【論 文】 UDC ：624
．
02 ：624．
04 日本建築学会構造系論文報告集 第 363号・
昭 和 61 年 5月水
平
力 を
受
け
る
弾性 平面
建
築 骨組
の
ひ
ず
み
制御設 計
正 会 員 正 会 員中
小
村
坂
恒
郁
善
＊夫
＊ ＊1．
序 建 築 骨組の構 造 設 計におい ては，
設 計 者の経 験に基づ い た部 材 選 定と逐 次 改 良 手 続きにより種々 の設 計 条 件 を 満 足さ せ る設 計 手 法が多く採 用さ れて い る。
これに対し て， よ り合理的な設 計を行う目的か ら，
種々 の制 約 条 件 下の最 適 設 計 法 や 全 応 力 設 計 法 な ど が 展 開されてき た3〕−
6 ）。
これ らの手 法の多く は，
さまざま な制 約 条 件 下 の骨 組に対し て も計 算 機を用い て一
般 的に取り扱え る こ とを目標と し た数 理 計 画 法に基づ く数 値解析手 法で あ る。
一
方，
解析 的手法を用い て誘導さ れ る閉 形解は，
限ら れ た範 囲の設計条 件に対し て の み有効で は あ る が，
そ の ま ま構造 設計に適 用できる。
また閉 形 解は，
設計問題の 基 本 的 特 性を表 現してお り，
種々 の制 約 条 件 下の設 計 理 論の展 開に活用でき る。 本論文著 者の中 村 恒善ら は，
解 析 的手法を用い て各種の弾性・
塑性 最 適 設計問題の陽な 閉形 解 を 多 数 提 示して き たT｝−
13） 。 ま た，
最 適 設 計の閉 形 解を利 用し た地 震 時 局 所 応 答 （層 間 相 対 変 位，
部 材 応 力） の制 御 法の展 開 も行っ て い るη・
s｝・
1°）。
そ の解 表 現を利 用 して， ある範 囲 内の ひずみ制 御 を行 うことができること も示 して い る。
なお，
設 計 用 荷 重 下の節 点 水 平 変 位 を指 定 し た ラー
メ ンの 剛 性を求め る問 題の近 似 解 法は田中 尚， 中 村 雄 治 6＞によ り提 示さ れ てい る。
応 答 制 御 理 論の一
つ として， 最 適 設 計 理 論の形 式 を採 用せ ずに，
各 部 材に生じる最 大ひずみ （応 力 ）値を直接 指 定す る ひずみ制 御 設 計 理 論 が 考え られ る1）・
2〕。
こ の 方 法によれ ば，
は り，
柱の最 大ひずみがすべ て同じとな る 骨 組や，
は り の最 大ひずみ に比べ て柱の最 大ひずみが小 さ く なる骨 組 （は り降 伏 型 骨 組 ）など， 設 計 者の希 望す るひずみ条 件 を満たす 骨 組 を 直 接 的に見い だすこと がで きる。
こ れ まで にも，
全 応 力 設 計と通 称され る数 値 解 析 手法に よ る ひずみ制御理論は提案さ れ ている5｝ が， 解析 的 手 法 を用い て ひずみ制 御 設 計 問 題の閉形 解 を誘 導し た もの は な い。
本 論 文の概要の一
部は参 考 文献 1＞，
2）に 発表し た。
寧 京 都 大 学 教 授Ph．
D，
工博 帥 京 都工芸 繊 維 大学 助 手・
．
T．
修 ｛昭和 60 年 6 月 10 日原槁 受理 ） 本 論 文で は，
静 的 水 平 力 をう け る弾 性平 面建築骨 組の 各 部 材に生じる材 端縁ひずみ （応 力）値を直接 指 定 する ひずみ制 御 設計問題 とその閉形 解を提示す る。 さらに，
ひずみ制 御 設 計 解の基 本 的 特性を明ら かにす る と とも に， 閉 形解とそ の誘 導 手 順が層間相対 変位制御設計問題 などの種々 の変 位 制 御 設 計 問 題の解 法に適 用で き ること を示 す。
ま た， 閉 形 解 を 用い た設 計 例 も示す。
な お，
解 析 的 手 法に は箱型ラー
メンの設計解の重ね合わ せ手法を 用い た半逆 的解法7圃 を採用す る。
制御用材端縁ひずみ と して は曲 げモー
メ ン トにより生 じ る材軸方 向ひずみ の み を対 象とす．
る。 曲げひずみのみを 考 慮 したひずみ制 御 設計法で も， あ ら か じ め，
軸 力に よ り生じ るひずみの予 想値を 差 し引い て曲げひずみ を指 定す る こ と により，
多 くの応 答 制 御 骨 組の設 計に役 立て る ことが で きる。
また，
軸力に よ るひずみの予 想 値 を逐 次修 正 し，
本 設 計 解 を繰 り返 し用い ることに より軸 力による ひずみ を も考 慮し た ひずみ制 御 骨 組の設 計に役 立て る こと もで き る。
な お， 水 平 力に よ り生 じ るひずみ と同 時に水 平 力 以 外の荷 重 （長 期 荷 重な ど）に より生じ る ひずみ も制 御する設 計 法 は別 途 取り扱 う ものと する。
こ の場 合でも， 組み合わ せ た ひずみ の内で水 平 力によ り生 じるひずみの比率が大き い場 合に はあら か じめ水 平 力以 外の荷 重によ り生じる ひ ずみの予 想 値 を差し引いて本 設 計 解の ひずみ指定を行う ことに よ り， ある程 度の ひずみ制御設計を行うこと がで きる。
さ らに， こ の よ う な 閉 形解導 出手 順は，
多設 計 荷 重 条件を考慮に 入 れ た実用 設計法11 ）−
13〕の展 開に おい て も有 用であり，
この閉 形 解は その 際の一
つ の基本解と し て の役 割 を果た す もの と期 待さ れ る。
2．
建 築骨組の ひずみ制御 設計問 題 建 築 物の構 造 設 計に おいては，
建築計画上の要求など か ら建 物の層 数， 階 高， スパ ン長 な どの部 材 中心線 形 状 が あ ら か じ め指定さ れ る場合が多い。 さらに，
建 物の用 途 上， 施工上な どの制約か ら部材せいが指 定さ れるこ と も多い。
こ の よ う な条 件の下で は， 骨 組の部 材 剛 性 や 部 材 断 面 をい か に選 定す る かとい うこと が設 計 問 題と な る。 部 材せいが指 定さ れた場 合に は， 長 方 形 断 面 部 材で は部材 幅を，
H形 断 面や箱型断 面の部 材で は部 材 幅や 肉 厚 を 選定す ることにな る。一
1
一
Hf 一 → θ 」 → → Hl → NodeCj
，
k丿 ← 11一
爿《一一
→｛← 1k→k− ・
・
・
…
→ ←−
1，一 図一
1 不 辱非
…＊
↑
糸
馬 ま R 図一
2 Flk 本 論 文で は，
図一
1に示す よ う な部材中心線 形 状と部 材せ い が指定され たf
層 S スパ ンの弾 性 平 面 建 築 骨 組 を対 象と し，
設計用水平力に よ る全 部 材の材 端 縁ひずみ が そ れ ぞ れ指 定 値と な る よ うに部 材 曲げ剛 性を選 定する 設 計 問 題 を取 り扱 う。
曲 げ 剛 性が定ま れ ばそ れ にとも なっ て部 材 断 面 も定 まる （7 章 ）。
第 」層の階高 をh
，， 左か ら κ番目の スパ ン長 をln
と する。
ゴ層の左か らh
番目の は り，
柱を そ れ ぞ れ （ノ，
h
） は り，
（ノ，
h
）柱 と 呼ぶ。
地 中は り は （0，
k
）は り である。
（ノ，h
）は り， （j
，
h
）柱の曲げ剛性を そ れぞれK
」，
k，
JJ，
h とし， 部 材せいを2d
睇，2dCJ，
s と す る。 長さ部 材せい 比 〜犀／2d 蹴，
h
，／2dCSt
をJLBJ，
t，
λCi．
κで表す。 部 材 断 面は 上下 対称で部材せい の み指定さ れて いる。
第j
層に作 用す る水平力 をH
，と し，
図の向きを正とする。 こ こ では，
伸びな し変形の仮 定に基づい た理 論 を構 成 し， 曲げ変形によ る全 部 材の材 端 縁ひずみ値 を制御 変数 と す る。
骨 組の変形は，
図一
2の よ うに節 点 回 転 角e
、，
． と柱 部材角R
，に より表 現で き る。
た わ み角 法 を適 用 することによっ て， 材端縁ひずみ，
材 端モー
メ ン ト，
節 点 回 転 角，
柱 部 材 角の間の関 係が以 下の よ うに表現で き る。
な お，
は りの制 御用 ひずみ と し ては，
材 端に時 計 回りの モー
メ ン トが 作 用し た と き に引 張り が生 じ る側の材 端 縁ひずみ を， 柱の制 御 用ひずみ と して は，
圧縮が生 じ る側の材 端 縁ひずみ を採用 す る。
（は り左 端 縁ひずみ〉 εS
」，
rc＝
（2 ef，
s十θ」声＋1）／λeJ，
h・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
…
一
・
（1 ） （はり右 端 縁ひずみ ） ε昌J，
t＝ （ej，
t十2θi．
k＋ 且）／λeJtiC・
・
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
1・
・
（2
） （柱 上 端縁ひずみ） ε9J
．
k＝一
（2
e」、
k十一
Uk− 3R
」｝／λc丿，
k・
・
・
・
…
−t・
t−・
（3） （柱 下 端 縁ひずみ ）εおJ
，
s＝一
（eJ，
k十2e，一
，，
k−
31〜i）／XCJ
，
t・
・
・
・
・
・
…
rr・
・
（4） （は り左 端モー
メ ン ト＞ Mks，
h＝K
，、
薦εk
，．
k／〔IB
」．
k・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
…
9・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5） （は り右端モー
メ ン ト） M 餐丿，
，
k＝
κ丿，
h εth
，
it／dB
」，
h・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（6） （柱上端モー
メ ン ト＞M
ぎA魔＝− J
」，
hε， VJ，
iC／d
，」，
，・
・
・
・
・
・
…
−s・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（7
） （柱下端モー
メ ン ト）M
＆，
，；− J
」，
kεtSh
／dc
」，
k・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（8
） （節点 方 程 式＞M
螽J．
h十M
§」．
k＿
1十M
ぎA尾十M3
，＋］、
k＝0 ・
『
・
・
・
・
・
・
…
（9
》 （層 方 程 式）か
一一
韓（
蹤 ・ 髭走
鞠
・
・
……・
………・
（1・）（1 ）
，
（2 ），
（5），
（6）は そ れ ぞ れ （∫＋1）8 個，
（3），
（4），
（7），
（8
）は そ れ ぞれf
（s＋1
）個，（9
）は（f
＋1
） （s ＋1）個，
（10）はノ個の式 を表 す。
す な わ ち， （1 ）一
（10＞は合 計9fs ＋6f ＋5s ＋1個の式 を表現 して い る。
通 常の解析 問 題は，
部 材 曲 げ剛 性 を与えて変 形 （応 答） を求める問題で あっ た。
これに対し て，
ひずみ制御設計 は，一
部の材 端 縁ひずみ値 を指 定して残りの変形量 お よ び部 材 曲 げ剛 性 を定 める解 法である。
こ こで は部 材 曲 げ 剛 性を既 知と せ ず，
〔1）〜
（10）式 をそれぞれ の変 数 間 の 関 係 式とみ な す。 最 適 設 計 問 題7）一
’
9 ）で は1 部 材に 1個の最 適 性 条 件が課 せ ら れ る の に対応して，
こ こ で述べ るひずみ制 御 設 計 問 題で は1部 材につ い て 1個の材 端縁ひずみ の指定条件を 対 応させ る。 は りの左 端 縁ひずみ ε飯 と柱の下端 縁ひ ず み εきJ，
inを指 定 値と する ひずみ制 御 設 計 問 題 を 以 下に 示す。 【問題SCD
11 図一1
の よ うに部 材 中心線 寸 法の指 定さ れた弾 性 建 築 骨組につ いて， 制 約 条 件 ： ε毒Sic＝
＝
EEJ，
k （j
＝
o〜
∫，
k＝
1〜
s）……
（11−
a） ε晦＝
ε、，、
k （ノ＝
1−
∫，h−
1−
s ＋D
’
9’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
”…’
’
’
’
”1”・
（11−
b）一 2 一
H1 → κ1
，
12d 日1，
1 J1，
12d匚
11
，
κ0，
12d 日ロ，
1 ゐT⊥
K−一一一
ll− 一一
到 図一
3 丿1，
2 2dc1，
2 の下で，
方 程 式 （1 ）〜
（10
）が満たされ る よ う，
以 下 の 変数を見いだせ。
変 数 ：KJ
，
t， Mk ，．
，，M
§J，
1，
ε＃」，
iC それ ぞ れ げ十1
）s 個みh 屑乙調
M2
丿．
κ，
ε＆it そ れ ぞれ （s＋1）f
個 ei，
it （f
＋1 ）（s＋1
） 個 鳥f
個方 程 式と末 知 数の個 数 は そ れぞれ同数 （
9fs
＋6f ＋ 5s ＋ ユ個 ）であ る が， （1）〜
（10）式は非線形 連 立 方 程 式となり，
そのま ま解くこと は因 難であ る。 また，
制 約 条 件の ひずみ指 定 値の与え方に よ り， 解が存 在 する場 合 と し な い場合が あ る。 数 値 解 法で は， あ ら かじめ解の存 在の有 無を確か め ることは困 難で あり，
上記の問 題に対 し て は 必ずしも有 効で はない。 本 論 文で は半 逆的解法を 用いて， 必ず解が存 在し， かつ 重 要と思わ れる制約条件 を 組み 込 ん だ設 計 問 題 とその設計解を同 時に見い だ す （3，
4章 ）。
3．
箱型 ラー
メ ンの ひずみ制御設 計 こ こで は，4
章の 多 層 多スパ ン ラー
メ ンの設 計解の構 成要素と な る箱 型ラー
メ ンの ひずみ制 御 設 計解を誘導す る。 そのため，
水 平 力作用時に左 右 逆 対称に変形す る箱 型 ラー
メ ン，
すなわ ち，
左右の柱の曲げ 剛 性 が同一
であ る （柱 断 面せ い は異なっ ても よい ）箱 型ラー
メ ンを対 象 とする。 こ の設計解は一
層一
スパン ラー
メ ン の設 計に直 接 適 用する こと もで き る。
図
一
3に示す よ うに，
水 平 力 をH
、， 階 高 をh
，， スパ ン長 を1
、，
は り せいを2deu ，
2dm ．
t，
柱せ いを2dCia，
2d 。i，
2，
は りの曲げ 剛性を Kl．
，，
K。，
i，
柱の曲げ剛 性をJ，．
、， J，，
2 （＝
J，，
，）とする。 ラー
メ ン の 変 形は図一
4に示 す よ うに 2個の 節 点回転角 θ1，
θ。 と1個の柱部材 角 R1 で 表現で き る、
曲 げモー
メ ン ト図，
曲 率図 も 変 形図と同様 に左右逆対 称 （図一
5）と なる。 部 材の曲 げ剛 性 が 左 右 対称であ り，
変 形が左 右 逆 対 称 で あ るの で，
たわみ角 法では左半分を考え れば よい。
こ の場 合には，
（1）一
（10 ）式は （12
）〜
（24）式とな る。
（上 ば り材 端 縁ひずみ ）ε
ki
，
i＝ ε昌 i．
i＝
3θ，／λ，…一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
…
（12） （下 ば り材端縁ひずみ ） ε孟otl
＝
ε譯o，
匸＝3
θ0／λBO，
1・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t・
・
一
・
一
・
tt・
…
（13
） （左 柱上端 縁ひずみ ） 図一
4A −
》 θ 1 LK 臼1 1，
・111
■
曲 率図 LKc1，
1 KBO 1，
L εB1 1，
ε C1，
1 縁 歪 図 L εC1，
1 εBO 1，
図一
5 MRB1，
1 〃凵 ε1，
2吃
2 MR8D，
1KRB1，
1 ・・E1
，
2 2LCK RKBO，
1R ε Bl，
1 εu こ1，
1 L 匚 ε R ［ 日D，
1εぎ1
，
！＝一
（2
θ，十θo− 3R1
）／λcr．
】・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（14 ） （左柱下 端縁ひずみ ）
ε＆
、
i＝一
（θ，十2
θo−
3R ，）／λCi，
1・
・
・
…
一・
・
…
−a・
一
・
（15）（右柱上端 縁ひずみ ）
’
ε韋1
、
2；一
（2
θ ，十θ，−
3R ，〉／λc1，
2・
・
・
・
…
一
・
・
・
・
・
・
・
…
（
16
） （右 柱 下 端縁ひずみ）ε
ki
、
z＝一
（θ1 十2
θo−
3R1）／h
，、
27P7マ
ー・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（17）
（上ばり材 端モ
ー
メ ン ト）M
螽，、
【＝M2
，．
】＝K
，，
、ε螽i、
1／dm ，
i………・
…・
…・
…
（18）（下ば り材 端モ
ー
メ ン ト）MkD
，
1＝Mk ，
1＝Ko．
iEko，
i／deo，
1・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
…
（
19
）（柱 上 端モ
ー
メ ン ト）M9
■：
Mg
，，
・＝− J
，、
Lε＆1
，／dc
、，
置……・
・
・
………
（20） （柱 下端モー
メ ン ト）M
と，n＝
M き，，
，＝
＝− Jl．
、εさ、，
1／dc
，，
1………
（21） （節点方程 式 ）Mk1，
，十〃91
」＝0 ・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r
（22）M
齢，
，＋Mk ・、
1＝O ・
…・
…・
………− t・
……
（23） （層 方 程 式）H1
＝−
2（M
呂u 十M
き】、
置）／1L
ゼ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t−・
・
…
（
24
）箱 型ラ
ー
メ ンの ひずみ制 御 設 計 問題は以下の ように述 べ ら れ る 。一 3 一
【
問 題SCD2
】 図一3
に示す箱型ラー
メ ン につ いて制約条件 ： ε盍、
，
、； EE、．
、 （＞0
）・
・
…・
…………・
（25−
a）ε詣叩
＝
EDD，
1〔＞0）
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（25
−b
）ε
ki
，
コ＝
ECi，
1（＞
0
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
4−・
・
…
（25
−
c） の下で，
方程式 （12 ）一
（24）が満た さ れ る よ う，
以 下 の変 数を見い だせ。
変 数 ：
K
、．
、，K
叫L，Ji，
，，M
勧，
配翫、，
M
翫，M
き1．
、 θ1，
θo，
R1
， εぎ，，
1，
eX］，
t，
εt1
，
2 ま た， 曲げ剛 性K
、，
1， K。，
t， J、，
1 が 正 と な る た めの制 約 資 格 条 件を導け。 上 記の 問 題SCD
2は非線 形連 立 方 程 式と な る が，
以 下の よ うに代 数 的に解くこと ができ る。（12 ）， （13 ）， （15） 式に （25 ）式を代入 す る と
，
θ，，
θ。，R
，が 以 下の よ うに表さ れ る。
b
，ニλ
Bl，
1EBI，
1／3・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（26） θe＝ λBO
，
iEeo，
，／3・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（27）
R
，＝ 2λeo．
tEeo，
i／9
十JLB1；Eei，
i／9
十ACi．
i ECi、
L／3…
（28）3個の 材 端 縁ひずみ を指定する こ と に よっ て， ラ
ー
メ ン の変形が定まっ た。
（26 ）〜
（28 ）式 を（14
），
（16
），
（17）式に代 入 すること に より，
指 定さ れ ていない柱 材端縁ひずみ ε撫 ， ε撫， ε撫 が以 下の よ う に表さ れ る。
ε
91
，
t＝一
（λm、
1／3λ．
，，
1）EBI，
1十（λm，
1／3λCi，
i）Eeo，
i 十 ECin・
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
…
（29 ）εぎt
，
2＝一
（λei，
i／3λc1，
1）Eeta十（λBO，
t／3
λCi，
！）Ese，
1十（λc］a／λCi
，
：）ICi，
i・
・
…
韓・
…
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
30
）ε
tl
．
z； （ACi
、
t／Mi，
z｝ECi，
i’
一 …・
…・
・
・
・
・
・
…………
（31 ）次に
，
（25）， （29）一
（31）式 を （18）一
（21 ）式に代入 し ， さ ら に そ れ らの式 を （22）一
（24）式に代 入 する ことによ り部材の曲げ 剛性が 以 下の よ うに表 され る。− 3hlH
，・
…
（32 ＞ Jl，
、＝
4（λ81
、
tEei，
1一
λBO，
liM，
1− 6
λCtaEci．
1）1
，h
，H，（λ召1、
1
ε8且，
1一
λm，
1EBO、
且一3
λCi，
iEq，
1）K，
、
1＝
Ko．
i＝4λoe
，
】EBi，
i（）LBi，
iEBU一
λm，
iEBO、
且一
6λCi，
iECi ＃）tt・
・
・
・
・
…
tt
・
・
・
・
・
・
…
J・
…
一
一
・
・
・
・
・
…
（34
）求め ら れ た曲 げ剛 性が負の値と な る場 合に は現 実 的な 骨 組 の設計 解と し て意 味が ない
。
（32 ）〜
（34）式で表される曲 げ 剛性が 正の値と な る た めに は， 制 約 条 件の ひず
み指 定 値が以 下の （
35
）式 を満 足 する必 要がある。4
λB1，
匸EE巳，
章（λB置，
LEB 且，
1一
λ召¢，
iEBO，
且一
6λCinlci，
1）
・
…・
……・
・
……・
・
………
（33
）− 3
），，
，t
，h
，H
、ECi、
置制 約 資格 条件：
一
（λerp ／3
）Eet，
1十（PLBO
．
t／3）EBe，
1十 λCialcI，
置＞0
………・
・
…・
……・
・
…
（35
）一
4
一
次に， （26）
一
（28 ），
（32
）〜
（34
）式 を （18｝〜
（21）式に 代入 すれ ば，
材 端モー
メ ン トを指 定ひずみ値を用い て表 現する こと がで き る。
以 上の よ うに，
左右の柱の 曲 げ 剛 性が同一
で ある箱型 ラー
メ ンの応答ひずみ制御 設 計解の 閉 形 表 現が求まっ た。ま た
，
上 記の （26）〜
（28）式か ら ひずみの指 定 値と節 点回転 角，
部 材 回 転 角と が直接 対 応して い ることが わ か る。
それ ゆえ， 箱 型ラー
メ ンの ひずみ制 御 設 計は，
節点 回転角，
部 材 回 転 角を指 定し た変位指定 設 計とみなすこ と も で きる。
4．
多層多ス パ ンラー
メ ンの ひずみ制御 設 計の基 本 解 こ こで は3
章の箱 型ラー
メ ンの設計解を構成要素と す る多 層 多スパ ン ラー
メ ンの ひずみ制御設計問 題と その閉 形 解を誘導する。
こ の閉 形 解はさ ま ざ ま なひずみ制 御 設 計の閉 形解を誘 導する際の基 本と な るものであ る7｝一
］31。
なお， 設 計 問題 と その閉形 解の誘 導に は半逆 的解法V−
g｝ を採用 する。
半 逆 的 解法は，
2 章の 設 計 問 題SCD
1
の よ う に非 線 形 連 立 方 程 式と な り その ま ま解くこ とが困 難 な問題の一
定の範 囲の解 を捜す 場合に有効であり， これ に よ り， 解が存 在する場 合の制約条 件と その設 計 解の集 合の う ち で， 比 較 的 重 要と思わ れ る範囲の制約条 件とそ の設計解を 誘 導す
る こと がで き る。 こ こで採 用す る半 逆 的 解 法の詳 細につ い て は参 考 文 献7）〜9
）に述べ られ て いる の で省略す る。
設計問 題は以 下の
SCD
3
と な る。 問題SCD
1
に は解 が存 在し ない こ と が ある の に対し て，
ひずみ の指定 方 法 がさ らに限定さ れ た問題SCD
3
に は必 ず 解が存在する 。 【問題SCD3
】 図一
1に示 す 弾 性 建 築 骨 組につ い て，
制約 条件 ：ε
k
＾尸 ε§∫1尸 ・、／x，，．
， （ノ＝
oイ ，k＝
1−
s）・
…
tS−t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（36−
a）ε島
、
陀＝
β，／λC 」，
（プ＝ 1
〜
f
，
k
＝ 1〜
8 ＋1）”鹽
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
”t’
’
”tttt
・
（36−
b）［
諜
畿
馨
1
驫
・一ヨ
の 下で， 方 程 式 （1）一
（10
）が満た さ れ る よ う，
以 下 の変 数 を見いだせ。 変 数KJ，
it，
Mk
，，
，，
MZ
，．
， そ れ ぞ れ げ＋1）8 個 み陀，
蹤＾il，
M
と油 ε9
从 内 丿 防R
それ ぞ れ （s＋1）ノ個 （f
＋1）（s ＋1）個f
個前 章で は ひずみ の指 定 値その ものを 制 約 条 件で与え た が， こ こ で は （36） 式の よ うに αJ
，
B
」とい う係 数を介して ひずみの指 定 を行う
。
同一
層の部 材の ひずみ がltBJ
．
k， λ。」，
ilに逆 比例して指 定さ れ ることに な る の で， 軸 力に よ る ひずみ な ど を考 慮して各 層ごとに特 定の は り， 柱の曲 げひずみを指定す れ ば aJ，
β，が定 まり， 残りの ひずみ指 定 値も定ま ることになる。上記の問 題
SCD
3 は非 線 形 連 立 方 程 式 とな り ， 代数 的に解くこと は困 難であ る。
こ こ で は， 以 下の手 順で解 を求め る。
（
1
），
（2
），
（36−
a＞式 より ， は りの材端縁ひずみの 指 定が満た さ れ ると きの節 点 回 転 角は次 式と な る。 e」，
lt＝
θ，＝
α丿ノ3・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
一・
・
…
一・
・
一・
・
・
・
・
・
・
…
（37） 同 様に柱 部 材 角は （4）， （36−b
）， （37
）式よ り次 式と な る。
R，＝
＝
2aJ−
，／9
十α，／9
十β，／3 ・
……・
…・
…・
……
（38｝ 柱 上 端 縁ひずみ ε9
劫 は， （3
）， （37
）， （38
）式より次 式 と な る。
・ト
か
・・−
a・一
・／・一
…1
……・
一 …
（39 ）’
こ のように，
問 題RCD
3
は，
ラー
メ ン の節 点回転 角 が各 層ご とに同一
と な るよ うに変位が指 定 さ れた変位指 定設 計 問題とみ な すこともでき る。（
36−
a，
b
）式 と （25）式の ひずみの指定 方 法の対 応か ら， 多 層 多ス パ ン ラー
メ ンの （j
，k
），
（j
−
1，
k
）は り ，（j
，
k
）， （j
，
た＋1）柱で囲 まれ る 四角形の変 形 （（37 ＞， （38
）式） と3
章の箱 型ラー
メ ンの 変形 （（26 ）〜
（28） 式 ）が その ま ま対 応 する。
次に， （
j
，h
）， け一1，
k
）は り，
（ノ，
h
），
（ゴ，
h
＋1） 柱で囲 まれ る 四角 形と同じ変形 をする箱 型ラー
メン の設 計 解 を 使い， これ を重ね合わせ る。
す な わ ち，
水 平 力H
聾の作 用 下で節点回 転 角が θ，，
θ，−
t，
柱部 材 角がR， とな るスパ ン長1
，，
階 高 h ，の箱 型ラー
メ ン （は り ひず み が （36−
a） 式，
柱 ひずみが （36−b
）式と な る）の 設 計 解 を採用す る。 （36−
c）式は （35
）式に対 応 し て お り， 箱 型ラー
メ ン の設計解は必 ず存 在す る。
箱型ラー
メ ン の 柱 曲 げ剛性 」覧，
」熱 1，
は り曲 げ 剛性K
聾，
K真い は， 3 章よ り以 下の よ うに表せ る。 胴 鉱 ・一
、（。需
饗
き
B
，）…・
…………
（・・）K
聾一
（α瑞
1
≡
島
讐醗
一 ・
……・
・
…
（・・） K・．
，，
・一 、。三
灘 1
譬
き
。、……・
…・
……・
（… 同 様に，
箱 型ラー
メン の 材 端モー
メ ン トは 以下の ように 表 せる。M
跳＝
〃 昼五；− 1
しf
畿魔＝− M
臨刊＿
（α」−
aJ＿
1− 3
β丿）島H
錦一
2（。 厂 。，一
、− 6
β、）…
1
”… … ’
（43）M
鎮晒 孟 M 膝耽＝−
1暁齢＝− M
繊．1一3fi
，h
丿」1
圭勘＝
2（。 ，一
。 ，一
、− 6
、B
，｝’
… ””… …
（44
） （40 ）L （44）式 を重ね合 わせ る （加 算す る）ことに よ り 多層多ス バ ン ラー
メ ン の部 材 曲 げ剛性，
材端モー
メ ン ト が 以下の よ うに表せ る。
重ね合わ せ は，
曲 率 分 布 とたわ み曲線にっ い ては図形 を重ね ることであ り，
曲 げモー
メ ン トと曲げ剛 性につい て は加 算 を意味す る7）−
9｝。
（曲げ剛 性 〉 蘇一
譜
響
高
轟
∂ 2（a」一
α J−
1−
6β丿） （」＝
1−
∫，
k
＝ 1〜
s十1
）一 …
（47 ）−
3β丿h，（H 圭κ＿
且＋H
茸∂M
」，
，＝
2
〔a丿一
aJ＿
1− 6
戸し〉 （j
＝1〜
f
，
産＝1〜
s 十1）・
4■
一・
■
（48）（α ，
−
aj＿
置一
3β，）九，Hr
．
，ME
，，
，＝M
餐Sh＝2
（α」−
aJ−
1− 6
β丿） 3 β丿＋1ん，＋LH 艶卜、，
階 （α∫＋
1一
α，− 6
β，＋
聰〕 （ゴ＝O〜
f
，k＝1〜
8）・
・
・
・
・
…
■
a−
（49）（ただし
，
（45
）〜
（49 ）式に お い て，
H 狂，
Hr ＋
、
，
iC，
H ゐ，
H
ゐ＋1 は0と する）（
43
）， （44
）式の材端モー
メ ン トは箱 型ラー
メ ン の節 点 方 程 式 （（22
），
（23 ）式 ）をすで に満 足し てい るの で，
重ね合わ せ に よ り作 成さ れ た多層 多ス パ ンラー
メ ンの材 端モー
メン ト 〔（47 ＞〜
（49）式 〕は節 点 方 程 式 〔（9
）式〕 を 自動 的に満足 する。
多層 多ス パ ン ラー
メ ンの層 せ ん断 力は箱型 ラー
メ ン の層せ ん断 力の和 とな るの で， （10
） 式の層方程 式は （50
）式の よ うに書 きか え ること が で き る。
（51
）式は （40 ）一
（42）式の箱 型ラー
メ ンの部 材曲 げ 剛性が 正 と な る た めの条 件である。
s ノΣ 碑鳶
＝Q
，＝
・
Σ H，……・
………
（50
） k＝
1 t＝
JH
資勘＞0・
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
51
）問題
RCD
3 の解が （37）一
（39＞，
（45）〜
（51 ）式の よ うに求まっ た。1f
齦は （50
），
（51）式を満 足すれば， 任 意に選 択で き る。
（40
）〜
（42
）式の曲げ剛 性が負 と なっ て も，
重ね合わせ によ り作 成さ れた
（45 ），
（46＞式の多 層多ス パ ン ラー
メ ンの部 材 曲 げ剛性が すべ て正の値と な れ ば よい ことを 考えると，
制 約 をゆ る め て， （51
）式の 代わ りに （45 ）， （46
）式の曲げ剛 性がすべ て正 とな るこ（ノ＝
1−
f
，
h＝
1〜
8−
←1）・
・
・
・
・
・
・
…
（
45
）（αJ
−
a丿＿
、−
3β，）1
，h
∫H黄
，K
丿，
k＝
4
α丿（α 丿一
αゴー
L一
ββ∫〕 3 β丿 刊 哉ん∫＋ 、H 糞11鳶 4 α丿（α丿＋1−
aJ− 6
βJ＋
1） （ノ＝0〜
ノ鹽
， た：＝1−
s）・
・
一・
・
・
・
・
・
…
《46） （材 端モー
メン ト）（α ，
一
α 」一
、− 3
β，）ん，（H
貰配＿
鹽＋H
蛮鳶） 〃9
＾魔＝一
5
一
と を
H
臨の条 件と する こと もで きる。
実 用上は， 軸 力 や水平力以外の荷重などに よ り生じる ひずみ と，
水 平 力 に よ り生じ る曲げ ひずみ との比 率な どが適 正とな る よ う，H
弧に最 小限度をも う けて， （51 ）式の代わ り に次 式と す る の が よい と思わ れ る。
H
蛮髭≧Hj，
陀＞0・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
●
・
・
・
・
・
…
一
…
一・
・
一
（52 ）H
聾の選 定につ い ては，5
章で も述べ る 。 上記は多 層 多ス パ ンラー
メンの ひずみ制御設 計の基 本 解とな るもの で，
その ま ま現 実の設計の初期設計と し て 用いることも可 能で あ る し，
さ まざま な条件下の設計解 へ と展 開す ること もでき る，
な お，
柱下 端縁ひずみの代 わ り に柱上端 縁ひず み，
ま た は，
大 き なひずみ が生じ る 側の縁ひずみを 指 定 する設 計 問 題 を 設 定 するこ ともで き る。
こ の場 合の設 計 解 も （12
）一
（52
）式と同様の手順で 誘導する こ と が で き る。
5．
．
ひずみ制 御 設 計 解に おけ る水 平 力 分 担 率の最 適 化 問題SCD
3
の設 計 解にはH
振の選 択に 自 由 度が残さ れて いる。 こ こで はH
聾を 選 定 す る た めの一
つ の指 標 を得る ために，
（53）式の 評 価 関数7｝−
9）を導入 し， 4章の 設 計 解の範 囲 内で の最 適 化 問 題 を 設 定す る。
こ の問 題の 解の形で H 紮の選 定 指 針を示す。
評 価 関 数 ：w 一
踊
絵
・謡
驃
・
・
：一 ・
一…
（・3） W は部 材 を 理 想化サン ドウィッチ断 面と し た場合の ラー
メ ン の全 鋼 材 量 （体積）に ヤン グ係数を乗じ た 量を 表してい る。
鋼 構 造ラー
メ ン の 多く がH
形断面や箱型 断 面の部材で成り立っ でいるこ と を考え る と，
上記の評 価 関数を採用し て得ら れ る結果も十 分有用であ る と思わ れ る。
．
最 適 化 問 題を次の ように述べ ること がで き る。 【最 適 化 問 題SCOD 】
設 計 問 題SCD
3
の解 （（45 ），
（46
）式の曲げ剛性 ｝に つ い て， 制 約 条 件 （50），
（52 ）式の もとで，
（53 ）式 の評価関数 を最 小にするH
聾の集 合 を 見いだ せ。（45 ）
〜
（49 ）式
は箱型ラO メ ンの設 計 解 （3章 ）の重 ね合わ せ に よ り作 成さ れ た。
その た め，
（53
）式の評 価 関数 も 箱 型 ラー
メン の評価関数の重ね合わ せ とし て表現 できる。
ノ s 曜＝ Σ Σ 哨 ガ…・
…………・
…・
………・
…・
（54） 丿il
lt＝
1 ここ で，W
凱は1
個 あ箱型ラー
メ ン の評 価 関 数であ り， （40）一
（42）式 よ り次 式の よ うに表す こと ができ る。
W 蛮髭＝ 9J
．
icH貰n・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
J
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（55）
9、
，
・一
、← aJ．訟
．、。）畷
・課
、一
6
一
・
（
（一
α ，＋ aJ−
、＋3β丿）九，3
β∫h，。，
dZ
、，
配＋ 。、
−
ld 鼠 配）
1
｝
1
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（56
＞ 9」，
kは定 数 とな り， 膨凱はH
聾に比例す ること が わ か る。
こ こで， （50 ）式の制 約 条 件は，H
紮にっ い て 各 層 ご と に独 立な制 約 条 件で あ る ので，
各層 ご と に s s ΣW
覧の最 小 化 （す な わ ち，
Σ g抽 H 瓢の最小化）を it＝
1 h＝
］
行え ば評 価 関 数W
の最 小 化を行 うこ とにな る。Hj，
k＝H
振一H
」．
k （H
」．
kは指定値）・
………・
（57 ） と お き，
j
層の g，，
κの う ちで，
9」，
k が最小と なる ス パ ン 位置を魏 番目と す る と，
問 題SCOD
の制 約 条 件および 評 価 関 数W
は次の よ う に書け る。 制約条件 ： s＿
sノ
Σ二
H
丿，
k一
暑一
ΣコH
∫，
h＝
Q
丿＝
Σ］正1
，・
・
…
tt・
・
・
・
…
t
（58） 陀＝
1 尾＝
匚 lrjH
∫．
iC≧0・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
…
一
・
tS−t−s− ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（59）、
評 価 関 数 ：w
一繕
（9 ・跏 一鶏
｛
乙
（9パ 9・・
）磁
呶
Q
・一
躯
・）
・ゑ
・J．
・fi
・，
・1
−
（・・）こ の場 合に は
，HJ，
t が設 計変数と な る。
（60
）式の第 1項 以 外は すべ て確定値であ るの で，HSk
を次 式の よ う に選 択す れ ば評 価 関 数が最 小 （第 1項＝
O）と な る。
HSk；0
（h
＝
m の とき ）………・
・
…
（61
）ロ
sH
」，
m＝
（〜，一
Σ］H
丿．
n・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（6Z ） k
＝
t こ の と き， H 銀は以 下の ように な る。H
：．＝
’
H
，．
， （k
≠ m のと き）………・
（63
） sHf，
m＝
Q
丿一
ΣコHSh
十HJ．
m・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
：・
・
（64
） iC＝
1すな わ ち
，
名層ご とに 9j，
k が最 小と な るスパ ン位 置（m 番 目 ）の 箱 型ラー
メ ン以 外は水 平 力 分 担値H
聾を最小 制 限 値 H」，
k と し，
残りの水 平力を すべ て m 番目の箱 型 ラー
メ ン に負担さ せ ること が評価関数W
を最小にす る ことにな る。 1 は りせ い，
柱せいが層ご とに同一
であ る骨組の場合は 次の よ うに な る。
同一
層の 9J．
k （（56 ＞式）を 比較す る と1
，のみが 異なっ て おり，
最 小ス パ ン位 置の 9」，
itが最 小と なる こと がわ か る。 そ れ ゆ え，
各 層と も最 小ス パ ン 長 位 置 以 外の箱型ラー
メ ンに は最小 限の水 平 力の みを負 担さ せ，
最 小スパ ン長 位 置の箱型 ラー
メン に残りの水 平 力の すべ て を負 担さ せ るこ と が 最 適 化 問 題 SCOD の解 と な る。
以 上の よ うな解の特 徴は，
水 平力の各ス パ ンへ の 分 担 比 率を決め る際の 有 用な指 標の一
つ と な る。
6．
は り ひずみと層間 相 対 変 位の制 御建 築骨組の設
計
に お い て は，
非 構造部 材な どの変 形 制 限や建 物の用途等か ら 層 間相 対 変 位に制限が課せ ら れ る場 合 も多い。 4章で述べ た よ う に
，
ひずみ制 御 設 計は，
変位 指 定 設 計とみな す こ と もで き る。
そ こ で， 4 章の ひ ずみ制御設 計の一
部の部 材の ひずみ指 定 を解 除す る代わ りに層間相対 変 位を制 限 値 以 内に お さ め る設計を考え る。
3， 4 章と同 様に次の手 順で設 計解を構 成す る。
（
1
）箱型 ラー
メ ン の柱 部 材 角 を指 定値と す る変位 指 定設計 解を作 成する。
（ii
）こ の箱型 ラー
メ ン の変 位 指 定設計解と3章の箱 型ラー
メンのひずみ制 御 設 計 解の両 方 を用い て多層 多ス パ ン ラー
メ ンの設計解を構成す る。
【
i】 3
章と同 様に左 右の柱の 曲げ剛 性が同 じ箱 型 ラー
メ ンを対 象と する。 こ こで は， 柱 部材 角と はり材 端 縁ひずみ を指定す る変 位 指 定 設 計問題を 以下の ように与 え る。設 計解は， 3章と同 様の手 順で誘導でき る。 節 点 回 転 角は （
26
），
（27
）式と同 様で あ る。
柱 材端 縁ひずみ， 曲 げ剛性は，
以 下の よ うに表さ れ る。 （柱材端縁ひずみ ｝ε
91
，
1＝
＝
一
（2）L．1、
矗／3
λc1，
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（69 ） （曲げ剛 性 ）
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