₎

を

構成

する

。

(

A→ ₀の とき は

[

0:11

E

は

仰

爲

訛

する

)

§

6

.

2

_{. . .}

GEM

に対して

、 4a_,y : M → S 4 st.

{

4のは は) = [0:11 を 使っ て

た

と の

[

笑

品

) = 1

11:07

[email protected]

か

をとる と _、

K

た

E 、 北 _、 (p) 、Cz (p) > 0

1

1

FD

州

_{に E} Cup

)

の 約

1

1

(

En )

-

1

に

EC2(p )

だ

が

_成り立っ

、

§

6. 1 .

Instant

on s on

54

1124

上 _の いに₎

で

《

Overview

》

重要

_なの は

REIN

, Im lHE su に₎ の

対応

、 これ_を 用いる と で 0

ternion.su

12) -

value

d n-

form

←→ 1 H -valued n-form で

係数

_の Reが0 と

捉え

られる

。

また

、

CT

が

、 1

が

) =

ピ

(

が

_州

)

=

ペ

(

R

) @ IH

や

「

べ

が₎

_IH

という プロセスで 1 H -

value

d 1 -

form

が

得

られる 。

IH と _{Su 1}2) • IH =

{

のに つい た て い

は

十 九千

k

Hi ERI

, Where

に は

2 =

ド

=

は

k = - 1 b

of

i の K ・ Rex := x 、

hs

飛

」 は -k -1

i.IM

x :こ _つにし +7(_ろ よ +24 k kg.in • で き た ー たえ - x

は

_

xqk

" ab " の 表 • は = k = 一 に 、 gk = i = 一kg 、 kいる -_-ik より

xy

= (っい たitxs.tt sak )

は

_、t の 計 _のみの k

)

= (_っは 、 一

話

では i ) t

{

(かはいつは、 )+には₄では₃)

に

+

に

はいつは、)t (水は2一つにみ)

}

は く +

{

には千十水は、)t(つには3 -水は2)

て

}

特に 、 xT = かつに

対

が 二 に

「

反対称 で ~っ _っじ ₌ TF . Im IH に

{

aEl

HI

Rex =0

}

とする _と 、 a.ge Im IH Re には _ yx) ₌ 0 xy_yxeIm IH より 、 Im IH は Lie

alg

、

•

いや

いい)

儕

I

=

1

1

-

能

し

_たり

いい

り

こく

じ

た

1

_.

1

%

1.li?oDiR

!! ! !! と _み

k

[_!] i

[

血

(

E₂

)

_は

Su(2) は

M

2 1 4) の Sub

Ray

、

て

たまに

れ

た と

_は

k

= - E 2 を みたす 例えば

(

いみ に

は

、

11%11%1=1

%

だ

。

1

- E

)

で み ぬ よって

_{_}

か で、 み th た と k み ーい た 2 つ

は

二 ( x、 Eい たと なろ

み

t た4は)

は

、 Eで生いた

み

tak

) は E_{2 .} てい _ない k の

積

の

線形

和 に

展開

できる から で

は

E

(

EDR

su に

1.gs

Bop

IH 〈 E2〉が sul2)

くい

!

_お

_kk

て

"

い

た

_。

_仮

器で

鈐

し

た

か く てい _み

.lk

な

11 11 ~ =

Im

1 H -) suに ) as Lie

alg

、 シンプレクティック群 (ご 四 元ユニタリ群 U(n ,1H) " ) また _、

Spin

) こ =

{

AEGLln_州 )

|

A

た

En

}

と すると 、

Sp

( 1 ) =

{

xe IH

IIx

= 1

}

に

)

11S as Lie

groups

!

に) =

{

AEG Lに 、

川

嚙

:

別

=

ル

も

別

lz.me

e 、 1が+1びた

り

=

に

し

うる

な姦

に

_任 R .

熱川

da , d

EEN

(

が

)

@ H x : R4 ->

IH

q

は 、 北

品

が4) 1-> 弘

炭

になるが

4k

が

_R4 ->

IH

匕 ル

{

はい た 、水 3,7(4) 1-) ついたて 一つ( 3

jxak

>

da

,

died

' (

_R

4

)

IH

Where

{

dx = d_の t dた

itd

%

は

tdxqkdida-dxzi-dxs.ir

-

dxak

この とき _、 x T = (_a.at

喆

_{が つい}) _t

{

(ー か な t _なつい)-1が 4 つは3)

に

+

{(-1.13+2374)-(7412-12714)}

は +

{

1一つは千十水は_、) -(かな 一つ(ろか )

}

k を

参照

する

と

st

( R4 ) の basis ( 6. 1 )

AT

dxnd

で -_- z

(

dans

t

In

da

) と

爬

_は

_塔

で

_顔

}

= *

(

d

and

D

:

Self

-

du

al

-

SE

( R 4 ) の basis

in

da = 2

(

dて_い

た

2-dxndx.ie

+

爬

」

と

咨

で

闚

= 一 *

( di

n

da

)

ianti.se/f-dual

また 、 2 2

da

di_,

died

a

ERIN

) Im IH =

R

伋4 ) _suに)

ここで 、 Su 1 2 ) 上 の 内条

費

(

ref. 12, 12)

)

は ( A . B ) = 一 tr( AB ) で 、 tr( E2

)

= 2 、 ない ) = tr( み ) = tr(k) = O た" から 、 - tr ( AB ) = ーた

(

19 2を +93み+941k )は

いかが

か

わ

)

= 2 (

azbztas.bz

taqbq

) = 2

Re

(

1₉ 2i+9な

+94k

)(

baitbsjtbak

)

)

よって 、 _ tr ( AB ) は Im IH 上 では 2

Re

(

つば

) に

対応

する 。

したがって

、 Vol =

dkndxudxnda

と して

16.

2

)

Mxndi

Mol

= 2 Re

{

(dadi )へ*(dadi)

}

= 2 Re

{

(dadi )へ (dadi)

}

= 2 . (_

zf.ME

いた2

tdxndxqytcdx.ndx3-dtzndxaffa.ndxatdxndx.tl

= 8 .

(2+2+2)

v。

1

= 48 Vol .

また 、

11dIndex

Mol

= 2Re

{

(d

Index

)へ*(edx )

}

-_-2Re

{

(dIndex )へ (edx )

}

二

-2.22

、

(

dでい

dxz-dxndxqytcdx.ndxstdxzndxaffa.ndxa.es

!

= - 8 .

(-2-2-2)

v。

1

= 48 Vol .

5

' _上 の 主 50121

束

(

wl Chem

number k

= 1

)

《

_Overview

》

が

三

IHP

!

Sp

1 1に SUに_{) という}

事実

_に

注目

すれば 、 これは まさに

がっ

_ら

→

RP

'

が

42 つ _, q p ,

s

: O"に _石-bd E : U(1) - bdl の

analogylt.is

s7 -> 1HP ' ES'4 :

Spent

SUN

)

-

bdl

として

得

られる 。

54 _EMP' lHP' ン =

バツ

〈 _a.gs ~(

pa.ph

」

(

_{pe IH}で

)

u

=

{

[ t.AE

1

HP '

}

聖

{

Gel

H

た

H

Up

=

{

[ h_. . 1 1 EMP '

}

T

{

GEN

}

= 1

H

Van

_Up

=

{

1 9_. .92] ElHP '

l

a ,92キ 0

}

と

。 と の " (

_G

)

=

G

( [1>9] ) = 4_p ( 1

で

、 1 ] ) =

ど

一方

、

S4

=

{

_xe

R

51

は 1 2 = 1

}

について は 4

ない

= S ・

{

1

o.o.o.o.li?lH

(九

品

が3.714,15 ) 1-)

長い

器

.it

器

_は

十

選

5k 4

tp

Vp

= S ・

{

1

o.o.o.o.tt?lH

(九

品

が₃、 水_は5) 1-)

産

5 -

産

土器

が

産

k Van

_Y

= 54

{

(_o.o.o.o.tl )

}

ここで 、 8 E

た

( Van Up ) = IH Yoを 、

G

=

Ya

( _I ) _とする と 、

q.

ftp.o#lG))=taGc).Yilx)='TGC.tNzit7Sftx4k)GC.tNzit7C3ftx4k

) =

着

だ

が

二 l 、 よって _、

など

(

G

)

=

ど

(

元 : →

HP

'

T

: 1H て い →

1

HP

' ,

1

9

. .

9

2

)

は

し

た

_。

幻

の へ_の

制限

が

1

₅7 _を 兀 と かく と 、

だ

( 1 G . .92

]

)

=

が

' ( 1

₉

. .

1

₂ 1

)

n

d

=

{

〈

PG_. . Ph

De

IH ?_{o

_{} I}

_PEIH.to}

_}

_n

で

なく

心

ー 、 P

礙明

が

啖

な

!

!

?

に

い

lpq

に

pq

I

=

pq

無

PIG

IT

= 1

明

が

より IP と_、 12 +1_PG

た

が

(19,12+19212)

、

(iii)

いい

が

諭

|

p' ⇐> ヨ p'e SUN ₎ に aaiTT.TT

よって 、 SU1 2 ) に _{, P} ・ ( G ..92〉 = ( Ph . Ph) とすれば

fiber preserving

で 、

fiber 上 で

free

かつ transition

- 元 : 57 → 1HP ' ( ES4 ) は

主

_SU12) 束 . ←

(

₄ と かく

754

は 12.9 ) の

意味

で k= 1 bdl 、 すなわち 、

k

= - de )

[

S 4

]

=

1

と なる . 2

(

証明

は (₆.6 ) で .

)

で

上 の

Self

-

du

al

Conn 、

《

Overview

》

行列の 積 によって 定まる

actions

70

_Sp

に) は isometry かつ transHive で 、

T

Sian

= VT

sie

, +0

(

Vida

,a

げ

によって

Sp

に) -Action

不変

な SU12)-com . が

_定まる

④ の curvature.hr について は

Rain

= d find

I

:

Self

-

du

al

と_{なり 、}

Sp

に₎ -Action によって

d

は

全域

で

Self

-du

al

と わかる

o

_Sp

₍2₎ 2 2 ・

IH

州 → 11-1 ,

KP

. . 13〉 _、

(

add

)

=

RE

t

BE

= 〈 R . 1 つ

がく

9 い た が •

Sp

に ) に

{

AEM

2 ( 1H )

|

AT

= E ₂

}

T.geIH について 一般 に _{は 対}水 だ から 1H-matrix についても 一般 に (AB )た が 月 に

注意

! 一方 で

は

二

T

だから _吻 -i = が 心 は 成り立っ 、 よっ て

UAE

Sp

12) について

(

くに

が

A

. い

た

〉 A

)

=

くに

」 に>

AF

くん

と

〉 「 =

(

例

で

低い

か

)

特に

、

佉

い

た

〉

ES "

く ん

が

Ae

また 、

腔

が

上 の実内積は Re

(

例

が

くどい

)

と 一致 する から、 その

意味

で も O

Sp

(2 ) は

isometry

さらに

_、 1 H = [email protected] )

(

x = (っい t に2i ) t (ついつい ) は

)

に 注目 して

YG

_い

た

〉

E について

G

=

Git

G

2 g

(

Gu

EE

)

と

表す

とき 、

低い

ん

)

=

い、

※

ただ

悲恋

は

、

り

ど

な

. . .

さい

_し

、

痰

汗

に

燕

_:

月

19.1 2

(

if

_Gato

)

と

書ける

から

SG

_に) : transition 、

信

劉

E

Sp

1

2 ₎ G1, 912 G2 1 922

|

嚙

_讓

_燕

_が

り

な

ので、

佉

_い た

)

E 、

G

、 キ 0 なら ば

し

た

第

一

し

た

剡

の 3

行

目 に 0 0 1 0 0 0 0 ₁

直交

化

法

を

適用

すれ

ば

93,94

が

求まる

、

Connection

@TlHia.aE

州

の

同一

視の もとで

TS

て

い =

{

くわ

か と

州

_に

Im

_{H.ae IH}

}

VTS

た

_。> =

ftp.o

〉

1

PE Im IH

}

実 直交補空間

(

け

らい

だ

と

川

が

竹

ここ に

Sp

に ₎ の えを

作用

させれ ば 、

yq.li

e _で

分解

TS.iq

. . a> = VT