まず，本項では，マクロ集計量を変数とする非空間経済に時間と空間を通じて展開する交易を導 入し，その空間経済化を図る。 簡単のために，経済は２変数，すなわち，地域所得 Y と地域輸出超過 X で表わされるものとす る。かかる想定は，地域所得が均衡においてゼロとなる理不尽な帰結を含意するが，たとえば，自 生的支出（autonomous expenditures）を導入して，かかる変数を均衡値からの乖離値とみなせば 理を回復できよう。１） さて，上の２変数は，t で表される時間と Euclid 空間座標 x１，x２で表わされる空間位置の函数で あるものとする。２） ここで，地域所得の一部は所与の貯蓄性向σ によって貯蓄 S に回される，すなわち，S ＝σY が したがうものとする。誘発投資からの貯蓄は存在しないから，均衡において，貯蓄はそのまますべ ての地域において輸出超過に均等化する，すなわち sY ＝X （１） がしたがう。しかるに，均衡への調整過程においては，生産力ないし所得は，貯蓄が輸出超過に満 たない不足分に比例して調整されるものとすれば， ! Y ＝λ（X &σY ） （２） ! がしたがう。ただし，λ は調整速度であり，Y ＝dY /dt である。（２）式は，モデルの１つ目の動的関 係を表わす。２つ目のそれを得るためには，ある地点の近接地域との相互関係が明確にされなけれ ばならず，輸出超過をある地点とその近接地域との間の所得差にリンクさせるものとする。このと き，ある地点からの交易は無限の方向に向かう可能性があり，そのすべてに応じて異なる所得変化 が対応する２次元空間における所得差を特定しなければならない。 しかるに，空間的所得変化の概念は，ベクトル解析の手法の適用によって明確化される。３）いま， 地域所得の勾配（gradient）は，ベクトル函数 grad Y ＝!#!Y!x １， !Y !x２ " $＝（Y１，Y２） （３） で定義され，さらに，地域所得の発散（dievergence）は，スカラー函数 div Y ＝!Y１ !x１% ! Y２ !x２ （４） で定義される。
する。すなわち !!!!２ Yd x１d x２＝! !! !Y !nd s＝!!!（ grad Y ）nd s＝!!!（!Y ）nd s （６） がしたがう。ただし，d s は法線の線素ベクトルである。!Y !n ，（ grad Y ）n，（!Y ）nは，いずれも境界線 !R に関するベクトル!Y の外向き法線成分が指す方向，すなわち，Y の法線微係数（normal deriv-ative）であり，ある点において境界を横切った際の所得の変化を与える。地域がある一点に収縮す るならば，!２Y の Laplace 方程式は，正しくかかる所得変化率の尺度となる。 さて，以上から，輸出超過 X を地域所得の Laplace 方程式に関連づけることが可能となる。輸 入性向をμ とすれば輸出超過は X ＝μ!２ Y （７） で表わされる。ここで，（２）式におけると同一の調整速度λ をもつ時間ラグ付きの適応過程（adap-tive process）を想定すれば， ! X ＝λ（μ!２ Y"X ） （８） がしたがう。したがって，（２），（８）式は，モデルの完結動学体系を与える。 いま，（２）式を ! X ＝１λY!σY （９） と変形し，（８）式に代入すれば ! ! X ＝λμ!２ Y"Y !λσY （１０） がしたがう。ここで，（２）式を時間に関して微分し，（１０）式に代入すれば !! ! ! Y ＝λ（X "σY ） ! ＝λ２μ!２Y"λ（１!σ）Y !λ２σY （１１） !! ! or Y!λ（１!σ）Y !λ２σY ＝λ２μ!２Y （１２） を得る。（１２）式は，解方程式を成し，２次偏微分方程式の形をとる。物理学における波動方程式 （wave equation）に対応する。 さて，上の解方程式（（１２）式）の解を求めることにしよう。しかるに，かかる２次偏微分方程式の 解の導出の可否は，対応する境界条件のあり方に依存する。一般的な解法の第一歩は，方程式に変 数分離（separation of variables）を適用するそれである。５）このとき，Y は空間座標 x
１，x２と時間座
標 t とに分離され
Y ＝Τ（t）S（x１，x２） （１３）
! !!
!２ !x１２＝!# ! !r !r!x１ " $!!x１%!# ! !θ !θ!x１ " $!x!１ ＝!#! !r"$!!x１ !r !x１% !!x１ !２r !x１２%!# ! !θ"$!x!１ !θ !x１% !!θ !２θ !x１２ ＝!#!!r２２ !r !x１% ! ２ !r!θ !θ!x１ " $!r!x１% !!r !２r !x１２ %!#!!θ!r２ !x!r １% ! ２ !θ２ !θ!x １ " $!θ!x１% !!θ !２θ !x１２ （３９） で表わされる。６）ここで，演算を適用し，整理すれば !２ !x１２＝!# cosθ ! !r &sinrθ !
!θ"$!#cosθ !!r &sinrθ ! !θ"$ ＝cosθ !
!r!#cosθ !!r"$&cosθ !!r!#sinrθ ! !θ"$&sinrθ ! !θ!#cosθ !!r"$ %sinrθ !!θ!#sinrθ !!θ"$ ＝cos２θ !２ !r２% cosθsinθ r２ !!θ & cosθsinθ r !２ !r!θ%sin ２θ r ! !r &cosθsinθr !!θ!r %２ cosθsinθr２
! !θ %sin ２θ r２ !２ !θ２ ＝cos２θ !２ !r２% ２cosθsinθ r２ !
３） 例えば，Marsden＝Tromba［１２］参照。
４） Gauss 定理に関して，例えば，Kreyszig［１１］（Chap．１０）参照。 ５） 例えば，Duff＝Naylor［５］，Sneddon［１７］参照。
６） 例えば，Kreyszig, op. cit.,（Chap．１２）参照。
!θ !x１＝ x１x３ r３sinθ （５２） !φ !x１＝& sinφ sinθ （５３） を得る。したがって ! !x１＝ !r !x１ ! !r %!θ!x１ ! !θ %!φ!x１ ! !φ
＝sinθcosφ !!r %cosθcosφr !θ &! rsinsinφθ !φ! （５４）
がしたがう。 同様の手続きから ! !x２＝ sinθsinφ !!r % cosθsinφ r ! !θ %rcossinφθ ! !φ （５５） ! !x３＝ cosθ !!r & sinθ r ! !θ （５６） がしたがう。 しかるに，球体の表面である球面において，情報の交信，財の交易がなされる空間経済の動学を みるためには，球体の半径を r＝１と正規化することが便利である。（図−4参照。） ここで，半径 r＝１の球座標における Laplace 方程式の表現を導こう。Laplace 方程式の導出に必 要な２階微分!x!２ １２， !２ !x２２， !２ !x３２を前節の手続きを適用することによって求める。 !２ !x１２＝cosθcos ２φ !
!θ cosθ !!θ &cosθsinφcos φ !!θ sin１θ ! !φ &cossinθsinφθ !φ! cosφ !!θ %sinφ
sin２θ !θ!sinφ !!φ （５７）
!２
!x２２＝cosθsin
２φ !
!θ cosθ !!θ %cosθsinφcos φ !!θ sin１θ ! !φ %cossinφ cosθθ !φ! sinφ !
!θ %cossin２φθ ! !θcosφ !!φ （５８） !２ !x３２＝sinθ !!θ !
#sinθ cosθ !!θ %sin２θ !
Τ＝c１Τ１!c２Τ２ （６５） なる形を取る。ただし，c１，c２は任意定数である。ここで，解として Τ（t）＝ext （６６） を試みる。（６６）式を（６４）式に代入して，Τ ′（t）＝xext，Τ ′（t）′ ＝x２extを考慮すれば x２ext!λ（１!σ）xext!κ２ext＝０ （６７） or ext（ x２!λ（１!σ）x!κ２）＝０ （６８） がしたがう。 x２!λ（１!σ）x!κ２＝０ （６９） が成立するとき，その限りにおいてΤ（t）＝extは，解となる。（６９）式は，同次方程式の補助方程式 （auxiliary equation）に相当する。 （６９）式は，単なる２次方程式であるから x１，x２＝"λ（１!σ） ２
±
!
（λ（１!σ））２"４κ２ ４ （７０） なる２つの解が得られる。したがって，一般解は，２つの未定定数を用いて Τ（t）＝c１ex１t!c ２ex２t （７１） と表わされる。 しかるに，λ（１!σ） ２ ＜κ に対して，補助方程式は，２つの複素解 x１，x２＝"λ（１!σ） ２±
i!
κ ２"（λ（１!σ））２ ４ ≡"α±
i β （７２） をもつ。ここで， α＝λ（１!σ） ２ （７３） β＝!
κ２"（λ（１!σ））２ ４ ＝（κ ２"α２）１２ （７４） or β２＝κ２"α２ （７５） である。 さて，Euler 公式 eit＝cos t!i sint （７６）を想起し，上の一般解（（７１）式）に代入すれば Τ（t）＝c１e（"α!iβ）t!c２e（"α"iβ）t
＝e"αt!c１eiβt!c２e"iβt"
＝e"αt（c!１!c２）cosβ!（c１"c２）isinβt "
＝e"αt（C１cosβt!C２sinβt） （７８）
3．空間方程式 本項では，空間方程式の解を求める。 前節で導かれた空間座標に展開する方程式が Helmholtz 方程式と呼ばれることは，先に示唆した ごとくであるが，依然として偏微分方程式を成している。しかるに，球体は中心対称性をもつから， 再び変数分離法の適用が可能である。 球体の半径は，r＝１と正規化されているから，θ，φ の２変数から成る函数 S（θ，φ）が想定され， それは，更に S（θ，φ）＝G（θ）H（φ） （８４） と分離化される。 いま，（８４）式を上の Helmholtz 方程式（（１７）式） λ２μ "２S)（κ２*λ２σ）S ＝０ （８５） に代入すれば !２ ＝G′（′θ）H（φ）)cotθ G′（θ）H（φ）)G（θ）H′sin２（θ′φ） （８６） がしたがう。（８６）式を（８５）式に代入すれば λ２μ%
'G′（′θ）H（φ）)cotθ G′（θ）H（φ）)G（θ）H′sin２（θ′φ）&()（κ２*λ２σ）G（θ）H（φ）＝０ （８７）
ち越すことになる。
さて，まず，変数φ に関する（９０）式の解を求めることから始めよう。（９０）式については，周期２π/m をもついかなる正弦函数ないし余弦函数も解となり得る。振幅も初期位相も任意であるが，振動数 は整数とならなければならない。かかる制約の下で，（９０）式は級数解を取る。最も一般的な解は， 任意の整理 m に対して
H（φ）＝amcos（mφ）%bmsin（mφ）， m＝０，１，２，… （９２）
で与えられる。
次に，変数θ に関する（８９）式の解を求める。７）まず，（８９）式が legendre 陪微分方程式（Legendre’s
associated differential equation）を成していることを確めよう。
まず， u（ x）＝dmP（ x）n dxm （９９） なる函数を考える。このとき，Legendre 微分方程式 （１*x２）d２Pn dx２ *２x dPn dx )n（n)１）Pn＝０ （１００） の両辺を m 回微分し，（９９）式を考慮すれば， （１*x２）d２u dx２*２（m)１）x du dx )［n（n)１）*m（m)１）］u＝０ （１０１） がしたがう。 次に， f（ x）＝（１*x２） m ２u（ x） （１０２） を定義し，（９９）式を考慮すると f（ x）＝（１*x２） m ２ dm dxmP（ x）n （１０３） がしたがう。 以上から，（１０３）式が（９６）式の解になっていることが確かめられる。 いま，（１０２）式を u について解いて x に関して２回微分すると du dx＝ １ （１*x２）m２ % 'dx )d f !# mx １*x２"$f &( （１０４） d２u dx２＝ １ （１*x２）m２ % 'd ２f dx２)!# ２mx １*x２"$ d f dx ) m［１)（m)１）x２］ （１*x２）２ f&( （１０５） を得る。（１０４），（１０５）式を（１０１）式に代入して整理すると（９６）式がしたがう。したがって，（１０２）式（な いし（１０３）式）は，Legendre 陪微分方程式の解である。これを Pnm（ x）＝（１*x２） m ２ dm dxmP（ x）n ， m
!
n （１０６）７） Sneddon［１７］（Chap．４）参照。
８） 厳密な証明および議論の展開については，Sneddon［１６］（Chap．!）参照。（１００）式の表現は，Legendre 多 項式（Legendre polinomials）の形を成し，（ x２#１）nに二項定理（binomial theorem）を適用し，項別に n
回微分を施せば導かれる Rodriguez 公式（Rodriguez formula）のそれと一致する。O. Rodriguez は，１９世紀 前半に活躍した France の数学者であり，経済学者である。
第３節
完全解とその動学
1．完全解 本節では，時間方程式の解と空間方程式の解の重ね合わせとしての完全解を求め，その動学をみ る。 本項では，まず，完全解を求める。 前節で導かれた半径 r＝１の単位球上に展開する空間経済における時間方程式の解Τ（t）と空間方 程式の解 H（φ），G（θ）の重ね合わせとしての一般解は Y（t，θ，φ）＝e#αt! "!!"! Pn m（cosθ）（a複数のモードの重ね合わせから成る完全解の変動のあり方を確定するためには，t＝０における 所得の初期条件（（１１１）式）に加えて，Legendre 陪函数の直交性の確認とノルムの導出が必要とされ る。 まず，Legendre 陪函数の直交性（orthogonality）の確認から始めよう。９） Legendre 陪函数は，（９６）式を満たすから （１*x２）d２ dx２*２x d dx＝ d dx%'（１*x ２）d dx&( （１１３） なる関係を考慮すれば d dx%'（１*x ２）dPn m dx &()%'n（n)１）* m２ １*x２&(Pn m＝０ （１１４） を導く。いま，（１１４）式に Plmを乗ずれば， Plm d dx%'（１*x ２）d Pn m dx &()%'n（n)１）* m２ １*x２&(Pl m Pnm＝０ （１１５） を得る。ここで，l と n を入れ替えた同形の式を想定し，両者の辺々引き算して積分すれば #!""!#Plmd dx%'（１*x ２）dPn m dx &(*Pn md dx%'（１*x ２）dPl m dx &("$dx )%'n（n)１）*l（l )１）&(# !" " PnmPlmdx＝０ （１１６） がしたがう。しかるに，部分積分を施せば，（１１６）式の第１項目の積分はゼロとなるから，第２項 から，n$"l に対し #!""Pnm（ x）Plm（ x）dx＝０， n$"l （１１７） がしたがう。（１１７）式は，n＝l となる項以外，Legendre 陪函数の積の積分がゼロとなることを意 味する。すなわち，Legendre 陪函数の直交性（orthogonality）が確かめられた。 次に，Legendre 陪函数のノルム || Pnm||２＝# !" " ［Pnm（ x）］２dx （１１８） の値を求めよう。
まず，Legendre 多項式の母函数（generating function）
G（ x，L t）＝ １
"t２*２xt)１， | t |＜１，| x |＜１ （１１９）
を導入する。１０）ここで，Legendre 多項式（Legendre’s polinomials）を母函数を用いて
G（ x，L t）＝! !"!
#
|| Pnm||２＝ （２m%１）（n%m）! （２n%１）（n&m）!（２m）! || Pm m||２ （１３２） がしたがう。しかるに， Pmm（ x）＝（１&x２） m ２ d m dxmPm（ x） （１３３） であり，m 次の Legendre 多項式における x のベキの最高次数は m であるから，Pm（ x）を m 回微 分したものは，xmの係数に m! を乗じたものとなる，すなわち， dm dxmPm（ x）＝ （２m）! ２mm! （１３４） がしたがう。（１３３），（１３４）式から || Pmm||２＝!#（２m）! ２mm!"$ ２ "!""（１&x２）mdx （１３５） がしたがう。ここで，（１&x２）m＝（dx/dx）（１&x２）mとみなして部分積分を繰返せば， "!"（１" &x２）mdx＝２（２mm!）２ （２m%１）! （１３６） を得る。したがって， || Pmm||２＝２［（２m!）］ ２ （２m%１）! （１３７） がしたがう。ここで，（１３７）式を（１３２）式に代入すれば || Pnm||２＝ ２（n%m）! （２n%１）（n&m）! （１３８） を得る。 さて，ここで区間［a，b］における加重函数 r（ x）に関する直交集合を y０，y１，y２……とするとき，収束
級数 f（ x）は，直交展開（orthogonal expansion）ないし一般 Fourier 級数（generalized Fourier series） と呼ばれ，
f（ x）＝!
#"! #
cmym（ x）＝c０y（ x）０ %c１y（ x）１ %…… （１３９）
で表わされる。このとき，所与の f（ x）に対し，y０，y１…に関する係数，すなわち，Fourier 定数（Fourier
残り，（１４０）式は，ノルム || yn||を用いて， c（ yn n，yn）＝cn|| yn||２ （１４１） と表現される。ここで，両辺を || yn||２で除して，（１３９）式に合わせるべく m と n を交換すれば cm＝（ f ， ym） || ym||２＝ １ || ym||２"! " r（ x）f（ x）ym（ x）dx， m＝０，１，２，… （１４２）
がしたがう。これを，Fourier 定数公式（Formula for the Fourier constants）と呼んでおこう。１０）
ここで，r（ x）＝１として，直交展開
g（ x）＝ !
#"! $
（amcosmx!bmsinmx） （１４３）
を考える。上の公式を適用すれば， am＝１ π "!! ! g（ x）cosmxdx （１４４） bm＝１ π "!! ! g（ x）sinmxdx （１４５） がしたがう。
次に，Fourier＝Legendre 級数（Fourier＝Legendre series）
がしたがう。（１４９）式は，完全解の一般解（１１２）式に他ならない。 ここで，（１４４），（１４５），そして（１４７）式を適用すれば， amn＝! ! ! !!!Y（０θ，φ）Pnm（cosθ）cos（mφ）dθdφ（n"m）! （n!m）! （２n!１） π （１５０） bmn＝! ! ! !!!Y（０θ，φ）Pnm（cosθ）sin（mφ）dθdφ（n"m）! （n!m）! （２n!１） π （１５１）
がしたがう。ただし，amn＝anm×am，bmn＝anm×bmである。
ところで，m と n の値は，全体の波動のモードを決定する。m と n の値が低い場合には，解の 空間成分を調べれば，基本モードが見えてくる。Puu［１４］は，m
!
n!
３の場合について，amn＝bmn ＝０を想定するときの部分解 Pnm（cosθ）cos（mφ）を表示した。（表−1参照１１）。）Puu の示唆にしたがっ て，いくつかの特殊ケースをみてみよう。 まず，m＝０のケースをみる。全体の波動は，赤道に平行な波動から合成され，n の数だけの赤 道に平行な節線によって球面は帯状に分割される。帯状モード（zonal mode）のケースとなる。（n＝３ のケースについて，図−6（a）参照。） 次に，m＝n のケースをみる。θ は，sinθ の n に等しいベキ次に現われ，θ＝０もしくは θ＝π の ときのみ sinθ＝０となるから，θ 座標の変化は，北極と南極が形成する節線だけに退化する。した がって，すべての節線がφ 座標方向のみの変化から生ずることになり，n＝３に対しては，３本の 極円線を描く。扇状モード（sectoral mode）のケースとなる。（n＝m＝３のケースについて図−6（b） 参照。） 最後に，m＝２，n＝３のとき中間ケースが現れる。赤道と２本の極円線が球面を８つの景気循環 ないし経済変動の領域に分割する。混合モード（mixed mode）のケースとなる。（m＝２，n＝３のケー スについて，図−6（c）参照。）９） 例えば，Kreyszig, op.cit.,（Section５．８）参照。 １０） Kreyszig, op.cit.,（p．２１１）参照。 １１） Puu［１４］（p．６）参照。 m n Pnm（cosθ）cos（mφ） ０ ０ １ ０ １ ２ ０ １ ２ ３ ０ １ １ ２ ２ ２ ３ ３ ３ ３ １ cosθ sinθcosφ ３cos２θ"１ cosθsinθcosφ sin２θcos２φ ５cos３θ"３cosθ
sinθ（５cos２θ"１）cosφ
cosθsin２θcos２φ
sin３θcos３φ
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