１ 式 の 計 算 [問 題 ]

中 学 校 数 学 科 ２ 年 生

１ 式 の 計 算 [問 題 ]

中 学 校

年 組 号 氏 名

■全国学力・学習状況調査① Ａ問題

１ 次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に答 え な さ い 。【 H19】

(1) (２ x ＋ ７ y)− ２ (x− ３ y)を 計 算 し な さい 。

(2) a^{＝ ５ ，} b ^{＝ − ４の と き ， 式３} a^{＋ ５} bの 値 を 求 め な さ い 。

(3) 等 式２ x^{＋ ３} y ^{＝ ９を ，}y に つ い て 解 き なさ い 。

２ 次 の (1)か ら (4)ま で の 各 問 い に答 え な さ い 。【 H20】

(1) a＝ ４ ， b ＝ − ３の と き ， 式 ab の 値 を 求 め な さ い 。

(2) n を 自 然 数 と す る と き ， い つ で も 奇 数 に な る 式 を ， 下 の ア か ら オ の 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。

ア n ^{＋ １ イ ２} n ^{ウ ２} n ^{＋ １ エ ３} n ^{オ ３} n^{＋ １}

(3) 等 式 x＋ ２ y ＝ ６ を ，yに つ い て 解 き なさ い 。

(4) 下 の ア か ら エ の 中 に ， ３ a ＋ ４ b と いう 式 で 表 さ れ る も の が あ り ま す。 そ れ を １ つ 選 び な さ い 。

ア １ 辺 a ｃ ｍの 正 三 角 形 と １辺 b ｃ ｍの正 方 形 を ， そ れ ぞ れ 針 金 で １ 個ず つ 作 っ た と き の 針 金 の 全 体 の 長 さ (ｃ ｍ)

イ ３ 人 が a 円 ず つ 出 し 合 っ た お 金 で ，b 円 の り ん ご を ４ 個 買 っ た と き の 残 っ た 金 額 (円 ) ウ ３ ｇの 袋 に a ｇ の 品 物 を 入れ ， ４ ｇ の 袋 に b ｇ の品 物 を 入 れ た と き の 全 体 の 重 さ (ｇ ) エ ３ 分間 に a ℓ の 割 合 で 水 が出 る 蛇 口 と ， ４ 分 間 に^じやぐち b ℓ の 割 合 で 水 が 出る 蛇 口 か ら ， 水 を

同 時 に １ 分 間 出 し た と き の 水の 量 (ℓ )

■全国学力・学習状況調査② Ａ問題

３ 次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に答 え な さ い 。【 H21】

(1) ３ x× (− ４ xy) を 計 算 し な さ い 。

(2) 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は， 文 字 n を 使 っ て 次 の よう に 表 す こ と が で き ま す 。

n ＋ (n＋ １ )＋ (n ＋ ２ )

こ の と き ， 文 字 nが 表 す も の を ， 下 の ア か ら エま で の 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。 ア 連 続す る ３ つ の 自 然 数 の う ち ， 最 も 大き い 自 然 数

イ 連 続す る ３ つ の 自 然 数 の う ち ， 中 央 の自 然 数 ウ 連 続す る ３ つ の 自 然 数 の う ち ， 最 も 小さ い 自 然 数 エ 連 続す る ３ つ の 自 然 数 の 平 均

(3) 下 の 図 で ， 底 辺 の 長 さ a， 高 さ hの 三 角 形 の 面積 Sは ， 次 の よ う に 表 さ れま す 。

１

S ＝ − ah

２

高 さ を 求 め る た め に ， こ の 式を ，a に つい て 解 き な さ い 。

４

３

x

y

x

５

x−

y

− ２ ４

x−

y

■練習問題①

１ 次 の (1)か ら (6)ま で の 各 問 い に答 え な さ い 。

(1) を 計 算 し な さ い 。

(2) (− ２ x^{) × ３} y を 計 算し な さ い 。

(3) を 計 算 し な さ い 。

(4) 等 式 V＝ π r ｈを ，hに つ い て 解き なさ い 。

(5) x^{＝ ３ ，} y ＝ − ４の と き ， 式３ (２ x^{− ５} y^{)− ２ (４} x ^{− ６} y ）の 値 を 求 め なさ い 。

(6) ３ つ の 数 a ^， b ^， c が ， 次 の ①か ら ③ の す べ て の 条 件 を 満 た すと き，a ^， b ^， c ^{の 符 号 を}

正 し く 表 し て い る も の を ア か らエ の 中 か ら 選 ん で 記 号 で 答 え なさ い 。

① ab ＜ ０ ② abｃ ＞ ０ ③ a＜ b

ア a は＋，bは−，c は＋

イ a は−，bは＋，c は−

ウ a は−，bは−，c は−

エ a ^は＋，b^は−，c ^{は −}

２

１ ３

２

４

３

x

y

１

x

x

■練習問題②

２ 次 の (1)か ら (6)ま で の 各 問 い に答 え な さ い 。

(1) (３ x− ４ y)− (２x ＋ y)を 計 算 し な さ い 。

(2) を 計 算 し な さ い。

(3) ８ ab ^{÷ (− ２} b^{) × ５} a を 計 算 し なさ い 。

(4) 等 式 S＝ (a＋ b ） hを ，a に つ い て解 き な さ い 。

(5) x^{＝ − ２，}y^{＝ − ５のと き ， 式４} x ^{− ３} y の 値 を 求 め なさ い 。

(6) 多 項 式５ x ^{− ３} y ^{＋ ４}か ら ， あ る 多 項 式 の ２ 倍 を 引 こ う と し た ら ， 間 違 え て ２ 倍 を た し て し ま っ た の で ， 答 え が ，１ １ x −７ y ＋ ６に な り ま し た 。 こ の と き ， 正し く 計 算 し た 答 え を ア か ら エ の 中 か ら 記 号 で 選 びな さ い 。

ア ８ x − ５ y＋ ２ イ ８ x − ５ y＋ ５ ウ − x＋ y ＋ ５ エ − x^＋ y ^{＋ ２}

１ ４

１ ３

２ ２

１ ２

２

■全国学力・学習状況調査① Ｂ問題

１ 太 郎 さ ん は ， 連 続 す る ３ つ の 自然 数 の 和 が ど ん な 数 に な る か を調 べ て い ま す 。【 H19】

１ ， ２ ， ３ の と き ， １ ＋ ２ ＋ ３ ＝ ６ ２ ， ３ ， ４ の と き ， ２ ＋ ３ ＋ ４ ＝ ９ ３ ， ４ ， ５ の と き ， ３ ＋ ４ ＋ ５ ＝ １ ２

こ れ ら の 結 果 か ら ， 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は ３ の 倍 数 に な る こ と を 予 想 し ， こ の 予 想 が 正 し い こ と を 下 の よ う に 説 明 しま し た 。

【 太 郎 さ ん の 説 明 】

連 続 す る ３ つ の 自 然 数の う ち ， 最 も 小 さ い 数 を nと す る と 連 続 す る ３ つ の 自 然 数は ，n ，n ＋ １ ， n＋ ２と 表 さ れる 。 連 続 す る ３ つ の 自 然 数の 和 は ，

n^{＋ (}n ^{＋ １ )＋(}n ^{＋２ )＝} n^＋ n ^{＋ １ ＋} n ^{＋ ２}

＝ ３ n＋ ３

＝ ３ (n＋ 1)

n＋ １は 自然 数 だ か ら ，３ (n ＋ １)は ３ の 倍 数 で あ る 。

次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さい 。 (1) 太 郎 さ ん の 説 明 の 最 後 の 式３ (n^{＋ 1)か ら ，}

連続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は ３ の倍 数 で あ る

こ と の ほ か に 分 か る こ と が あ りま す 。 下 の ア か ら オ の 中 か ら １つ 選 び な さ い 。

ア 連 続す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 奇 数 であ る 。 イ 連 続す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 偶 数 であ る 。

ウ 連 続す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 最 も 小さ い 数 の ３ 倍 で あ る 。 エ 連 続す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 中 央 の数 の ３ 倍 で あ る 。 オ 連 続す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 最 も 大き い 数 の ３ 倍 で あ る 。

連 続 す る ５ つの 自 然 数 の 和 は ５ の 倍 数 に な る

こ と が 予 想 さ れ ま す 。 太 郎 さ ん の 説 明 を 参 考 に し て ， こ の こ と が 正 し い こ と の 説 明 を 完 成 し な さ い 。

【 説 明 】

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の う ち， 最 も 小 さ い 数 を n と する と ，

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 は ，n ^， n ^{＋ １ ，} n ^{＋ ２ ，} n ^{＋ ３ ，} n ^{＋ ４と 表 され}

る 。

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の 和 は，

n ＋(n ＋ １ )＋ (n ＋ ２ )＋ (n＋ ３ )＋ (n＋ ４ )

＝ n＋ n ＋ １ ＋ n ＋ ２ ＋ n＋ ３ ＋ n＋ ４

■全国学力・学習状況調査② Ｂ問題

２ あ る サ ッ カ ー 大 会 で は ， ５ チ ー ム が 他 の す べ て の チ ー ム と １ 回 ず つ 試 合 を し ， 下 の 表 の よ う な 結 果 に な り ま し た 。【 H19】

勝 っ た 試 合 数 負 け た 試 合 数 引 き 分 け た試 合 数

Ｐ チ ー ム ２ ２ ０

Ｑ チ ー ム ３ １ ０

Ｒ チ ー ム ２ ０ ２

Ｓ チ ー ム ０ ３ １

Ｔ チ ー ム １ ２ １

こ の 大 会 で は ， 次 の よ う に し て 順位 が 決 め ら れ ま し た 。

【 順 位 の 決 め 方】

１ 試 合 ご と に 勝 っ た チ ー ム に は ３ 点 ， 負 け た チ ー ム に は ０ 点 ， 引 き 分 け る と 両 チ ー ム １点 ず つ 与 え ，合 計 点 数 の 多 い チ ー ム を 上 位と し て 順 位 を 決 め る 。

(1) 前 ペ ー ジ の 順 位 の 決 め 方 に した が う と ， Ｒ チ ー ム の 合 計 点 数は 何 点 に な り ま す か 。

(2) こ の 大 会 で １ 位 に な っ た の はど の チ ー ム で す か 。下 の ア か ら オ の 中か ら １ つ 選 び な さ い 。 ア Ｐ チ ー ム

イ Ｑ チ ー ム ウ Ｒ チ ー ム エ Ｓ チ ー ム オ Ｔ チ ー ム

(3) こ の 大 会 の 順 位 は ， 前 ペ ー ジ の 順 位 の 決 め 方 か ら ， 勝 っ た 試 合 数 を a， 引 き 分 け た 試 合 数 を bと す る と き ，３ a ^＋ bの 値 で 決 ま り ま す 。

麻 衣 さ ん は ， こ の 大 会 の 順位 の 決 め 方 に つ い て ， 次 の よ うに 言っ て い ま す 。 負 け た チ ー ム は ０ 点 と する こ と を 変 え ず に ， 勝 っ た 場 合や 引 き 分 け た 場 合 に 与 え る 点 数 を 変 え る と ，順 位 が 変 わ る と 考 え て ， 新 し い式 を つ く り ま し た そ の 式 で 合 計 得 点 を 計 算す る と ， Ｑ チ ー ム と Ｒ チ ー ム の合 計 得 点 が 同 じ で 両 チ ー ム が １ 位 に な り ま した 。

Ｑ チ ー ム と Ｒ チ ー ム の 合 計 点 数 が 同 じ で ， 両 チ ー ム が １ 位 に な る よ う な 式 を a，b を 使 っ て 表 し な さ い 。 ま た ， そ の 式 で ， Ｑ チ ー ム と Ｒ チ ー ム が 同 点 で １ 位 に な る こ と を 説 明 し な さ い 。

■全国学力・学習状況調査③ Ｂ問題

３ 直 樹 さ ん は ， ２ け た の 自 然 数 と ， そ の 数 の 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数 の 和 が ど ん な 数 に な る か を 考 え て い ま す。【 H20】

２ １ の と き ２ １ +１ ２ ＝ ３ ３ ３ ５ の と き ３ ５ +５ ３ ＝ ８ ８ ４ ７ の と き ４ ７ +７ ４ ＝ １ ２ １ ８ ２ の と き ①

上 で 調 べ た こ と か ら ， 直 樹 さ んは ， 次 の こ と を 予 想 し ま し た 。

【 直 樹 さ ん の 予 想 】

２ け た の 自 然 数 と ， そ の 数の 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入れ か え た 数 の 和 は ，１ １の 倍 数に な る 。

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に答 え な さ い 。

(1) 上 の ① に 当 て は ま る 式 を 書 きな さ い 。

１ １の 倍 数 で ある こ と を 説 明 す る に は ，

１ １と 自 然 数 の積 に な る こ と を い え ば い い んだ 。

【 説 明 】

２ け た の 自 然 数 の 十 の 位 の数 を x， 一 の 位の 数 を y ^{と す る と ，}

２ け た の 自 然 数 は ，１ ０ x＋ y

十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を入 れ か え た 数 は ，１ ０ y ^＋ x

と 表 さ れ る 。 し た が っ て ，そ れ ら の 和 は ， (１ ０ x ^＋ y^{)＋ (１ ０} y^＋ x⁾

(3) 直 樹 さ ん は ， ２ け た の 自 然 数 と ， そ の 数 の 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数 の 差 は ， ど ん な 数 に な る か を 考 え てみ た い と 思 い ， い く つ か の 場 合を 調 べ ま し た 。

４ １の と き ４ １ -１ ４ ＝ ２ ７ ５ ３の と き ５ ３ -３ ５ ＝ １ ８ ８ ２の と き ８ ２ -２ ８ ＝ ５ ４

⋮ ⋮

こ れ ら の こ と か ら ， ２ け た の 自 然 数 と ， そ の 数 の 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数 の 差 に つ い て ，ど の よ う な こ と が 予 想 でき ま す か 。前 ペー ジ の 直 樹 さ ん の 予 想 の よ う に，「 〜 は ， … … に な る 。」 と い う 形 で 答 え な さ い 。 た だ し ，５ ５の よ う に ， 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 が 等 し い 数 は 考 え な い こと に し ま す 。

■全国学力・学習状況調査④ Ｂ問題

４ 健 治 さ ん は， 次 の 図 の よ う に ， ３ 段 に 並 んで い る ○ の １ 段 目 に 連 続 す る ３つ の自 然 数 を 順 に 入 れ ま し た 。 そ し て ， 隣 り合 う ２ つ の 数 の 和 を ２ 段 目 の ○に 入 れ ， 同 じ よ う に し て ３ 段 目 の 数 を 求 め ま し た。【 H21】

健 治 さ ん は ，２ ４ ＝ ４ × ６ ， ４ ４ ＝ ４ × １ １で あ る こ と か ら ， １ 段 目 に ど ん な 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 を 順 に 入 れ て も ， ３ 段 目 の 数は い つ も ４ の 倍 数 に な る こ と を予 想 し ま し た 。

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に答 え な さ い 。

(1) 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 を２ １ ， ２ ２ ， ２ ３と す る と き , 下 の 図 の ① に 当 て は ま る 数 を 求 め な さ い 。

に な る 。」 と い う 健 治 さ ん の 予 想が 正 し い こ と の 説 明 を 完 成 し な さ い。

【 説 明 】

(3) 上 の 説 明 で ，２ 段 目 の ２ つ の 数 は，２ n ＋ １ ， ２ n ＋ ３と 表 さ れ て い ま す 。こ の こ と か ら，

２ 段 目 の ２ つ の 数 に つ い て ， い つ も い え る こ と が あ り ま す 。 下 の ア か ら オ ま で の 中 か ら 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。

ア ２段 目 の ２ つ の 数 は ， 連 続 す る 偶数 で あ る 。 イ ２段 目 の ２ つ の 数 は ， 連 続 す る 奇数 で あ る 。 ウ ２段 目 の ２ つ の 数 は ， 奇 数 と 偶 数で あ る 。

エ ２段 目 の ２ つ の 数 は ， 一 の 位 の 数が １ と ３ で あ る 。 オ ２段 目 の ２ つ の 数 は ， 十 の 位 の 数が 等 し い 。

■練習問題①

１ 太 郎 さ ん は ， あ る 月 の カ レ ン ダ ー を 見 て い て ， 数 の 間 に あ る 関 係 に つ い て 調 べ て い ま す 。 カ レ ン ダ ー

日 月 火 水 木 金 土

１ ２ ３ ４

５ ６ ７ ８ ９ １ ０ １ １

１ ２ １ ３ １ ４ １ ５ １ ６ １ ７ １ ８ １ ９ ２ ０ ２ １ ２ ２ ２ ３ ２ ４ ２ ５ ２ ６ ２ ７ ２ ８ ２ ９ ３ ０ ３ １

１

８ の とき ， １ ＋ ８ ＋ １ ５ ＝ ２ ４ １ ５

１ ０

１ ７ の と き ， １ ０ ＋ １ ７ ＋ ２ ４ ＝ ５ １ ２ ４

１ ３

２ ０ の と き ， １ ３ ＋ ２ ０ ＋ ２ ７ ＝ ６ ０ ２ ７

こ れ ら の 結 果 か ら ， カ レ ン ダ ー の 上 か ら ３ つ の 自 然 数 の 和 は ， ３ の 倍 数 に な る こ と を 予 想 し ， こ の 予 想 が 正 し い こ と を ， 次の よ う に 説 明 し ま し た 。

【 太 郎 さ ん の 説 明 】

３ つ の 自 然 数 の う ち ， 最 も 小さ い 数 を nと す る と ， ３ つ の 自 然 数 は ，n， n＋ ７ ， n＋ １ ４と 表 さ れ る 。 ３ つ の 自 然 数 の 和 は ，

n^{＋ (}n ^{＋ ７ )＋ (}n ^{＋ １ ４ )＝} n ^＋ n^{＋ ７ ＋} n^{＋ １ ４}

a＝ ３ n＋ ２ １

a＝ ３ (n ＋ ７ )

n＋ ７は 自 然 数 だか ら ，３ (n＋ ７ )は ３ の倍 数で あ る 。

(1) 太 郎 さ ん の 説 明 の 最 後 の 式 ３ (n ^{＋ ７ )か ら ，}

３つ の 自 然 数 の 和 は ３ の 倍 数 で あ る

こ と の ほ か に分 か る こ と が あ り ま す 。 下 の ア から オ の 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。 ア ３ つの 自 然 数 の 和 は 奇 数 で あ る 。

イ ３ つの 自 然 数 の 和 は 偶 数 で あ る 。

ウ ３ つの 自 然 数 の 和 は 最 も 小 さ い 数 の３ 倍 で あ る 。 エ ３ つの 自 然 数 の 和 は 中 央 の 数 の ３ 倍で あ る 。 オ ３ つの 自 然 数 の 和 は 最 も 大 き い 数 の３ 倍 で あ る 。 (2) 太 郎 さ ん の 説 明 か ら ，

カ レ ン ダ ー の 上 から ５ つ の 自 然 数 の 和 は ５ の 倍 数に な る

こ と が 予 想 さ れ ま す 。 太 郎 さ ん の 説 明 を 参 考 に し て ， こ の こ と が 正 し い こ と の 説 明 を 完 成 し な さ い 。

【 説 明 】

５ つ の 自 然 数 の う ち ， 最 も 小さ い 数 を n^{と す る と ，}

５ つ の 自 然 数 は ，n^， n^{＋ ７ ，} n^{＋ １ ４ ，} n^{＋ ２ １ ，} n^{＋ ２ ８}

と 表 さ れ る 。

５ つ の 自 然 数 の 和 は ，

n ^＋(n ^{＋ ７ )＋ (}n ^{＋ １ ４ )＋ (}n ^{＋ ２ １ )＋ (}n^{＋ ２ ８ )}

＝ n＋ n ＋ ７ ＋ n ＋ １ ４ ＋ n＋２ １ ＋ n ＋ ２ ８

■練習問題②

２ け い た さ ん と か り ん さ ん は ， 円 Ｏ ， 円 Ｐ ， 円 Ｑ の 円 周 か ら で き る 道 路 を 使 っ て ， Ａ 地 点 か ら Ｂ 地 点 ま で ， 買 い 物 に 行 く 道 のり に つ い て 会 話 を し て い ま す 。

円 Ｐ の 半 径 を a ｍ， 円 Ｑ の 半 径 を b ｍと して ，あ と の 問 い に 答 え な さ い 。

【 け い た と か り ん の 会 話 】 け い た

か り ん イ か ら 行 っ た 方 が 断 然近 い よ 。

ア か ら 行 って も ， イ か ら 行 っ て も 同 じ よ 。

A Ｐ Ｏ Ｂ

ア

イ

Q

(2) か り ん さ ん は ， ど ち ら か ら 行 っ て も ， 距 離 は 等 し い と い っ て い ま す 。 そ の わ け を 説 明 し な さ い

■練習問題③

３ 花 子 さ ん が ， ２ け た の 自 然 数 と そ の 数 の 十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を 入 れ か え た 数 の 差 に つ い て ， 次 の よ う な 発 見 を し ま し た。

ま ず ， 最 初 の 自 然 数の 十 の 位 の 数 を a， 一 の 位 の 数 を b と す る と ， １ ０ a ^＋ bと な る わ 。 そ うす る と ， 一 の 位 の 数 と 十 の 位 の 数 を入 れ か え た 数 は ，１ ０ b ＋ a と おけ る か ら ，２つ の 数 の 差 を と る と ，

（ １ ０ a^＋ b^{） − （ １ ０} b^＋ a^{) a＝ １ ０} a ^＋ b^{− １ ０} b⁻ a

＝ ９ a − ９ b

＝ ９ （ a ⁻ b^）

９ × 整 数 と な る の で これ は ９ の 倍 数 に な る の よ 。 こ れ を 聞 い て い た 太 郎 君 も ， 新 しい 発 見 を し ま し た 。

花 子 さ ん の 方 法 を 利 用 し て ， 太 郎 君 の 発 見 が 正 し い こ と を ， 文 字 式 や 言 葉 を 使 っ て 説 明 し な さい 。た だ し ，は じ め の ３ け た の 自 然数 は ，百 の 位 の 数 を a，十 の 位 の 数 を b，一 の 位 の数 を c

とし て 考 え な さ い 。

花子さんのを聞いて，ぼくも考えてみたよ。３けたの自然数で発見した よ。それは，一の位の数が０でない３けたの自然数と，一の位の数と百の 位の数を入れかえた自然数と差は，必ず９９の倍数になるんだ。例えば，

最初の自然数が９５２とすると，

９５２−２５９＝６９３

＝９９×７

となって，９９の倍数ということがいえるんだ。

私は，発見したわ。一の位の数が０でない２けたの自然数に関することよ。

実は，この自然数と一の位の数と十の位の数を入れかえた自然数の差は，９の倍 数になるのよ。

このことを，文字を使って説明するわ。

■練習問題④

４ 次 は ， 花 子 さ んと 太 郎 君 が 割 り 算 に つ い て 会 話を し て い ま す 。 あ と の 問 に 答 えな さ い 。

【 花 子 さ ん と 太 郎 さ ん の 会 話 】

花 子さ ん ： わ り 算 で ， わ ら れ る 数と わ る 数 ， 商 と あ ま り の 関 係 はど う な っ て た か な あ 。 太 郎 君 ： 一 般 に 次 の よ う な 関 係が あ る ん だ よ 。

（ わ られ る 数 ） ＝ （ わ る 数 ） × （ 商 ） ＋（ あ ま り ）・ ・ ・（ ☆ ）

花 子さ ん ： え ー と ， 難 し い な あ 。具 体 的 に 数 字 で 考 え て み る わ 。例 え ば ，１ ３を５ ， ６ ， ７ で わ っ て み る と ， 次 のよ う な 式 に な る よ ね 。

１ ３ ÷ ５ ＝ ２ あ ま り３ ・ ・ ・ ① １ ３ ÷ ６ ＝ ２ あ ま り１ ・ ・ ・ ② １ ３ ÷ ７ ＝ １ あ ま り６ ・ ・ ・ ③ だ か ら ，（ ☆ ） の よ う に あ らわ す と ，

① よ り ， １ ３ ＝ ５ × ２ ＋ ３

② よ り ， １ ３ ＝ ６ × ２ ＋ １

a③よ り ， ア な る ほ ど 。（ ☆ ） の 意 味 が よく 分 か っ た わ 。

太 郎 君 ： そ の 通 り で す 。で は 次 の よ う な 問 題 を 考 え て み よ う。今 ，自 然 数Ａ ， Ｂが あ る。

Ａは５で わ る と 商 が m で あ ま り が１，Ｂは ５ で わ る と 商 が n で あ ま り が４に な る と き ，Ａ ＋ Ｂが５ の倍 数 に なる こ とを 説 明 し て み よ う 。

花 子 さ ん ： 難 し そ う だ け ど ， や って み る わ 。 （ ☆） の 式 を 使 え ば い い か ら ・ ・ ・

(1) ア に あ て は ま る 式 を 答 え な さ い 。

(2) 花 子 さ ん の 説明 の 続 き を ， 完 成 さ せ な さ い 。

中 学 校 数 学 科 ２ 年 生

１ 式 の 計 算 [解 答 ]

中 学 校

年 組 号 氏 名

■全国学力・学習状況調査① Ａ問題

１

(1) (２ x＋ ７ y） − ２ （ x − ３ y ） ＝ ２ x ＋ ７ y− ２ x＋ ６ y

＝ ２ x − ２ x ＋ ７ y ＋ ６ y

＝ １ ３ y

(2) ３ a＋ ５ b＝ ３ × ５ ＋ ５ × (− ４ )

＝１ ５ − ２ ０

＝− ５

(3) ２x^{＋ ３} y^{＝ ９}

３ y＝ ９ − ２ x

y^{＝ ｏ ｒ}

２

(1) ab ＝ ４ × (− ３ )

＝ − １ ２

(2) ウ ２ n^{＋ １}

(3) x＋ ２ y ＝ ６ ２ y ＝ ６ − x

y ＝ ｏ ｒ ｏ ｒ

(4) ア ３ a^{＋ ４} b

イ ３ a − ４ b

ウ ３ ＋a ＋ ４ ＋ b

エ 答 え ア

９−２x ３

６−x ２

３ a +

４ b

−２x＋９ ３

−１

２x＋３ ３−１ ２x

■全国学力・学習状況調査② Ａ問題

３

(1) ３ x× （ − ４ xy ） ＝ − （ ３ × ４ × x× x× y ）

＝ − １ ２ x ^２y

(2) 連 続 す る ３ つ の 自 然 数 で は ， 最 も 小 さ い 自 然 数 よ り １ 大 き い も の が 中 央 の 自 然 数 で あ る 。 ま た ， 最 も 小 さ い 自 然 数 よ り ２ 大 き い も の が 最 も 大 き い 自 然 数 で あ る 。 し た が っ て ， 文 字 n が 表 す も の は 最 も 小 さ い 自 然 数 で あ る の で ，よ っ て 答 え は ウ 。

(3) 左 辺 と 右 辺 を 入 れ か え て , 両 辺 に ２ を か け る と ，

両 辺 を h で わ る と ，

１ ２ah＝S

ah＝２S a＝２S

h

■練習問題①

１

(1) ＝

＝

＝

＝ ｏ ｒ ｏ ｒ

(2) (− ２ x) × ３ y ＝ ４ x × ３ y

＝１ ２ x y

( 3 ) ＝ ÷

＝

＝ − ６ xy

(4) V ^{＝ π} r h

左 辺 と 右 辺 を 入れ か え て π r h ^{＝ ３} V

両 辺 を ３ 倍 し て π r h ＝ ３ V

π r で 割 っ て h ＝

(5) ３ (２ x −５ y)− ２ (４ x− ６ y ） ＝ ６ x− １ ５ y − ８ x ＋ １ ２ y

＝ −２ x^{− ３} y x＝ ３ ，y ＝ − ４ を 代 入

＝ −２ × ３ − ３ × (−４ )

＝ −６ ＋ １ ２

＝ ６

(6) ア aは＋，b は−，cは＋ abc＜ ０ イ aは−，b は＋，cは−

ウ aは−，b は−，cは− ab＞ ０

エ aは＋，b は−，cは − a＞ ｃ し た が っ て 答 え イ ５x−７y

３ −４x−３y ２

２

１ ３

２

２ ５x−７y

６ −３ ４x−３y ６ ２ ５x−７y −３ ４x−３y

６

１０x−１４y−１２x＋９y ６

−２x−５y

６ −２x＋５y

６ −１

３x−５ ６y

２ ２

３x^２y

４ −

８ x

− ３x^２y ４ × ８

x

２

πr^２ ３V １

３

２

２

３

４x^２y÷ −１ ８x

■練習問題②

２

(1) (３ x−４ y)− (２ x＋ y) ＝

＝

＝

＝ ｏ ｒ

(2) ＝

＝

＝ ９ y

(3) ８ ab ^{÷ (− ２} b^{) × ５} a ^＝８ ab ^{÷ ４} b ^{× ５} a

＝

＝１ ０ a

(4) S ＝ (a＋ b ） h

左 辺 と 右 辺 を 入れ 替 え て (a＋ b)h ＝ S

両 辺 を ２ 倍 し て (a ^＋ b⁾h ^＝２ S

両 辺 を h ^{で 割 っ て} a^＋ b ^＝

bを 移行 し て a ＝ − b

(5) x＝ − ２，y＝ − ５ を代 入 し て ４ x − ３ y ＝４ × (− ２ )− ３ × (− ５ )

＝４ × (− ２ )− ３ × ２ ５

＝−８ − ７ ５

＝− ８ ３ (6) 間 違 え た 答 え か ら ， も と の 数を 引 い て

１ １ x − ７ y ＋ ６ − (５ x− ３ y＋ ４ ) ＝ １ １ x − ７ y ＋ ６ − ５ x＋ ３ y− ４

＝ ６ x^{− ４} y^{＋ ２}

２ で 割 っ て ３ x − ２ y＋ １

５ x− ３ y ＋ ４ か ら ３ x− ２ y ＋ １ の ２ 倍 を 引 く と

５ x− ３ y＋ ４ − ２ (３ x− ２ y＋ １ ) ＝５ x−３ y＋ ４ − ６ x ＋ ４ y − ２

＝ − x＋ y ＋ ２

答 え エ ３

４x^２y÷ −１

８x ÷ −２ ３x １

４

１ ３

２ ２

１ ２ ３ ３x−４y

１２ −４ ２x＋y １２ ３ ３x−４y −４ ２x＋y

１２ ９x−１２y−８x−４y

１２ x−１６y

１２ １２

１ x−４ ３y ３x^２y

４ ÷ − ８

x ÷ −２x ３ ３x^２y

４ × ８ x ×

２x ３

２ ２

８ab^２× ５a ４b^２

２

１ ２

２S h ２S

h

２ ２

■全国学力・学習状況調査① Ｂ問題

１

(1) エ 連続 す る ３ つ の 自 然 数 の 和 は 中 央の 数 の ３ 倍 で あ る 。

(2) 【 説 明 】

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 のう ち ， 最 も 小 さ い 数 を n と す る と ， 連 続 す る ５ つ の 自 然 数 は，n ^， n^{＋１ ，} n ^{＋ ２ ，}n ^{＋ ３ ，} n ^{＋ ４と}

表 さ れ る 。

連 続 す る ５ つ の 自 然 数 の和 は ，

n^{＋ （} n^{＋ １ ） ＋(}n^{＋ ２ )＋ (}n ^{＋ ３ )＋ （} n^{＋ ４ ）}

＝ n ＋ n＋ １ ＋ n＋ ２ ＋ n ＋ ３ ＋ n ＋ ４

＝ n ＋ n＋ n ＋ n＋ n ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４

＝ ５ n＋ １ ０

＝ ５ (n^{＋ ２ )}

n^{＋ ２}は 自 然数 だ か ら ，５ (n ＋ ２ ）は ５ の 倍 数 であ る 。

■全国学力・学習状況調査② Ｂ問題

２

(1) Ｒ チ ー ム は ２ 勝 ０ 敗 ２ 引 き 分け だ か ら Ｒ チ ー ム ：２ × ３ ＋ ２ ×１ ＝ ８

(2) 勝 っ た 試 合 を ３ 点 ， 負 け た 試合 を ０ 点 ， 引 き 分 け た 試 合 を １点 と す る と Ｐ チ ー ム は ， ３× ２ ＝ ６

Ｑ チ ー ム は ， ３× ３ ＝ ９

Ｒ チ ー ム は ， ３ ×２ ＋ １ × ２ ＝ ８ Ｓ チ ー ム は ， １× １ ＝ ２

Ｔ チ ー ム は ， ３× １ ＋ １ × １ ＝ ４ 答 え イ Ｑ チ ー ム

(3) 勝 っ た 試 合 を ２ 点 ， 引 き 分 けた 試 合 を １ 点 と す る と 式 は２ a＋ bと な る 。

【 説 明 】

合 計 得 点 を 求 め る 式 を２a ^＋ b と す る と き ， Ｐ チ ー ム は ，２ × ２ ＝ ４

Ｑ チ ー ム は ，３ × ２ ＝ ６

Ｒ チ ー ム は ，２ × ２ ＋ ２ × １ ＝ ６ Ｓ チ ー ム は ，１ × １ ＝ １

Ｔ チ ー ム は ，１ × ２ ＋ １ × １ ＝ ３

し た が っ て ， 合 計 得 点 を 求め る 式 を２ a ＋ b と す る と Ｑ チ ー ム と Ｒ チ ー ム が 同点 で １ 位 に な る 。

■全国学力・学習状況調査③ Ｂ問題

３

(1) ８ ２ ＋ ２ ８ ＝ １ １ ０ (2)

【説 明 】

２ け た の 自 然 数 の 十 の 位 の数 を x， 一 の 位の 数 を y と す る と ， ２ け た の 自 然 数１ ０ x ＋ yは ，

十 の 位 の 数 と 一 の 位 の 数 を入 れ か え た 数１ ０ y^＋ x^{は ，}

と 表 さ れ る 。 し た が っ て ，そ れ ら の 和 は ，

（ １ ０ x＋ y ） ＋ （ １ ０ y ＋ x） ＝ １ ０ x＋ y ＋１ ０ y ＋ x

＝ １ １ x＋ １ １ y

＝ １ １ （ x ＋ y ）

よ っ て ，１ １× 自 然 数 に な る の で ，１ １の 倍 数 に な る 。

(3) ２ け た の 自 然 数 と ， そ の 数 の 十 の 位 の 数 と 一 の位 の 数 を 入 れ か え た 数 の 差 は ， ９ の 倍 数 に な る 。

■全国学力・学習状況調査④ Ｂ問題

４

(1) ２ １ ＋ ２ ２ ＝ ４ ３ ,２ ２ ＋ ２ ３ ＝ ４ ５ よ っ て ，４ ３ ＋ ４ ５ ＝ ８ ８

(2)

【 説 明 】

（２ n＋１ ）＋（２ n ＋３ ) ＝ ２ n＋ １ ＋ ２ n ＋ ３

＝ ４ n^{＋ ４}

＝ ４ （ n＋ １ ）

よ っ て ， ４ × 自 然 数 な ので ,４ の 倍 数 に なる 。

(3) ２ n が 偶 数 を表 す の で ，２ n ＋１と２ n ＋ ３は と も に 奇 数 を 表 す 。 か つ， こ れ ら は 連 続 す る 奇 数 に な っ て い る の で ,答 え は イ で あ る 。

■練習問題①

１

(1) エ ３つ の 自 然 数 の 和 は 中 央 の 数 の ３倍 で あ る 。 (2) 【 説 明 】

５ つ の自 然 数 の う ち ， 最 も 小 さ い 数 を ｎと す る と ， ５ つ の自 然 数 は ，n， n＋ ７ ， n＋ １ ４ ， n＋ ２ １ ， n＋ ２ ８ と 表 され る 。

５ つ の自 然 数 の 和 は ，

n^{＋ (}n^{＋ ７ )＋ (}n^{＋ １ ４ )＋ (}n^{＋２ １ )＋ (}n^{＋ ２ ８ )}

＝ n＋ n ＋ ７ ＋ n＋ １ ４ ＋ n ＋ ２ １ ＋ n＋ ２ ８

＝ n^＋ n ^＋ n^＋ n^＋ n＋７ ＋ １ ４ ＋ ２ １ ＋ ２ ８

＝ ５ n ＋ ７ ０

＝ ５ (n^{＋１ ４ )}

n^{＋ １ ４}は 自 然 数 だ か ら，５ (n＋ １ ４ )は ５の 倍 数 で あ る 。

■練習問題②

２

(1) 円 周 の 求 め 方 は ， 直 径 × π だか ら

円 Ｐ に つ い て は ， 円 周 の 半 分だ か ら ２ a× π × ＝ ２ a × π ×

＝ π a

円 Ｑ に つ い て は ， 円 周 の 半 分だ か ら ２ b× π × ＝ ２ b × π ×

＝ π b

よ っ て ， け い た さ ん が 行 く 道の り は ,あ わ せ て π a ＋ π b (ｍ)

(2) 【 説 明 】

け い た さ ん の 行 く 道 の り は ， π a ＋ π b (ｍ )

か り ん さ ん の 行 く 道 の り は ， 円Ｏ の 円 周 の 半 分 だ か ら

(２ a ＋ ２ b)× π × ＝ (２ a＋ ２ b)× π ×

＝ π (２ a＋ ２ b)

＝ π a＋ π b （ ｍ )

け い た さ ん の 行 く 道 の り と かり ん さ ん の 道 の り は ， π a＋ π b(ｍ )と な る の で ど ち ら か ら 行 っ て も ， 距 離 は 等し い 。

１８０ ３６０

１ ２

１８０ ３６０

１ ２

１８０ ３６０

１ ２ １

２

■練習問題③

３

３ け た の 数 を ，１ ０ ０ a ^{＋ １ ０} b ^＋ cと す る 。ま た ,一 の 位 の 数 と 十 の 位 の数 を 入 れ か え た 数 は , １ ０ ０ c＋ １ ０ b＋ a と なる 。 よ っ て ，

（１ ００ a^＋１０ b^＋ c^{）−（１ ００}c ^＋１０ b^＋ a^{） ＝１ ０ ０} a^{＋ １ ０} b ^＋ c^{− １ ０ ０} c ^{− １ ０} b ⁻ a

＝９ ９ a − ９ ９ c

＝ ９ ９ （a ⁻ c ^）

９ ９ ×整 数 に な る の で ,こ れ は９ ９の 倍 数 にな る 。

■練習問題④

４

(1) （ ☆ ） の 式を 参 考 に す る と , １ ３ ＝ ７ × １ ＋ ６

(2) Ａ ＝５ m＋ １ , Ｂ ＝ ５ n^{＋ ４} と な る の で ， Ａ ＋ Ｂ ＝ （ ５m ＋ １ ） ＋ （ ５ n^{＋ ４ ）}

＝ ５ m＋ １ ＋ ５ n＋ ４

＝ ５ m＋ ５ n＋５

＝ ５ （ m＋ n ＋ １ ）

よ っ て ， ５× 自 然 数 と な る の で ， ５ の 倍 数 にな る わ 。

中 学 校 数 学 科 ２ 年 生

２ 連 立 方 程 式 [問 題 ]

中 学 校

年 組 号 氏 名

５

x

y

x

y

y＝３x−１   あ ３x^＋２y^{＝１６ あ}

２x^−３y^{＝１ あ} ３x^＋２y^{＝８ あ}

■全国学力・学習状況調査① Ａ問題

１ 次 の (1)か ら (5)ま で の 問 い に 答 え な さ い。

(1) 二 元 一 次 方 程 式 x − y ＝ １の 解 で あ る x，y の 値 の 組 に つ い て ， 下 のア か ら エ の 中 か ら 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い。【H20】

ア 解 で あ る x^，yの 値 の 組 は な い 。

イ 解 で あ る x，yの 値 の 組 は １ つ だ け あ る 。 ウ 解 で あ る x，yの 値 の 組 は ２ つ だ け あ る 。 エ 解 で あ る x，yの 値 の 組 は 無 数 に あ る 。

(2) １ 個１ ２ ０円 の り ん ご と １ 個７ ０円 の オ レ ン ジ を 合 わ せ て１ ５個 買 っ た ら ， 代 金 の 合 計 は１ ６ ０ ０円 に な り ま し た 。 買 っ た り ん ご の 個 数 と オ レ ン ジ の 個 数 を 求 め る た め に ， り ん ご の 個 数 を x 個 ， オ レ ン ジ の 個 数 を y 個 と し て 連 立 方 程 式 を つ く り な さ い 。 た だ し ， つ く っ た 連 立 方 程 式 を 解 く 必 要 は あ り ませ ん 。【 H19】

(3) 連 立 方 程 式 を 解 き な さ い。【 H19】

(4) 連 立 方 程 式 を 解 き な さ い。【 H20】

(5) 連 立 方 程 式 を 解 き な さ い。【 H21】

■練習問題①

１ 解 が（ x^， y） ＝ （ − １ ， ４ ）に な る 連 立 二 元一 次 方 程 式 を １ つ つ く り な さ い 。

２ 解 が（ x^， y） ＝ （ ２ ， １ ）に な る 連 立 方 程 式を 次 の ア か ら オ の 中 か ら す べ て 選び な さ い 。 ア ２ x＋ y ＝ １ イ ３ x＋ ４ y ＝ １ ０ ウ ２ x− ３ y ＝ ７

x − ２ y ＝ ８ ４ x＋ ３ y ＝ １ １ ３ x＋ ４ y ＝ ２

ウ ２ x^{− ３} y ^{＝ ７ エ ３} x^{− ２} y ^{＝５ オ ３} x^{− ２} y^{＝ ４}

３ x＋ ４ y ＝ ２ y＝ − ２ x＋ １ x＝ − ３ y ＋ ５

３ 次 の 連 立 方 程 式 を 解 き な さ い 。

３ （ x^＋ y ^{− １ ） − ４} y ^{＝ ５ ０ ． ０ ６} x^{＋ ０ ． ０ ４} y ^{＝ １ ６}

(1) (2)

５ x^{− ３ （ ２} x⁻ y − ３ ） ＝ １ ７ x^＋ y ^{＝ ３ ０ ０}

０ ． ２ x− ０ ． ３ y ＝ ０ ． ７

(3) １ １ １

− x＋ − y ＝ −

４ ３ ６

■練習問題②

ax ^＋ by ^{＝ １}

４ 連 立 方 程 式 解 が （ x ，y ） ＝ （ ３ ， ２ ） の と き ，

bx − ay ＝ ８

定 数 a ， bの 値 を 求 め な さい 。

２ x ＋ ３ y ＝ ５ ・ ・ ・ ①

５ 連 立 方 程 式 １ を Ａ さ ん ， Ｂ 君 が そ れ ぞ れの 方 法 で 解 を

y＝ − x− ３ ・ ・ ・ ② ２

求 め た 。 あ な た な ら ， ど ち ら の方 法 で 解 き ま す か 。

Ａ さ ん Ｂ 君

あ な た な ら ， ど ち ら の 方 法 で 解 き ま す か 。 Ａ さ ん か Ｂ 君 か 答 え て ， そ の 方 法 で 連 立 方 程 式 を 解 き な さ い 。

私は②の式が， ＝ の形になっている ので，まず，②の式 を①の式に代入し て，解いていくわ。

ぼくは，②の式に分数 があるので，両辺を２ 倍して，式を整理して 加減法で解くけどな あ。

■練習問題①

１ 太 郎 さ ん と 花 子 さ ん は ， 次 の 【問 題 】 を 考 え ま し た 。 あ と の 問い に 答 え な さ い 。

【 問 題 】

Ａ 地 点 か ら Ｂ 地 点 を 経 て Ｃ 地 点 ま で ，１ ７ ０ｋ ｍ の 道 の り を 自 動 車 で 行 く の に ， Ａ ，Ｂ 間 を 時 速３ ０ｋ ｍ ，Ｂ ，Ｃ 間 を 時 速７ ０ｋ ｍで 走 る と ，３ 時 間 か か りま し た 。 Ａ ， Ｂ 間 ， Ｂ ， Ｃ 間 を 走 っ た 時間 は そ れ ぞ れ 何 時 間 で す か 。

(1) 太 郎 さ ん と 花 子 さ ん は そ れ ぞ れ 次 の よ う な 連 立 方 程 式 を つ く り 求 め よ う と し ま し た 。 太 郎 さ ん と 花 子 さ ん は ，そ れ ぞ れ何 を x，yと お い て 連 立 方 程 式 を つ くっ た の か 答 え な さ い 。

【 太 郎 さ ん 】 【 花 子 さ ん 】

x ＋ y ＝ ３ x ＋ y ＝１ ７ ０

３ ０ x ＋７ ０ y＝１ ７ ０ ax ^a y

− ＋ − ＝ ３ ３ ０ ７ ０

(2) 太 郎 さ ん と 花 子 さ ん の ど ち らか の 連 立 方 程 式 を 使 っ て 解 き なさ い 。

中 学 校 数 学 科 ２ 年 生

２ 連 立 方 程 式 [解 答 ]

中 学 校

年 組 号 氏 名

■全国学力・学習状況調査① Ａ問題

１

(1) 二 元 一 次 方 程式２ x ⁻ y ^{＝ １}の 解 は ,こ の 等 式 を 成 り 立 た せ る 文 字 x^,y の 値 の 組 で あ る 。 こ の 等 式 を 成 り立 た せ る 文 字 x,yの 値 の 組 は 無 数 に あ り ， エ に なる 。

(2) り ん ご と オ レン ジ の 個 数 と ， 代 金 に つ い て 式 をつ く る と よ い 。

x^＋ y^{＝ １ ５}

１ ２ ０ x＋ ７ ０ y＝ １ ６ ０ ０

５ x＋ ７ y＝ ３ ・ ・ ・ ① (3)

２ x^{＋ ３} y＝ １ ・ ・ ・ ②

① × ２ − ② × ５ y ＝ − １ を① に 代 入 し て ，x ＝ ２ １ ０ x ＋１ ４ y ＝ ６ (x， y)＝ (２ ， − １ )

− ） １ ０ x ＋ １ ５ y＝ ５

y^{＝ − １}

y＝ ３ x− １ ・ ・ ・ ① (4)

３ x＋ ２ y ＝ １ ６ ・ ・ ・ ②

① を ② に代 入 し て ， x ＝ ２ を① に 代 入 し て， y＝ ５ ３ x ＋ ２ (３ x− １ )＝ １ ６ (x ，y)＝ (２ ， ５ )

３ x＋ ６ x− ２ ＝１ ６ ９ x＝ １ ８

x^{＝ ２}

２ x^{− ３} y ＝ １ ・ ・ ・ ① (5)

３ x^{＋ ２} y ＝ ８ ・ ・ ・ ②

① × ３ − ② × ２ y ＝ １ を ①に 代 入 し て ，x ＝ ２ ６ x^{− ９} y^{＝ ３ (}x^， y)＝ (２ ， １ )

− ） ６ x ^{＋ ４} y^{＝ １ ６}

− １ ３ y ＝ − １ ３

y ＝ １

■練習問題①

１ ２ x ＋ ３ y ＝ １ ０

（ 例 ） など

x⁻ y ^{＝ − ５}

２ 実 際 にそ れ ぞ れ ， x＝ ２ ， y ＝ １ を代 入 し て 確 か め る と よ い 。 答 え は イ と オ

３

３（x＋y−１） − ４ y ＝ ５ ・ ・ ・ ① ０．０６x ＋０．０４ y ＝ １ ６ ・ ・ ・ ①

(1) (2)

５x−３（２x−y−３） ＝ １ ７ ・ ・ ・ ② x＋ y ＝ ３ ０ ０ ・ ・ ・ ②

① よ り ３ x⁻ y ＝ ８ ・ ・ ・ ① ʼ ① ×１ ０ ０ よ り

② よ り − x ＋ ３ y ＝ ８ ・ ・ ・ ② ʼ ６ x ＋ ４ y ＝ １ ６ ０ ０ ・ ・ ・ ① ʼ

① ʼ ＋ ② ʼ × ３ よ り ① ʼ − ② × ４ よ り

３ x − y ＝ ８ ６ x ＋ ４ y ＝ １ ６ ０ ０

＋ ） − ３ x＋ ９ y ＝ ２ ４ − ） ４ x ＋ ４ y ＝ １ ２ ０ ０

８ y ＝ ３ ２ ２ x ＝ ４ ０ ０

y ＝ ４ x ＝ ２ ０ ０

① ʼ に 代 入 し て ， x ^{＝ ４ ② に代 入 し て} y ^{＝ １ ０ ０}

よ っ て， （ x ，y ） ＝ （ ４ ， ４ ） よ って ， （ x， y） ＝ （ ２ ０ ０ ， １ ０ ０ ）

０ ． ２ x^{− ０ ． ３} y ＝ ０ ． ７ ・ ・ ・ ①

(3) １ １ １

− x^{＋ −} y ＝ − ・ ・ ・ ②

４ ３ ６

① × １ ０ ２ x ^{− ３} y ＝ ７ ・ ・ ・ ① ʼ

② × １ ２ ３ x ＋ ４ y ＝ ２ ・ ・ ・ ② ʼ

① ʼ × ３ − ②ʼ × ２ よ り

６ x− ９ y ＝ ２ １

− ） ６ x^{＋ ８} y ^{＝ ４}

− １ ７ y ^{＝ １ ７} y ＝ − １

① ʼ に 代 入 し て x ＝ ２

よ っ て ， （ x， y ） ＝ （ ２ ， − １ ）

bx− ay ＝ ８ ・ ・ ・ ②

① よ り ， ３ a ＋ ２ b＝ １ ・ ・ ・ ① ʼ

② よ り ， − ２ a ^{＋ ３} b＝ ８ ・ ・ ・ ② ʼ

① ʼ × ２ ＋ ②ʼ × ３ よ り ， ６ a ＋ ４ b ＝ ２

＋ ） − ６ a ＋ ９ b ＝ ２ ４ １ ３ b ＝ ２ ６

b ^{＝ ２}

① ʼ に代 入 し て a ^{＝ − １}

よ って ， （ a， b ） ＝ （ − １ ， ２ ）

２ x ＋ ３ y＝ ５ ・ ・ ・ ①

５ １

y ＝ − x− ３ ・ ・ ・ ② ２

Ａ さ ん を 選 ん だ 場 合 ： ② を① に 代 入 し て， Ｂ 君 を選 ん だ場 合 ： ② × ２ よ り

１ − x＋ ２ y＝ − ６ ・ ・ ・ ② ʼ

２ x^{＋ ３ （ −}_２ x^{− ３ ） ＝ ５}

３ ① ＋ ② ʼ × ２ よ り

２ x ^{＋ −}_２ x ^{− ９ ＝ ５}

２ x＋ ３ y ＝ ５

７ ＋ ） − ２x ＋ ４ y ＝ − １ ２

−２ x ＝ １ ４

x ＝ ４ ７ y ＝ − ７

① に 代 入 し て y ＝ − １ y ＝ − １

よ っ て （ x ， y） ＝ （ ４ ， − １ ） ① に 代 入 し て , x ＝ ４

よ って ， （ x， y） ＝ （ ４ ， − １ ）

■練習問題①

１

(1) 太 郎 さ ん の 方 程 式 …Ａ ， Ｂ 間 を 走 っ た 時 間 を x 時 間 ， Ｂ ， Ｃ 間を 走 っ た 時 間 を y ^{時 間 と}

し て い る 。

花 子 さ ん の 方程 式 … Ａ ，Ｂ 間 の 道 のり を xｋ ｍ ，Ｂ，Ｃ 間 の 道 の り を y ｋ ｍと し て い る 。

(2) 太 郎 さ ん の 方 程 式 で 解 い た 場 合 花 子 さ ん の 方 程 式 で 解 い た場 合

x＋y＝３ ・・・①

３０x＋７０y＝１７０ ・・・②

−）３０x＋７０y＝１７０

y＝２を①に代入して

①× ３０−②

(x，y)＝(１，２)

Ｂ，Ｃ間を走った時間…２時間 Ａ，Ｂ間を走った時間…１時間

３０x＋３０y＝９０

−４０y＝−８０ y＝２

，x＝１

x＋y＝１７０ ・・・①

３０

x ＋

７０

y ＝３ ・・・②

②× ２１０−①× ３

Ａ，Ｂ間を走った時間…

−）３x＋３y＝５１０

x＝３０を①に代入して，y＝１４０

Ｂ，Ｃ間を走った時間…

７x＋３y＝６３０ ４x＝１２０

x＝３０

３０ ３０ １４０

７０

＝１

＝２ １時間

２時間

中 学 校 数 学 科 ２ 年 生

３ 一 次 関 数

［ 問 題 ］

中 学 校

年 組 号 氏 名

■全国学力・学習状況調査 Ａ問題 ①

１ 次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え なさ い 。【 H19】

(1) 下 の ア か ら オ の 中 に ，yがxの 一 次 関 数 で あ る も の があ り ま す 。 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。

ア 面 積 が６ ０ ｃ ｍ^２の 長 方 形 で， 縦 の 長 さ が xｃ ｍの と き の 横 の 長 さ yｃ ｍ

イ 水 が５ ℓ入 っ て い る 水 そ う に ， 毎 分３ ℓの 割 合 で い っ ぱ い に な る ま で 水 を 入 れ る と き ， 水 を 入 れ 始 め て か ら のx分 後 の 水 の 量 yℓ

ウ 身 長 xｃ ｍの 人の 体 重 yｋ ｇ

エ ６ ｍの リ ボ ン をx人 で 同 じ 長 さ に 分 け る と きの １ 人 分 の 長 さ yｍ オ 午 後 x時 の 気 温 y℃

(2) 下 の ア か ら オ の 中 に ， 一 次 関数y＝ − ３ x＋ ２の グ ラ フ が あ り ま す 。 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。

ア イ ウ

エ オ

y y

y

Ｏ

x

y

Ｏ

x x

Ｏ

Ｏ

y

■全国学力・学習状況調査 Ａ問題 ②

aまなぶ

２ 学 さ ん は ， 家 か ら７ ０ ０ ｍ離 れ た 公 園 ま で 行き ま し た 。

下 の 図 は ， 学 さ ん が 家 を 出 発 し てか ら の 時 間 と ， 進 ん だ 距 離 の 関係 を 表 し た グ ラ フ で す 。

【 H19】

次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え なさ い 。

(1) 上 の グ ラ フ か ら ， 家 を 出 発 し て２分 後 ま で は１ ０ ０ ｍを 一 定 の 速 さ で 進 ん だ こ と が 分 か り ま す 。 家 を 出 発 し て か ら２分 間 進 ん だ速 さ は 毎 分 何ｍで す か 。

(2) 家 を 出 発 し て２分 後 の 地 点 か ら 公 園 まで 行 っ た と き の 速 さ は 毎 分 何ｍで す か 。

３ 下 の 図 で ， 直 線 ① は 方 程 式 x＋ y＝ ５のグ ラ フ ， 直 線 ② は 方 程 式 x− y＝ １の グ ラ フ で す 。 x＋y＝５

グ ラ フ の 点Ａか ら 点Ｅの 中 に， 連立 方 程 式 の 解 を 座標 に も つ 点 が あ り ま す 。 x−y＝１

下 の ア か ら オ の 中 か ら 正 し い も のを １ つ 選 ん で 記 号 で 答 え な さ い。

ア 点Ａ イ 点Ｂ ウ 点Ｃ エ 点Ｄ オ 点Ｅ

x

y

■全国学力・学習状況調査 Ａ問題 ③

４ 下 の 図 の 直 線 は ， 比 例y＝ ２ xの グ ラ フ を 表 し て い ま す。【 H20】

こ の グ ラ フ の う ち ，x の 変 域 を− 1≦ x ≦ ２に 対 応 す る 部 分 を ， 下 の 図 の点 線 （ ） の 上 に ， 太 線 （ ） で か きな さ い 。

ま た ， 太 線 の 両 端 を 印 で 示 しな さ い 。

y

x

x

y