[ 研究ノート ] Sanno University Bulletin Vol. 39 No.1 September 2018 チェビシェフの微分方程式の別解 The Other Solutions of Chebyshev Differential Equation 手代木琢磨 Takuma Te

(1)

（例_{2）文章の外の引用}

関係完備制が証明された〔_{Codd 1971a〕}

Example〔von Neumann and Morgenstern 1944〕

（6）参考文献本文中で引用した文献は、参考文献として著者名のアルファベット順にまとめる。書誌記述は、単行図書の場合は『著者名：書名、出版社、出版年、（その単行図書の一部を引用する場合には）ページ』の順に記述する。（例_{1）和書の場合} テイラー，Ｆ . Ｗ . 著上野陽一訳編：科学的管理法、産業能率短期大学出版部、1969 （例2）洋書の場合

Ablial.J.R.：Data Semantics, Proc.IFIP Working Conference on Data Base Management, North-Holland, 1974, pp.1-60

雑誌の場合は『執筆者名：表題、雑誌名、巻（号）、出版年、ページ』の順とする。

（例_{1）和雑誌の場合}

小田稔：マイクロ波の朝永理論、科学、49（12）, 1979, pp.795-798

（例2）洋雑誌の場合

Kipp,E.M.：Twelve Guides to Effective Human Relations in R.&D.,Research Manegement, 7（6）,1964,pp.419-428 （_{7）図・表} 図・表は、１枚の用紙に一つだけ書き、図・表のそれぞれに、図１－１（_{Figure 1-1）、表１－} １（Table 1-1）のように一連番号を付け、タイトルを記入する。６．投稿期日９月刊行の号は４月上旬、２月刊行の号は９月中旬を締め切りとする。ただし、投稿は随時受け付ける。７．投稿原稿の審査原稿の採否は紀要審査委員会において決定する。採用された原稿について、加筆、修正が必要な場合は、一部の書き直しを要求する場合がある。また、表記などの統一のため、紀要審査委員会で一部改める場合もある。なお、原稿のテーマによっては紀要審査委員以外のものに原稿の査読を依頼することがある。８．執筆者校正校正は執筆者の責任において行うこととする。（校正段階における加筆は、印刷の進行に支障を来すので、完全原稿を提出すること。）９．著作物の電子化と公開許諾本誌に掲載された著作物の著作権は執筆者に帰属するが、次の件は了承される。（_{1）執筆者は、掲載著作物の本文、抄録、キーワードに関して紀要審査委員会に「電子化公開許諾} 書」を提出し、著作物の電子化及び公開を許諾するものとする。共著の場合は、すべての執筆者の提出が必要である。（_{2）上記により難い場合は、紀要審査委員会に相談する。} 10．掲載論文の別刷掲載された論文１編につき、本誌１部、別刷_{100部を無償で執筆者に贈呈する。別刷100部以上} は有料とする。（1991.6.5）（1994.7.6改正）（2003.1.7改正）（2003.9.17改正）（2013.4.29改正）

Sanno University Bulletin Vol. 39 No.1 September 2018

チェビシェフの微分方程式の別解

The Other Solutions of Chebyshev Differential Equation

手代木琢磨

Takuma Teshirogi

勝間豊

Yutaka Katuma

Abstract

In the previous paper, the differential equations of the fundamental style of Chebyshev

polynomials were discussed. In this paper, other solutions of the differential equations which contain inverse trigonometric function are discussed.

１．序論

手代木と勝間 [2017] において、第一種および第二種のチェビシェフ多項式基本型の

微分方程式を定義し、その性質を議論した。本稿ではそれらの微分方程式の別の解を検討する

。

２．チェビシェフ多項式とチェビシェフ多項式基本型

２

．

１第一種のチェビシェフ多項式と第一種のチェビシェフ多項式基本型

すでに知られているように、cosN  f (cos) の cos  を x と書き直した式 T_N(x) が、第一種のチェビシェフ多項式で、TN(x) の各項に係数 γ を掛けて、係数 γ と x との積が

N 次となるように誘導された多項式が第一種のチェビシェフ多項式基本型 ₀TN(x) である。

例えば、 cos5 16cos520cos35cos から T₅(x)16x520x35x で、

x γ x γ x x T₅ 5 2 3 4 0 ( )16 20 5 である。

(2)

同様に、cos6 32cos648cos418cos21 から T₆(x)32x6 48x4 18x2 1 で、 6 2 4 4 2 6 6 0T (x)32x 48γ x 18γ x γ である。２

．

２第二種のチェビシェフ多項式と第二種のチェビシェフ多項式基本型

すでに知られているように、sin (N 1 ) sing (cos) の中のg (cos) のcos  を x と書き直した式 U_N(x) が第二種のチェビシェフ多項式で、U_N(x) の各項に係数 γ を掛けて、γ と

x との積がN 次となるように誘導された多項式が第二種のチェビシェフ多項式基本型 ₀U_N(x)である。例えばsin 6 sin  (32cos532cos36cos ) から U₅(x)32x532x36x で、

x γ x γ x x U 5 2 3 4 5 0 ( )32 32 6 である。同様に ) 1 cos 24 cos 80 cos 64 ( sin 7 sin _ _ _ 6__ 4__ 4__ _から ₍ ₎ ₆₄ 6 ₈₀ 4 ₂₄ 2 ₁ 6 x  x  x  x  U で、 6 2 4 4 2 6 6 0U (x)64x 80γ x 24γ x γ である。３．チェビシェフ多項式基本型の微分方程式３

．

１第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式手代木と勝間 [2017] で述べたように、第一種のチェビシェフ多項式基本型 0TN(x)の微分方程式は次式で表される。 0 ) ( ' ) ( " ) ( ) 1 (  ₂2   ₂   ₂2 T x  γ N x T γ x x T γ x N N N 0 0 0 ３

．

２第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式手代木と勝間 [2017] で述べたように、第二種のチェビシェフ多項式基本型 0UN(x)の微分方程式は次式で表される。

(3)

同様に、cos6 32cos648cos418cos21 から T₆(x)32x648x4 18x21 で、 6 2 4 4 2 6 6 0T (x)32x 48γ x 18γ x γ である。２

．

２第二種のチェビシェフ多項式と第二種のチェビシェフ多項式基本型

すでに知られているように、sin (N  1 ) sing (cos) の中のg (cos) のcos  を x と書き直した式 U_N(x) が第二種のチェビシェフ多項式で、U_N(x) の各項に係数 γ を掛けて、γ と

x との積がN 次となるように誘導された多項式が第二種のチェビシェフ多項式基本型 ₀U_N(x)である。例えばsin 6 sin  (32cos5 32cos36cos ) から U₅(x)32x5 32x36x で、

x γ x γ x x U 5 2 3 4 5 0 ( )32 32 6 である。同様に ) 1 cos 24 cos 80 cos 64 ( sin 7 sin _ _ _ 6_ _ 4_ _ 4_ _ _から ₍ ₎ ₆₄ 6 ₈₀ 4 ₂₄ 2 ₁ 6 x  x  x  x  U で、 6 2 4 4 2 6 6 0U (x)64x 80γ x 24γ x γ である。３．チェビシェフ多項式基本型の微分方程式３

．

１第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式手代木と勝間 [2017] で述べたように、第一種のチェビシェフ多項式基本型 0TN(x)の微分方程式は次式で表される。 0 ) ( ' ) ( " ) ( ) 1 (  ₂2   ₂   ₂2  T x  γ N x T γ x x T γ x N N N 0 0 0 ３

．

２第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式手代木と勝間 [2017] で述べたように、第二種のチェビシェフ多項式基本型 0UN(x)の微分方程式は次式で表される。 0 ) ( 2) ( ' ) ( 3 " ) ( ) 1 (  ₂2   ₂   ₂  U x  γ N N x U γ x x U γ x N N N 0 0 0 ４．チェビシェフ多項式基本型の微分方程式の別解４

．

１第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の別解まず新しい多項式基本型 ₀V_N(x) を _V (_x) (_γ2 _x2)21 _U ₁(_x) N N   0  0 と定義する。この関数の一階微分、二階微分を求め

、

)} ( ' ) ( ) ( { ) ( ' ) ( 2 2 2 ₁ ₁ 1 2 2 _x _γ _x _U _x _x _U _x γ x VN N N        ₀ ₀ 0 )} ( ' ) ( ) ( 2 " ) ( ) ( { ) ( " ) ( 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 2 2 _x _γ _x _U _x _x _γ _x _U _x _γ _U _x γ x VN N N N            ₀ ₀ ₀ 0 これらの値を第一種のチェビシェフ多項式の微分方程式に代入すると、次のようになる

。

0 } ) ( ) 1 ( ' ) ( 3 " ) ( ) ( { ) ( ) ( ' ) ( " ) ( ) ( 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2                     x x U x N U x U x γ x γ x V N x V x x V x γ N N N N N N 0 0 0 0 0 0 ただし最後の式の誘導のために₀U_{N }₁(x) が第二種のチェビシェフ多項式の微分方程式、 0 ) ( 1) 1)( ( ' ) ( 3 " ) ( ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 2          _ _ U _ x γ N N x U γ x x U γ x N N N 0 0 0 の解であることを利用した

。

ここから、₀V_N(x) が第一種のチェビシェフ多項式の微分方程式の解になっていることが判明する。 N=1 からN=12 までの ₀V_N(x) は次のようになる。

(4)

) 12 280 1792 4608 5120 2048 ( ) ( ) ( ) 60 560 1792 2304 1024 ( ) ( ) ( ) 10 160 672 1024 512 ( ) ( ) ( ) 40 240 448 256 ( ) ( ) ( ) 8 80 192 128 ( ) ( ) ( ) 24 80 64 ( ) ( ) ( ) 6 32 32 ( ) ( ) ( ) 12 16 ( ) ( ) ( ) 4 8 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 10 3 8 5 6 7 4 9 2 11 2 1 2 2 12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 2 1 2 2 11 8 3 6 5 4 7 2 9 2 1 2 2 10 8 2 6 4 4 6 2 8 2 1 2 2 9 6 3 4 5 2 7 2 1 2 2 8 6 2 4 4 2 6 2 1 2 2 7 4 3 2 5 2 1 2 2 6 4 2 2 4 2 1 2 2 5 2 3 2 1 2 2 4 2 2 2 1 2 2 3 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 x γ x γ x γ x γ x γ x x γ x V γ x γ x γ x γ x γ x x γ x V x γ x γ x γ x γ x x γ x V γ x γ x γ x γ x x γ x V x γ x γ x γ x x γ x V γ x γ x γ x x γ x V x γ x γ x x γ x V γ x γ x x γ x V x γ x x γ x V γ x x γ x V x x γ x V x γ x V                                                                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 この ₀V_N(x) を xγcosθ とおいて整理すると、 ) cos ( sin ) ( sin ) cos ( sin ) cos ( ) ( 1 1 γ θ γ N θ γ N _γx U θ γ θ γ V x V N N N N N  0     0          0 が得られる。ただし 2 1 2 2 ₎ (γ x にxγcosθ を代入する場合、正をとってγ sin  θ とした。

(5)

) 12 280 1792 4608 5120 2048 ( ) ( ) ( ) 60 560 1792 2304 1024 ( ) ( ) ( ) 10 160 672 1024 512 ( ) ( ) ( ) 40 240 448 256 ( ) ( ) ( ) 8 80 192 128 ( ) ( ) ( ) 24 80 64 ( ) ( ) ( ) 6 32 32 ( ) ( ) ( ) 12 16 ( ) ( ) ( ) 4 8 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 10 3 8 5 6 7 4 9 2 11 2 1 2 2 12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 2 1 2 2 11 8 3 6 5 4 7 2 9 2 1 2 2 10 8 2 6 4 4 6 2 8 2 1 2 2 9 6 3 4 5 2 7 2 1 2 2 8 6 2 4 4 2 6 2 1 2 2 7 4 3 2 5 2 1 2 2 6 4 2 2 4 2 1 2 2 5 2 3 2 1 2 2 4 2 2 2 1 2 2 3 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 x γ x γ x γ x γ x γ x x γ x V γ x γ x γ x γ x γ x x γ x V x γ x γ x γ x γ x x γ x V γ x γ x γ x γ x x γ x V x γ x γ x γ x x γ x V γ x γ x γ x x γ x V x γ x γ x x γ x V γ x γ x x γ x V x γ x x γ x V γ x x γ x V x x γ x V x γ x V                                                                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 この ₀V_N(x) を xγcosθ とおいて整理すると、 ) cos ( sin ) ( sin ) cos ( sin ) cos ( ) ( 1 1 γ θ γ N θ γ N _γx U θ γ θ γ V x V N N N N N  0     0          0 が得られる。ただし 2 1 2 2 ₎ (γ x にxγcosθ を代入する場合、正をとってγ sin  θ とした。以下同様である

。

そこで別の関数 cos( cos 1 ) γ x N y_T _ _  _{も第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解と} なるかを検討する。 t γ x  1

cos とおくと、y_T cos(N t) , xγcost となるので、

t t N γ N dxdt dt dy dx dy y T T T' sin _sin( )       である。この式をもう一度微分して次式を得る。 ' sin 1 sin 1 } sin cos ) ( sin ) ( cos { sin 1 ) sin 1 ( } sin ) ( sin { ) ( ) ( " 2 2 2 2 2 2 2 T T T T T y t γ x y t γ N t t t N t N N t γ N t γ t t N γ N dt d dx dt dx dy dt d dx dy dx d y                          さらに ₂ 2 2 ₁ sin γ x t  を利用して、次式が得られる。 0 ' " ) 1 (  ₂2  _T  ₂ _T  ₂2y_T  γ N y γ x y γ x 上の式は第一種のチェビシェフ多項式基本型 ₀T_N(x) の微分方程式 0 ) ( ' ) ( " ) ( ) 1 (  ₂2   ₂   ₂2 T x  γ N x T γ x x T γ x N N N 0 0 0 の ₀T_N(x)の代わりにy _T を代入した式となっているので、y _T が第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解になっていることが解る。この cos( cos 1 ) γ x N yT    は cos1 _γx θ とおくと y_T cos( Nθ) となり、 cos( cos1 ) cos( ) 1 T (x)

γ θ N γ x N yT       N  0 N となる。すなわち、y _T と₀T_N(x)は係数が異なるだけで、本質的に同じ関数である。

(6)

前述したように、 ( ) ( )2 ₁( ) sin ( cos1 ) 1 2 2 γ x N γ x U x γ x V N N N    0      0 なので、



 







N N N N N x V x T x γ x U x γ T 2 2 1 2 2 2 2 2 ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ) (  0  0    0   0 となる。さらに次式が得られる。 2 ) ( 2 ) cos (2 sin ) cos ( sin ) cos ( cos ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2 γ V x x N γ γ x N γ x N γ x V x T N N N N N 0 0 0              この式は次のようにも導入できる

。

2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 _x _U _x _γ _x U x V x γ x T x V x T N N N N N N 0 0 0 0 0 0            ただし最後の式の導入のために、手代木と勝間 [2017] で報告した、 ) ( ) ( 2 1 ) ( 1 0 1 2 x U x U x T N N N     0 0 を利用した。すなわち ₀T_N(x) と ₀V_N(x )だけでなく、その積である ₀T_N(x ) ₀V_N(x )もまた第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解となっている。以上の結果を利用して cos( sin 1 ) A (x) γ x N γN     0 N を検討する。 ) ( ) 2 ( sin ) ( ) 2 ( cos ) cos 2 ( cos ) sin ( cos ) ( 1 1 0 x V π N x T π N γ x N π N γ γ x N γ x A N N N N N 0 0                 同様に sin ( sin 1 ) B (x) γ x N γN     0 N を検討する。 ) ( ) 2 ( cos ) ( ) 2 ( sin ) cos 2 ( sin ) sin ( sin ) ( 1 1 x V π N x T π N γ x N π N γ γ x N γ x B N N N N N 0 0 0                

(7)

前述したように、 ( ) ( )2 ₁( ) sin ( cos 1 ) 1 2 2 γ x N γ x U x γ x V N N N    0      0 なので、



 







N N N N N x V x T x γ x U x γ T 2 2 1 2 2 2 2 2 ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ) (  0  0    0   0 となる。さらに次式が得られる。 2 ) ( 2 ) cos (2 sin ) cos ( sin ) cos ( cos ) ( ) ( 2 1 2 1 1 2 γ V x x N γ γ x N γ x N γ x V x T N N N N N 0 0 0              この式は次のようにも導入できる

。

2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 _x _U _x _γ _x U x V x γ x T x V x T N N N N N N 0 0 0 0 0 0            ただし最後の式の導入のために、手代木と勝間 [2017] で報告した、 ) ( ) ( 2 1 ) ( 1 0 1 2 x U x U x T N N N     0 0 を利用した。すなわち ₀T_N(x) と ₀V_N(x )だけでなく、その積である ₀T_N(x ) ₀V_N(x )もまた第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解となっている。以上の結果を利用して cos( sin 1 ) A (x) γ x N γN     0 N を検討する。 ) ( ) 2 ( sin ) ( ) 2 ( cos ) cos 2 ( cos ) sin ( cos ) ( 1 1 0 x V π N x T π N γ x N π N γ γ x N γ x A N N N N N 0 0                 同様に sin ( sin 1 ) B (x) γ x N γN     0 N を検討する。 ) ( ) 2 ( cos ) ( ) 2 ( sin ) cos 2 ( sin ) sin ( sin ) ( 1 1 x V π N x T π N γ x N π N γ γ x N γ x B N N N N N 0 0 0                 すなわち、₀A_N(x) や ₀B_N(x) も第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解となっているが、これらの関数は ₀T_N(x) や ₀V_N(x) と独立ではない。また次式が成立する。



 



N N N N N x B x T x V x γ A ₍ ₎ 2_ ₍ ₎ 2 _ ₍ ₎ 2 _ ₍ ₎ 2 _ 2 0 0 0 0 Nの値と ₀A_N(x)、₀B_N_(x₎ の結果を下にまとめる。 ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 1 ) sin ( sin ) ( ) sin ( cos ) ( 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 x T x V x V x T x T x V x V x T x T x V γ x N γ x B γ x N γ x A N N N N N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0             ) ( ) ( 10 ) ( ) ( 9 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( 7 ) ( ) ( 6 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 x V x T x T x V x V x T x T x V x V x T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      　 ) (x AN 0 と 0BN(x) は正負の符号をつけた 0TN(x) や 0VN(x)で表され、さらにその積は 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (_x _B _x _T _x _V _x V2 x A N N N N N 0 0 0 0 0     となっていて、やはり第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解となっている

。

４

．

２第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の別解まず新しい多項式基本型 ₀W_N(x) を _W (_x) (_γ2 _x2) 21 _T ₁(_x) N N      ₀ 0 と定義する。

(8)

この関数の一階微分、二階微分を求め

、

)} ( ' ) ( ) ( { ) ( ' ) ( 2 2 2 ₁ ₁ 3 2 2 _x _γ _x _T _x _x _T _x γ x WN N N        ₀ ₀ 0 )} ( ) 2 ( ' ) ( ) ( 2 " ) ( ) {( ) ( " ) ( 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 5 2 2 x T x γ x T x γ x x T x γ x γ x W N N N N                0 0 0 0 これらの値を第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式に代入すると、次のようになる

。

0 )} ( 1) ( ) ( " ) ( ) ( { ) ( ) ( 2) ( ' ) ( 3 " ) ( ) ( 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2                       x T N x T x x T x γ x γ x W N N x W x x W x γ N N N N N N 0 0 0 0 0 0 ただし ₀T_{N }₁(x) が第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解であることを利用した。 0 ) ( 1) ( ' ) ( " ) ( ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 2           T  x γ N x T γ x x T γ x N N N 0 0 0 ここから ₀W_N(x) が第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解になることが解る。 ) ( ) ( ) ( 2 1 1 2 2 _x _T _x γ x W_N _N     ₀ 0 を下にまとめる。 ) 18 48 32 ( ) ( ) ( ) 5 20 16 ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 6 2 4 4 2 6 2 1 2 2 5 4 3 2 5 2 1 2 2 4 4 2 2 4 2 1 2 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 γ x γ x γ x x γ x W x γ x γ x x γ x W γ x γ x x γ x W x γ x x γ x W γ x x γ x W                              0 0 0 0 0

(9)

この関数の一階微分、二階微分を求め

、

)} ( ' ) ( ) ( { ) ( ' ) ( 2 2 2 ₁ ₁ 3 2 2 _x _γ _x _T _x _x _T _x γ x WN N N        ₀ ₀ 0 )} ( ) 2 ( ' ) ( ) ( 2 " ) ( ) {( ) ( " ) ( 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 5 2 2 x T x γ x T x γ x x T x γ x γ x W N N N N                0 0 0 0 これらの値を第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式に代入すると、次のようになる

。

0 )} ( 1) ( ) ( " ) ( ) ( { ) ( ) ( 2) ( ' ) ( 3 " ) ( ) ( 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2                       x T N x T x x T x γ x γ x W N N x W x x W x γ N N N N N N 0 0 0 0 0 0 ただし ₀T_{N }₁(x) が第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解であることを利用した。 0 ) ( 1) ( ' ) ( " ) ( ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 2 2           T  x γ N x T γ x x T γ x N N N 0 0 0 ここから ₀W_N(x) が第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解になることが解る。 ) ( ) ( ) ( 2 1 1 2 2 _x _T _x γ x W_N _N     ₀ 0 を下にまとめる。 ) 18 48 32 ( ) ( ) ( ) 5 20 16 ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 6 2 4 4 2 6 2 1 2 2 5 4 3 2 5 2 1 2 2 4 4 2 2 4 2 1 2 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 γ x γ x γ x x γ x W x γ x γ x x γ x W γ x γ x x γ x W x γ x x γ x W γ x x γ x W                              0 0 0 0 0 ) 11 220 1232 2816 2816 1024 ( ) ( ) ( ) 50 400 1120 1280 512 ( ) ( ) ( ) 9 120 432 576 256 ( ) ( ) ( ) 32 160 256 128 ( ) ( ) ( ) 7 56 112 64 ( ) ( ) ( 10 3 8 5 6 7 4 9 2 11 2 1 2 2 10 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 2 1 2 2 9 8 3 6 5 4 7 2 9 2 1 2 2 8 8 2 6 4 4 6 2 8 2 1 2 2 7 6 3 4 5 2 7 2 1 2 2 6 x γ x γ x γ x γ x γ x x γ x W γ x γ x γ x γ x γ x x γ x W x γ x γ x γ x γ x x γ x W γ x γ x γ x γ x x γ x W x γ x γ x γ x x γ x W                                          0 0 0 0 0 ) 13 364 2912 9984 16640 13312 4096 ( ) ( ) ( ) 72 840 3584 6912 6144 2048 ( ) ( ) ( 12 3 10 5 8 8 6 9 4 11 2 13 2 1 2 2 12 12 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 12 2 1 2 2 11 x γ x γ x γ x γ x γ x γ x x γ x W γ x γ x γ x γ x γ x γ x x γ x W                     0 0 この ₀W_N(x) を xγcosθ とおいて整理すると、 ) (cos sin } cos ) 1 {( cos sin } ) 1 {( cos sin ) cos ( ) cos ( ) ( 1 1 1 γ x γ x N γ θ θ N γ θ γ θ γ T θ γ W x W N N N N N             0 0 0 と書くことができる。そこで第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式のもう一つの解を ) (cos sin } cos ) 1 ( { sin ) ( 1 1 γ x γ x N x yU     と仮定し検討する。 t γ x  1 cos とおくと、 t t N yU sin{( _sin 1 ) }   となるので、まず一次微分は次式となる

。

] sin cos } ) 1 ( { sin sin } ) 1 ( { cos ) 1 ( )[ 1 ( ' ₂ ₃ t t t N t t N N γ dx dt dt dy y U U          後に使用するために上の式を整理して次式を得る

。

(10)

U U U _γ N _t t t y _γ t_t y y t t N N γ              ₂ ₃ ₂ sin cos 1 ' sin cos } ) 1 ( { sin 1 ' sin } ) 1 ( { cos ) 1 ( 1 さらに二次微分は次式となる

。

] ' 3 ) 2 ( )[ sin 1 ( cos ' 3 ) 2 ( )[ sin 1 ( ] sin cos } ) 1 ( { sin 3 sin cos } ) 1 ( { cos ) 1 ( 3 ) 2 ( )[ sin 1 ( ] sin cos } ) 1 ( { sin 3 sin } ) 1 ( { sin sin cos } ) 1 ( { cos ) 1 ( 3 sin } ) 1 ( { sin ) 1 ( )[ sin 1 ( " 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 U U U U U U y x y N N t γ t y γ y N N t γ t t t N t t t N N y N N t γ t t t N t t N t t t N N t t N N t γ y                                             右辺を移項して整理すると次式が得られる

。

0 ) 2 ( ' 3 " ) 1 ( ) 2 ( ' 3 " ) cos 1 ( ) 2 ( ' 3 " sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                        U U U U U U U U U y γ N N y γ x y γ x y γ N N y γ x y t y γ N N y γ x y t 以上の結果からy _U が第二種のチェビシェフ多項式の微分方程式の解になっていることが判明した

。

さらに y U に cos1_γx θ を代入して整理すると ) ( 1 ) cos ( sin } ) 1 ( { sin ) (cos sin } cos ) 1 ( { sin ) ( 0 1 1 x U γ θ U θ θ N γ x γ x N x yU  N  N  N       となり、

(11)

U U U _γ N _t t t y _γ t_t y y t t N N γ              ₂ ₃ ₂ sin cos 1 ' sin cos } ) 1 ( { sin 1 ' sin } ) 1 ( { cos ) 1 ( 1 さらに二次微分は次式となる

。

] ' 3 ) 2 ( )[ sin 1 ( cos ' 3 ) 2 ( )[ sin 1 ( ] sin cos } ) 1 ( { sin 3 sin cos } ) 1 ( { cos ) 1 ( 3 ) 2 ( )[ sin 1 ( ] sin cos } ) 1 ( { sin 3 sin } ) 1 ( { sin sin cos } ) 1 ( { cos ) 1 ( 3 sin } ) 1 ( { sin ) 1 ( )[ sin 1 ( " 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 U U U U U U y x y N N t γ t y γ y N N t γ t t t N t t t N N y N N t γ t t t N t t N t t t N N t t N N t γ y                                             右辺を移項して整理すると次式が得られる

。

0 ) 2 ( ' 3 " ) 1 ( ) 2 ( ' 3 " ) cos 1 ( ) 2 ( ' 3 " sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                        U U U U U U U U U y γ N N y γ x y γ x y γ N N y γ x y t y γ N N y γ x y t 以上の結果からy _U が第二種のチェビシェフ多項式の微分方程式の解になっていることが判明した

。

さらに y U に cos1_γx θ を代入して整理すると ) ( 1 ) cos ( sin } ) 1 ( { sin ) (cos sin } cos ) 1 ( { sin ) ( 0 1 1 x U γ θ U θ θ N γ x γ x N x yU  N  N  N       となり、結局 ) (cos sin } cos ) 1 ( { sin ) ( 1 1 0 γ x γ x N γ x U N N      となる。すでに述べたように ( ) ( ) 2 ₁( ) 1 2 2 _x _T _x γ x WN N     ₀ 0 から





2 2 2





2 2 2



 

2



2 2( 1) 1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]      N    N  N  N N x γ x U x γ x W x U x γ T 0 0 0 0 となり、この結果は次式からも誘導される

。

) ( ) 1 ( ] ) (cos sin [ ] ) (cos sin } cos ) 1 {( sin [ ] ) (cos sin } cos ) 1 {( cos [ } ) ( { } ) ( { 2 2 1) 2( 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 x γ γ γ x γ γ x γ γ x γ x N γ γ x γ x N γ x U x W N N N N N N N                   0 0 また ( ) sin ( cos 1 ) γ x N γ x V N N    0 を利用して、0VN1(x )0WN(x )を計算すると、 2 ) ( ) (cos sin 2 } cos ) 1 ( 2 sin{ ) ( ) ( 2 1 1 1 1 2 1 U x γ x γ x N γ x W x V N N N N           0 0 0 この式は _V (_x) (_γ2 _x2)21 _U ₁(_x) N N   0  0 と ( ) ( ) 2 1 ( ) 1 2 2 _x _T _x γ x W_N _N     ₀ 0 を利用して、 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 0 1 x W x U x T x U x V N N N N N  0  0   0  0 としても導入できる。このことから ₀U_N (x) 、₀W_N(x) 、および ₀V_N_₁(x )₀W_N(x )₀U_N(x ) ₀T_N_₁(x ) は第二種のチェビシェフ多項式基本型の解となっている

。

さらに、次の ₀C_N(x )も第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解となっているが

、

(12)

) ( ) 2 1 ( cos ) ( ) 2 1 ( sin ) (sin cos } sin ) 1 ( { sin ) ( ₀ 1 1 0 N π W x N π U x γ x γ x N γ x CN N N   N            0 となり、同様に次の ₀D_N(x )も第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解となっているが、 ) ( ) 2 1 ( sin ) ( ) 2 1 ( cos ) (sin cos } sin ) 1 ( { cos ) ( 0 1 1 0 N π W x N π U x γ x γ x N γ x DN N N   N            0 となるので、₀C_N(x )や ₀D_N(x )は ₀U_N(x) や ₀W_N(x) の関数になっている。また次式が成立する。 ) ( } ) ( { } ) ( { } ) ( { } ) ( { 2 2 2 2 ₂2( 1)₂ x γ γ x U x W x D x CN  N  N  N  N_  0 0 0 0 Nの値と ₀C_N(x )、₀D_N(x )の結果を下にまとめる。 ) ( ) ( 10 ) ( ) ( 9 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( 7 ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 1 ) (sin cos } sin ) 1 ( { cos ) ( ) (sin cos } sin ) 1 ( { sin ) ( 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 0 1 1 0 x U x W x W x U x U x W x W x U x U x W x W x U x U x W x W x U x U x W x W x U γ x γ x N γ x D γ x γ x N γ x C N N N N N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                     

(13)

) ( ) 2 1 ( cos ) ( ) 2 1 ( sin ) (sin cos } sin ) 1 ( { sin ) ( ₀ 1 1 0 N π W x N π U x γ x γ x N γ x CN N N   N            0 となり、同様に次の ₀D_N(x )も第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解となっているが、 ) ( ) 2 1 ( sin ) ( ) 2 1 ( cos ) (sin cos } sin ) 1 ( { cos ) ( 0 1 1 0 N π W x N π U x γ x γ x N γ x DN N N   N            0 となるので、₀C_N(x )や ₀D_N(x )は ₀U_N(x) や ₀W_N(x) の関数になっている。また次式が成立する。 ) ( } ) ( { } ) ( { } ) ( { } ) ( { 2 2 2 2 ₂2( 1)₂ x γ γ x U x W x D x CN  N  N  N  N_  0 0 0 0 Nの値と ₀C_N(x )、₀D_N(x )の結果を下にまとめる。 ) ( ) ( 10 ) ( ) ( 9 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( 7 ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 1 ) (sin cos } sin ) 1 ( { cos ) ( ) (sin cos } sin ) 1 ( { sin ) ( 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 0 1 1 0 x U x W x W x U x U x W x W x U x U x W x W x U x U x W x W x U x U x W x W x U γ x γ x N γ x D γ x γ x N γ x C N N N N N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                      ) ( 0CN x と0DN(x )は正負の符号をつけた 0UN (x) や 0 WN(x)で表されることが解る。４

．

３第二種のチェビシェフ多項式基本型に類似した関数の微分方程式第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解を上に述べたが

、

その解に非常に良く似ている関数で

、

しかも第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解とならない関数が存在することが解ったので、ここに詳述する。それらの関数を下にまとめる

。

) (cos cos } cos ) 1 ( { cos 1 1 γ x γ x N yE     ) (cos cos } cos ) 1 ( { sin 1 1 γ x γ x N yF     ) (sin sin } sin ) 1 ( { cos 1 1 γ x γ x N yG     ) (sin sin } sin ) 1 ( { sin 1 1 γ x γ x N yH     ただし、これらの関数は相互に関係づけられ、例えば y _G は次のようになり

、

F E G y π N y π N γ x γ x N π N γ x γ x N y                    ) 2 1 ( sin ) 2 1 ( cos ) (sin sin } cos ) 1 ( 2 1 { cos ) (sin sin } sin ) 1 ( { cos 1 1 1 1 H y は次のようになる

。

(14)

F E H y π N y π N γ x γ x N π N γ x γ x N y                    ) 2 1 ( cos ) 2 1 ( sin ) (sin sin } cos ) 1 ( 2 1 { sin ) (sin sin } sin ) 1 ( { sin 1 1 1 1 以上から y _E と y _F の微分方程式を決定すればよい

。

まず y _E であるが、すでに述べた ( ) cos( cos1 ) γ x N γ x T N N     0 と cos1_γx θ を利用して、 x γ x T x γ γ x T γ x γ x N yE _N ( ) _N( ) 1 ) (cos cos } cos ) 1 ( { cos 1 1 1 1 1            N N 0 0 _から ) ( ) ( 1 x γ x y x E x TN N E 0 N 0       のような 0EN(x) を考え、その微分方程式を検討する。まず₀T_N_₁(x) の一階微分、二階微分を求め、 ) ( ' ) ( ' ) ( 1 x x E x E x TN 0 N 0 N 0     0TN1(x)" x0EN(x ) "20EN(x)' この結果を 0TN₁(x) の微分方程式に代入する。 0 ) ( ) 2 ( ' ) ( ) 2 3 ( " ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ' ) ( " ) ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2                      x E x γ N N x E γ x x E γ x x x T γ N x T γ x x T γ x N N N N N N 0 0 0 0 0 0 以上から (1 ) ( )" (3 2 ) ( ) ' ( 2) ( ) 0 2 2 2 2          E x γ N N x E x γ x x E γ x N N N 0 0 0 となる。この式を第三種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式と呼ぶことにする

。

(15)

F E H y π N y π N γ x γ x N π N γ x γ x N y                    ) 2 1 ( cos ) 2 1 ( sin ) (sin sin } cos ) 1 ( 2 1 { sin ) (sin sin } sin ) 1 ( { sin 1 1 1 1 以上から y _E と y _F の微分方程式を決定すればよい

。

まず y _E であるが、すでに述べた ( ) cos( cos1 ) γ x N γ x T N N     0 と cos1_γx θ を利用して、 x γ x T x γ γ x T γ x γ x N yE _N ( ) _N( ) 1 ) (cos cos } cos ) 1 ( { cos 1 1 1 1 1            N N 0 0 _から ) ( ) ( 1 x γ x y x E x TN N E 0 N 0       のような 0EN(x) を考え、その微分方程式を検討する。まず₀T_N_₁(x) の一階微分、二階微分を求め、 ) ( ' ) ( ' ) ( 1 x x E x E x TN 0 N 0 N 0     0TN1(x)" x0EN(x ) "20EN(x)' この結果を 0TN₁(x) の微分方程式に代入する。 0 ) ( ) 2 ( ' ) ( ) 2 3 ( " ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ' ) ( " ) ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2                      x E x γ N N x E γ x x E γ x x x T γ N x T γ x x T γ x N N N N N N 0 0 0 0 0 0 以上から (1 ) ( )" (3 2 ) ( ) ' ( 2) ( ) 0 2 2 2 2          E x γ N N x E x γ x x E γ x N N N 0 0 0 となる。この式を第三種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式と呼ぶことにする

。

N = 1 からN = 10 までの x x T x E N N( ) 0 1( ) 0 は次のようになる。 8 8 ) ( 3 4 ) ( 2 ) ( 4 2 3 2 2 2 x γ x γ x x E γ x x E x γ x x E        3 0 2 0 1 0 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 10 8 3 6 5 4 7 2 9 8 2 6 4 4 6 2 8 8 6 3 4 5 2 7 6 2 4 4 2 6 6 4 3 2 5 4 2 2 4 11 220 1232 2816 2816 1024 ) ( 50 400 1120 1280 512 ) ( 9 120 432 576 256 ) ( 32 160 256 128 ) ( 7 56 112 64 ) ( 18 48 32 ) ( 5 20 16 ) ( γ x γ x γ x γ x γ x x E x γ x γ x γ x γ x γ x x E γ x γ x γ x γ x x E x γ x γ x γ x γ x x E γ x γ x γ x x E x γ x γ x γ x x E γ x γ x x E                                  10 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 さらに y _F は直接微分して検討する

。

t γ x  1 cos とおいてまず一回微分して次式が得られ、 ] cos 1 sin } ) 1 cos{( ) 1 ( cos 1 )[ 1 ( ] cos sin } ) 1 sin{( cos } ) 1 cos{( ) 1 ( )[ sin 1 ( ' ₂ F F F y t t t N N t γ t t t N t t N N t γ dx dt dt dy y                  ここからまず γ t y_F y_F x y_F y_F t t N N   cos  '   ' sin } ) 1 cos{( ) 1 ( が得られる。さらにもう一回微分して整理すると次式が得られる

。

(16)

] ' ) cos 2 3 ( ) 2 ( )[ sin 1 ( ] ' cos sin 2 ' ) 2 ( )[ sin 1 ( " 2 2 2 2 2 2 2 F F F F F F y x t y N N t γ y x t t y x y N N t γ y                     この式に ₂ 2 2 cos γ x t  と ₂ 2 2 ₁ sin γ x t  を代入し整理して、次式が得られ ' ) 2 (3 ) 2 ( " ) (1 ₂2 2 2 F F F N N y x _xγ y y γ x γ          さらに整理して次式を得る。 0 ) 2 ( ' ) 2 3 ( " ) (1 ₂2  _F  ₂   _F  ₂ y_F  γ N N y x γ x y γ x この式はすでに述べた₀E_N(x) の微分方程式と全く同じ式である

。

そこで ) (cos sin } cos ) 1 ( { sin ) ( 1 1 0 γ x γ x N γ x U N N      と γ x t  cos と 2 1 2 2 ) 1 ( sin γ x t  を利用して、 x x V x x U x γ γ x γ x N γ x F N N N N ( ) ( ) ( ) ) (cos cos } cos ) 1 ( { sin ) ( 2 0 0 1 1 2 2 1 1 0           として₀F_N(x) が第三種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解になっているかを

、

) ( 1 0VN  x を直接微分して検討する。まず0VN 1(x) の一階微分、二階微分を求め、 ) ( ' ) ( ' ) ( 1 x x F x F x VN 0 N 0 N 0     0VN1(x)"  x0FN(x ) "20FN(x) ' この結果を₀V_{N }₁(x) の微分方程式に代入して次式が得られる

。

0 ) ( 2) ( ' ) ( ) 2 3 ( " ) ( ) ( ) ( 1) ( ' " ) ( ) ( 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2                    _ _ _ x F x N N x F γ x x F x γ x x V N V x x V x γ N N N N N N 0 0 0 0 0 0

(17)

] ' ) cos 2 3 ( ) 2 ( )[ sin 1 ( ] ' cos sin 2 ' ) 2 ( )[ sin 1 ( " 2 2 2 2 2 2 2 F F F F F F y x t y N N t γ y x t t y x y N N t γ y                     この式に ₂ 2 2 cos γ x t  と ₂ 2 2 ₁ sin γ x t  を代入し整理して、次式が得られ ' ) 2 (3 ) 2 ( " ) (1 ₂2 2 2 F F F N N y x _xγ y y γ x γ          さらに整理して次式を得る。 0 ) 2 ( ' ) 2 3 ( " ) (1 ₂2  _F  ₂   _F  ₂ y_F  γ N N y x γ x y γ x この式はすでに述べた₀E_N(x) の微分方程式と全く同じ式である

。

そこで ) (cos sin } cos ) 1 ( { sin ) ( 1 1 0 γ x γ x N γ x U N N      と γ x t  cos と 2 1 2 2 ) 1 ( sin γ x t  を利用して、 x x V x x U x γ γ x γ x N γ x F N N N N ( ) ( ) ( ) ) (cos cos } cos ) 1 ( { sin ) ( 2 0 0 1 1 2 2 1 1 0           として₀F_N(x) が第三種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解になっているかを

、

) ( 1 0VN  x を直接微分して検討する。まず0VN 1(x) の一階微分、二階微分を求め、 ) ( ' ) ( ' ) ( 1 x x F x F x VN 0 N 0 N 0     0VN1(x)"  x0FN(x ) "20FN(x) ' この結果を₀V_{N }₁(x) の微分方程式に代入して次式が得られる

。

0 ) ( 2) ( ' ) ( ) 2 3 ( " ) ( ) ( ) ( 1) ( ' " ) ( ) ( 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2                    _ _ _ x F x N N x F γ x x F x γ x x V N V x x V x γ N N N N N N 0 0 0 0 0 0 さらに整理して次の F_N(x) の微分方程式が得られる

。

0 ) ( ) 2 ( ' ) ( ) 2 3 ( " ) ( ) (1 ₂2 ₀  ₂  ₀  ₂ ₀F x  γ N N x F x γ x x F γ x N N N この式は y _F を直接微分して得られた y _F の微分方程式と同じである

。

以上から₀F x_N( )は第三種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式の解となっている

。

N = 1 からN=10 までの ₀F x_N( ) は次のようになる。 2 ) ( ) ( 2 1 2 2 1 x  γ x  F 0 ) 4 ( ) ( ) ( 2 2 1 2 2 2 x γ x x γ_x F     0 ) 4 8 ( ) ( ) ( 2 2 2 1 2 2 3 x γ x x γ F     0 ) 12 16 ( ) ( ) ( 2 3 2 4 1 2 2 4 x γ x x γ x γ _x F      0 ) 6 32 32 ( ) ( ) ( 2 4 2 2 4 1 2 2 5 x γ x x γ x γ F      0 ) 24 80 64 ( ) ( ) ( 2 5 2 3 4 6 1 2 2 6 x γ x x γ x γ x γ _x F       0 ) 8 80 192 128 ( ) ( ) ( 2 6 2 4 4 2 6 1 2 2 7 x γ x x γ x γ x γ F       0 ) 40 240 448 256 ( ) ( ) ( 2 7 2 5 4 3 6 8 1 2 2 8 x γ x x γ x γ x γ x γ _x F        0 ) 10 160 672 1024 512 ( ) ( ) ( 2 8 2 6 4 4 6 2 8 1 2 2 9 x γ x x γ x γ x γ x γ F        0 ) 60 560 1792 2304 1024 ( ) ( ) ( 2 2 ₂1 9 2 7 4 5 6 3 8 10 10 x γ x x γ x γ x γ x γ x γ _x F         0