9. 交流における直列接続及び並列接続

9.

交流における直列接続及び並列接続

9. Series Connection and Parallel Connection in Alternating Current

講義内容

1.

回路要素の直列接続

回路要素の並列接続

3.

インピーダンスとアドミタンス

回路要素の直列接続：

直列回路

抵抗

とインダクタンス

の直列接続

R

L

I

V

VR

VL

R L

R L

V V V

V RI V jωLI

 = +

 =

 =



( )

R L

V =V +V = R + jωL I

Im

I V

0 Re

VR

VL

θV

θI

オーム の法則より電流と 抵抗の電圧降下の 位相 は常に 等しい

第 １ 象限

回路要素の直列接続：

直列回路

抵抗

とキャパシタンス

の直列接続

R

C

I

V

VR

VC

R C

V V V R j 1 I

ωC

 

= + =  − 

 

R C

R

C

1 1

V V V

V RI

V I j I

jωC ωC

= +

=

= = − ^Im

I

V 0 Re

VR

VC

θV

θI

オーム の法則より電流と 抵抗の電圧降下の 位相 は常に 等しい

第 ４ 象限

インピーダンス

R – C

直列回路

直列回路

( )

V = R + jωL I

V R j 1 I

ωC

 

=  − 

 

( )²

2 1

RL Tan ωL [Ω]

Z R jωL R ωL

R

= + = +  −

V = ZI

2

2 1

RC

1 1 1

Tan [Ω]

Z R j R

ωC ωC ωCR

  −

= − = +   

：インピーダンス

Z

^{左辺：複素数 表示，右辺：極}

V

I

Z

インピーダンスの詳細

インピーダンス

リアクタンス

抵抗( レジスタンス

ZRL = +R jωL

R – L

直列回路 抵抗：

リアクタンス：

R – C

直列回路

RC

Z R j 1

= − ωC

抵抗：

リアクタンス：

= − ωC

リアクタンスの符号が 正：

誘導性 リアクタンス

L

と

で構成されるエネルギを 消費 しない 疑似的な抵抗

リアクタンスの符号が 負：

容量性 リアクタンス

アドミタンスとその詳細

アドミタンス

2 2 2 2

1 1 R X

Y j G j

Z R jX R X R X

= = = − = +

+ + + B[S]　

サセプタンス コンダクタンス

ZRL = +R jωL R – L

直列回路

( ) ( )

RL 2 2 2 2

R ωL

Y j

R ωL R ωL

= −

+ +

サセプタンスの符号が 負：

誘導性 サセプタンス

インピーダンスの 逆数

R – C

直列回路

RC

Z R j 1

= − ωC ^RC ₂ ² ₂ ²

1

1 1

R ωC

Y j

R R

ωC ωC

= +

   

+  + 

サセプタンスの符号が 正：

容量性 サセプタンス

インピーダンス図，アドミタンス図

R – L

直列回路

( ) ( )

RL 2 2 2 2

R ωL

Y j

R ωL R ωL

= −

+ +

R – C

直列回路

RC

Z R j 1

= − ωC

RC 2 2

2 2

1

1 1

R ωC

Y j

R R

ωC ωC

= +

   

+   + 

R

RL jωL

Z

θZ

YRL

( )²

2

R R + ωL

( )²

2

j ωL

R ωL

− +

θY

R

j 1

− ωC

θZ

ZRC θ^Y

YRC

2

2 1

R R ωC

 

+  

2 2

1 1 j ωC

R ωC

 

+  

及び は 矢印 を用いて 表さない ことに注意！

Z Y

各種タンスのまとめ

[Ω]

Z = +R jX

リアク タンス レジス タンス インピー ダンス

[S]

Y = +G jB

サセプ タンス コンダク タンス アドミ タンス

( ⁰)

Z X　 

誘導性 リアク タンス

誘導

性 インピー ダンス

( ⁰)

Z X　 

容量性 リアク タンス

容量

性 インピー ダンス

( ⁰)

Y B 

誘導性 サセプ タンス 誘導性 アドミ タンス

( ⁰)

Y B　 

容量性 サセプ タンス 容量性 アドミ タンス インダク タンス

キャパシ タンス

回路要素の並列接続：

並列回路

抵抗

とインダクタンス

の並列接続

R L

R

L

I I I

I V

R

V V

I j

jωL ωL

 = +

 =



 = = −



R L

1 1

I I I j V

R ωL

 

= + =  − 

オーム の法則より電流と 抵抗の電圧降下の 位相 は常に 等しい

第 ４ 象限

R

I

V _L

IR I_L

Im

0 Re

θV

θI

V

I IR

IL

回路要素の並列接続：

並列回路

抵抗

とキャパシタンス

の並列接続

R C

R

C

I I I I V

R

I jωCV

 = +

 =



 =

R C

I I I 1 jωC V

R

 

= + =  + 

オーム の法則より電流と 抵抗の電圧降下の 位相 は常に 等しい

第 １ 象限

R

I

V

IR I_C

C

Im

V I

0 Re

IR

IC

θV

θI

インピーダンスとその詳細

インピーダンス

2 2 2 2

1 1 G B

Z j R j

Y G jB G B G B

= = = − = +

+ + + X [Ω]　

リアクタンス 抵抗

RL

1 1

Y j

R ωL

= −

R – L

並列回路

RL 2 2 2 2

1 1

1 1 1 1

R ωL

Z j

R ωL R ωL

= +

  +    + 

       

       

リアクタンスの符号が 正：

誘導性 リアクタンス

アドミタンスの 逆数

R – C

並列回路

RC

Y 1 jωC

= +R ^{RC 2} ( )^{2 2} ( )²

1

1 1

R ωC

Z j

ωC ωC

R R

= −

  +   +

   

   

リアクタンスの符号が 負：

容量性 リアクタンス

インピーダンス図，アドミタンス図

R – L

並列回路

( ) ( ) ( ) ( )

RL 2 2 2 2

1 1

1 1 1 1

R ωL

Z j

R ωL R ωL

= +

+ +

RL

1 1

Y j

R ωL

= −

R – C

並列回路

( ) ( ) ( ) ( )

RC 2 2 2 2

1

1 1

R ωC

Z j

R ωC R ωC

= −

+ +

RC

Y 1 jωC

= +R

ZRL

θZ

YRL

( ) (² )²

1

1 1

j ωL

R + ωL θ_Y

θZ

ZRC

θY

YRC

及び は 矢印 を用いて 表さない ことに注意！

Z Y

( ) (² )²

1

1 1

R R + ωL

j 1

− ωL 1

R

( ) ( )^{1 2 2}

j ωC

R ωC

− +

( ) ( )^{2 2}

1 1

R R + ωC

1 R

jωC

例題：

直列回路，

並列回路

R = 40[Ω] L = 0.1[H]

a b

図のような

直列回路と周波数

で 等価な

並列回路の

および

を求めよ

RLS 40 10 [Ω]

Z = +R jωL = + j π　

R – L

直列回路のインピーダンスは

R – L

直列回路のアドミタンスは

( ) ( ) ( ) ( )

RLS 2 2 2 2 2 2 2 2

1 40 10 40 10

[S]

40 10 40 10 40 10

R jωL j π π

Y j

R jωL R ωL π π π

− −

= = = = −

+ + + + + 　

a R’ b

L’

例題：

直列回路，

並列回路

R = 40[Ω] L = 0.1[H]

a b

a R’ b

L’

図のような

直列回路と周波数

で 等価な

並列回路の

および

を求めよ

実部と虚部を取り出して，

( ) ( )

2 2

2 2

1 40

' 40 10

1 10

' 40 10

R π

π

ωL π

 =

 +



 =

 +



R – L

並列回路のアドミタンスは

RLP

1 1

' '[S]

Y j

R ωL

= −

( ) ( )

2 2

2 2

40 10

' 40

40 10

' 10

R π

ωL π

π

 +

 =



 +

 =

( )  

( )

2 2

2 2

40 10

' 64.47 Ω

40 40 10

' 0.262[H]

10 2 50 R π

L π

π π

 +

= =



 +

 = =

  



例題：

直列回路，

並列回路

R = 400[Ω] C = 10[μF]

a b

図のような

直列回路と周波数

で 等価な

並列回路の

および

を求めよ

RCS

1 1000

400 [Ω]

Z R j

jωC π

= + = − 　

R – C

直列回路のインピーダンスは

R – C

直列回路のアドミタンスは

RCS 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1000 1000

1 400 400

1 1 1000 1000 1000 [S]

400 400 400

R j j

ωC π π

Y j

R j ωC R ωC π π π

+ +

= = = = +

       

− +   +  +   +   　

a R’ b

C’

例題：

直列回路，

並列回路

R = 400[Ω] C = 10[μF]

a b

図のような

直列回路と周波数

で 等価な

並列回路の

および

を求めよ

a R’ b

C’

R – C

並列回路のアドミタンスは

RCP

1 '[S]

Y ' jωC

= R +

実部と虚部を取り出して，

( )

( )

2 2

2 2

1 400

' 400 1000 ' 1000

400 1000

R π

ωC π

π

 =

 +



 =

 +



( )

( )

 

2 2

2 2

400 1000

' 653.30[Ω]

400

' 1000 3.877[μF]

400 1000 2 50

R π

C π

π π

 +

= =



 = =

 +  

