ベクトル解析・ Maxwell の方程式

4W ^{数理物理学} ( ^概論 )IV ^標準 H001-1

担当教員

:

浜中 真志 研究室

: A327 E-mail:[email protected]

ベクトル解析・ Maxwell ^の方程式

作成日: October 21, 2018 Updated : October 21, 2018 Version : 1.0 実施日: October 22, 2018

 

3

次元空間

R

³での内積・外積

,

ベクトル解析

空間ベクトル

⃗a =



  a

₁

a

₂

a

₃



  , ⃗b =



  b

₁

b

₂

b

₃



 

に対して, 内積

⃗a · ⃗b,

外積

⃗a × ⃗b

を次のように定

義する：

⃗a · ⃗b := a

₁

b

₁

+ a

₂

b

₂

+ a

₃

b

₃

, ⃗a × ⃗b :=



 

a

2

b

3

− a

3

b

2

a

₃

b

₁

− a

₁

b

₃

a

₁

b

₂

− a

₂

b

₁



  .

定義より

, ⃗a × ⃗a = ⃗ 0

が成り立つ

.

外積

⃗a × ⃗b

は

⃗a

と

⃗b

とも直交し：

⃗a · (⃗a × ⃗b) = 0, ⃗b · ( ⃗a × ⃗b) = 0,

その大きさは

⃗a

と

⃗b

の張る平行四辺形の面積に等しい．(θは

2

つのベクトルのなす角)：

∥ ⃗a × ⃗b ∥ = ∥ ⃗a ∥∥ ⃗b ∥| sin θ |

ベクトル解析序論

(

勾配

,

発散

,

回転

)

定義

1. (関数の勾配,

ベクトルの発散, 3次元ベクトルの回転)

n

次元空間

R

ⁿを考え

,

その上の関数

f (⃗ x) := f (x

¹

, x

²

, · · · , x

ⁿ

),

および

n

成分ベクト ル値関数

⃗ v(⃗ x) := ⃗ v (x

¹

, x

²

, · · · , x

ⁿ

)

を考える

(

すべて

C

^∞級とする

).

また微分演算子 の記号として

∇ :=

( ∂

∂x

¹

, ∂

∂x

²

, · · · , ∂

∂x

ⁿ

)

を導入しておく

. ( ∇

は「ナブラ」と読む

. )

関数

f

の勾配

(gradient) grad f ,

およびベクトル

⃗ v

の発散

(divergence) div ⃗ v

は以下 のように定義される：

grad f :=

( ∂f

∂x

¹

, ∂f

∂x

²

, · · · , ∂f

∂x

ⁿ

)

= ∇ f, div ⃗ v := ∂v

₁

∂x

¹

+ ∂v

₂

∂x

²

+ · · · + ∂v

_n

∂x

ⁿ

= ∇ · ⃗ v.

特に

3

次元空間においては

,

ベクトル

⃗ v

の回転

(rotation) rot ⃗ v

というものが以下の ように定義される：

rot ⃗ v :=

( ∂v

3

∂x

²

− ∂v

2

∂x

³

, ∂v

1

∂x

³

− ∂v

3

∂x

¹

, ∂v

2

∂x

¹

− ∂v

1

∂x

²

)

= ∇ × ⃗ v.

以下の恒等式が成り立つ：rot (grad

f ) = ∇ × ( ∇ f) = ⃗ 0, div (rot ⃗ v) = ∇ · ( ∇ × ⃗ v) = 0.

また

,

以下の公式が成り立つ

(

興味ある人は確かめてみるとよい

)

：

∇ × ( ∇ × ⃗ v) = ∇ ( ∇ · ⃗ v) − ( ∇ · ∇ )⃗ v. (1)

標準

H0-4W18-01

難易度

: C

名古屋大学・理学部・数理学科

4W ^{数理物理学} ( ^概論 )IV ^標準 H001-2

担当教員

:

浜中 真志 研究室

: A327 E-mail:[email protected]

問題

1. (マクスウェルの方程式)

時間座標を

t, 3

次元空間の座標を

⃗ x = (x

¹

, x

²

, x

³

)

とす る

. (

以後

,

矢印の記号

⃗

は

3

次元ベクトルを表す

.)

与えられた電荷密度を

ρ,

電流密度を

⃗j

とすると

,

マクスウェルの方程式は次式で与えられる：

div B ⃗ = 0, rot E ⃗ = − 1 c

∂ ⃗ B

∂t , (2)

div E ⃗ = 4πρ, rot B ⃗ = 1 c

∂ ⃗ E

∂t + 4π

c ⃗j. (3)

ただし

E, ⃗ B ⃗

はそれぞれ電場,磁場を表す.

c

は正定数

(光速度).

また,スカラーポテンシャ ル

ϕ

とゲージポテンシャル

A ⃗

は

E, ⃗ B ⃗

と以下の関係を持つ：

E ⃗ = − grad ϕ − 1 c

∂ ⃗ A

∂t , B ⃗ = rot A. ⃗ (4)

(1)

〜

(3)

ではこれらを微分形式を用いて書き表すことを考える

.

そのために

, 4

次元時空の 座標

x

^µ

:= (ct, ⃗ x), 4

元ポテンシャル

A

_µ

:= ( − ϕ, ⃗ A)

および

4

元電流密度

j

_µ

:= ( − cρ,⃗j)

を 導入する

. (

以後

,

添え字は以下を走る：

µ, ν = 0, 1, 2, 3. i, j = 1, 2, 3.)

(1) 1-form A := A

_µ

dx

^µおよび

2-form F := dA

を定義する

. F = (1/2)F

_µν

dx

^µ

∧ dx

^ν と 表したとき

, F

_i0

= E

_i

, F

_ij

= ϵ

_ijk

B

_kであることを示せ

.

(2) d ◦ d = 0

より

, dF = ddA = 0

である

(Bianchi

の恒等式

).

式

(2)

は

, dF = 0

で表さ れることを示せ

.

(3) 1-form j := j

_µ

dx

^µを定義する

.

式

(3)

は

∗ d ∗ F = (4π/c)j

で表されることを示せ

.

ただし

, ∗

はホッジ作用素

(Hodge operator)

と呼ばれ，以下のように定義される

. (p-form

の空間を

(n − p)-form

の空間に写す.

∗ : Ω

^p

→ Ω

^n−p

.)

∗ (dx

ⁱ¹

∧ · · · ∧ dx

^ip

) := 1

(n − p)! ϵ

^i1,···,ip_j

1,···,jn−p

dx

^j1

∧ · · · ∧ dx

^jn−p

.

ただし本問では

(

ミンコフスキー空間では

),

上付き添え字を下付き添え字におろす とき，「

0

」が上付き添え字に含まれるときはマイナス符号が出る

. (

たとえば

, ϵ

⁰¹₂₃

=

− ϵ

₀₁₂₃

, ϵ

²⁰₃₁

= − ϵ

₂₀₃₁

, ϵ

¹²₀₃

= +ϵ

₁₂₀₃

.)

(4) j = 0

とする

.

式

(2)

第

2

式の両辺の回転をとり以下を示せ

. (

公式

(1)

を用いてよい

.) ( 1

c

²

∂

²

∂t

²

− ∂

²

∂x

²

− ∂

²

∂y

²

− ∂

²

∂z

²

)

E ⃗ = ⃗ 0 (5)

磁場についても同様のことが示される

.

(5)

式

(5)

は波動方程式と呼ばれるものである. 空間

1

次元で考えると波動方程式は

( 1

c

²

∂

²

∂t

²

− ∂

²

∂x

²

)

f = 0, (6)

である

. f (t, x) = A sin(x − ct) (A

は定数

)

は

,

式

(6)

の解であることを示せ

. (

より 一般に

f (t, x) = f (x − ct)

の形の関数は式

(6)

を満たす. これは速さ

c

で

x

の正の方 向に進行する波を表す

.)

(4), (5)

より, 電場・磁場は速さ

c

で進行する波になりうることが分かる. これが電磁波で

あり物理学では「光」と総称して呼ばれる

. (

可視光は波長

(4000

〜

7000) × 10

⁻¹⁰

m

の電 磁波

.)

なお重力波の満たす方程式も

(4)

と同じ波動方程式である

. (

伝播速度も同じ

.)

標準

H0-4W18-01

難易度

: C

名古屋大学・理学部・数理学科