分母分離形2次元システムに対する Disturbance ・ Decoupledオブザーバの設計＊
下西二郎＊＊西山宗弘＊＊
（昭和59年4月21日受理）
Disturbance−Decoupled Observer Design for Separable−Denominator 2−D Systems＊
Jiro SmMoNism＊＊ and Munehi ro NisHiyAMA＊＊
（Received April 21， 1984）
［his paper is concerned with the problem of designing an observer for the Roesser state−space model with unknown disturbance where the transfer function of the model is assumed to be separable in denominator． ［［he paper shows the minimal order for the existence of an observer and a necessary and sufficient condition for a minimal−order observer to decouple unknown disturbance． ln addition， a necessary and sufficient condition for a皿inimal−order observer to be stabilizable is examined． Finally， an algorithm is presellted for designing a disturbance decoupled observer．
1．緒 言
2次元システムに対して幾つかの状態空間モデル1）〜3）
が提案されて以来，構造解析，実現閤題などの研究4） 一7）に 加えて，最近では2次元システムに対する逆システム8），
極配置9）一一12）非干渉化13）などの研究も見られるようになっ てきた。極配置および干渉化には状態フィードバックを必 要とするが，一般に状態は直接観測できないことから状態 観測器（オブザーバ）を構成することが必要となる。
2次元システムに対するオブザーベの構成については，
雛元ら9）やStavroulakis 14）らの研究があるが，前者の方 法では最小次元オブザーバが必ずしも構成できないし，後 者の方法ではオブザーバの安定性が保障されないなど，未 解決の問題も残されている。更に，いずれの場合において も，被対象システムの入力は全て既知であると仮定されて いるが，実際的見地からは未知入力としての外乱が含まれ ることを考慮することが自然と考えられる。
1次元システムの場合，未知入力を含むオブザーバの構 成法に．関して多くの研究が見られる15）、16）が，2次元シス
＊第26回自動制御連合講演会（昭58年11月）にて一部発表
＊＊電気主学科
テムに対するこの種の研究は見当らな．い。
本論文では，未知入力としての外乱を含むあるクラスの Roesserモデルを対象とし，オブザーバが存在するための 十分条件を導出する。更に，安定で最小次元のオブザーバ を構成するアルゴリズムを示す。ここで，あるクラスの Roesserモデルとは，伝達関数の立場で分母が単変数の2 つの多項式の積で表現できるような分母分離形Roesserモ デルである。このモデルは安定判別が容易であるという利 点があり，ディジタルフィルタの設計など広く応用されて
いる17，18）。
以下では，まず被対象システムを記述し，それに対する オブザーバを定義する。続いて，オブザーバの最小次元数 を明らかにすると共に，オブザーバが未知外乱をdecoupl−
ingできるための必要十分条件を導出する。次に，安定な オブザーバが構成できるための十分条件を与え，安定なオ ブザーバを構成するためのアルゴリズムを示す。
最後に，本論文で用いる主な記法を述べると以下とな
る。
Rnxm ：nxmの実行列の集合 In ：n次元単位行列
MT， M＋ ：Mの転置および一般化逆行列
一一一@33 一
津山高専紀要第22号（1984）
s：
Range［M］ ：Mの値域 Null［M］ ：Mの零空間
2．システムと問題記述
次式のRoesser形状態空間モデル3）を取り上げる
［重ll諸；］一［食1会II灘：1：］・［島］・（切
・農］醐 （、）
． （i， i・） 一 ［ci c2］ ［1：＃ ［11 li）） ］
ここで，xh （i，カ∈Rnは水平状態ベクトル， xV（i，の年R 3 は垂直状態ベクトル，配σ，の∈R「は既知入力，d（i，の∋Re は未知外乱，U（i，の∈RPは出力，さらに， Al， A2， A3，
A4， B1， B2， E1， E2， C1， C2は適当なサイズの既知なる 実行例をそれぞれ表す。但し，
rank［・・C・］畝叫匙］一・
を仮定しておく。
ここで，外乱d（i，のは未知であるからオブザーバの入力 として用いることはできない。そこで，次の2次元システ ムをSのオブザーバとして考える＊。
［zh（i＋1，1 ）zV （i， ］ ＋1）］一［＝1鼠］［離1］膿］匡ll；：ll］
・［E1＆］［蜘謡：］y（ちゴ）
So： @＋闘［蔑］噛） （，）
隣：1：］一膿］隣1：；；］・［鑑］〃（i ・・）
ここで，zh（i，の∈RV， zV（ ，の∈Rμはそれぞれオブザーバ S。の水平状態ベクトル及び垂直状態ベクトルであり，wh
（i，の∈Rn， tvv（i，の∈Rmはそれぞれxh（∫，の， xv（ゴ，のの 推定値となる出力ベクトルである。又，Tts T4， N1， Nz N3， N4， Ml， M2は適当なサイズの実行例であり，次の関 係を満たすものとする。
［聾調戯・［鑑］［・・C・］一「呂。1（・）
オブザーバS。には未知外乱dσ，のを入力として使ってい ない点に注意されたい。
［定義］S。の初期状態｛xh（o，の， xv（i，o）匡，ブ＝0，1，
2，…｝及び入力π色のの大きさに関．係なく
＊ここでのオブザーバの形は文献9）でのオブーザバの基 本式を変形した結果得られる。
糎｛隣1；］一［盤：1；］1・＝・ （・）
が成り立つならば，S。はSの（V十lt）次元オブザーバであ るという。又，v＋Iしが最小であるときS。は最小次元オブ ザーバであるという。
いま，オブザーバの誤差ベクトルを
［：，h［i．l13］A［i：，（11jll，）］一［：i：，］［：＃，（i；1・1］ （s）
と定義すれば，（1），（2）式より
［lll留］一畿］「ll：；：1；］一［＝1匙］［ll］d（切
（6）
が得られる。ここで
Fl ．A． Tl Al Nl 十 Tl A2 N3 F2 g Tl Al N2 十 Tl A2 N4 F3 2 T4 A3 Nl 十 T4 A4 N3 F4 2 T4 A3 N2 十 T4 A4 N4
さて，（6）式で記述される2次元システムの状態遷移行 列は次のように与えられる3）。
F（1，0）＝mgl ：2］， F（O，1） ＝＝ ［Ol 394］ （7）
F（i，」 j＝F（1，0） F（i−1，」 ）十F（O，1） F（i，JLI） （i，v ）〉（o，o）
Fi（O O＞一T ， T？r−i．］ ）．＝F（i．一1 j＝O． i di＞1 一 一一り丁 ＃， 凸 、 ， 一凸 、 一v v，J乱占
ここで，任意の整数に対する順序関係は次の記法に従うも のとする。
（ん，s）≦（i，．ノ） iff た≦i， s≦．ノ （々，∫）＝（i，ノ） iff 々 扁 ゴ， s ＝ゴ
（le，s）〈（i，」） iff （k，s）＄（i，1 ）and（le，s）＝Nz（i，1 ）
以上を考慮すれば，S。がSのオブザーバであるための 条件が次のように求まる。
＜定理1》 S。がSの（μ†μ）次元オブザーバである ための十分条件は
︶匿1
ii）
［Tl OO T4］農］一・
li皿F（i，ブ）＝＝o かゆ 1imF（i，ノ）＝0
ゴ←o。
で与えられる。
（証明）
（ゴ諸0，1，．2，・・・… ）
（i−O， 1，2， ・一・一）
（8）
｝ （9）
オブザーバの推定ベクトルと真の状態ベクト ルとの差ベクトルは（5）式を用いれば，（1），（2）式より次 式となる。
［諜：1；H＝ll；：ii］一L調［溜］
（8）式が成り立つならば，（6）式の解は
［：＃［ll： ］］］ 一 ，i．1， F（i， 」一，， ［eh（g， s）］
（10）
， ＋，tio F（i一 」 ） ［．，（O．， o）］ （11）
で与えられ，（9）式が満たされるとき，任意の初期誤差ベ クbル｛eh（O，の， eV（i，0）P，ノ＝o，1，2，…｝及び入力u（i，ノ）
の大きさに関係なく
iCip｛1｝ee［：＃（（ill13］＝：O （ 2
が成立し，（10）式より（4）式が導びかれる。 （証明終）
さて，本論文では（9）式の条件の取扱いを容易にするた めに，（1）式においてA2＝・O（又はA3＝0）となる場合を 考える。このとき，Sの伝達関数はその分母多項式が2つ の単変数多項式の積に分解できる。このようなシステムは 分母分離形Roesserモデル（分母分離形2次元システム）
と呼ばれ，この形はフィルタの設計などにおいて広く利用 されている17），18）。以後，システムSといえぱA2＝・0とし たものを指すものとし，n＋mをSの次数と呼ぶことにす る。本論文の目的はこの分母分離形2次元システムSに対 して，定理1を満たすような2次元システムS。を構成す ることである。
いま，（3）式を変形すれば，
膿］［i：1］一［副 （3t）
となり，これが成立するためには
一躍］一 （・3）
の関係が満たされねばな．らない。このとき，本論文の問題 は（13）式に加えて（8），（9）式を同時に満たすようなTl∈
RVxn， T4∈Rμxmを決定する問題に帰着される。このよう なTl， T4が存在するとき，（3t）式よりN1，N2， N3， N4， Ml，
M2が決定でき，これらの行列およびT1， T4からS。の係 数行列が直ちに得られる。特に，（13）式を正則にするよう なT1， T4が存在するならば， S。の係数行列は一意に決定 できる。
次章では，S。の最小次元数を明らかにした上で，定理1 の条件i）（（8）式）を満たすようなS。を構成することを考 える。これを未知外乱d（i，のをdecouplingする潜在的オ ブザーバという意味で潜在的Disturbance−Decoupledオブ ザーバと呼ぶことにする。
3．潜在的Disturbance−Decoupledオブザ＿バ
いま，Sにおいて， rank Cl＝Pl， rank C2 ＝ P2〈P（Pl
＋P2≧カ）を仮定する。このとき，出力空間の適当な座標 変換によって，Sは一般性を失うことなく次式で表現でき
る（付録1）。
［競鋼H2：両隣1：ji］・「謹！・㈲
s： ＋［ElE2］d（ら・）
〃ω一 m：量宅22］［盤：1；1
〃（ちン）＝W−1〃σ，ノ）
（14）
但し，C11∈R（P−P2）xn， C12∈Rp2×n， C22∈Rp2xm， rank Cll ・p−Pz rankC22＝ρ2であり，ずσ，のは座標変換後の 出力ベクトルを表す。又Wは座標変換行列である。
以後 Sの出力方程式は9（i，」）の立場で与えられるも のとして考察を進める。すなわち，オブザーバS。への入 力としてy（i，のが用いられるものとする。
まず，S。の最小次元数について考える。
〈補題1＞S。の最小次元数はn＋m−Pである。
（証朋） S。が（3）式を満たすためには（13）式より
還ト吻 （・5）
が満たされなくてはならない。一方，
rankmgll ．O，，］＝P
であり，行列階数の関係より
紬闘≧・＋m一・ank［kl g2、］一・＋m−P
が導びかれる。すなわち，S。の次元数はn＋m−Pより小 さくできない。 （証明終）
次に，S。が未知外乱d（i，のをdecouplingできるため の条件を導びく。
＜定理2＞ オブザーバS。が未知外乱d（i，のをdecoupL ingできるための必要十分条件は
Nu11［Cllコ∩Range［E1］＝｛0｝ （16）
Null［C22］nRange［E2］＝｛O｝ （17）
が成り立つことである。
（証明） S。において，（3）式が成立していることから
（15）式が満されなくてはならない。（15）式の関係は行変換 に影響されないから，次の関係と等価である。
o
鴫翫
上式より，（15）式が成り立つための必要十分条件は
rank ［cTiii］ ＝n
（lst）
（18）
一35一
津山高専紀要第22号（1984）
及び
rank ［cT242］ ＝ m ag）
が共に成り立つことである。すなわち，（8）式を満たすよ うなSoが存在するための必要十分条件は
・）…1一・・且q魂二］一n （・・）
ii）晒一・且q舳［T4C22］＝・m （・・）
となる。
まず，（20）式と（16）式の等価性を示す。
（20）式→（16）式：（20）式が満たされているものとする。
このとき，
Range［El］SNull［Tl］
Null ［Tl］ n Null［Cn］ ＝＝ ｛ O ｝
である。これらの関係は（16）式を意味している。
式（20）←式（16）：（16）式が成立しているものとし，rank El＝＝q1≦qとすれば，｛fl， f2，…，fq1｝をRange［E1］の基 底に選べる。又，rank C11＝P−P2であるから｛tl，t2，…，
tn−P＋P2｝をNull［C11］の基底に選べる。このとき，（16）式 から｛fl，f2，…，fel，t1，t2，…，tn＿p＋p．2｝は線形独立であり，
Rnの基底として｛fl， f2，…，fe1， tl， t2、…，㌦一ρ抄2、91，92，
…，gp＿p2＿el｝を選ぶことができる。これらのことより，
rank Ti＝n−P＋P2， Null［Ti］＝span｛fi f2， ，fei，gi，g2，
…gp−p2−41｝であるようなTl∈R（n一P＋P2））nが存在するこ とがわかる。これはTIEI＝O，且つ， Null［T1］∩Nu11［C11］
＝｛0｝を満たすT1が存在することを意味している。すなわ ち，（20）式が成立する。
（21）式と（17）式の等価性についても同様に証明される
（省略）。 （証明終）
与えられたシステムSに対して定理2が成り立つかどう かの判定には次の結果が有用である。
＜系1＞ 定理2において，Null［Cii］∩Range［Ei］＝
｛0｝（i−1，2）であるための必要十分条件は
rank Cii Ei＝rank Ei （i＝1，2） （22）
が成立することである。
（証明） 付録2。
続いて，定理2を満．たすSに対して潜在的Disturbance−
Decoupledオブザーバを構成する。ここではSの状態空間 に対して適当な座標変換が施された後オブザーバが構成 されるが，これは被対象システムSの状態推定には何ら影 響を与えない。なぜならば，Sの座標変換に用いられた変 換行列の逆行列でオブザーバの出力を座標変換すれば，S の状態が直ちに得られるからである。
さて，Sの代数的等価性を保存する座標変換は
［翻H；134］［罪：ll］， （23）
の形に限定される3）ことに注意すれば，次の結果を得る。
＜補題2＞ rankCκEf＝raRkE∫（i＝1，2）が成り立 つとき，Sは次式で与えられるSに座標変換できる。
Ai
一
創S
購1一隆熱義i撚；：｛i
A3 A4
：縫団馴一
（24）
礁副i影i］
但し，
「yh、 ri iY↑ユh＿hn xh（i， 」） 2一 ［1 ，ll，lj ；・1」傷；㍊2，
獅）・?P：ll］溜2
であり，Afノ， B ノ， Eii， Cll， C12は適当なサイズの実行 列である。
お
（証明） SはSを2回座標変換することによって得ら
れる。
まず，ran k C11＝P−P2， ran k C22 ＝P2であり共に最：大 階数をもつことに着目する。このとき，よく知られている ように，
Cll Vll−1＝［lp−P2；0］
（25）
C22 V41−1・：［OiIp2］
とするような列変換行列Vll∈Rn×n， V41∈Rmxmが存在 する。これらから構成される正則行列，
［浄1乳］∈一圃
ム ハし ハ
を用いてSに（23）式の座標変換を施せば，C1， C2， Eb
ハ ハ
E2が次式であるような代数的等価システムSが得られる。
［e・6・］・［・・C・］［；ガ㌦」
一［t P，一，P2 bO，，ilg IOp，］ （26）
ム
Ell ｝P−P2
バ へ
農H浄㌔3］［劉制灘（27）
E22 ｝P2
次に，第2の座標変換を考える。すなわち，仮定より，
rankCnEl＝rankEl
ran k C22．E2 ＝＝ ran k E2
であり，この関係は座標変換に影響されないから
A A
・a・k［・・一…］［E11バE12］一・fi・・一・ank［可塑1
バ へ
・a・k［・・P・］［翌：二］一・…k・fi・・一nk圃
の関係が成り立っている。（28），（29）式の関係は
ム へ
E12一トKlE11 ＝0
ヘ へ
E21十K4 E22＝0
（28）
（29）
（30）
（31）
を満たすK：1∈R（n−P＋P2）×（P−P2）， K4∈R（M−P2）×ρ2が存 在することを示している。従って，K1， K2から次の正則 行列が構成できる。
・・2・・＝m慧ρ2し、」・R・＋・，
V42 ＝m互r島］・R… （32）
これらから構成される正則行列
［9122、」∈R・・＋m・・（・＋m・
ハを用いて先に得られたSに（23）式の座標変換を施せば（24）
リ ゲ
式のE1， E2， C1， C2が得られ， Ai， Biも
［会1￡、］・［㍗V11書、V、，］［X 2、11㍗V11V￡。、、］ 1
［ll］・［㍗V11V象、、］［：i］ （33）
から得られる。 （証明終）
り
さて，Sに対して潜在的Disturbance・Decoupledオブザ ーバを構成する。
ウ ほ ね
いま，Sにおける［ClC2］の形に注目すれ『ぱ，（13）式
（（1S ）式）の関係を満たすT1， T4として次の形を考える ことができる。
T1＝［L1 Iln＿P＋P2コ（L1∈R（n−P＋P2）×（P−P2）：任意行 列） （34）
T4 ＝＝［lm−p2三L4］（L4∈R（M−P2）×P2：任意行列）（35）
り更に，Sは定理2を満たしているから，任意行列Ll， L4 を適当に選ぶことによって上記T1， T4を（8）式を満たすよ うにできる。これらの事実は最小次元潜在的DistUrbance・
ね
DeCOUpledオブザーバSoが構成できることを示している。
まず，（34），（35）式のTl， T4が（8）式を満たすように
L1， L4を決めよう。すなわち，（8）式に（34），
や ぬ
よびEt， E2を代入すれば次式が得られ，
ぬ［ε1￡ユ［k］一［と1 lp−P6P2i、2、濁
ゆ 一［謡1］一・
（8）式を満たすLl， L4は行列方程式 L正E11謂0
ぬ L4E22＝0
の解として次のようにそれぞれ求まる19）。
ゆ ゆ L1＝Z1（1ρ＿P−E11E1】＋）
（Zl∈R（n−P＋P2）×（P−P2）：任意行列）
ヘ ウ L4・＝ Z4（lp2−E22E22＋）
（Z4∈R（M−P2） P2：任意行列）
続いて，これらを（34），（35）式に代入し，
（35）式お
み
潔
（36）
（37）
（38）
（3 ）式を用い れば，h1， N2， N3凡M1， M2は次のように求まる。
酬論争
∴i：
i
N I
バ ミ
一C12 i O
［譲li跳］
一r 一 一一 J 一 一 J − td−uuN−Tt一一一n l t一一一一一J 一 一 一 一 一 J t −i 一 一H − t
L4 Ci2 l Im−p21 L4（Cn−Ci2Li） 一L4 1 一（Cn−Ci2Li） lp2
1 iz一．p，2
創 創
1 岬 厚
紅
．旦
（39）
上式においてN2 ＝＝ Oであることに特に注意されたい。こ れは，S。（②）式の係数行列の構成からも明らかなように，
かS。が分母分離形2次元システムで構成できることを意味し ている。すなわち，上記Ni， Mi及びT1， T4を（2）式に代 り入すればSに対する最小次元潜在的Disturbance−Decoupled
オブザーバS。が次のように得られる。
［舞纏；］一一［91g、］［1鴇1・［謡］影（i ・」 ）
亀］・（t，ノ）
（40）聯1；］一［謡：書、］［銑；：ii；
但し，
づ ロ
F1全A14十LIA12
り へ ほ
F3会A42十L4 A34−H4 C12
ロ ロ
F4套A41十L4 A43
バ だ
H1会A13十1」1A11−FIL1
一37一
﹈＋﹇
＋［
］・［蔑］i」（切
津山高専紀要第22号（1984）
H3全A3ユ十L4 A33−H4 Cll−F3 Ll H4全A42十L4 A44−F4 L4 G1 2 B12十LI Bll G2全B21十L4 B22
ウ ここでの潜在的DisturbanceDecoupledオブザーバS。
は，もし被対象システム§の初期状態｛飾（0，ゴ），xv（i，0）｝
i，ゴ＝0，1， 2，……｝が既知であれば，定義1の意味でのオ のブザーバとなることに注意されたい。すなわち，Sの初期 状態が既知であれば，（5）式より初期誤差ベクトル｛eh（o，
の，eV（is o）［i，ゴ＝0，1，2，……｝が全て零になるように，
Soの初期状態｛zh（o，i）， zv（i，o）li，ノ＝0，1，2，……｝を決
定できる。このとき，定理1の条件ii）は必ずしも必要で
ない。
4．オブザーバの安定化
被対象システムSの初期状態は一般には未知と考えられ ウるから，前章でのオブザーバS。が実用上有効であるために ぬは，それが安定でなくてはならない。すなわち，S。は（9）
式を満たさねばならない。本章ではSoが（9）式を満たすた めの条件について考察する。
＜定理3》 潜在的DistUrbance−Decoupledオブザーバ 亀を安定にできるための必要十分条件は
；、 糾r△一＾ A A．ム専rF訂倦山
■刈巴1乙，刊4ノ炉「U伏山 ii）対（A43 A41）が可検出
づ ゐ ロ
となることである。ここで，A！2全（lp−P2−EllE11＋）A12，
A43全（lp2−E22E22＋）A43である。
お
（証明） S。の状態遷移行列は（7）式より次式となる5）。
F・i…一［Fli Oo o］ i≧・
・㊥一［F4g 一IF3 g4」 ］ 1 ）一）1 （41）
・・…一［。、、2。、。、i：］i・・≧・
上式から，S。が（9）式を満たすための条件はS。のFl及び F4が共に安定行列（全ての固有値が単位円内に存在する）
であるための条件と一致することがわかる。（37），（38）式 を（40）式のF1， F4に代入すれば，結局，ここでの問題は F1＝A14＋Z1（lp−P2−E11E11＋）A12 （42）
F4＝A41＋Z4（lp2−E22 E22＋）A43 （43）
を安定行列にするようなZl， Z4が存在するための条件を 求めることであり，このようなZ1， Z4が存在するための 必要十分条件が定理3のi），ii）であることはよく知られ ている。 （証明終）
定理2，定理3およびオブザーバS。の出力変撲
［ω乃σ，ゴ）ωv （i，ブ）］一［V 。2V 。、，94i］「雲1；：1；］（44）
がSの状態推定値を与えることに留意し，ここまでの結果 をまとめれば次の定理となる。
＜定理4＞ システムSに対してオブザーバS。が構成で きるための十分条件は
i）rankCiiEi＝rankEi （i＝1，2）
ほ む リ ハ
ii）対（A12，A14）が可検出（A12全（lp−P2−E11Ell＋）A12）
り ウ ね の
対（A・43， A41）が可検出（A43全（lp2−E22E22＋）A43）
が共に成り立つことである。
被対象システムが未知入力としての外乱を含まない場合
（El＝＝O， E2＝0）には，オブザーバS。は（3）式を自動的に 満たすために，（34），（35）式のL1， L4は任意に選べる。
すなわち，定理4より次の系を得る。
＜系2＞ システムSに未知外乱が存在しないとき，S に対して安定なオブザーバが存在するための十分条件は i）対（A12， Aユ4）が可検出
ii）対（A43， A41）が可検出 となることである。
なお，系2において対（C11， A1）が可観測7対（A12，
ゆ バ
A14）が可観測，対（C22， A4）が可観測コ対（A43 A41）
が可観測，である。このとき，F1， F4の固有値は任意に 指定できることに注意されたい。
以上の結果から，オブザーバを構成するたあのアルゴリ
さエヤゐウぬ し セ りまうらば ユ コケ や の
Aム盲a｛八りよ フを（＿安不MCさk）o
＜オブザーバ構成アルゴリズム＞
1）被対象システムSが系1を満たすかどうかチェックす
る。
り2）Sが系1を満たせばそれを補題2によってSに座標変 換する。更に，（37），（38）式のL1， L4を（39）式に代入す ることによりN1， N3， N4， Ml， M2をそれぞれ求める。
3）前ステップで得られたNi， Mi及びL1， L4を（40）
式に代入し，（44）式の出力変換を施せばSに対する潜在的 DistUrbance−Decoupledオブザーバが得られる。 Sの初期 状態が既知であれば，これはSのオブザーバである。
4）Sの初期状態が未知であれば，前ステップで得られた S。が定理4を満たすかどうかチェックする。
5）Sσが定理4を満たせば（42），（43）式のF1， F4が安定 行列となるようにZ1， Z4を選び，これを（37），（38）式に 代入したLbL4をステップ3）で用いればSに対する安 定なオブザーバが得られる。＊
5．結 言
本論文では，未知入力としての外乱を含む分母分離形2 次元システムを対象とし，そのオブザーバの構成問題を考 察した。最初に，オブザーバの最小次元数を明らかにする と共に，最小次元オブザーバが未知外乱をdeCouplingで
＊Zl， Z4の決定法については文献9）等，参照のこと。
きるための必要十分条件を与えた。次に，安定な最小次元 オブザーバが構成できるための十分条件を導いた。最後に 最小次元オブザーバの構成アルゴリズムを要約した。本ア ルゴリズムは，未知外乱を含まないシステムに対しても，
特別な場合として，適用可能であり，この種の問題に対す る従来の方法に比べ，簡潔，且つ，平易なもので，より一 般性がある。
なお，本論文ではA2−0（A3≒0）であるような分母分 離形Roesserモデルを対象としたが， A3＝0（A2≒0）と しても全く同様の議論ができる。又，ここでは被対象シス テムの観測行列を（14）式と仮定したが，これを
［C・ C2・一［鷲；；］・おいて・同様の結果が得・れ・・
すなわち，オブザーバの水平状態ベクトルの次元数がn−
P1，垂直状態ベクトルの次元数がm−P＋P1であるような最 小次元オブザーバを構成することができる。
又表現上の複雑さを問題にしなければ，A2にかなり厳 しい条件を課すことにより，A2・・Oの条件は除去できる20）
ことを付記しておく。
最後に，本研究の遂行に当り，有益な御助言および御討 論を頂いた，神戸大学工学部教授前川禎男，助手雛元孝夫 の両先生に深く謝意を表する。なお，この研究の一部は昭 和58年度科学研究費補助金（奨励研究（A）58750338）の援 助による。
文 献
1） S． Attasi；Rapport Laborica．， 31 （1973−9）
2） E． Fornasini and G． Machesini；IEEE Trans． Autom．
Control， AC−21−4 （1976−8）， 484
3） R． P． Rcesser；IEEE Trans． Autom． Contrel， AC−20−
1， （1975−1）， 1
4） S． Kung， B． C． Levey， M． Morf and T． Kailath ； Proc．
IEEE， 65−6 （1977−6）， 946
s） T． Hinamoto： IEEE Trans． Circuit ＆ Syst．1 CAS−27−
1 （1980−1）， 36
6）雛元，肝脳，前川；電子通信学会論文誌，J 65−A11 ．（昭57−11）， 1137
7）下津，雛元，前川；システム制御，27−12（昭58−12），
793
8）下西，雛元，前川；計測自動制御学会論文集，18−9 （昭57−9），898
g） T． Hinamoto， F． W． Fairman and J． Shimonishi；Int．
J． Systems Sci． 13−2 （1982−2）， 177
10） P． N． Paraskevopoulos；Proc． IEE， 126−11（1979−11），
1204
11） T． Kaczorek；Int． J． Control， 37−1 （1983−1）， 183
12）下西，雛元，前川：計測自動制御学会論文集，20−3 （昭59−3），207
13） P． N．Paraskevopoulos and P． Stavroulakis；．Proc． IEE，
129−1 （1982−1）， 15
14） P． Stavroulakis and P． N． Paraskevpoalos；Int． J．
Systems Sci．， 12−5 （1981−12）， 527
15） F． W． Fairman， T． Hinarnoto and R． Hirschon； Journal of lhe Franklin lnstitute， 313−3 （1982−5）， 123 16） P． Kudva， N． Viswadhm and A． Ramakriskina；IEEE Trans． Autom． Control， AC−25−1 （1980−2）， 113
17） J． F． Abramatic， F． Germain and E． Rosencher；IEEE Trans． Acoust． Speech． ＆ Signal Processing， ASSP−
27−5， （1979−10）， 445
18） B． Lashgari， L． M． Silverman and J． F． Abrarnatic ； IEEE Trans． Circuits ＆ Syst．， CAS−30−2 （1983−2），
107
19）児玉，須田；システムと制御，17−10（昭．48−10），621 20）下鞘，雛元，前川；電子通信学会論文誌，J67−A−2 （昭59−2），1119
（付録1）
ran k C2 ＝ P2≦Pに着目する。このとき，適当な行変換 行列W∈RPxPが存在し，
ら・W・・一［C12］C22∈…m・ ・ank・C22−P・
と変換できる。このWによりS（（1）式）に出力変換
y（i，ti）＝Wy（i，のを施せば 殉）一w［c・ c2］畷；：1：］
CI C2 め へ
一［：1；i姦］［甥1
．となり，（14）式が得られる。また，ra且k［CI C2コ＝Pで あり，rankC22＝P2であることよりrankC11＝ρ一P2で なくてはならない。
（付録2）
Null［C11］∩Range［El］＝｛0｝＝ rank CnEl ＝＝ rank Elを 示す。
→：定理2において（16）式と（20）式は等価であるから，
（20）式を仮定する。すなわち，ran k［C11：「TIT］T＝nであ るから，シルベスタの不等式より
rank［㍗］・1一一1
となる。又，TIE1＝0より
rank［CllTl］E・一rank［C16 ］一部・・…
が得られる。すなわち必要性が示された。
←：いま，Nu町C11］∩Range［El］≠｛0｝と仮定する。
このとき，全ては零でない係数ai（i＝1，2，……，ql）が存 在して
41
C11Σのf，＝0（fi：E1の独立なベクトル） （a）
i−1
が成り立つ。（a）式は｛Cllfili＝1，2，……ql｝が一次独立で
一 39 一一
津山高専紀要第22号（1984）
ないことを意味し，結局，次の関係を得る。
al＝＝rank El＞rank Cn El 以上から
rank El）1＞rank Cn El であることは
Null［Cn］ n Range［El］ ＝＝ ｛O｝
（b）
（c）
を意味している。更に，シルベスタの不等式より rank El＞rank Cil El
であるから，（c）式の関係は rank Ei＝：rank Cii Ei
に限られる。 （証明終）
