超準解析に関する覚え書き

超準解析に関する覚え書き

藤田博司

1991

1

26

^∗

1 モデルの広大化と飽和モデル

標準モデルを

,

S = (U, R

, R

, . . . , R _r )

と表記することにしよう

. U

, R

, R

,. . . ,R r

L (S)

. L (S)

:

∗ S = ( ^∗ U, ^∗ R

, ^∗ R

, . . . , ^∗ R r )

においては

, U

^∗ : U → ^∗ U

.

,

^∗

(elementary embedding)

.

, L (S)

ϕ(a

, . . . , a n )

,

S | = ϕ(a

, . . . , a n ) ⇐⇒ ^∗ S | = ϕ( ^∗ a

, . . . , ^∗ a n )

が成立している場合だけを考える

.

, L (S)

S

^∗ S

.

^∗

.

.

^∗

,

.

,

^∗ S

.

, ^∗ S

.

例えば

,

( R , N , 0, 1, π, e, +, − , · , ⁻

, sin, cos, log, . . .)

の超準モデルを考えることは

,

.

^∗ R

R

,

*-

,

(internal)

^∗ R

R

.

しかしながら

,

,

.

言語

L (S)

,

t

Σ

.

Σ

ϕ(t)

S

a ∈ U

, Σ

S

.

Σ

^∗ S

.

Σ

, Σ

S

, Σ

S

.

Σ

^∗ S

.

∗古いフロッピーディスクから

2008

12

AMS -TEX

L

TEX 2ε

例をあげよう

. S

.

Σ = { “t 6 = 0 & n divides t” | n ∈ N , n 6 = 0 }

は

S

.

,

t

“

,

”

,

Σ

S

.

[

1]

S

κ

,

^∗ S

,

∗ S

S

κ

(κ-enlargement)

.

^∗ S

,

κ

S

κ

大化になっているならば

, ^∗ S

.

[

2]

^∗ S

κ

, ^∗ S

κ

.

, ^∗ S

κ

L ( ^∗ S)

1

^∗ S

, ^∗ S

κ

.

ここで

, ^∗ S

κ

κ 5 | ^∗ U |

.

, L ( ^∗ S)

{ “t 6 = a” | a ∈ ^∗ U }

が

^∗ S

.

,

.

, ω

.

.

[

]

.

[

1]

κ

S

, S

κ

κ

∗ S

.

この定理の主張は体の代数閉包の存在や

,

.

Stone- ˇ Cech

.

(

)

,

R ⁿ ,

N ,

sin, cos, log, exp

,

L ^p ( R ⁿ ) (1 5 p 5 ∞ )

.

.

集合

U

Zermelo

,

(1)–(4)

.

(1) U

.

x ∈ U

x ⊂ U

. (2)

N ,

R

U

. (3) a

U

∪

a

P(a)

U

.

(4) a

b

U

,

{ a, b } , (a, b),

a × b

U

.

以下われわれの標準モデル

S = (U, R

, R

, . . . , R _r )

U

Zermelo

, R

∈

.

S

.

S

^∗ S

,

S

.

解析学へのこのようなアプローチはこんにち 超準解析 と呼ばれており

,

,

A. Robinson

.

,

.

2 超準自然数 , 内集合と外集合

この節では超準解析で用いられる基本概念を例示するために

, *-

^∗ R

*-

^∗ N

.

S = (U, R

, R

, . . . , R r )

.

U

Zermelo

, R

∈

U

.

^∗ S

S

.

^∗ R , ^∗ C

,

^∗ S

.

[

3]

^∗ U

,

x ∈ U

^∗ x

(standard)

.

^∗ U

(nonstandard)

.

これは一般的な注意であるが

,

^∗ R

*-

*-

,

*-

.

∗ ∈

,

^∗ ∈

∈

,

,

∈

.

.

標準元の要素は標準的とは限らない

.

A

U

,

^∗ A

.

A

^∗ A

.

^∗ N

^∗ R

N

R

.

S

(atom

urelement)

, ^∗ x

x

.

N ⊂ ^∗ N , R ⊂ ^∗ R

.

[

2.1] *-

^∗ R

*-

.

[

]

1

, ^∗

. ¤

[

2.2]

*-

.

*-

.

ここで

*-

,

.

*-

,

.

.

n

, L (S)

1

“t ∈ R & n < t”

を考えると

,

S

.

^∗ S

,

^∗ U

*-

.

*-

.

¤

次に

*-

^∗ R

. [

2.3]

*-

.

[

]

*-

ν ∈ ^∗ N

n ∈ N

. L (S)

“( ∀ x ∈ N ) [ x < n = ⇒ (x = 0 ∨ x = 1 ∨ · · · ∨ x = (n − 1)) ] ”

を考えると

,

S

^∗ S

.

“( ∀ x ∈ ^∗ N ) [ x < ^∗ n = ⇒ (x = ^∗ 0 ∨ x = ^∗ 1 ∨ · · · ∨ x = ^∗ (n − 1)) ] ”

“ν = ^∗ 0 ∨ ν = ^∗ 1 ∨ · · · ∨ ν = ^∗ (n − 1)”

ν

. ¤

第１節において

, S

“t

n

”

Σ

. S

^∗ S

,

Σ

,

*-

.

, ν

*-

ν !

. [

2.4]

*-

.

[

] 0

1

.

^∗ S

, 0

*-

*-

1

.

*-

ν

ν − 1

*-

,

2.3

,

ν

.

ν − 1

*-

.

ν

*-

ν > ν − 1 > ν − 2 > · · · > ν − n > · · ·

. ¤

それゆえ

^∗ N

.

N ⊂ ^∗ N

.

S | = ( ∀ X ⊂ N ) [ 0 ∈ X & ( ∀ x ∈ X)[ x + 1 ∈ X ] = ⇒ X = N ] 2.1

∗ S | = ( ∀ X ⊂ ^∗ N ) [ 0 ∈ X & ( ∀ x ∈ X )[ x + 1 ∈ X ] = ⇒ X = ^∗ N ] 2.2

.

, (2 ˙2)

^∗ N

^∗ S

‘

’

.

N

^∗ S

.

.

[

4] A

S

, X

^∗ A

,

^∗ A

*-

.

*-

Y ∈ ^∗ U

X = { y ∈ ^∗ U | x ^∗ ∈ ^∗ A & x ^∗ ∈ Y }

となっているならば

, X

(internal)

,

.

(external)

,

.

粗くいえば

,

*-

. *-

^∗ N

, ^∗ N

.

N

.

A

^∗

, ^∗ A

,

A

.

[

2.5] A

,

. ^∗ A

X

: X = { ^∗ a | a ∈ A } .

このとき

, X

.

[

] A

,

F : N ½ A

∗ F : ^∗ N ½ ^∗ A

. *-

ν ∈ ^∗ N

,

∗ F (ν) = ^∗ a (a ∈ A)

, ^∗ a ∈ image( ^∗ F )

^∗ S

,

a ∈ image(F)

.

n ∈ N

F (n) = a

∗ F (ν) = ^∗ a = ^∗ F (n)

となる

. ^∗ F

ν = n.

ν

.

n ∈ N

^∗ F(n)

.

,

N = { ν ∈ ^∗ N | ^∗ F (ν ) ∈ X }

, X

N

. ¤ [

] ^∗ R

, R

.

3 無限小解析

ライプニッツ流に無限小を導入して

,

.

,

,

.

.

[

5] *-

ξ ∈ ^∗ R

| ξ |

.

| ξ |

, ξ

.

明らかに

,

0

.

,

.

,

,

,

N

.

,

S

^∗ S

.

[

6]

*-

ξ, η

, ξ

η

.

ξ ≈ η

.

関係

≈

^∗ R

.

[

3.1]

*-

ξ

,

a ∈ R

ξ ≈ a

. [

] a

ξ

. a = ξ

.

a − ξ

,

r

0 < r < a − ξ

,

a − r

a > a − r > a − (a − ξ) = ξ

となる

.

ξ

,

a

.

a − ξ

. a 5 ξ

.

ξ ≈ a

.

. ¤

このことにより

,

*-

“

+

”

.

a ∈ R

, a

*-

(

)

a

, mon(a)

.

mon(a) = { ξ ∈ ^∗ R | ξ ≈ a } .

また

,

*-

ξ ∈ ^∗ R

, ξ

ξ

, ^◦ ξ

.

*-

.

*-

ξ, η

,

ξ ≈ η ⇐⇒ ^◦ ξ = ^◦ η

.

実は無限大の

*-

±∞

,

.

.

.

.

[

3.2] (1)

*-

²

*-

ξ

, ²ξ

. (2)

,

*-

²

, 1/²

.

(3)

*-

M

, 1/M

. [

] ^∗ R

.

また

,

Q

R

, ^∗ Q

^∗ R

,

*-

*-

.

,

a ∈ R

,

*-

て

, mon(a) ∩ ^∗ Q 6 = ∅

.

*-

*-

*-

のことに相当する

.

[

2 (

)] (1)

{ a n } ^∞ n=0

,

*-

µ, ν

^∗ a µ ≈ ^∗ a ν

.

(2)

{ a n } ^∞ n=0

a

*-

ν

^∗ a ν ≈ a

.

[

] (1)

: { a n } ^∞ n=0

,

r

N

( ∀ m, n ∈ N )[ m, n = N = ⇒ | a m − a n | < r ]

が成立する

.

.

*

^∗ S

( ∀ m, n ∈ ^∗ N )[ m, n = N = ⇒ | ^∗ a m − ^∗ a n | < r ]

. µ

ν

µ, ν = N

| ^∗ a _µ − ^∗ a _ν | < r

が成立する

.

r

| ^∗ a µ − ^∗ a ν |

.

十分性

:

r

.

*-

λ

, λ

*-

,

µ, ν = λ = ⇒ ^∗ a µ ≈ ^∗ a ν

したがって

| ^∗ a µ − ^∗ a ν | < r

.

( ∃ N ∈ ^∗ N )( ∀ m, n ∈ ^∗ N )[ m, n = N = ⇒ | ^∗ a _m − ^∗ a _n | < r ]

^∗ S

, ^∗

S

( ∃ N ∈ N )( ∀ m, n ∈ N )[ m, n = N = ⇒ | a _m − a _n | < r ]

. r

, { a _n } ^∞ n=0

.

(2)

. ¤ [

]

{ a n } ^∞ n=0

n lim →∞ a n = ^◦ ( ^∗ a ν ).

ただし

ν

*-

.

次の命題はあとで数列空間

(` ^p )

. [

3.3]

∑ _∞

n=0 a n

. (a) ∑

a n < + ∞ ,

. (b)

*-

ν

*-

∑ ν

n=0 ∗ a n

. (c)

*-

ν

*-

∑ ν

n=0 ∗ a n

.

[

]

2

(a) = ⇒ (b) = ⇒ (c)

.

(c)

M

∑ ν

n=0 ∗ a _n 5 M ,

m

∑ m

n=0

a _n 5

∑ ν

n=0

∗ a _n 5 M

である

.

∑

a n < + ∞

. ¤

一般の級数についてはこう単純ではないことにも注意しておこう

.

.

,

.

[

]

[Keisler]

.

[

3 (

)] I

R

.

f : I → R

a ∈ I

,

*-

ξ ∈ ^∗ I

ξ ≈ a = ⇒ ^∗ f (ξ) ≈ f (a)

,

∗ f [mon(a) ∩ ^∗ I] ⊂ mon(f (a))

.

[

]

: f

a

,

r

,

s

( ∀ x ∈ I)[ | x − a | < s = ⇒ | f(x) − f (a) | < r ]

を成立するようにできるということである

.

( ∀ x ∈ ^∗ I)[ | x − a | < s = ⇒ | ^∗ f (x) − f (a) | < r ]

である

.

ξ ≈ a

| ξ − a | < s

| ^∗ f (ξ) − f (a) | < r

, r

∗ f (ξ) ≈ f (a)

.

十分性

:

r

,

*-

δ

, | ξ − a | < δ

ξ ≈ a

.

^∗ f (ξ) ≈ a

,

| ^∗ f (ξ) − f (a) | < r

.

( ∃ δ > 0)( ∀ ξ ∈ ^∗ I)[ | ξ − a | < δ = ⇒ | ^∗ f (ξ) − f (a) | < r ]

^∗ S

.

( ∃ s > 0)( ∀ x ∈ I)[ | x − a | < s = ⇒ | f (x) − f (a) | < r ]

. r

f

a

. ¤

4 位相空間の超準的特徴付け

第

3

.

.

,

,

.

.

標準モデル内の位相空間

(X, T )

.

T

.

X

S

, X

,

. ^∗ X

^∗ x

x

.

*

,

*

.

[

4.1]

(X, T )

p ∈ X

, *-

α ∈ ^∗ T

, p ∈ α ⊂ ∩

{ ^∗ G | G ∈ T & p ∈ G }

.

[

]

L (S)

,

Σ

.

Σ = { “p ∈ t ⊂ G & t ∈ T ” | p ∈ G ∈ T } } .

この

Σ

, t

G

p

,

,

, Σ

S

.

^∗ S

Σ

. α

Σ

^∗ S

*-

. ¤

このような

α

p

.

[

7] (1)

^∗ p

X

^∗ p

m X ( ^∗ p)

. m X ( ^∗ p) = ∩

{ ^∗ G | p ∈ G ∈ T }

単にこの位相のモナドというときには

,

m X

.

X

.

(2) *-

q

,

p

, q

.

q

p

.

命題

4.1

,

.

3

. [

4.2]

(X, T ), (Y, U )

,

f : X → Y

,

p

∗ f [m X ( ^∗ p)] ⊂ m Y ( ^∗ (f (p)))

.

[

]

: f

f (p)

G

f ⁻

[G]

p

.

m X (p) ⊂

∗ (f ⁻

[G]),

^∗ f [m X (p)] ⊂ ^∗ G

. G

f (p)

. ^∗ f [m X (p)] ⊂ m Y ( ^∗ (f (p))

.

十分性

: G

f (p)

. ^∗ G

^∗ (f (p))

.

∗ f [m X ( ^∗ p)]

,

4.1

m X ( ^∗ p)

, ^∗ p

*-

α

.

( ^∗ f ) ⁻

[ ^∗ G]

^∗ p

*-

.

*

, f ⁻

[G]

p

. G

f

p

. ¤

次の命題

4.3

,

. [

4.3]

(X, T )

,

(1)

A

, ^∗ A

. (2)

A

,

^∗ A

A

.

次の命題は重要であり

,

.

[

4.4]

(X, T )

, ^∗ X

.

[

]

: ^∗ X

,

*-

q

.

p ∈ X

, q / ∈ m X (p)

, p

N p

p ∈ N p ∈ T & q / ∈ ^∗ N p

となるものが存在する

. { N p | p ∈ X }

X

,

p

, . . . , p n

X = N _p

∪ · · · ∪ N _p

とできる

.

q ∈ ^∗ X = ^∗ N _p

∪ · · · ∪ ^∗ N _p

A p

.

十分性

:

{ F i | i ∈ I }

,

L ( ^∗ S)

1

“t ∈ F i ”

S

.

^∗ S

.

,

∩

i ∈ I

∗ F i 6 = ∅

が成立する

.

^∗ F i

q

,

,

p ∈ X

.

,

i ∈ I

m X (p) ∩ ^∗ F i 6 = ∅

, F i

p ∈ F i

.

p ∈ ∩

i ∈ I

F i 6 = ∅

となる

.

X

. ¤

[

4 (

)]

h X(i) | i ∈ I i

Y

: Y = ∏

i ∈ I

X (i)

Y

.

[

]

q ∈ ^∗ Y

.

i ∈ I

, q(i)

^∗ X(i)

.

p(i) ∈ X (i)

q(i) ∈ m _X(i) (p(i))

.

p ∈ ∏

i ∈ I X(i) (= Y )

.

p

q ∈ m Y ( ^∗ p)

(

, Y

p

I

,

p

^∗ p

).

p

G

,

i

,. . . ,i n

p(i

),. . . ,p(i n )

G

,. . . ,G n

をうまくとって

,

p ∈ { y ∈ Y | y(i

) ∈ G

& · · · & y(i _n ) ∈ G _n } ⊂ G

.

p(i)

q(i

) ∈ ^∗ G

& · · · & q(i n ) ∈ ^∗ G n

であるから

q ∈ ^∗ G

. G

p

q ∈ m _Y ( ^∗ p)

, q

. ¤

チコノフの定理の証明がこのように少なくとも見かけ上は初等的になった理由は

,

.

,

.

[

4.5 (*-

)] X

. (1) ^∗ X

*-

ξ

F ξ = { A ⊂ X | ξ ∈ ^∗ A }

,

F ξ

X

.

(2) X

F

, F ξ = F

*-

ξ ∈ ^∗ X

.

(3) X

,

F

p

, (2)

ξ

^∗ p

.

[

] (1)

.

(2):

,

^∗ S

ξ ∈ ∩

{ ^∗ A | A ∈ F }

ととると

F ξ

F

. F

F = F ξ

.