代数学２ No.5 2006.10.18
2. 行列式 , 2.1 行列式とは
担当：市原順列の符号
¶ ³
1 からn までの整数の順列(j1, j2,· · ·, jn)に対し, 順列(j1, j2,· · ·, jn)の符号sgn(j1, j2,· · · , jn) を次のように定義する.
¶ ³
二つの整数を入れ替えることを繰り返して, 順列(j1, j2,· · · , jn)を(1,2,· · · , n)になるまで 変形する. このとき, [ ]回でできたらsgn(j1, j2,· · ·, jn) = +1 ，[ ]回なら sgn(j1, j2,· · · , jn) =−1.
µ ´
µ ´
例題7 次の整数の順列の符号を求めなさい.
(1) (2,3,1) (2) (6,5,4,3,2,1) (3) (4,5,2,3,1)
n次正方行列の行列式
¶ ³
n次正方行列A=
a11 · · · a1n
... . .. ... an1 · · · ann
に対し,
Aの行列式detAを ∑
sgn(j1, j2, . . . , jn)×a1j1a2j2· · ·anjn と定義する.
ただし,和は1からnまでの全ての順列について加える．
とくに, 2次正方行列A= (
a b
c d
)
に対しては, detA=ad−bc.
µ ´
例題8 A=
0 1 2 3 4 0 6 0 7
の行列式を上の定義に従って計算しなさい.
定理 5 (行列式の基本性質)
(1) ある行をc倍すると,行列式はc倍になる.
(2) ある行ベクトルが二つのベクトルの和になっていると,
その行列式はそれぞれを行ベクトルにする二つの行列式の和になる.
(3) 二つの行を入れ替えると行列式の符号が変わる.
(4) 同じ行があれば行列式は0になる.
(5) 一つの行に他の行の定数倍を加えても行列式は変わらない.
6
代数学２ No.5 2006.10.18
2. 行列式 , 2.1 行列式とは
担当：市原問題8 次の行列の行列式を計算しなさい.
(1)I=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(2)A=
1 0 −1
2 1 0
2 0 1
(3)B=
1 3 2
1 1 0
−1 0 1
(4)C=
3 0 0 0
0 1 0 −1
1 0 1 0
0 1 0 −1
(5)D=
0 0 −2 0
0 1 0 2
2 0 5 0
0 −1 0 1
(6)E=
0 1 0 −1
0 2 0 2
1 0 −1 0
0 0 1 4
