極値としての固有値 まず，対称行列

基礎数理

極値としての固有値

まず，対称行列Aの固有値はすべて実数であることに注意する．

定理 1 対称行列Aの最大固有値をλ₁とするとき，

λ₁ = max

x6=0

x^>Ax

x^>x . (1)

なお，R(x) = x^>Ax

x^>x ^{をレイリー商}(Rayleigh quotient)という．

証明：n次対称行列Aの固有値をλ1 ≥λ2≥ · · · ≥λn とし，λ1, . . . , λnに対応する固有ベ クトルz1, . . . ,znを正規直交系になるようにとる．x=c1z1+· · ·+cnznのとき

R(x) =

∑_n

i=1λ_ic_i²

∑_n

i=1ci2 =

∑n i=1

λ_iw_i

である．ここで，w_i =c_i²/(c₁²+· · ·+c_n²)≥0,∑_n

i=1w_i = 1であるから，R(x)の最大 値はw₁ = 1,w_i = 0 (i= 2, . . . , n)で達成され，maxR(x) =λ₁. 証明終

問題1 対称行列Aの最小固有値µ₁が µ1= min

x6=0

x^>Ax

x^>x (2)

と表されることを証明せよ．［ヒント：−µ₁は−Aの最大固有値である］

問題2 A,B を対称行列とし，B は正定値とする．(A, B)に関する固有値(Ax=λBx を満たすλ) の最大値をλ1(A, B)，最小値をµ1(A, B)とするとき，次を示せ：

λ₁(A, B) = max

x6=0

x^>Ax

x^>Bx, µ₁(A, B) = min

x6=0

x^>Ax

x^>Bx. (3)

以下 Advanced Topic

定理 2 (Courant–Fischerの最大・最小定理) n次対称行列Aの固有値をλ1 ≥ λ2 ≥

· · · ≥λ_n とする（すなわち，大きい方からr番目の固有値をλ_rとする）とき，

λr = max

S:dimS=r min

x∈S\{0}

x^>Ax

x^>x = min

S:dimS=n−r+1 max

x∈S\{0}

x^>Ax

x^>x (4)

が成り立つ．ただし，Sはそれぞれ指定された次元の任意の部分空間を動く．

参考文献 杉原正顯,室田一雄: 線形計算の数理,岩波書店, 2009 (p.298, 問題7.10)  以上(2010-12-06)

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