水理学Ⅱ及び同演習

水理学Ⅱ及び同演習

第

13回 一様断面の不等流

(水面形・堰・水門の流れ)

目標：一様断面からなる開水路で，勾配の変化や堰・水門に

よる水面形の変化を予測する

・一様断面における水深の変化

(dh/dx)を表す開水路の

基礎式から勾配の変化による等流水深と限界水深の

関係を考察する

・与えられた水路勾配等流水深と限界水深の関係から，

常流・射流といった流れの分類を行う．

・水門や堰のある水路において水面形の変化を予測する

一様断面水路の不等流

1

断面形状・水路勾配・粗度が一定＝

一様断面水路

h

A

gA

Q

A

Q

gR

dx

dh

∂

∂

α

−

θ













ϕ

−

θ

=

3 2 2 2

cos

1

sin

水深の変化(dh/dx)を表す一様断面水路 の基礎式

水路勾配を用いて

i

=

θ

θ

=

θ

cos

sin

tan

θ

α

−

θ

−

=

θ

α

−

θ

−

=

cos

1

sin

1

1

cos

1

sin

1

1

3 2 2 3 / 4 2 2 3 2 2 2 2

gA

B

Q

A

R

Q

n

i

gA

B

Q

RA

C

Q

i

dx

dh

Chezy式 Manning式

一様断面水路の不等流

2

3 / 2 2 / 1

1

AR

n

CAR

K

=

=

B A Z = 3 / 通水能(式5.33) 断面係数(式5.17)

θ

=

/

sin

0

Q

K

等流水深h₀の通水能(式5.34) 限界水深h_cの断面係数(式5.18) θ α = cos g Q Z_C

θ

α

−

θ

−

=

θ

α

−

θ

−

=

cos

1

sin

1

1

cos

1

sin

1

1

3 2 2 3 / 4 2 2 3 2 2 2 2

gA

B

Q

A

R

Q

n

i

gA

B

Q

RA

C

Q

i

dx

dh

2 2 0 / K K K₀2 / K2 2 2 / Z Z_c 2 2 2 2 0

/

1

/

1

Z

Z

K

K

i

dx

dh

c

−

−

=

通水能と断面係数を 用いた水面形の式

3 2 2       = h h Z Z_{c c}

一様断面水路の不等流

3

( )

1/2 3/2 2 / 1 Cbh h bh C CAR K = = =

広長方形水路(b>>h)の場合

h b h b h h b h bh s A R b h =       + = + = = →0 / 1 / 2 2 通水能K, K₀ (Chezy) 断面係数Z, Z_c 2 2 2 2 0 / 1 / 1 Z Z K K i dx dh c − − = 水面形の式

( )

3/2 0 2 / 1 0 0 2 / 1 0 0 0 CA R C bh h Cbh K = = = 径深R=hとなる 通水能K, K₀ (Manning)

( )

2/3 5/3 3 / 2 1 1 1 bh n h bh n AR n K = = =

( )

5/3 0 3 / 2 0 0 3 / 2 0 0 0 1 1 1 bh n h bh n R A n K = = = 3 0 2 2 0       = h h K K 3 / 10 0 2 2 0       = h h K K

( )

bh b b h B A Z = 3 / 　= 3 / = 2

( )

3 2 3 3 / / _{c c} c c A B bh b b h Z = 　= = 3 3 / 10 0 3 3 0 1 1 1 1       −       − =       −       − = h h h h i h h h h i dx dh c c 広長方形水路 の水面形の式

一様断面水路の不等流

4

3 3 / 10 0 3 3 0

1

1

1

1













−













−

=













−













−

=

h

h

h

h

i

h

h

h

h

i

dx

dh

c c

広長方形水路の水面形の式

長方形，台形，円管断面等の一般断面形については以下のように表される M c N

h

h

h

h

i

dx

dh













−













−

=

1

1

0 N h C K2 = ₁ Z2 = C₂hM hの指数形式になるように近似 類似した形(式5.52) この式に基づいて水面形の分類を行う(参考資料①,②)

参考資料①

(水面形の分類)

水面形の分類

水深hの位置によって水面勾配dh/dxが _{どの様に変化するか?}

分類の方法

①水路タイプを決める(限界勾配i_cを基準)

i<i_c → 緩勾配水路(mild slope) i>i_c → 急勾配水路(steep slope) i=i_c → 限界勾配水路(critical slope) i=0 → 水平勾配水路(horizontal slope) i<0 → 逆勾配水路(anti-slope) ②等流水深h₀と限界水深h_cの 位置関係を決める i<i_c → h₀ > h_c (緩勾配) i>i_c → h₀ < h_c (急勾配) i=i_c → h₀ = h_c (限界勾配) i=0 → h₀ → ∞ (水平勾配) i<0 → h₀ (存在せず)(逆勾配) ③水深hを変化させdh/dxの変化 を表す式から推測する M c N h h h h i dx dh       −       − = 1 1 0 (例)緩勾配水路(i<i_c)→ h₀ > h_c h> h₀ > h_c h₀ > h> h_c h₀ > h_c> h → 0 ( ) ) ( ) ( 背水 水深増加 　　 分母 分子 = > + + ) ( 0 ) ( ) ( _低下背水 分母 分子 > + − ) ( 0 ) ( ) ( _背水 分母 分子 > − − → → 参考資料②の(c)のパターン

参考資料②

(水面形の分類)

水路の分類 定義 水深h,等流水深h₀, 限界水深h_cの関係 射流 常流 背水・ 低下背水 dh/dx 符号 水面 記号 (a)急勾配水路 (steep slope) i >i_c h_c > h₀ h> h_c > h₀ h_c > h > h₀ h_c > h₀ > h 常流 射流 射流 背水 低下背水 背水 正 負 正 S₁ S₂ S₃ (b)限界勾配水路 (critical slope) i =i_c h₀ = h_c h> h₀=h_c h₀ = h = h_c h₀ = h_c > h 常流 限界流 射流 背水 等流 背水 正 ゼロ 正 C₁ C₂ C₃ (c)緩勾配水路 (mild slope) i <i_c h₀ > h_c h> h₀> h_c h₀ > h > h_c h₀ > h_c > h 常流 常流 射流 背水 低下背水 背水 正 負 正 M₁ M₂ M₃ (d)水平勾配水路 (horizontal slope) i =0 h> h_c , h₀→ ∞ h< h_c , h₀→ ∞ 常流 射流 低下背水 背水 負 正 H₂ H₃ (e)逆勾配水路 (anti-slope) i <0 h> h_c h< h_c 常流 射流 低下背水 背水 負 正 A₂ A₃

参考資料③

(水面形の分類)

(a)急勾配水路(i>i_c) (b)限界勾配水路(i=i_c) (c)緩勾配水路(i<i_c) (d)水平勾配水路(i=0) (e)逆勾配水路(i<0) h→ h_c (急) h→ h₀ の時 dh/dx=0 h→ h₀ の時 dh/dx=0 h→ h_c (急) h→ h_c (急) h→ h_c (急) M c N

h

h

h

h

i

dx

dh













−













−

=

1

1

0

dh/dxの変化を表す式

※矢印の向き(波が伝わる方向を表す) 常流(h>h_c)の時：下流から上流へ 射流(h<h_c)の時：上流から下流へ

参考資料④

(水面形の計算)1

教科書P125図5.20 流量・断面形状が一定の場合→限界水深h_cは勾配に関わらず一定 等流水深h₀は勾配は勾配が小さくなると大きくなる C c C CA h B h g Q ₂ ) 18 . 5 ( より = = 式 5 / 3 0 ) 35 . 5 ( _      = I nq h より 式 射流→常流の間に跳水 常流→射流の間に支配断面 等流水深h₀は勾配が 一定の状態が続くと発生する 緩勾配 (h₀ >h_c) 急勾配 (h₀ < h_c) 急勾配 (h₀ < h_c) 緩勾配(i<i_c)→急勾配(i>i_c)→ 急勾配(i>i_c)

参考資料④

(水面形の計算)2

参考資料④

(水面形の計算)3

緩勾配(i<i_c)→急勾配(i>i_c) →水門→緩勾配(i<i_c)

堰・水門の流れ

堰(せき) _水門

堰(せき)

→

流れをせきとめ，その上を越流させる構造物

水門(すいもん)

→

水路・ダムの頂部に設置，流量・水位の調節に利用される

水門 堰(せき)

堰

(せき)

堰の頂部は，一般には水脈を

安定させるために刃形状になっている

刃形堰の種類

全幅堰

四角堰

三角堰

_台形堰

堰は頂部において，常流→射流の間に生じる 「支配断面(限界流)」が起きる．支配断面の地点では， 流量Qは限界水深h_cのみの関数であるため，流量測定に適する． c h Q

全幅堰

接近速度水頭

h

_a

=

v

_a2

/

ρ

g

刃先から上流の比エネルギー E

H

越流水深 D a h y

x

d H a v E (ナップ)堰の上から流下する水脈 H

g

v

H

E

=

+

_a2

/

ρ

教科書

P186表6.1

堰の頂点を原点としたh_a/Eの変化による ナップの形状(y/E, z/E)を示したもの 接近速度水頭h_a/Eが大きいと ナップが平坦で上昇高D/Eの値は減少する ナップの最高点に支配断面が生じる (限界流が生じ，フルード数Fr=1となる) 流量の式 2 / 3

KBE

Q

=

流量係数

四角堰

水路幅bの水路に高さH_d，越流幅Bの四角堰を設置

B

b

越流量

Q

=

KBE

3/2 流量係数

(

)

d d d H b bH H B b H H H K =1.785+ 0.00295 +0.237 − 0.428 − +0.034 板屋・手島の式 適用範囲 0.5m ≦b ≦6.3m, 0.15m ≦B ≦5m, 0.5m ≦ H_d ≦3.5m, BH_d / b2≧3.5m, 0.03m ≦H ≦0.45B1/2_m

三角堰

a

ξ

b

H

B

d H H y c θ dy y 堰の頂点からy軸をとる 流線(ξ線)を通るa-c間 のベルヌーイ式

g

v

y

H

2

2

=

−

(

H

y

)

g

v

= 2

−

堰の位置において近似的 に圧力を0(ゼロ)とおく y線を通る 流線の速度v 堰位置の水深＜越流水深H → 近似的にHと等しくする 水平帯の厚さdy 水平帯の面積

dy

H

By

A













=

微小水平帯を通る流量の積分→越流量Q

(

)

(

)

5/2 0 0 0 2 2 tan 15 8 2 2 H g C y d H y H CB y g dy H CBy y H g dy vA Q H H H θ = ′ − ′ =       − = =

∫

∫

∫

y H y′= − _{5/2乗に比例} 直角三角堰の実用式 (沼知・黒川・淵沢式) 2 / 5 KH Q= 2 09 . 0 2 . 0 14 . 0 004 . 0 354 . 1       ₋         + + + = b H H H K d

水門

(a)自由流出 水門からの流れが射流状態で流出 (下流側の水位が高いときに発生する) 水門は河川や運河，湖沼，ダムの貯水池などに設けられる構造物 可動式の仕切りによって水の流れや量を制御する役割をもつ a 0 v 0 h v C_ca g v h_a 2 2 0 = a 0 v 0 h v C_ca g v h_a 2 2 0 = h h2 2 v (b)もぐり流出 水門からの流れが下流下面にもぐる (下流側の水位が水門の開きaにほぼ同程度 で下流の水位が低いときに発生する) 水門からの流れは，(a)自由流出と(b)もぐり流出の二種類がある

水門からの流れ

(自由流出)

(a)自由流出 a 0 v 0 h v C_ca g v h_a 2 2 0 = 射流によって収縮した断面の水深 (水門の開きaに収縮係数Ccを掛ける形) a C_c ベルヌーイの定理

g

v

a

C

g

v

h

_c

2

2

2 2 0 0

+

=

+

連続の式

_Q

=

_Bh

₀

_v

₀

=

_BC

_c

_av

0 0

Bh

Q

v

=

a

BC

Q

v

c

=

① ② ③

(

)

2

(

)

2 0 0

2

1

2

1

a

BC

Q

g

a

C

Bh

Q

g

h

+

=

_c

+

_c

(

)

(

)

2 0 0

1

2

h

a

C

a

C

h

g

a

BC

Q

c c c

−

−

=

水門から の流量Q 式①に式②，③を代入 収縮係数Ccの値は0.61～0.64程度 流量係数Cを導入して以下の形で表す 0

2gh

BCa

Q

=

水門からの流れ

(もぐり流出)

(b)もぐり流出 もぐり流出は噴流が起き表面渦が形成 エネルギー損失が起きる 収縮断面 (1)において断面C_caをvで流れる (上層の表面は静止とみなし静水圧分布)

(

2

)

2 2 2 2 1 1 h h q a C h q c − ρ =       − ρ 0 2gh a C q = _c 自由流出の(単位幅)流量 ①, ②式に③式を代入し， それぞれC_ca, (C_ca)2で無次元化

( )

2 2 2 0 2 0 2 2 g C a q h gh q h c + = + (0)→(1)区間は，エネルギー損失は 小さいとして，ベルヌーイの定理を適用 (単位幅流量q=Q/Bを用いた形で表示) ① ② 2 0 2 0 2 0             + =       + a C h C C a C h h a C C C a C h c c c c c c               −       =       −       2 2 2 2 0 2 4 1 1 a C h a C h h a C a C h C C c c c c c ①→ ②→ ③ (1)→(2)区間は， エネルギー損失が著しい 運動量保存の定理を適用 両式からh C_caを消去 の関数 と は a C h a C h C C c c c 2 0 教科書P200図6.18

参考資料⑤

(

)

( ) (

)(

)

( ) (

)

( )

( )

5/2 5/2 0 2 / 5 2 / 3 0 2 / 1 0 _1/2 0 2 / 1 2 2 tan 15 8 2 15 4 5 2 3 2 2 2 2 2 H g C H g H CB y y H g H CB y d y H y g H CB y d y H y g H CB dy y y H g H CB Q H H H H θ = =     _{′ − ′} = ′ ′ − ′ = ′ − ′ − ′ = − =

_∫

_∫

_∫

頂点からの，ある高さyの位置に， ある厚さdy，水平幅xとなる水平帯状部分を考えると

b

H

B

d H θ dy y

x

H y B x: = : H By x = _dy H By xdy dA = = 水平帯の面積 水平帯の面積dAを通る流速v v = 2g

(

H − y

)

(

)

dy H CBy y H g CvdA dQ = = 2 − dAを通る流量dQは流量係数Cを用いて y H y′ = − _dy = −_dy′ _{y‘の積分範囲[H,0]}

(

)

2 tan 2 / θ = H B 2 tan 2 θ = H B 左上図より