... Kohnen-Zagier公式の一般化について
小川 紘平
自然科学研究科数理物質科学専攻 博士前期課程2年
2019
年2
月8
日発表の流れ
...
1 保型形式の定義（重さ整数・重さ半整数）
...
2 志村対応
...
3
Kohnen-Zagier
公式について(1/3)
.
ミレニアム懸賞問題..
...
リーマン予想
BSD
予想（バーチ-
スウィンナートン=
ダイアー予想）P ̸ = N P
問題 ホッジ予想 ポアンカレ予想ヤン
-
ミルズ方程式の質量ギャップ問題 ナビエ-
ストークス方程式の解の存在問題イントロダクション
(1/3)
.
ミレニアム懸賞問題..
...
リーマン予想
BSD
予想（バーチ-
スウィンナートン=
ダイアー予想）P ̸ = N P
問題 ホッジ予想 ポアンカレ予想ヤン
-
ミルズ方程式の質量ギャップ問題 ナビエ-
ストークス方程式の解の存在問題(2/3)
.
予想(BSD
予想)..
...
Q
上の楕円曲線E
のL
関数L(s; E)
のs = 1
での零点の位数はE
のMordell-Weil
群の階数である．.
問題..
...
保型形式
f (z)
に付随するL
関数L(s; f )
の特殊値はどんな値をとるか？.
定理(志村・谷山予想)
..
...
Q
上の楕円曲線E
に対し，重さ2
の保型形式f(z)
が存在して，L(s; E) = L(s; f )
が成り立つ．−→
保型L
関数の特殊値は重要な研究対象！イントロダクション
(3/3)
.
定理(J.-L. Waldspurger, 1981, J. Math. Pures Appl.) ..
...
保型
L
関数L(s; f)
のs = k
の特殊値は，本質的には志村対応によってf (z)
と対応する保型形式g(z)
のFourier
級数c(n)
の2
乗である．−→
しかし，証明が非常に難解（Metaplectic群の表現論を用いる）
L
関数の特殊値とFourier
級数の間の比例定数が未決定−→
この比例定数を特殊な場合（SL2( Z )
の保型形式の場合）に 決定したものがKohnen-Zagier
公式である．1. (1/10)
•
重さ整数の保型形式以下，
H = { z ∈ C | Im(z) > 0 }
を複素上半平面，k, N
を整数とする．f
：H → C
；正則関数z ∈ H ∪ Q ∪ {∞}
へのγ =
[ a b c d ]
∈ Γ = SL
2(Z)
の作用をγz = az + b
cz + d , γ ∞ = a c
と定める（一次分数変換）．.
定義(Γ
に対する重さ整数の保型形式) ..
...
f (z)
がΓ
に対する重さk
の保型形式（resp. cusp
形式）⇐⇒
def(
保型性)
f (γz) = (cz + d)
kf (z)
(∀γ ∈ Γ )
(cusp
条件)
∞
でf(z)
は正則（resp.
消えている）1.
保型形式の定義(2/10)
S = [ 1 1
0 1 ]
，
T =
[ 0 1
− 1 0 ]
で
Γ
は生成される．−→ (
保型性) ⇐⇒ f (z + 1) = f (z) f
(
− 1 z
)
= ( − z)
kf(z)
Γ
の基本領域（左図）≃
ポアンカレ円板
≃
一次元トーラス
（リーマン面）
1. (3/10)
.
例(Eisenstein
級数)..
...
G
2k(z)
def= ∑
(m,n)∈Z×Z−{(0,0)}
1 (mz + n)
2kは重さ
2k
の保型形式である．また，E
2k(z)
def= 1
2ζ(k) G
2k(z)
とおく．ここで，
ζ(s)
はRiemann
のゼータ関数である．.
例(Ramanujan
の∆
関数)..
...
∆(z)
def= (2π)
121728 (E
4(z)
3− E
6(z)
2) = (2π)
12· q
∏
∞ n=1(1 − q
n)
24 は重さ12
のcusp
形式である．1.
保型形式の定義(4/10)
.
定義(合同部分群) ..
...
Γ
の部分群Γ
0(N )
，Γ
1(N )
，Γ (N )
を以下のように定義する：Γ
0(N )
def=
{[ a b c d ]
∈ Γ [
a b c d ]
≡ [ ∗ ∗
0 ∗ ]
mod N }
⊆
Γ
1(N )
def=
{[ a b c d ]
∈ Γ [
a b c d ]
≡ [ 1 ∗
0 1 ]
mod N }
⊆
Γ (N )
def=
{[ a b c d ]
∈ Γ [
a b c d ]
≡ [ 1 0
0 1 ]
mod N }
また，
Γ (N )
を含むΓ
の部分群をレベルN
の合同部分群という．1. (5/10)
.
定義(合同部分群に対する重さ整数の保型形式)
..
...
f (z)
が合同部分群Γ
′に対する重さk
の保型形式（resp. cusp
形式）⇐⇒
def(
保型性)
f(γz) = (cz + d)
kf (z)
( ∀ γ ∈ Γ
′)
(cusp
条件)
すべてのcusp s
でf (z)
は正則（resp.
消えている）M
k(Γ
′)
：Γ
′に関する重さk
の保型形式全体S
k(Γ
′)
：Γ
′に関する重さk
のcusp
形式全体 以後，f(z) [γ ]
kdef
= (cz + d)
−kf (γz)
とおく．−→ (
保型性)
f (γz) = (cz + d)
kf (z) ⇐⇒ f(z) [γ ]
k= f (z)
1.
保型形式の定義(6/10)
.
定義(指標付き重さ整数の保型形式)
..
...
mod N
のDirichlet
指標χ
に対し，M
k(N, χ)
def=
f ∈ M
k(Γ
1(N ))
∀ γ = [ a b
c d ]
∈ Γ
0(N )
に対し，f (z) [γ]
k= χ(d)f(z)
を満たす
S
k(N, χ)
def= M
k(N, χ) ∩ S
k(Γ
1(N))
と定義する．
.
命題..
...
M
k(Γ
1(N )) = ⊕
χ
M
k(N, χ)
1. (7/10)
•
重さ半整数の保型形式.
定義(
保型因子)
..
...
γ = [ a b
c d ]
∈ Γ
0(4)
とz ∈ H
に対し，保型因子J (γ, z)
をJ (γ, z)
def= φ
c(d)ε
−d1√ cz + d
と定める．ここで，
φ
c(d)
は拡張されたJacobi
記号であり，ε
d=
{ 1 (d ≡ 1 (mod 4))
i (d ≡ 3 (mod 4))
である．1.
保型形式の定義(8/10)
.
定義..
...
Γ
0(4)
の部分群Γ
′に対し，f Γ
′def= {
(γ, J (γ, z)) | γ ∈ Γ
′}
.
命題..
...
f Γ
′とΓ
′は群として同型である．関数
f (z)
へのe γ = (γ, J(γ, z)) ∈ f Γ
′の作用をf(z) [ γ e ]
k2
= J(γ, z)
−kf (γz)
と定める．1. (9/10)
.
定義(重さ半整数の保型形式)
..
...
f (z)
がf Γ
′に対する重さk
2
の保型形式(resp. cusp
形式)
⇐⇒
def(
保型性) f (z) [ γ e
′]
k2
= f (z)
( ∀ γ e
′∈ f Γ
′)
(cusp
条件)
すべてのcusp s
でf (z)
は正則（resp.
消えている）M
k 2( f Γ
′)
：重さk
2
の保型形式全体，S
k2
( f Γ
′)
：重さk
2
のcusp
形式全体1.
保型形式の定義(10/10)
.
例(Eisenstein
級数)..
...
H
k+12
(z)
def= ζ(1 − 2k)E
ik+∞1 2(z) + 2
−2k−1(1 − ( − 1)
ki)E
0k+1 2(z)
は重さ
k +
12 の保型形式である．ここで，E
k+i∞1 2(z) = ∑
γ∈Γ∞\Γ0(4)
J(γ, z)
−2k−1E
k+0 1 2(z) = ( − 1)
kiz
−k−12E
k+i∞1 2(
− 1 4z
)
.
例..
...
δ(z)
def= 60
2πi (2G
4(4z)Θ
′(z) − G
′4(4z)Θ(z))
は重さ13
2
のcusp
形式である．ここでΘ(z)
はテータ関数である．2. (1/4)
.
定義(重さ整数の場合の Hecke
作用素)..
...
n
を自然数とする．Γ
′に対する重さk
の保型形式f (z)
に対し，Hecke
作用素T
nをT
nf
def= ∑
α
f [Γ
′αΓ
′]
kと定める．
.
定義(重さ半整数の場合の Hecke
作用素)..
...
n
をN
と互いに素な自然数とする．f (z) ∈ M
k2
( Γ ^
1(N ))
に対し，Hecke
作用素T e
n2 をT e
n2f
def= f [ Γ ^
1(N )ξ
nΓ ^
1(N )]
k 2と定める．
2.
志村対応(2/4)
.
定義(Hecke
固有形式)..
...
重さ整数の保型形式
f (z)
がT
nに対するHecke
固有形式⇐⇒
deff(z)
がT
nに対する固有ベクトル重さ半整数の保型形式
f (z)
がT e
n2 に対するHecke
固有形式⇐⇒
deff(z)
がT e
n2に対する固有ベクトル 保型形式f(z)
がHecke
同時固有形式⇐⇒
deff(z)
がいくつかのHecke
作用素に対する固有ベクトル2. (3/4)
.
定理(G. Shimura, 1973, Ann. of Math. (2)) ..
...
k
：自然数，t
：平方因子を持たない自然数，N
：4
の倍数χ
：mod N
の偶のDirichlet
指標f (z) =
∑
∞ n=1a(n)q
n∈ S
k+12
(N, χ)
：∀T
pに対するHecke
同時固有形式∑
∞ n=1A
t(n)n
−sdef= (
∞∑
m=1
χ(m)
( ( − 1)
kt m
)
m
k−1−s) (
∞∑
n=1
a(tn
2)n
−s)
F
t(z)
def=
∑
∞ n=1A
t(n)q
n= ⇒ F
t∈ M
2k(N
t, χ
2)
．特に
k ≥ 2
であれば，F
t∈ S
2k(N
t, χ
2)
．2.
志村対応(4/4)
.
例..
...
重さ
13
2
のcusp
形式δ(z) = 60
2πi (2G
4(4z)Θ
′(z) − G
′4(4z)Θ(z))
は志村対応によって重さ12
のcusp
形式∆(z)
と対応する．.
例..
...
重さ
k +
12 の保型形式H
k+12
(z)
は志村対応によって重さ2k
の保型形式1
2 L (1 − k, D) ζ(1 − 2k)E
2k(z)
と対応する．3. Kohnen-Zagier (1/4)
.
定義(Kohnen plus
空間) ..
...
M
+k+12
(N )
def= {
∞∑
n=0
a(n)q
n∈ M
k+12
( Γ ^
0(4N ))
( − 1)
kn ≡ 2, 3 mod 4
の時，a(n) = 0
}
S
+k+12
(N )
def= {
∞∑
n=1
a(n)q
n∈ S
k+12
( Γ ^
0(4N ))
(−1)
kn ≡ 2, 3 mod 4
の時，a(n) = 0
}
.
命題(W. Kohnen, 1980, Math. Ann.) ..
...
志村対応の
M
+k+12
(4), S
+k+12
(4)
への制限は，それぞれM
2k(Γ )
，S
2k(Γ )
への同型写像である．3. Kohnen-Zagier
公式について(2/4)
次の式が
Kohnen-Zagier
公式と呼ばれているものである．.
定理(W. Kohnen, D. Zagier, 1981, Invent. Math.) ..
...
f (z) ∈ S
2k(Γ )
：正規化されたHecke
同時固有形式g(z) =
∑
∞ n=0c(n)q
n∈ S
+k+12
(4)
：f(z)
の志村対応D
：( − 1)
kD > 0
を満たす基本判別式この時，
c( | D | )
2⟨g, g⟩ = (k − 1)!
π
k| D |
k−12L(f, D, k)
⟨f, f ⟩
が成り立つ．ここで，⟨ , ⟩
はPetersson
内積である．• Kohnen-Zagier
公式の証明に関わるS
+k+12
(4)
の特殊事情−→ S
+k+12
(4)
は「重複度1」を満たす．
3. Kohnen-Zagier (3/4)
.
性質（重複度1）
..
...
Hecke
同時固有形式f (z), g(z)
のT
pに対する固有値がすべて等しい= ⇒ f (z)
とg(z)
は定数倍の差しかない．「重複度
1」を満たす
−→ Hecke
同時固有形式からなる直交基底が得られる．しかし、一般レベルの重さ半整数の保型形式の空間
S
k+12
(N )
の「重複度は
2
以上」である．−→
「よい」部分空間を考える必要がある．3. Kohnen-Zagier
公式について(4/4)
修士論文では次の定理の証明を紹介した．
.
定理(H. Sakata, 2008, Nagoya Math. J.) ..
...
N = 4 × (
奇数)
，M = N 4
f (z) ∈ S
2knew(N )
：原始的なcusp
形式で，「ある」固有値を持つg(z) ∈ N
+k+12
(N )
：f (z)
のD-
志村対応g(z) = ∑
κ∈Map(Π(N),{±1}) κは(τodd)を満たす
g
κ(z) (g
κ∈ N
+,κk+12
(N ))
と直交成分に分解し，
g
κ(z)
のFourier
係数をc
gκ(n)
とする．この時，∑
κ∈Map(Π(N),{±1}) κは(τodd)を満たす
| c
gκ( | D | ) |
2⟨ g
κ, g
κ⟩ = 2
ν(M)(k − 1)!
π
k|D|
k−12L(f, D, k)
⟨ f, f ⟩
．今後の課題
