Regular multiplicity ergodic actions of compact quantum groups
北川 めぐみ (Megumi KITAGAWA)
お茶の水女子大学大学院 人間文化創成科学研究科 理学専攻
1 コンパクト量子群
Woronowiczによるコンパクト量子群とは、単位的C∗環Aと、余積と呼ばれるAからA同士
のminimalテンソル積への単位的*準同型写像∆:A→A⊗Aの組(A,∆)で
• (1) (∆⊗ι)∆ = (ι⊗∆)∆
• (2) (A⊗1)∆(A) =span{(a⊗1)∆(b):a, b∈A},(1⊗A)∆(A) =span{(1⊗a)∆(b):a, b∈ A}はそれぞれA⊗Aで稠密
をみたすもののことである。Aをコンパクト量子群 G上の関数環とみなしてC(G)とも書く。
Aが可換C∗ 環のときは実際にコンパクト量子群は、普通の意味でのコンパクト群Gに関して (C(G),∆)の形をしている。
コンパクト量子群には、Haar状態と呼ばれる状態h:C(G)→Cがただひとつ存在する。このh は、a∈C(G)に対し
(ι⊗h)∆(a) = (h⊗ι)∆(a) =h(a)·1 をみたす。
コンパクト量子群Gの、Hilbert空間H上のユニタリ表現とは、multiplier環M(K(H)⊗C(G)) のユニタリU で、(ι⊗∆)(U) =U12U13 を満たすもののことである。L2(G)で、Haar状態hから 定まるC(G)のGNS表現を表す。a∈C(G)に対してΛ(a)と書いてL2(G)のベクトルとみなす。
C(G)⊂B(H0)となっているとき、a∈C(G), ξ ∈H0に対してW(Λ(a)⊗ξ) = ∆(a)(Λ(1)⊗ξ) によって定まるGのL2(G)上の右正則表現W がただひとつある。
2 Regular multiplicity ergodic actions
コンパクト量子群Gの離散双対量子群をGˆ と書く。Gの、von Neumann環M へのエルゴー ド作用とは、不動点環がスカラーのみからなるようなもののことである。αをエルゴード作用とす るとき、次の条件は同値である。
• Gの既約表現π∈Gˆ に対して、スペクトル部分空間Mπの重複度はdimπとなる。
• 任意の既約表現π∈GˆはM 内にユニタリ固有行列をもつ。
• W∗ crossed productは(I型) 因子である。
• C∗ crossed productはHilbert空間上のコンパクト作用素からなるC∗環と同型である。
このことから、Gの regular multiplicity ergodic actionの分類をGˆのコサイクルの言葉で行う ことができる。
3 Gˆ のコサイクル
ρをGの右正則表現として、R(G)をρ(G)で生成されるvon Neumann環とする。Gが普通の コンパクト群の場合にはR(G)上の余積δG:R(G)→R(G)⊗R(G)はδG(ρ(g) =ρ(g)⊗ρ(g)を 拡張して得られる。(R(G)⊗R(G)はR(G)同士のvon Neumann環のテンソル積を表す。) ユニ タリω∈R(G)⊗R(G)で、コサイクル条件式
(δG⊗ι(ω))(ω⊗1) = (ι⊗δG(ω))(1⊗ω)
をみたすものをGˆ のコサイクルという。ふたつのコサイクル ω, ω′がcohomologousとは、ユニ タリν ∈R(G)が存在して、ω′=δG(ν∗)ω(ν⊗ν)となることであり、この同値関係による同値類 の集合をH2( ˆG)と書く。
Gˆ のコサイクルωに対して、αg = Adλ(g)とおく。λはGのL2(G)上の左正則表現を表す。
するとこれは、Gˆ の正則ω表現のbicommutantへの、Gの full multiplicity ergodic actionを 定める。更に、Gのすべてのfull multiplicity ergodic actionはこのようにして引き起こされ、そ のときのコサイクルは一意的に定まる。したがって、full multiplicity ergodic actionの同値類と H2( ˆG)との間に自然な対応を考えられる。
4 コサイクル表現に対する L1 環とC∗ 環
Cω∗( ˆG)を、L1環のenvelopingC∗環として定める。
まずL1ω( ˆG) をR(G)∗ つまりR(G) のpredualで、通常の Banach空間の構造を持つが積は
⟨ϕ◦ψ, x⟩=⟨ϕ⊗ψ, δG(x)ω⟩ (ϕ, ψ∈R(G)∗, x∈R(G))で与えられ、対合はϕ†=αϕ∗ で与えら れるものとする。すると、L1ω( ˆG)は単位的Banach∗環となる。
L1ω( ˆG)の∗表現と、Gˆのω表現との関係について、次の結果が得られる。ωをGˆ の正規化され たコサイクルとするとき、ϕ∈L1ω( ˆG), ξ ∈B(H)∗に対して
⟨π(ϕ), ξ⟩=⟨W, ξ⊗ϕ⟩
という関係によって、L1ω( ˆG)のunital∗表現と、GˆのHへのω表現との１対１対応ができる。こ のことの証明で肝心なのは、Gˆ の正則ω 表現とL1ω( ˆG) 上のcanonical trace との関係をGNS構
成を使って調べることである。GのL1ω( ˆG)への作用についての一般的な事実から、L1ω( ˆG)上の忠 実なtraceT rが定義されることがわかる。
πω をT rに対してGNS構成を適用することで得られるL1ω( ˆG)の表現とする。このπω は自然 にHilbert空間L2(G)上に実現できる。すると、Gˆ のL2(G)上の正則ω表現と、⟨πω(ϕ), ξ⟩ =
⟨W, ξ⊗ϕ⟩ によって対応するL1ω( ˆG)のL2(G)への表現πω は、GのB(L2(G))への作用Adλ(g) に対して同変な表現であり、さらにT rはL2(G)における定数関数1から定まる行列係数である ことから、πωはL1ω( ˆG)の忠実な表現となる。
Gが通常のコンパクト群の場合、このようにして得られたL1ω( ˆG)の情報から、コサイクルωと σωとの関係について、以下のことがわかる。コサイクルωに関する次の条件は同値である。
• ωは対称的、つまりσω=ω
• ωは自明
• L1ω( ˆG)は可換
• πω( ˆG)′′は可換
そして、πω( ˆG)′′とπσω( ˆG)′′はB(L2(G))において互いにcommutantになっている。
最後にL1ω( ˆG)のenvelopingC∗環Cω∗( ˆG)の性質をまとめる。
• GのL1ω( ˆG)への作用は、Cω∗( ˆG)上の強連続な作用に拡張される。
• 正則表現piω はCω∗( ˆG)上で忠実であり、Cω∗( ˆG)はπω( ˆG)′′のノルムについて連続なC∗環 となる。
• Cω∗( ˆG)⋊G=K (Kはコンパクト作用素のなす環を表す。)
• Cω∗( ˆG) は核型なC∗ 環である。一般の量子群Gの場合には Gが余従順性をみたすとき Cω∗( ˆG)は核型となる。
5 例
G=SU(2)の場合、α:SU(2)→Aut(M)を、SU(2)の既約表現πのコピーが少なくとも１つ 含まれるようなエルゴード作用とすると、M ⋍L∞(G)がわかる。つまりSU(2)は非自明なfull multiplicity ergodic actionをもたない。このことは、πに対してαg(M) =M π(g)となるユニタ リ固有行列M が、M =
( a b
−b∗ a∗ )
となることから議論できる。
G=SU(3)やG=SU(2)×SU(2)の場合、そのすべてのfull multiplicity ergodic actionは、
極大トーラスから誘導される。
参考文献
[NT11] Sergey Neshveyev and Lars Tuset,On second cohomology of duals of compact groups, Internat. J. Math. 22(2011), no. 9, 1231–1260.
[NT13] Sergey Neshveyev and Lars Tuset, Compact quantum groups and their representa- tion categories, Cours Sp´ecialis´es [Specialized Courses], vol. 20, Soci´et´e Math´ematique de France, Paris, 2013.
[Tom08] Reiji Tomatsu,Compact quantum ergodic systems, J. Funct. Anal.254(2008), no. 1, 1–83.
[Was88a] Antony Wassermann, Ergodic actions of compact groups on operator algebras. II.
Classification of full multiplicity ergodic actions, Canad. J. Math.40(1988), no. 6, 1482–
1527.
[Was88b] Antony Wassermann,Coactions and Yang-Baxter equations for ergodic actions and subfactors, Operator algebras and applications, Vol. 2, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 136, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988, pp. 203–236.
