1999
年度 基礎数学ワークブック番外編N o. 2 − 18 −
< 平面上の線積分 5 >
例 曲線
C
が図1
のようにC : x(t) = t , y(t) = ϕ(t) , a 5 t 5 b
と表される場合には，次の線積分Z
C
ydx = Z b
a
ϕ(t)dt = S
1は図
1
の斜線部分の面積S
1を意味する。このような場合は 線積分を単にx
に関する積分Z
C
ydx = Z b
a
ϕ(x)dx
で表す。図
1
と同じ曲線でx = b
から出発したとしてx = a
に向かう曲線をC
0(
図2)
とするとZ
C
0ydx = Z a
b
ϕ(x)dx = − Z b
a
ϕ(x)dx = − Z
C
ydx
となる。Cと同じ曲線を逆に進む積分路
C
0はC
0= − C
と書かれる。
問 積分路
C
は曲線y = ψ(x)
上をx = b
からx = a
に向かって進むとする。図
