I ( ) ( ) (1) C z = a ρ. f(z) dz = C = = (z a) n dz C n= p 2π (ρe iθ ) n ρie iθ dθ 0 n= p { 2πiA 1 n = 1 0 n 1 (2) C f(z) n.. n f(z)dz = 2πi Re

10.1

留数定理

(

解答

)

(1) 閉曲線 C として z = a を中心半径 ρ の円をとる. I C f (z) dz = I C ∞ X n=−p (z_{− a)}ndz = Z 2π 0 ∞ X n=−p

(ρeiθ)nρieiθdθ

= ( 2πiA₋₁ n =₋₁ 0 n _{6= −1} (2) C 上および内部で f (z) は n 個の極を除いて正則とする. このとき I C f (z)dz = 2πi n X k=1 Res f (zk) を示せ. コーシーの積分定理より, n 個の極をすべて内部に含む閉曲線 C に沿った積 分は, それぞれの極を囲む n 個の閉曲線に沿った積分の和となる. I C f (z)dz = n X k=1 I Ck f (z)dz. よって, I C f (z)dz = 2πi n X k=1 Resf (zk).

10.2

留数の求め方

(

解答

)

(1) f (z) が z = z0 において p 位の極を持つ場合, z = z0 で正則な関数 g(z) を 用いて f (z) = g(z)(z_{− z}0)−p と表すことができる. 一方, f (z) は z = z0 のまわりでローラン展開可能で, f (z) = A_−p(z_{− z}0)−p+ A−p+1(z− z0)−p+1+· · · と書ける. したがって, f (z)(z_{− z}0)p = A−p+ A−p+1(z− z0) +· · · + A−p+k(z− z0)k+· · · これより, A_−p = lim z→z0 (z_{− z}0)pf (z), A_−p+1 = lim z→z0 d dz[(z− z0) p_{f (z)],} · · · A₋₁ = lim z→z0 1 (p_{− 1)!} dp−1 dzp−1[(z− z0) p_{f (z)].} (2) f (z) は z = z0 で 1 位の極を持つ. Q(z) は正則な関数 R(z) を用いて Q(z) = R(z)(z_{− z}0) と表すことができる. このとき, Res f (z0) = _zlim →z0 (z_{− z}0)f (z) (10.1) = lim z→z0 (z_{− z}0) P (z) R(z)(z_{− z}0) (10.2) = P (z0) R(z0) . (10.3) R(z0) = dQ(z) dz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯_z=z 0 = [R0(z)(z_{− z}0) + R(z)]z=z0 であるから, Res f (z0) = P (z0) Q0_(z0). (3) (i) f (z) = z 3_{+ 5} z(z_{− 1)}3 は z = 0, 1 に特異点を持つ. lim z→0z k f (z) = ( −5 k = 1 0 k _{6= 1}

lim z→1(z− 1) k_{f (z) =} ( 6 k = 3 0 k_{6= 3} より, それぞれ 1 位と 3 位の極である. したがって, Res f (0) = ₋₅ Res f (1) = lim z→1 1 2! d2 dz2[(z− 1) 3 f (z)] = lim z→1 1 2! d2 dz2 à z3+ 5 z ! = 6 (ii) f (z) = cos z z3 は z = 0 に特異点を持つ. lim z→0z k_{f (z) =} ( 1 k = 3 0 k _{6= 3} より, 3 位の極. Res f (0) = lim z→0 1 2! d2 dz2[z 3 f (z)] = lim z→0 1 2! d2 dz2 ½ z3 1 z3 µ 1₋ 1 2!z 2₊ 1 4!z 4₊ · · · ¶¾ = lim z→0 1 2! d2 dz2 µ 1₋ 1 2!z 2₊ 1 4!z 4_{+· · ·}¶ = lim z→0 1 2! µ −1 + _2!1z2+_{· · ·} ¶ = ₋1 2 (iii) f (z) = 1 sin z は z = nπ に特異点を持つ. ロピタルの定理を用いると, lim z→nπ(z− nπ) k f (z) = lim z→nπ k(z_{− nπ)}k−1 cos z = ( (₋₁₎n k = 1 0 k _{6= 1} より, 1 位の極. Res f (nπ) = (₋₁₎n (iv) f (z) = z 2_ez 1 + e2z は zn = i µ₁ 2 + n ¶ π に特異点を持つ. ロピタルの定理を 用いると, lim z→(1/2+n)π ½ z_{− i} µ₁ 2+ n ¶ π ¾k f (z) = lim z→(1/2+n)π ½ z_{− i} µ₁ 2+ n ¶ π ¾k _z2_ez 1 + e2z = lim z→(1/2+n)πk ½ z_{− i} µ₁ 2 + n ¶ π ¾k−1 _z2_ez 2e2z + ½ z_{− i} µ₁ 2 + n ¶ π ¾k_{(2 + z)ze}z 2e2z

k _{6= 1 のとき, 上記の極限は 0. k = 1 のとき,} lim z→(1/2+n)π z2_ez 2e2z = _{z→(1/2+n)π}lim z2 2ez = 1 2 ½ i µ₁ 2+ n ¶ π ¾2 ₁ ei(12+n)π = ₋1 2 µ₁ 2+ n ¶2 π2 1 i(₋₁₎n = 1 2 µ₁ 2+ n ¶2 π2i(₋₁₎n より, 1 位の極. よって, Res f ((1/2 + n)π) = 1 2 µ₁ 2 + n ¶2 π2i(₋₁₎n

10.3

複素積分に関する補助定理

(

解答

)

(1) 仮定より十分大きな R に対し, 円弧上で |f(z)| ≤ M|z|α _{= M R}α となる正数 M が存在する. IR = Z C f (z) dz に対し |IR| = ¯ ¯ ¯ ¯ Z C f (z) dz ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z C|f(z)| | dz| ≤ Z θb θa M RαR dθ = M Rα+1(θb− θa). α <_{−1 より,} lim R→∞IR= 0. Re Im O θa R θb C 図 10.1: (2) 仮定 lim z→∞f (z) = 0より, |z| > N となる十分大きな N に対し |f(z)| < ε と なる正数 ε が存在する. 一方, IR = Z C eiazf (z) dz

に対し, (10.4) の仮定より |IR| ≤ Z C|e iaz_{f (z)|| dz|} ≤ Z C|e iaz ||f(z)|| dz| が成り立つ. z = Reiθ とおき, R > N とすると, |f(z)| ≤ ε |eiaz | = |eiaReiθ |

= _|eiaR(cos θ+i sin θ)_| = e−aR sin θ | dz| = R| dθ| なので, |IR| < εR Z π 0 e−aR sin θdθ = 2εR Z π/2 0 e−aR sin θdθ. ここで 0 ≤ θ ≤ π/2 で成り立つ Jordan の不等式 2 πθ ≤ sin θ を用いると, Z π/2 0 e−aR sin θdθ _≤ Z π/2 0 e−aR2πθdθ = π 2aR(1− e −aR_{) <} π 2aR. よって |IR| < επ a . ε は任意に小さくとることができるので, lim R→∞IR = 0 (3) a < 0 の場合は−π ≤ arg z ≤ 0 として, 原点を中心とする半径 R の下半円 を正の向きに進む経路 C 上にとった積分 IR = Z C eiazf (z) dz を考える. このとき (2) と同様に |IR| < εR Z 0 −πe −aR sin θ_{dθ = 2εR}Z 0 −π/2e −aR sin θ_dθ.

Re Im O θ R C 図 10.2: が成り立つ. ここで _{−π/2 ≤ θ ≤ 0 では} 2 πθ ≥ sin θ であり, a < 0 を考慮すると, Z π/2 0 e−aR sin θdθ _≤ Z π/2 0 e−aR2πθdθ = π 2aR(1− e −aR_{) <} π 2aR. を示すことができる. 以下は (2) の場合と同様である.

10.4

留数定理を用いた実関数の積分

(1) (

解答

)

(1) z = eiθ より, dz = ieiθdθ = iz dθ である. cos θ = z + z −1 2 , sin θ = z_{− z}−1 2i より, IR = I C f à z + z−1 2 , z_{− z}−1 2i ! dz iz = 1 i I C f à z + z−1 2 , z_{− z}−1 2i ! dz z . ここで C は複素平面上の原点を中心とする単位円に沿って正の向きに一周 する経路である. (2) (i) z = eiθ _{とおくと,} Z 2π 0 dθ a + b cos θ = I C dz iz_{{a + b(z + z}−1_)/2} = I C dz iz_{{a + b(z + z}−1_)/2} = 2 i I C dz bz2 _{+ 2az + b}. ここで C は複素平面上の原点を中心とする単位円に沿って正の向きに 一周する経路である. 被積分関数は z_±= −a ± √ a2_{− b}2 b に 1 位の極を持つが, 積分路内に存在するのは z+ である. この点での 留数は Res · ₁ bz2_{+ 2az + b} ¸ z+ = 1 2√a2_{− b}2 より, この積分は Z 2π 0 dθ a + b cos θ = 2π √ a2_{− b}2

(ii) (i) と同様に z = eiθ _{とおく. cos nθ = (e}inθ_{+ e}−inθ_{)/2 = (z}n_{+ z}−n_)/2

より, Z 2π 0 cos2_3θ 1_{− 2a cos 2θ + a}2 dθ = I C (z3_{+ z}−3₎2_/4 1_{− 2a(z}2_{+ z}−2_{)/2 + a}2 dz iz = I C 1 −4ai (z6_{+ 1)}2_dz z5_(z2_{− a)(z}2_{− a}−1₎

1 > a_{≥ 0 より, 積分路内で z = 0 に 5 位の極, z = ±}√aに 1 位の極を 持つ (証明は省略). 被積分関数を f (z) と表すと, Res f (_±√a) = ₋ (a 3_{+ 1)}2 8ia3_(a2_{− 1)}, Res f (0) = ₋³a2+ 1 + 1/a2´ 1 4ai より, IR = 2πi à − 2(a 3 _{+ 1)}2 8ia3_(a2_{− 1)}+ a2+ 1 + 1/a2 4ai ! = π(1− a + a 2₎ 1_{− a} .

10.5

留数定理を用いた実関数の積分

(2) (

解答

)

(1) 図 10.3 より, I C f (z) dz = Z R −Rf (z) dz + Z Γ f (z) dz である. 右辺第 2 項の積分については積分路上で z = Reiθ_{(0≤ θ ≤ π) とお} いて, _Z Γ f (z) dz = iR Z π 0 f (Reiθ) dθ となり, _¯ ¯ ¯ ¯ Z Γ f (z) dz ¯ ¯ ¯ ¯≤ R Z π 0 |f(Re iθ₎ | dθ をみたす. 仮定より lim z→∞|f(z)| = O(|z| α )(α <_{−1) なので, R → ∞ で} |f(Reiθ_{)| ≤} M R2 をみたす正数 M が存在する. したがって, lim R→∞ ¯ ¯ ¯ ¯ Z Γ f (z) dz ¯ ¯ ¯ ¯≤ lim_R→∞R M R2π = 0. この結果, IR = lim R→∞ I C f (z) dz が得られる. Re Im Γ O θ Zk _R 図 10.3:

(2) (ii) 被積分関数は lim z→∞|f(z)| = O(|z| α_{)(α < −1) をみたす. 図 10.3 のよう} な積分路を考えると, IR= lim R→∞ I C 1 z2_{+ a}2 dz 被積分関数 f (z) は経路内において z = ia に 1 位の極を持つ (証明は省 略). よって, IR = 2πiRes f (ia) = π a. (ii) 被積分関数は lim z→∞|f(z)| = O(|z| α )(α < _{−1) をみたす. 図 10.3 のよう} な積分路を考えると被積分関数は偶関数なので, Z _∞ 0 1 z4_{+ a}4 dz = 1 2 Z _∞ −∞ 1 z4_{+ a}4 dz. よって, IR= 1 2Rlim→∞ I C 1 z4_{+ a}4 dz ここで積分路 C は図 10.3 のような経路であるとする. 被積分関数 f (z) は経路内において z1 = aeiπ/4 と z2 = aei3π/4 に 1 位の極を持つ (証明 は省略).

Res f (aeiπ/4) = e

−i3π/4

4a3_i ,

Res f (ae3iπ/4) = e

−iπ/4 4a3_i , よって IR= πi " e−i3π/4 4a3_i + e−iπ/4 4a3_i # = √ 2π 4a3 .

10.6

留数定理を用いた実関数の積分

(3) (

解答

)

(1) 問題 10.3 (2) を参照. (2) (i) まず f (z) = e−z2 の積分を考える. 積分経路として半径 R の円の一部 をなす扇型の周を反時計回りに一周する経路をおく. 扇型の角度は π/4 とする. 実軸上の経路を OA, 扇型の弧の部分の経路を Γ, 直線 y = x に沿った経路を BO とする. 被積分関数は正則なので, I C e−z2dz = Z OAe −z2 dz + Z Γ e−z2dz + Z BOe −z2 dz = 0 となる. Z OAe −z2 dz = Z R 0 e−x2dx_→ √ π 2 (R→ ∞), Z Γ e−z2dz = Z π/4 0 e−R2e2iθReiθdθ ≤ Z π/4 0 |e −R2_e2iθ ||Reiθ | dθ = Z π/4 0 e−R2R dθ = π 4Re −R2 → 0 (R → ∞), BO 上では z = Reiπ/4_{, dz = e}iπ/4_{dR より,} Z BOe −z2 dz = Z 0 R e−R2eiπ/2eiπ/4dR = ₋1 + i√ 2 Z R 0 e−iR2dR = ₋1 + i_√ 2 Z R 0 (cos R2_{− i sin R}2) dR → −1 + i√ 2 Z _∞ 0 (cos R2_{− i sin R}2) dR, (R_{→ ∞),} より, 1 + i √ 2 Z _∞ 0 (cos R2_{− i sin R}2) dR = √ π 2 両辺の虚部を比較して, Z _∞ 0 sin(x2) dx = 1 2 r_π 2. (ii) Z _∞ −∞ eiax x_{− ib}dx (b > 0)

a > 0のとき, 積分路として図 10.3 のような閉曲線を考える. このとき I C eiaz z_{− ib}dz = Z R −R eiaz z_{− ib}dz + Z Γ eiaz z_{− ib} dz = 2πie−ab (コーシーの積分公式より) 積分路 Γ 上では z = Reiθ, dz = Reiθdθ より, Z Γ eiaz z_{− ib} dz = Z π 0

e−Ra sin θ+iRa cos θRieiθ_dθ

Reiθ _{− ib} . よって, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z Γ eiaz z_{− ib} dz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = Z π 0 R ¯ ¯ ¯ ¯ 1 Reiθ_{− ib} ¯ ¯ ¯ ¯e−Ra sin θdθ ≤ Z π 0 R ¯ ¯ ¯ ¯ 1 R ¯ ¯ ¯ ¯e−Ra sin θdθ = 2 Z π/2 0 e−Ra sin θdθ < 2 Z π/2 0 e−(2/π)Raθdθ = π Ra(1− e −Ra₎ → 0 (R → ∞). よって, Z _∞ −∞ eiax x_{− ib}dx = 2πie −ab_. a < 0のときは積分路内に特異点がないので Z _∞ −∞ eiax x_{− ib}dx = 0.

10.7

積分の主値

(

解答

)

Re Im Γ O Z0 R εγ 図 10.4: (1) 留数定理より明か. (2) f (z) を z = z0 の回りでローラン展開し, (z− z0)1 の係数 (Res f (z0))を A−1 とおく. z = z0 の回りの半径 ε の円を反時計回りにまわる経路を γ0 とす ると, I γ0f (z) dz = I γ0 A₋₁ z_{− z}0 dz = Z 2π 0 A₋₁ εeiθεe

iθ_{dθ = 2iπRes f (z} 0) よって, Z γ f (z) dz = Z 0 π A₋₁ εeiθεe

iθ_{dθ =} − Z π 0 A₋₁dθ =₋1 2 Z 2π 0 A₋₁dθ = _{−iπRes f(z}0) (3) (1), (2) より, P Z R −Rf (x)dx = πiRes f (z0) + 2πi m X k=1 Res f (zk) (4) (i) 被積分関数は z0 = aで 1 位の極を持つ. 図 10.4 のような積分路で eimz z_{− a} の積分を考えると, Z Γ eimz z_{− a}dz + Z a−ε −R eimz z_{− a}dz + Z R a+ε eimz z_{− a}dz + Z γ eimz z_{− a}dz = 0.

ここで, lim R→∞ Z Γ eimz z_{− a}dz ≤ limR→∞ Z Γ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ eimz z_{− a} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯| dz| ≤ lim_R →∞ Z Γ e−mR sin θ |z − a| | dz| ≤ lim_R →∞ Z Γ e−mR sin θ R + a | dz| ≤ lim_R →∞ e−mR sin θ R + a πR = 0 また, Z γ0 eimz z_{− a}dz = 2πiRes " eimz z_{− a} # z=a = 2πieima より, Z γ eimz z_{− a}dz =−πie ima したがって, Z a−ε −R eimz z_{− a}dz + Z R a+ε eimz z_{− a}dz = πie ima 両辺の ε_{→ 0, R → ∞ の極限をとると,} P Z _∞ −∞ eimz z_{− a}dz = πie

ima _{= π(i cos ma}

− sin ma) 両辺の実部と虚部を比較して P Z _∞ −∞ cos mx x_{− a} dx =−π sin ma (ii) 被積分関数は z0 = 0 で 1 位の極を持つ. 図 10.4 のような積分路で積分 すると Z Γ eiz z dz + Z 0−ε −R eiz z dz + Z R 0+ε eiz z dz + Z γ eiz z dz = 0. ここで, lim R→∞ Z Γ eiz z dz ≤ limR→∞ Z Γ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ eiz z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯| dz| ≤ lim R→∞ Z Γ e−R sin θ |z| | dz| ≤ lim_R →∞ Z Γ e−R sin θ R | dz| ≤ lim_R →∞ e−R sin θ R πR = 0

また, Z γ0 eiz z dz = 2πiRes " eiz z # z=0 = 2πi より, Z γ eiz z dz =−πi よって Z 0−ε −R eiz z dz + Z R 0+ε eiz z dz = πi 両辺の ε_{→ 0, R → ∞ の極限をとると} P Z _∞ −∞ eiz z dz = πi (iii) (ii) において Z 0−ε −R eiz z dz + Z R 0+ε eiz z dz = πi の左辺第 1 項は Z 0−ε −R eiz z dz = Z 0+ε R e−iζ −ζ − dζ = − Z R 0+ε e−iζ ζ dζ となるので, Z R 0+ε eiz_{− e}−iz z dz = Z R 0+ε 2isin z z dz = πi よって, Z R 0+ε sin z z dz = π 2 両辺の ε→ 0, R → ∞ の極限をとると Z _∞ 0 sin z z dz = π 2