5．質点系と剛体の運動 ここまでは，物体を質点とみなして，

5 ．質点系と剛体の運動

ここまでは，物体を質点とみなして，

1

2

( =

)

5-1. 2

m A

m B

2

A

B

2

2

2

B

A

F ^→ B→A

A

B

F ^→ A→B

A

^→ v A

A

^→ p A

^→ p A

= m A ^→ v A

B

^→ v B

B

^→ p B

p ^→ B = m B ^→ v A

2

dp ^→ _A

dt = F ^→ B→A (5-1-1)

dp ^→ _B

dt = F ^→ A→B (5-1-2)

2

P ^→ tot

2

P ^→ tot = ^→ p A + p ^→ B (5-1-3)

上の式の両辺を時間微分し，右辺について，

(5-1-2)

(5-1-2)

F ^→ B→A = – F ^→ A→B

下の式のように，全運動量は時間変化しない．すなわち，全運動量P

^→ tot

dP

dt = F ^→ B→A + F ^→ A→B = 0 (5-1-4)

P

=

(5-1-5)

→

p

B

→

p

A

F

F

A

B

v → A

y

x

衝突

45 °

v →

' B

45 ° y v ^→ ' A

x

問題

5-1

A = 4.0 kgの物体Aが速度 ^→ v A = ( – 3.0, 0.0) m/sで運動して，原点上に位置して，静

m B = 2.0 kg

B

A

^→ v ' A = (– 1.0 , – 2.0) m/s

1)

B

^→ v ' B

2)

A

F ^→ B→A Δt

問題

5-2

m A = 2.0 kg

A

^→ v A = (4.0 , 0.0) m/s

m B = 4.0 kg

B

A

B

1)

Aと物体 B

v' A

v' B

v ^→ ' A

v ^→ ' B

v' A

v' B

2)

^→ tot

3)

A

v A

v' A

v' B

問題

5-3

m A

A

v ^→ A

m B

B

v ^→ B

くっついて合体した．衝突後の合体した物体の速度v

^→ 'と衝突によるって物体 A

^→ B→A Δt

衝突前の全運動エネルギー

K

K'

ΔK = K'– K

,

問題

5-4

M

V 0

δt

ρ

–v

V

(

)

*

2

2

m A

m B

2

A

B

v

A = (v Ax , v Ay )

v

B = (v Bx , v By )

2

(

δt

B

^→ A→B

A

^→ B→A )，衝突後は，速度v

' A = (v' Ax , v' Ay )とv

' B = (v' Bx , v' By )と

2

±x

この系には外力が働いていないので，「運動量保存則」，すなわち，下の(5-1-6)式が成立する．

衝突前の全運動量

= P

= m

v

+ m

v

= m

v

'

+ m

v

'

= P

'

=

(5-1-6)

質点

A

A

(

+x

) F ^→ B→A

m A v

' A – m A v

A = F ^→ B→A δt = | F ^→ B→A | e ^→

δt (5-1-7)

上の運動量保存則を表す式はベクトルとしての等式なので，

x

y

y

y

x

(

)

m A v Ax + m B v Bx = m A v' Ax + m B v' Bx (5-1-8) y

v Ay = v' Ay

v By = v' By (5-1-9)

さらに，衝突による力は

x

e

2

(

)

2

e = |

2

x

|

|

2

x

| = | v' A

– v' B x |

| v A

– v B x | (5-1-10)

したがって，この場合，反発係数

e

y

1

x

v

'

v

'

衝突後 衝突

v

A

v

B

F

F

成分は下の式のように

2

e

(5-1-12)

v Ax ≥ v Bx

v' Ax ≤ v' Bx

(5-1-11)

v Ax ≤ v Bx

v' Ax ≥ v' Bx

e = – v'

– v'

v

– v

(5-1-12)

*

(

) →

x

2

x

(5-1-7)

Δv

A (= v

' A – v

A ) = (Δv Ax , Δv Ay )

X

(

X

)

β)とすると，次のような回転変換を行う．ここで，変換後の速度変化 ΔV

A = (ΔV A , 0)である．

 

 

ΔV A

0 =  

 

cos (– β) – sin (– β) sin (– β) cos (– β)  

 

Δv Ax

Δv Ay =  

 

cos β sin β – sin β cos β  

 

Δv Ax

Δv Ay

変換後の速度変化

ΔV A

β

ΔV A = (Δv Ax ) ² + (Δv Ay ) ² , tan β = Δv Ay /Δv Ax

*

2

(

B

)

壁の質量は物体

A

は成立しているが，現実的には使えない．右の図に示されているような 壁との衝突では(5-1-12)式で表されている反発係数

e

Ax > 0, v' Ax < 0, v' Ay = v Ay

e = | v' A

|

| v A

| = – v' A

v A

(5-1-13)

Y

X – β

ΔV

A

Δv

A

O

v

v

'

*

(

)

x

v' Ax

v' Bx

(5-1-8)

(5-1-12)

x

v Ax

v Bx

および，反発係数

e

v' Ax = 1

m A + m B { (m A – m B e) v Ax + m B (1 + e) v Bx }

(5-1-14)

v' Bx = 1

m A + m B { m A (1 + e) v Ax + ( m B – m A e) v Bx }

(m A = m B = m)

v' Ax = 1 – e

2 v Ax + 1 + e 2 v Bx

(5-1-15)

v' Bx = 1 + e

2 v Ax + 1 – e 2 v Bx

*

e

(5-1-10)

(

0(

)

)

2

分類できる．衝突では，外力が働いていない場合，「運動量保存則」が成立するが，必ずしも「力学的エネルギー保存則」が成立 するとは限らない．その観点から，衝突前後で全運動エネルギーが変わらない衝突を「弾性衝突」と呼び，衝突で全運動エネルギ ーが減少する衝突を「非弾性衝突」と呼ぶ．

e = 1 →

(5-1-16)

0 ≤ e < 1 →

(

, e = 0

)

①

(5-1-13)式より，衝突後の速度 v' Ax

e

Ax = – e v Ax

K A

K' A

(

m

)

K A = 1

2 m v Ax 2 , K' A = 1

2 m v' Ax 2 = 1

2 m (e v Ax ) ² =e ² K A (5-1-17)

上の式から反発係数

e = 1

(5-1-15)

K tot

K' tot

K tot = 1

2 m (v Ax 2 +v Ay 2 ) + 1

2 m (v Bx 2 +v By 2 ) = 1

2 m (v Ax 2 + v Bx 2 + v Ay 2 + v By 2 ) (5-1-18)

K' tot = 1

2 m (v' Ax 2 + v' Ay 2 ) + 1

2 m (v' Bx 2 + v' By 2 ) = 1 2 m ( { 1–e

2 v Ax + 1+e

2 v B } ² + v Ay 2 +{ 1+e

2 v Ax + 1–e

2 v B } ² + v By 2 )

= 1

2 m ( ^1+e ₂ ² v Ax 2 + (1– e ² ) v Ax v Bx + 1+e ²

2 v Bx 2 +v Ay 2 + v By 2 ) (5-1-19)

この例でも，反発係数

e= 1

②

衝突の際，摩擦によって熱エネルギーに変換された．

(5-1-17)

(5-1-18)

e < 1

e = 0 (完全非弾性衝突)となる場合は，(5-1-10)式より衝突後 2

っついて動かなくなるので，衝突後の運動エネルギー

K' A = 0

2

tot = m ( (v Ax + v Bx ) ² /2 + v Ay 2 + v By 2 )/2

K tot = K' tot –

K tot = –m(v Ax – v Bx ) ² /4

B

る．

問題

5-5

+

m A = 2.0 kg

A

v A = 1.0 m/s

m B = 3.0 kg

の物体

B

v B = 5.0 m/s

2

e =

0.25

A

B

v' A

v' B

.

問題

5-6(省略してよい) (5-1-14)式から，質量が異なる2つの物体が弾性衝突したとき，全運動エネルギーが保存(衝突前後で

全運動エネルギーが一致

K tot = K' tot )

問題

5-7

A

B

A

B

K' tot

5-2. 2

m A

m B

2

A

B

2

A

B

^→ r A

^→ r B

A

B

F ^→ B→A

F ^→ A

B

A

F ^→ A→B

F ^→ B

(

2

2

m A

d ² r ^→ _A

dt ² = F ^→ B→A + F ^→ A (5-2-1)

m B

d ² r ^→ _B

dt ² = F ^→ A→B + F ^→ B (5-2-2)

2

R

(m A + m B ) R ^→ G = m A ^→ r A + m B ^→ r B → R

= m

r

+ m

r

m

+ m

(5-2-3)

さらに，質点

B

A

A

r

→

r

B→A

=

r

–

r

(5-2-4)

(5-2-1)

(5-2-2)

R ^→ G

2

係の力が打ち消される．

(m A + m B ) d ² R ^→ _G

dt ² = F ^→ A + F ^→ B (5-2-5)

さらに，下の式のように系の全質量

M

F ^→

(5-2-8)

F ^→ tot

F

F

F

F

A

B

M = m A + m B (5-2-6)

F ^→ tot = F ^→ A + F ^→ B (5-2-7)

M d

R

dt

= F

(5-2-8)

一方，「

(5-2-1)

/m A – (5-2-2)

/m B

^→ r B→A

2

の関係を用いて下の式で表すことができる．

d ² r ^→ B→A

dt ² = ( 1 m A + 1

m B ) F ^→ B→A + F ^→ A

m A – F ^→ B

m B (5-2-9)

ここで，下の式で表される換算質量

μ

1 μ = 1

m A + 1

m B → μ = m A m B

m A + m B (5-2-10)

μ d

r

dt

= F

+ m

M F

– m

M F

(5-2-11)

特に，外力が働いていない場合(F^→A

= F

= 0)は下の式で相対位置に関する運動方程式を表すことができる．この運動は作用反

μ d

r

dt

= F

(5-2-11)

例えば，質点(物体)Aとして惑星，質点(物体)Bとして太陽を考えた場合(m

A << m B )，その相対位置r ^→ B→A

F ^→ B→A

μ

μ ~ m A (

, 1/μ = 1/m A +

1/m B ~ 1/m A

~ m A – m A 2 /m B )となる．このとき，(5-2-11)式は，ほぼ「惑星に対する

運動方程式」となる．

*

2

A

B

^→ r A

^→ r B

(5-2-3)

R ^→ G

(5-2-4)

^→ r B→A

^→ r A

→ r

B

R ^→ G

^→ r B→A

r

= R

+ m

M

r

(5-2-12)

r

= R

– m

M

r

上の式で時間微分をとって，質点

A

B

^→ A

^→ v B

^→ G

^→ B→A

2

K tot

K tot = 1

2 m A v A 2 + 1

2 m B v B 2 = 1

2 M V G 2 + 1

2 μ v B→A 2 (5-2-13)

さらに，外力が働いていない場合(F

^→ A = F ^→ B = 0)は，(5-2-8)式より，重心の速度V ^→ G

F ^→ B→A

F ^→ B→A = – ▽ ^→ U

U(r ^→ B→A )

1

2 μ v B→A 2 + U(r ^→ B→A ) =

(5-2-14)

*

2

A

B

^→ A

^→ B

^→ tot

量

p ^→ G

p ^→ B→A

p ^→ tot

p →

tot = ^→ p A + p ^→ B = m A d r ^→ _A

dt + m B d r ^→ _B

dt = M d R ^→ _G

dt + μ dr ^→ _B→A

dt = p ^→ G + p ^→ B→A (5-2-15)

*

2

A

B

^→ A

^→ B

^→ tot

運動量L

^→ G

^→ B→A

^→ tot

L ^→ tot = ^→ r A × m A

d r ^→ _A

dt + ^→ r B × m B d r ^→ _B

dt = R ^→ G × M d R ^→ _G

dt + ^→ r B→A × μ dr ^→ _B→A dt

= L ^→ G + L ^→ B→A (5-2-16)

*

M ^→ tot = ^→ r A × (F ^→ B→A + F ^→ A ) + ^→ r A × (F ^→ A→B + F ^→ B )

= (R ^→ G × F ^→ tot ) + (r ^→ B→A × F ^→ B→A ) + ^→ r B→A × ( m B

M F ^→ A – m A

M F ^→ B ) (5-2-17)

上の式から，力のモーメントにおいても，外力が作用しない場合

(F ^→ A = F ^→ B = 0)

M ^→ tot = ^→ r B→A × F ^→ B→A

相対位置と作用反作用の力の外積で表すことができる．

*

下の式で表すことができる．

dL ^→ _tot

dt = (R ^→ G × F ^→ tot ) + ^→ r B→A × (F ^→ B→A + m B

M F ^→ A – m A

M F ^→ B ) (5-2-18)

問題

5-8

(

B

y B (0) = 0

)

t

Y G

y B→A

(

)

問題

5-9(

)

m

3m

2

A

B

t=0

2

(

B

y B (0) = 0

)

G

B→A

問題

5-10(省略してよい)

A

B

k

ℓ

に置かれている．時刻

t=0

2

(

B

x B (0) = 0

y B

B

A y A

y

x B

B A

x A

x

)

t

X G

x B→A

A

B

問題

5-11(

)

v

m A

A

ばね定数

k

m B

B

跳ね返えされた．衝突後に跳ね返された物体

A

v'

Aの失った運動エネルギーΔK，ばねの最大の縮みx max

5-3.

*

N

1

m 1

^→ r 1

2

i

m

で位置

^→ r

(i = 1 ~ N)

質点系における全体の質量

M

(

)

R

M = (m

+ m

+ … + m

) = 

i=1 N

m

(5-3-1)

M R

= (m

r

+ m

r

+ … + m

r

) = 

i=1 N

m

r

(5-3-2)

x 0

A v B

y

z

x

i

j

1

N

O

r

①

i

(i

(

)

)j

F ^→

F ^→

^→

^→

^→

= – F ^→

)．i

m

d ² r ^→

dt ² = 

j=1 N

(j≠i) F →

j→i

+ F ^→

(5-3-3)

(5-3-2)上の式で両辺に対し，時間の 2

方程式を得ることができる．

 i=1 N

m

d ² r ^→

dt ² = 

i=1

N 

j=1 N

(j≠i)

F ^→

+ 

i=1 N

F ^→

= 1

2 

i=1

N 

j=1 N

(j≠i)

(F ^→

+ F ^→

) + 

i=1 N

F ^→

= 

i=1 N

F ^→

→ M d

R

dt

= 

i=1 N

F

i

= F

(5-3-4)

上の式より，重心の運動は外力の合力の総和

F ^→ tot

(

)

②

i

^→

L ^→

= ^→ r

× m

d r ^→

dt (5-3-5)

したがって，総和をとって全系での角運動量

L ^→ tot

(

)

(

L ^→ tot

1

)

M ^→ tot

dL ^→ _tot dt = d

dt 

i=1 N

L ^→

= 

i=1 N

→ r

i

× m

d ² r ^→

dt ² = 

i=1 N

→ r

i

×{ 1

2 

j=1 N

(j≠i)

(F ^→

+ F ^→

) + F ^→

}

= 

i=1 N

→ r

i

× F ^→

= M ^→ tot

(5-3-6)

0 (

)

0

*

微小質量をもつ質点間の距離は変わらない．

M

dm

場合は，密度

σ

dV

dm = σ dV

M =

 



(剛体内)

dm =

 



(剛体内)

σ dV

(5-3-7)

質点系と同様に剛体の重心

(

)

R

M R

=

 



(剛体内)

→

r dm =

 



(剛体内)

→

r σ dV (5-3-8)

③

量要素

dm

dF ^→

dm d ² r ^→ dt ² = dF ^→

これを剛体全体で積分すると，剛体の重心の並進運動に関する運動方程式をえることができる．下の式で

F ^→ tot

O

z

y

剛体

x

→

r

微小質量要素

dm

外力の総和

F ^→ tot

(

^→ r

J

F ^→ tot = 

i=1 J

F ^→

)

 



(剛体内)

dm d ^{2 →} r dt ² = d

dt ²   

(剛体内)

dm r ^→ = d

dt ² (M R ^→ G ) = M d

R

dt

=

 



(剛体内)

dF ^→ = F

(5-3-9)

④

dm

dL ^→

L ^→ tot

dL ^→ = ^→ r × dm d r ^→ dt

したがって，剛体全体の回転運動の関する運動方程式は下の式で与えられる

(

M ^→ tot

る．外力が剛体の各部分の位置

^→ r

J

M ^→ tot = 

i=1 J

→ r

i

× F ^→

)

dL ^→ _tot dt = d

dt   

(剛体内)

dL ^→ =

 



(剛体内)

(r ^→ × dm d ² r ^→ dt ² ) =

 



(剛体内)

→ r

× dF ^→ = M ^→ tot (5-3-10)

*

^→ r

( i = 1 ~ J )に外から力F ^→

全体について，つりあいがとれていて，動き始めたり，回転し始めたりしない条件を考えてみよう．

O

剛体

F

→

r

i

→

r

J

F

F

→

r

1

質点系全体，または，剛体全体が並進運動しないためには，「外からの力がつりあっていること」，すなわち，下の式のように「合 力

= 0

= 0

合力

= F

= 

i=1 J

F

= 0 (5-3-11)

力のモーメントの総和

= M

= 

i=1 J

→

r

i

× F

= 0 (5-3-12)

*

O)をずらしたときの「つりあい」

(5-3-12)式は，剛体がある位置を原点 O

を原点にとっても回転し始めないはずである．これを確認する．

O'

^→ r o

O'

^→ r '

式が成り立つ．

→ r

'

= ^→ r o + ^→ r

(5-3-13)

「つりあっている」場合は，原点

O'からの力のモーメントの総和M ^→ ' tot

= 0」より，2項

O

^→ tot = 0」より，「0」となる．そのため，新たな原点 O'のまわりでも回転

M ^→ ' tot = 

i=1 J

→ r '

× F ^→

= 

i=1 J

( ^→ r o + ^→ r

) × F ^→

= ^→ r o × 

i=1 J

F →

+



i=1 J

→ r

i

× F ^→

= 0 (5-3-14)

問題

5-12

m 1 = 2.0 kg

1

^→ r 1 = (1.0 , 2.0 , –2.0) m

m 2 = 3.0 kg

2

^→ r 2 = (–3.0 , 1.0 , 4.0) m

質量m

3 = 5.0 kgの質点3が位置r ^→ 3 = (1.0 , –3.0 , 2.0) mにある．系全体の質量Mと重心の位置R ^→ G

問題

5-13

σ 1 = 2.0 kg/m

ℓ 1 = 4.0 m

1

σ 2 = 4.0 kg/m

の長さ

ℓ 2 = 3.0 m

2

1

M

と重心の位置X

G (棒1の端からの位置)を求めよ．

O x

0 0

問題

5-14

σ

a

x

R ^→ G = (0, Y G )

問題

5-15

σ

2a

a

R ^→ G = (0, Y G )を求めよ．

問題

5-16

σ

1

2a

この正三角形の重心の位置

R ^→ G = (X G , 0)

問題

5-17

^→ G = (0, 0, Z G )を求めよ．

問題

5-18

M

2ℓ

1

m

S

問題

5-19

a

m

(

)

剛体棒が滑り降りないときの静止摩擦力の大きさ

f

5-4.

角運動量L

^→

z

^→ = L

e ^→

)．

*

N

z

(xy

)

x y

y

x x y

a

θ ℓ

ℓ

摩擦力f^→

張力^→

S θ

θ

抗力

N

i

^→

= (x

, y

, z

)であるが，回転半径 ρ

z

ρ

= x

+ y

(5-4-1)

質量

m

1

z

L

(4-2-9)

ρ

ω

L

= m ρ ² ω

= I ω

z

L

L

= 

i=1 N

m

ρ

2 ω

(5-4-2)

さらの，各質点の回転の角速度が等しい場合(全ての質点が同じ角速度で回転する場合)「ωi

= ω」は角運動量の z

L

I

L

= 

i=1 N

m

ρ

2 ω = ( 

i=1 N

m

ρ

2 ) ω = I ω (5-4-3)

I = 

i=1 N

m

ρ

2 (5-4-4)

*

z

(xy

)

回転半径

ρ

y

z

x

i

j

1

N

O

r

z

微小質量要素の位置

^→ r = (x , y , z )

ρ

z

ρ = x

+ y

(5-4-5)

剛体では，全ての微小質量要素が同じ角速度

ω

z

L

I

L

= (

 



(剛体内)

dm ρ ² ) ω = I ω (5-4-6)

I =

 



(剛体内)

dm ρ

=

 



(剛体内)

ρ

σ dV (5-4-7)

したがって，剛体の回転運動に関する運動方程式は(4-4-3)式と同様に下の式で表すことができる(右辺は力のモーメントの総和 の

z

)

I dω

dt = M

(5-4-8)

問題

5-20

1

2

を求めよ．

問題

5-21

M

1

2a

2b

I 1

(4

のうちの一つ

)

I 2

z

O z

y

剛体

x

→

r

微小質量要素

dm

ρ

問題

5-22

M

R

I

問題

5-23

M

a

b

I

問題

5-24

M

R

I

問題

5-25

＊ 平行軸の定理

G

A G

A G

と平行で長さ

h

A'を考えよう．回転軸を A G

I G

A G

dm

^→ ρ = (x , y , 0)

A'

dm

ρ ^→ ' = (x' , y' , 0)

A G

A'

^→ ρ 0 = (x 0 , y 0 , 0)

3

h

ρ →

= ρ ^→ '

+ ρ ^→ 0 (5-4-9)

h = | ρ

0 | = x 0 2 + y 0 2 (5-4-10)

これらの関係から新しい回転軸

A'

I '

A G

I G

I ' =

 



(剛体内)

dm ρ ' ² =

 



(剛体内)

dm | ρ ^→ – ρ

0 | ²

=

 



(剛体内)

dm ρ ² – 2 ρ

0

 



(剛体内)

dm ρ

+ (

 



(剛体内)

dm ) | ρ

0 | ²

0 (この積分式は重心の位置R ^→ G

^→ G

R ^→ G = 0)

,

0

I

(

→

ρ

重心

G A

剛体

A'