量子力学入門
量子力学入門
量子力学の扉を開いた粒子性と波動性の問題
非常に速く運動する非常に小さな粒子（電子など）はどう数学的に表現できるか 古典力学 質点 m v p = mv 波（波束） 物質波 λ = hp Ψ 波動関数 Ψ2 量子力学の世界 シュレーディンガーは波動関数を 用いて電子のふるまいを表現する ことに成功し（シュレーディン ガーの波動方程式 ）、また、波 動関数の二乗が電子の存在確率を 表すことがボルンらによって示さ れた（確率解釈） 古典力学は電子のふる まいを表現するには無 力であったが、時とし て、私たちに具体的な イメージを与えること において、有効である 存在確率 不確定性原理 ∆p∆x > h/4π原子核に束縛された電子のふるまい（粒子性と波動性）
ミクロの池 ミクロのアメンボ （電子） （原子核ポテンシャル） 粒子 波 原子核に束縛された池の中で、アメンボの動きは 非常に速く、その位置を正確に特定することはで きないが、アメンボの動きを波として表すことが できる。 アメンボが一定のエネルギーで運動し続ければ、 池に広がる一定の波が存在し続ける（定常波） 原子核 原子核 ポテンシャル エネルギー 高 低 電子が一定のとびとびのエネルギーを もつと一定の波が広がる イメージ Ψ Ψ2 アメンボがとるとびとびのエネルギーに対し、そ れぞれ固有の定常波が存在し、その二乗がアメン ボの存在確率を表す（固有値問題）古典波動論（波）について学ぶ
古典波動論（波）について学ぶ
（１）単振動（調和振動）
（１）単振動（調和振動）
（２）三角関数と指数関数
（２）三角関数と指数関数
（３）複素数
（３）複素数
（４）進行波
（４）進行波
（５）波動方程式
（５）波動方程式
（６）定常波
（６）定常波
x = acos(ωt + φ) v = = -adx ωsin(ωt + φ) dt a = = -ad2x ω2cos(ωt + φ) = -ω2x dt2 正射影点P'の運動方程式を考える m = d2x –mω2x = –kx = F(x) dt2 mω2 = k ω = m k = d2x – xmk dt2 より = d2x – ω2x dt2 or 一点からの距離に比 例する中心力による 運動（調和振動） k 調和振動子の強さ force constant 微分方程式を解く (1) t x a -a T = m k ω 2π = 2π 一周期
単振動（調和振動）
0 P(x,y) θ v a y x x 0 P'(x) 点Pは角速度ωで半径aの等速円運動をしている 角速度 ω 位相 θ = ωt + φ 初期位相 φ 振動数 周期 速度 ν = ω 2π T = 2ωπ = 1ν [rad/s] [Hz] [s] v = aω P(x,y) x = acos(ωt + φ) y = asin(ωt + φ) x = acos(ωt + φ) = acos( t + φ) は(1)の一つの解m k数学基礎知識 微分しても元と同じになる関数 d(ex) dx = e x ex = exp x （指数関数） ex = 1 + x + x2/2! + ····+ xn/n! + ··· =
Σ
x n n! n=0 ∞ (e = 2.71828183···) logeex = ln ex = x x = ey なら y = ln x dx dx = dy dy dx dey dy dx = d(ln x) dx = x 1 （逆関数は対数関数） y = eix y = e-ix dy dx = ieix d2y dx2 = –e ix = –y dy dx = –ie-ix d2y dx2 = –e-ix = –y (i2 = –1) 指数関数 y = cos x = d2x – ω2x dt2 微分方程式 (1)三角関数と指数関数
= – a2f(x) d2f(x) dx2 (1)の一般式 の解は一つだけ？ 二階微分した関数が元の関数に負の係数をかけたも のになる関数は？ y = sin x d2y dx2 = dy dx = d2y dx2 = dy dx = –sin x cos x–cos x = –y –sin x = –y
y = A cos ax + B sin ax
y = C eiax + D e-iax
三角関数
一般解
数学基礎知識
オイラーの公式と複素数
指数関数と三角関数は密接な関係がある
eix = cos x + i sin x
e–ix = cos x – i sin x
Euler's Formulus sin x = 2i eix – e-ix cos x = 2 eix + e-ix 複素数（複素平面） オイラーの公式 y x 0 r = |z| z x y θ 虚軸 実軸 r = (x2 + y2)1/2 x = r cos θ = |z|cos θ = |z| z = x + iy y = r sin θ = |z|sin θ = |z|(cos θ + i sin θ) = |z| eiθ （極形式） z1 = x1 + iy1 = |z1| eiθ1 z2 = x2 + iy2 = |z2| eiθ2 z1z2 = |z1||z2| ei(θ1+θ2) z = x + iy = |z| eiθ の複素共役は z* = x – iy = |z| e–iθ z z* = |z|2
λ 2π 角振動数 ω = 2π ν 角波数 k = 振動数 周期 ν = ω 2π T = = ν 1 [s] ω 2π [Hz]
進行波（正弦波）
x y a -a 波長 λ 振幅 伝播速度 u t = 0 x(0) x(t) t = t ut y y = a cos 2π x λ y = a cos 2π λ (x – ut) u = λ ν 速度 波長 λ λ u = y = a cos ( 2π λ x – 2πνt) y = a cos (kx – ωt) ψ(x,t) = a cos (kx – ωt) ω = ku ψ(x,t) = a ei(kx – ωt) 一次元進行波（正弦波）は以下の式で表される 或は さらに様々な表現が可能 ψ(x,t) = a cos ω( x u – t) ψ(x,t) = a sin ω(t – xu ) ψ(x,t) = a cos 2π( x λ – tT ) ψ(x,t) = a sin 2π( x λ – t T ) などなど波動方程式
ψ
(x,t)
ある量が場所と時間の関数で 波動方程式∂
2
ψ
(x,t)
∂t
2
= u
2
∂
2
ψ
(x,t)
∂x
2
を満足する時、この量は波として伝わり その伝播速度はu
になる ψ(x,t) = a cos (kx – ωt) 例えは、正弦進行波の関数を時間(t),および場 所(x)で偏微分しよう ∂2ψ(x,t) ∂t2 = –ω 2a cos (kx – ωt) ∂ψ(x,t) ∂t = ωa sin (kx – ωt) ∂2ψ(x,t) ∂x2 = –k 2a cos (kx – ωt) ∂ψ(x,t) ∂x = ka sin (kx – ωt) ∂2ψ(x,t) ∂t2 = ∂2ψ(x,t) ∂x2 k2 ω2 = u2 ∂2ψ(x,t) ∂t2 ∂2ψ(x,t) ∂x2 λ 2π 角振動数 ω = 2π ν 角波数 k = u = λ ν 伝播速度 波長 λ ω = ku 振動数 ν∇
∆
Laplacian: Nabla: ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z + + =∇
2 ∂ 2 ∂x2 ∂2 ∂y2 ∂2 ∂z2 + + = = ψ(x,y,z,t) = ψ(r,t) 波動方程式 ∂2ψ(r,t) ∂t2 = u 2 ∂ 2ψ(r,t) ∂x2 ∂2ψ(r,t) ∂y2 ∂2ψ(r,t) ∂z2 + + ( ) = u2 ∂2 ∂x2 ∂2 ∂y2 ∂2 ∂z2 + + ( )ψ(r,t) = u2∆
ψ(r,t) ∂2ψ(r,t) ∂t2波動方程式（三次元）
ψ (r,t) = a cos (kr – ωt) = a cos (kxx + kyy + kzz – ωt) ∂2ψ(r,t) ∂t2 = –ω 2ψ(r,t) ∂2ψ(r,t) ∂x2 = –kx 2ψ(r,t) ∂2ψ(x,t) ∂t2 = k2 ω2 ∂2ψ(r,t) ∂x2 ∂2ψ(r,t) ∂y2 ∂2ψ(r,t) ∂z2 + + ( ) = u2 ∂2ψ(r,t) ∂t2∆
ψ(r,t) について ∂2ψ(r,t) ∂y2 = –ky 2ψ(r,t) ∂2ψ(r,t) ∂z2 = –kz 2ψ(r,t) ∂2ψ(r,t) ∂r2 = ∂2ψ(r,t) ∂x2 ∂2ψ(r,t) ∂y2 ∂2ψ(r,t) ∂z2 + + = –(kx2+ky2+kz2)ψ(r,t) = –k2ψ(r,t) u伝播速度 例えばy1 = a sin 2π λ (x – ut) y2 = a sin 2π λ (x + ut) y = y1 + y2 = 2a sin 2πx λ cos ωt 振幅部分 振動部分
定常波
y x 伝播速度 u u 波長 λ 腹 節 定常波の波動方程式 = 2a sin kx cos ωt ψ(x,t) ∂2ψ(x,t) ∂x2 = –k 22a sin kx cos ωt = cos ωt ∂2ψ(x,t) ∂t2 = –ω 22a sin kx cos ωt φ(x) = 2a sin kx = φ(x) cos ωt = –ω2cos ωt φ(x) d2φ(x) dx2 ∂2ψ(x,t) ∂t2 = u2 ∂2ψ(x,t) ∂x2 –ω2cos ωt φ(x) = u2cos ωt d 2φ(x) dx2 –ω2cos ωt φ(x) = d 2φ(x) dx2 –ω2φ(x) ω2 k2 (ω = ku) d2φ(x) dx2 + k 2φ(x) = 0 (k = 2π ) λ 波動方程式 定常波の波動方程式は振幅部分のみからなり、 時間に依存しない一般に、波の動きに制限を加えると、 離散的な定常波が発生し、波動関数は 以下の様に表され、その振幅部分は以 下の波動方程式を満足する ψ(r,t) = φ(r) e–iωt
∆
φ(r) + k2φ(r) = 0 定常波の波動方程式 定常波の波動関数いろいろな定常波
弦の振動 L y x ψ(x,t) = 2a sin 2πx λ cos ωt φ(x) = 2a sin2πx λ 弦の振動条件 λ 2 n L = φ(x) = A sin n πx L n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 基音 倍音 定常波の式 振幅部分の式 弦の振動の振幅を表す式 高調波シュレーディンガーの波動方程式
シュレーディンガーの波動方程式
シュレーディンガーは、電子のような小さな粒子の シュレーディンガーは、電子のような小さな粒子の 運動を表現するのに、主として波の考え方を基本と 運動を表現するのに、主として波の考え方を基本と し、そこに、物質波としての粒子性を取り入れた。 し、そこに、物質波としての粒子性を取り入れた。 シュレーディンガーの波動方程式がどのように提案 シュレーディンガーの波動方程式がどのように提案 されたのか、説明しよう。 されたのか、説明しよう。 Erwin Schrödinger定常波のシュレーディンガー方程式（１次元）
ある場（ポテンシャル場）に拘束された電子の動き（１次元）を考える 【波動性】 【二重性】 【粒子性】 定常波の波動方程式 d2ψ(x) dx2 + k 2ψ(x) = 0 (k = 2π ) λ ド・ブロイの物質波 λ = h p 時間によらず エネルギー一定 E = p 2 + U(x) 2m d2ψ(x) dx2 + ψ(x) = 0 px2 h2 ψ(x) 波動関数 d2 dx2 px2 h2 ψ(x) = – ψ(x) d2ψ(x) dx2 ψ(x) = – px2 h2 px px2 d2 dx2 h2 – i h d dx 演算子に対応 d2ψ(x) dx2 [E – U(x)]ψ(x) = 0 + 2m h2 d2ψ(x) dx2 + U(x)ψ(x) = Eψ(x) 2m h2 – d2 dx2 + U(x)]ψ(x) = E ψ(x) 2m h2 [– 全エネルギー 運動エネルギー 位置エネルギー 一定 d2 dx2 + U(x) = H 2m h2 – ^ ハミルトニアン （ハミルトン演算子）シュレーディンガー方程式（３次元へ拡張）
（一定） 古典力学 量子力学 2m px2 + U(x) = E 運動エネルギー d2ψ(x) dx2 + U(x)ψ(x) = Eψ(x) 2m h2 – 全エネルギー 運動エネルギー 位置エネルギー 位置エネルギー 全エネルギー （一定） １次元 ３次元 2m p(r)2 + U(r) = E 2m + U(x,y,z) = E 1 (px2 + p y2 + px2) d2 ∂x2 + U(r)ψ(r) = Eψ(r) 2m h2 – r = (x,y,z) ψ(r) ∂2 + U(x,y,z)ψ(r) = Eψ(r) 2m h2 – ]ψ(r) dr2 [ ∂y2 ∂2 ∂z2 ∂2 + + 2m h2 –∆
ψ(r) + U(x,y,z)ψ(r) = Eψ(r)∆
+ U(x,y,z)]ψ(r) = Eψ(r) 2m h2 – [ ハミルトニアン （ハミルトン演算子） ^ H ψ(r) = ψ(x,y,z) ^ Hψ(r) = Eψ(r) シュレーディンガー方程式の一般形 ハミルトン演算子 一定のエネルギー値 波動関数 という微分方程式を解くと、様々なエネルギー値に対 して式を満たす波動関数の組みが得られる。これを 『固有値問題を解く』といい、得られたEiを固有値、 その固有値を与える波動関数ψ(r)iを固有関数という Ei 固有値 ψ(r)i 固有関数シュレーディンガー方程式（まとめ）
^ Hψ(r) = Eψ(r) 時間に依存しないシュレーディンガー方程式 ハミルトン演算子（ハミルトニアン） エネルギー固有値 （時間によらず一定の値をとる） 波動関数 （定常波の振幅部分） この微分方程式を解くと、様々なエネルギー値に対し て式を満たす波動関数の組みが得られる。これを『固 有値問題を解く』といい、得られたEiを固有値、その 固有値を与える波動関数ψ(r)iを固有関数という Ei 固有値 ψ(r)i 固有関数 ψ(r) = ψ(x,y,z)∆
+ U(x,y,z) 2m h2 – ^ H = ∂x2 ∂2 + U(x,y,z) 2m h2 – [ ] ∂y2 ∂2 ∂z2 ∂2 + + = = p^ 2m ( )2 + U(x,y,z) = i h∇
運動量演算子 = i h ∂x ∂ ] [ ∂y ∂ ∂z ∂ + +∇
2 =∆
運動エネルギー 演算子 位置エネルギー 演算子 シュレーディンガーの波動方程式は、最初、本当かな と思われたが、古典力学では解決できなかった様々な 問題を解決することができ、量子力学（波動力学）へ と発展した。原子の中の電子の状態についても納得で きる答えを出すことができた。次に、波動関数がもつ 意味について説明しよう。時間依存シュレーディンガー方程式
波動関数の指数関数表示 ψ(r,t) = ψ(x,y,z,t) = aei(kr-ωt) = aei(kxx + kyy + kzz – ωt) = u2∆
ψ(r,t) ∂2ψ(r,t) ∂t2 ∂2ψ(r,t) ∂r2 ∂2ψ(r,t) ∂t2 = –ω 2ψ(r,t) = – E2 h2 ψ(r,t) = –k2ψ(r,t) = – p2 h2 ψ(r,t)∆
ψ(r,t) = λ = h/p E = hν ド・ブロイーアインシュタインの関係式 古典波動方程式 k = 2π/λ = p h ω = 2πν = E h p = i h ^∇
p2 = – h2∆
^ E^2 = – h2 ∂2 ∂t2 E= i h ^ ∂ ∂t ψ(r,t) = aei(pr–Et)/h ψ(x,t) = aei(px–Et)/h ＜１次元なら＞時間依存シュレーディンガー方程式（続き）
p = i h ^∇
p2 = – h2∆
^ E^2 = – h2∂2 ∂t2 E= i h ^ ∂ ∂t ψ(r,t) = aei(pr–Et)/h ψ(x,t) = aei(px–Et)/h ＜１次元なら＞ 2m p(r)2 + U(r) = E 古典力学 H =∆
ψ(r,t) + U(r)ψ(r,t) = 2m h2 – i h∂ψ(r,t) ∂t ∂x2 ∂2 + U(x,y,z)}ψ(r,t) = 2m h2 {– [ ] ∂y2 ∂2 ∂z2 ∂2 + + i h∂ψ(r,t) ∂t H^ ψ(r,t) = E ^ ψ(r,t) 波動関数 運動エネルギー 位置エネルギー 全エネルギー 時間依存シュレーディンガー方程式 時間に依存して全エネルギーが変化する場合 ψ(r,t) = aei(pr)/h e–iEt/h =ψ(r)e–iEt/h 定常波の場合Eは時間によらず一定なので と変数分離することができる H^ ψ(r) = E ψ(r) 時間に依存しないシュレーディ ンガーの方程式となる波動量子力学における波動関数がもつ意味
^ Hψ(r) = Eψ(r) Ψ(r,t) = ψ(r)e–i t 定常状態にある粒子のふるまいを記述する時 間に依存しないシュレーディンガー方程式を 満足する固有関数（波動関数）ψ(r)について 固有関数（波動関数）ψ(r)は定常波の振幅部 分を意味している。 |ψ(r)|2 = ψ(r)ψ∗(r) 波動関数ψ(r)のから粒子の定常状態における すべての情報が得られる。 異なった固有関数は直交する ψ(r)が固有関数ならcψ(r)も固有関数である ψ(r)とψ(r)eiθは同じ状態を意味する ψ(r)は有限一価連続である（行儀がよい） ある固有値にn個の固有関数が縮退している 時、それら任意の一次結合もEに対する固有関 数であり、そのうちのn個が一次独立である。 波動関数ψ(r)の二乗は粒子が存在する確率に 比例した値である（ボルンの確率解釈） 規格化された波動関数ψ(r)の二乗は粒子が存 在する確率をあらわす（規格化）∫
|ψ(r)|2dv =∫ψ(r)*ψ(r)dv = 1 規格化：上式を満たすようψ(r)の係数を調整する∫
ψi(r)*ψ j(r)dv = 0 規格化直交系 クロネッカーのδijH1ψ1(r) = E1ψ1(r) H2ψ2(r) = E2ψ2(r) の時 演算子H1 + H2の固有値はE1 + E2 でその固有関数はψ1(r)ψ2(r) 【便利】 【注意】 ^ Hψ(r)ψ(r) * = Eψ(r)ψ(r) * ^ Hψ(r) ψ(r) * = ψ(r) H^ ψ(r) *
波動量子力学における波動関数がもつ意味（２）
^ Hψ(r) = Eψ(r) 固有値Eは観測可能な実数 ^ Hψ(r) = ψ(r) *Eψ(r) ψ(r) * ^ H ψ(r)dv =∫
ψ(r) *Eψ(r)dv∫
ψ(r) * = E∫
ψ(r) *ψ(r)dv = E = <E> <E> =∫
ψ(r) *H^ ψ(r)dv Eの平均値 固有値の平均値 演算子一次元箱型ポテンシャル中の粒子のふるまい
0 x U(x) U = 0 U = ∞ U = ∞ a １個の粒子が１次元箱型ポテンシャルの中でx軸 方向に一定のエネルギーEで運動している m H^ψ = Eψ シュレディンガーの方程式は – 2mE h2 d2ψ(x) dx2 = ψ(x) – 2m h2 d2ψ(x) dx2 = Eψ(x) 境界条件 ψ(0) = ψ(a) = 0 微分方程式 これを解く Enx = h2 8ma2 nx2 ψ(x)= (2/a)1/2sin a nxπx 固有関数と固有値（解けた！） 一般解 ψ(x) = A cos kx + B sin kx k = [ 2mE ]1/2 h2 境界条件より A = 0 ka = nxπ 規格化より ψ(x)= B sin a nxπx B = (2/a)1/2 三角関数の微積分チェック一次元箱型ポテンシャル中の粒子のふるまい
Enx = h2 8ma2 nx 2 ψ(x)= (2/a)1/2sin a nxπx n = 1 n = 2 n = 3 n =4 E1 = h2 8ma2 E2 = 4h2 8ma2 E3 = 9h2 8ma2 E4 = 16h2 8ma2 ψ(x) ψ2(x) 0 a 0 a 固有関数 固有値 固有関数の二乗 粒子の存在確率と位相の概念を視 覚化したもの + – – + – + + + + – ψ2(x) = 0 node 節 粒子の存在確率０ 節の数 n – 1 概念図二次元箱型ポテンシャル中の粒子のふるまい
(nx, ny) (1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (1,3) 2E0 5E0 8E0 10E0 x y 0 a a Enx,ny = h 2 8ma2 (nx 2 + n y2) E 0 = h 2 8ma2 E = Ex + Ey ψ = ψ(x)ψ(y) H = Hx + Hy H^ψ = Eψ ^ ^ ^ ψ(x)= (2/a)1/2sin a nxπxψ(y)= (2/a)1/2sin a nyπy
三次元箱型ポテンシャル中の粒子のふるまい
Enx,ny,nz = h 2 8ma2 (nx 2 + n y2 + nz2) E = Ex + Ey + Ez ψ = ψ(x)ψ(y)ψ(z) H = Hx + Hy + Hz H^ψ = Eψ ^ ^ ^ ψ(x)= (2/a)1/2sin a nxπxψ(y)= (2/a)1/2sin a nyπy ^ ψ(z)= (2/a)1/2sin a nzπz (1,1,1) 0 x y z a a a x y 0 a a projection (1,1,2) (1,2,1) (2,1,1) (1,2,2) (2,1,2) (2,2,1) ３重縮退 degenerated E1 = 3E0 E2 = 6E0 E3 = 9E0 ３重縮退 degenerated
