＞ 第３章 整数 性質 ＞ 第１節 約数 倍数 ＞ 第２講：最大公約数・最小公倍数

日付(        月         日        曜日  )   名前 (       ）

8

４

数 A

練習問題１ 練習問題２

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互いに素 標準

a

 ^{は自然数とする。}

 ^は 

^{の倍数であり，}

^は

解

7

^{の倍数であるとき，}

 ^は 

^{の倍数であることを} 証明しなさい。 

自然数とおくと，

a+ 3 = 4m, a+ 4 = 7n

a+ 11 = (a+ 3) + 8 = 4m + 8 = 4(m + 2)

①より,  

4 ^と 7 は互いに素なので,  

は 4 ^{の倍数であり,}   m, n

a+ 11 = (a+ 4) + 7 = 7n+ 7 = 7(n+ 1) a+ 11

②より,  a+ 11 は 7 ^{の倍数でもある。}

a+ 11 ^は 4⋅7 ^の倍数,  すなわち 28 ^{の倍数である。}

(証明)

よって，

  4 ^{の倍数でもあり，} 

7 ^{の倍数でもある}  整数は,  28 ^の倍数 4, 7 が互いに素

・・・①

・・・②

a

 ^{は自然数とする。}

 ^は 

^{の倍数であり，}

^は

解

5

^{の倍数であるとき，}

 ^は 

^{の倍数であることを} 証明しなさい。 

自然数とおくと，

a+ 5 = 2m, a+ 6 = 5n

a+ 11 = (a+ 5) + 6 = 2m + 6 = 2(m + 3)

①より,  

2 ^と 5 は互いに素なので,  

は 2 ^{の倍数であり,}   m, n

a+ 11 = (a+ 6) + 5 = 5n+ 5 = 5(n + 1) a+ 11

②より,  a+ 11 は 5 ^{の倍数でもある。}

a+ 11 ^は 2⋅5 ^の倍数,  すなわち 10 ^{の倍数である。}

(証明)

よって，

  2 ^{の倍数でもあり，} 

5 ^{の倍数でもある}  整数は,  10 ^の倍数 2, 5 が互いに素

・・・①

・・・②