7 S 行列

7 S

場の理論において，考える基本的なプロセスは散乱過程である．現実的には，２つの粒 子をぶつけて散乱後の粒子を検出する．この場合，入射粒子は散乱現象の起こる衝突点か ら十分はなれたところで，運動量の固有状態として準備され散乱後の粒子も十分に離れた ところで，運動量の固有状態として観測される．このようなプロセスを表すにはよって

out

⟨ k

· · · | k

· · ·⟩

= ⟨ k

· · · | S | k

· · ·⟩ (7.193)

out-state

S

in-state

out-state

⟨ k

· · · | S | k

· · ·⟩ = lim

T→∞

⟨ k

· · · | e

| k

· · ·⟩ (7.194)

7.1

一方これまでに我々は，一般の振幅（または相関関数）の計算を考えてきたが，この振 幅と

S

(または過去)

7.1.1 LSZ reduction

まず，一つの場についてフーリエ変換をして運動量の固有状態を引き出す．そのとき

∫

d

xe

⟨ Ω | T { φ(x)φ(x

) · · · φ(x

) }| Ω ⟩

= (

∫

−∞

+

∫

tout

)dt

∫

d

xe

⟨ Ω | T { φ(x)φ(x

) · · · φ(x

) }| Ω ⟩ (7.195)

∫

tout

dt

∫

d

xe

⟨ Ω | T { φ(x)φ(x

) · · · φ(x

) }| Ω ⟩

=

∫

tout

dt

∫

d

xe

⟨ Ω | φ(x) | k

⟩ d

k

(2π)

2ω

⟨ k

| T { φ(x

) · · · φ(x

) }| Ω (7.196) ⟩

を得る．ローレンツ不変性から，

⟨ Ω | φ(x) | k

⟩ = ⟨ Ω | e

φ(0)e

| k

⟩ = ⟨ Ω | φ(0) | k

⟩ e

(7.197)

なので，代入して

x

=

∫

tout

dt d

k

2ω

e

δ

(k − k

) ⟨ Ω | φ(0) | k

⟩⟨ k

| T { φ(x

) · · · φ(x

) }| Ω ⟩

=

∫

tout

dt 1

2ω

e

⟨ Ω | φ(0) | k ⟩⟨ k | T { φ(x

) · · · φ(x

) }| Ω ⟩

= i

2ω

(k

− ω

+ iϵ) ⟨ Ω | φ(0) | k ⟩⟨ k | T { φ(x

) · · · φ(x

) }| Ω ⟩

= i

− k

− m

+ iϵ

k⁰→ω_k

⟨ Ω | φ(0) | k ⟩⟨ k | T { φ(x

) · · · φ(x

) }| Ω ⟩ (7.198)

ここで，最後の行は

On shell

全ての漸近場の発散を分離するために，上記の議論を

t

< t

= ∏

( i √ Z

− k

− m

+ iϵ |

) ∏

( i √ Z

− k

− m

+ iϵ |

)

⟨ k

, .. | − k

... ⟩

(7.199)

LSZ(Lehmann-Symanzik-Zimmermann)reduction formula

7.1.2

S

このように初期状態と終状態を準備するための因子を分離してしまうと，その残りの部 分が

S

S

⟨ k

, ... | S | k

, ... ⟩ ∝ ⟨ k

, ... | T e

| k

, ... ⟩ (7.200)

S = 1 + iT (7.201)

と置いて転移

(transition)

⟨ k

, ... | iT | k

, ... ⟩ = ⟨ k

, ... | T e

| k

, ... ⟩

(7.202)

connected, amputated

列は

correlation function

connected graph

つまり，このように漸近場のある場合の

x

⟨ k | φ(x) = ⟨ 0 | a

√

2ω

φ(x) = ⟨ 0 | e

(7.203)

k ← = e

, →

k = e

(7.204)

という因子を与える．以下に見るように

x

すると，これらの平面波因子

e

7.2

S

S

⟨ k

, ... | iT | k

, ... ⟩ = ⟨ k

, ... | T e

| k

, ... ⟩

= (2π)

δ( ∑

k

− ∑

p

) × i M (k

, k

→ p

) (7.205)

不変振幅を与えるファインマン則をもう一度導いておく．

1.

| k

⟩

dx

ϕ

(x)(vertex,

ϕ(x)

e

2.

dy

ϕ

(y)

D

(x − y) =

∫ d

k

(2π)

e

D ˜

(k) =

∫ d

k

(2π)

e

− i

k

+ m

− iϵ (7.206)

x

3.

D ˜

(k)

k

4.

1，内線にはプロパゲータ，閉

k

以上をまとめると：

1.

k = i

− k

− m

+ iϵ (7.207)

2.

1

k = 1 (7.208)

3.

k

k

k

k

= − iλ( × 1

4!

) (7.209)

( ∑

k

) = 0．

4.

(ループ積分)： ∫

5. Symmetric factor

7.3

実際にファインマンダイアグラムを使った計算を行ってみよう．φ⁴

theory

2

⟨ k

, k

| T e

| k

, k

⟩ = ⟨ k

, k

| k

, k

⟩ + ⟨ k

, k

| − iλ 4!

∫

d

zφ

(z) | k

, k

⟩ + O(λ

) (7.210)

⟨ k

, k

| k

, k

⟩ = ⟨ k

| k

⟩⟨ k

| k

⟩ + ⟨ k

| k

⟩⟨ k

| k

⟩ (7.211)

S = 1 + iT

1

⟨ k

, k

| k

, k

⟩ = k

k

k

k

+ k

k

k

k

(7.212)

でこれは，

disconected

φ

contraction

φφ φφ , φφ φφ , φφφφ (7.213)

ここで

contraction

contraction

⟨ k

, k

| φφ φφ | k

, k

⟩ ∝ (f ree) × (7.214)

これは，やはり散乱をしていない．

⟨ k

, k

| φφ φφ | k

, k

⟩ ∝ k

k

k

k

+

k

k

k

k

(7.215)

これらも，S

= 1 + iT

1

contraction

= 4! − iλ 4!

∫

d

ze

= − iλ(2π)

δ(k

+ k

− k

− k

) (7.216)

よって，不変散乱振幅は

i M = − iλ (7.217)

である．

7.4

実験的には，粒子の散乱現象を観測したとき，その散乱断面積を観測することになる．

不変振幅と散乱断面積の関係は，理想化された状況から現実的な状況に合わせなければな らない．とくに，S行列や散乱振幅の計算では，運動量一定の状態間の反応を計算してい る．しかし，これを使って平面波が無限の過去から飛来して散乱し再び平面波として出て いく状況を計算すれば，それに伴う無意味な発散が生じる．この発散は実際には入射粒子 を波束として扱うことで取り除くことができる．このことに関して，ここでは

Peskin

7.4.1

そこで，入射粒子の状態を波束として書くと，２体の粒子

(k

, k

)

(p

)

P (1 + 2 → 1, ..., n) = ∫ ∏

f

d

p

(2π)

2E

|

⟨ p

| ϕ

, ϕ

⟩

|

(7.218)

23Pskin, Schroeder An Introduction to Quantum Field Theory, Westview, p.99-115

ここで，ϕiは入射粒子の波動関数で平均の運動量が

k

| ϕ

⟩ ≡

∫ d

k

(2π)

√

2E

ϕ

(⃗k

) | ⃗k

⟩ (7.219)

z

⃗b

x − y

b

これを上の式に代入すると 

P (i → f) = ∫ ∏

f

d

p

(2π)

2E

∫

d

b ∏

i

∫ d

k

(2π)

√

2E

ϕ

(⃗k

)e

(2π)

δ(k

+k

− ∑

f

p

) M

(7.220) k

k ¯

δ

b

¯ k

P (i → f) = ∫ ∏

f

d

p

(2π)

2E

∏

i

∫ d

k

(2π)

| ϕ

(⃗k

) |

(2π)

δ(k

+ k

− ∑

f

p

) |M|

2E

2E

| v

− v

|

(7.221)

k

, k

k

dσ = ∏

f

d

p

(2π)

2E

(2π)

δ(k

+ k

− ∑

f

p

) |M|

2E

2E

| v

− v

| (7.222)

=

i．これによって，微分断面積

dσ

さらに今の場合終状態が２体なので，

∫

dΠ

= ∫ ∏

f

d

p

(2π)

2E

(2π)

δ

(運動量の和) (7.223)

∫

dΠ

=

∫ dp

p

16π

E

E

(v

− v

)

=

∫

dΩ | p

| 16π

E

=

∫

d cos θ 2 | p

|

16πE

(7.224)

= E

+ E

微分散乱断面積

dσ dΩ

= 1

4E

E

| v

− v

|

| p

|

(4π)

E

|M (k

, k

→ p

) |

(7.225)

全ての質量が等しいのでさらに簡単になる．CM系に移ると

E

= E

, v

= k

E

= − k

E

⇒ | v

− v

| = 2 | k

E | (7.226)

一方の運動量積分が実行でき，さらに動径方向の積分も行うことで，

dσ

dΩ = |M|

64π

E

(7.227)

を得る．ただし，Ecm

= 2E

7.4.2 ϕ

ϕ

M = − λ

dσ

dΩ = | λ |

64π

E

(7.228)

を得る．全微分断面積は，積分して，終状態が同種粒子なので２で割ると

σ = | λ |

32πE

(7.229)

を得る．

7.5

ボゾンとフェルミオンの相互作用は

L = L (φ) + L (Dirac) + L

(7.230)

L

ここでは，湯川相互作用

L

= − f φ(x) ¯ ψ(x)ψ(x) (7.231)

まず，フェルミオンのプロパゲータは

ψ(x)ψ(y) = T { ψ(x)ψ(y) }− : ψ(x)ψ(y) := S

(x − y) (7.232)

contraction

ψ (x) | s, k ⟩ = ψ(x) √

2E

b

| 0 ⟩ = u

e

(7.233)

u, v

ボソンのときのように，さらに運動量表示で行えば，ファインマン則が次のように得ら れる．

ファインマン則

1.

k = i

k / − m + iϵ = i( − k / + m)

− k

− m

+ iϵ (7.234) 2.

ψ(x) | k, s ⟩ = ←

k = u

(k)

⟨ k, s | ψ(x) ¯ = ←

k = u ¯

(k) ,

ψ(x) ¯ | k, s ⟩ =

← k = v ¯

(k) ,

⟨ k, s | ψ(x) =

k ← = v

(k)

(7.235)

3.

k

k

k

= − if (7.236)

さらに，運動量保存

(2π)

δ

(k

+ k

+ k

) 4.

5. Symmetric factor

7.5.1

陽子中性子間の相互作用は，次のファインマン図で表される．

k

, r k

, r

k

, s k

, s

(7.237)

グラフ

= ⟨ k

, s

|⟨ k

, r

| ( − if)

∫

ψ ¯

φψ

∫

ψ ¯

φ ψ

| k

, r ⟩| k

, s ⟩ i M = − f

(¯ u

(k

)u

(k

))(¯ u

(k

)u

(k

)) i

− q

− µ

(2π)

δ

( ∑

k

)

= 4m

m

δ

δ

if

q

+ µ

(7.238)

ここで，始状態終状態の順序は，相互作用しない部分（つまり単なる内積）が

1

24内積の2mは内積の積分測度が∫ _d³_k

(2π)³ 1

2Ek であることから来ている．nonrelativisticにおいては，測 度の2E_kが状態の内積の2mをキャンセルする