双曲結び目の例外的デーン手術スロープ集合と最短スロープ

(1)

と最短スロープ市原一裕今日，話したいこと３次元多様体デーン手術

スロープについて

例外的デーン手術以前の結果（〜

2007）

その後（2008〜）

今回わかったこと

（訂正）

最後に

双曲結び目の

例外的デーン手術スロープ集合と最短スロープ

市原一裕日本大学文理学部

結び目の数学

IV

東京女子大学

, 2011

年

12

月

25

日

(2)

例外的デーン手術と最短スロープ

市原一裕今日，話したいこと３次元多様体デーン手術

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

今日の発表について

以下の論文の紹介

プレプリント（

日大の紀要に掲載予定）

On the maximal number and

the diameter of exceptional surgery slope sets.

(arXiv:1110.0572)

(3)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

今日の発表について

以下の論文の紹介

プレプリント（

日大の紀要に掲載予定）

On the maximal number and

the diameter of exceptional surgery slope sets.

(arXiv:1110.0572)

内容 2007 _年

「 ILDT _{兼拡大} KOOK _」

「 Knotting Mathematics and Art _」

(4)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

３次元多様体とは

3-dimensional manifold (3-manifold)

局所的に３次元ユークリッド空間 R

³

と同一視できる空間

Curved Spaces by J. Weeks

http://geometrygames.org/CurvedSpaces/index.html

(5)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

３次元多様体の分類

分類定理

任意の向き付け可能な閉 3 次元多様体は，

• 可約 ⁽本質的球面を含む)

• トロイダル ⁽^{本質的トーラスを含む}⁾

• ザイフェルト ^(S¹^{による葉層構造を許容}⁾

• 双曲的 ⁽定曲率−1_{のリーマン計量を許容})

Thurston により予想（幾何化予想）(’70s) Perelman_{により証明} (2002-03)

Poincar´e_{予想を含む} (1904)

(6)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

What’s the NEXT?

•

未解決問題に挑戦 .

(e.g., 仮想ハーケン予想 , etc . . . )

•

幾何的 & _位相的 _{不変量の関連づけ} . (e.g., _体積予想 , etc . . . )

•

3 _{次元多様体間の} _関係 _の研究 .

(e.g., _{デーン手術} , etc . . . )

(7)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

デーン手術

3 次元多様体どうしを関係づける操作 K: 結び目 ⊂ M : 有向閉 3 次元多様体

Dehn surgery

1)M _からK_の近傍N(K)_{の内部を抜く}

2)_{ソリッド・トーラスを}(_スロープγ_に沿って) _埋め戻す

Solid torus 3-mfd;M Dehn surgery

(K, γ)

(8)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

デーン手術の基本定理

定理 [Wallace (’60), Lickorish (’62)]

任意の 2 つの向き付け可能閉 3 次元多様体どうしは，

有限回のデーン手術で移り合う．

3 次元多様体の集合に「構造」を入れられる．

⇒ さまざまな研究．．．

(9)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

デーン手術の基本定理

定理 [Wallace (’60), Lickorish (’62)]

任意の 2 つの向き付け可能閉 3 次元多様体どうしは，

有限回のデーン手術で移り合う．

3 次元多様体の集合に「構造」を入れられる．

⇒ さまざまな研究．．．

・大域的な研究．．．まだ未発展

・局所的な研究．．．例外的手術の研究

(10)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

補足：デーン手術のパラメータ

手術スロープ

結び目 K に沿ったデーン手術は，

∂N (K) 上のスロープ

（閉曲線のイソトピー類）

γ = [ f ( V のメリディアン ) ]

で決まる ⇔ 有理数と 1:1 対応

γ m

f

スロープ γ, γ

^′

の距離 ∆(γ

1

, γ

2

)

＝それらの代表元どうしの最小交差数．

(11)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

例外的デーン手術

双曲結び目＝補空間が双曲的な結び目

定理（ Thurston, 1978 ）

双曲結び目に沿ったデーン手術は

たかだか有限個の例外を除いて

双曲的多様体を生成する．

(12)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

例外的デーン手術

双曲結び目＝補空間が双曲的な結び目

定理（ Thurston, 1978 ）

双曲結び目に沿ったデーン手術は

たかだか有限個の例外を除いて

双曲的多様体を生成する．

例外的デーン手術

非双曲的多様体を生成する

双曲結び目に沿ったデーン手術

(13)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

問題

一つの双曲結び目は，

例外的デーン手術を最大いくつ持つか？

(14)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

問題

一つの双曲結び目は，

例外的デーン手術を最大いくつ持つか？

予想 [Gordon]

どんな双曲結び目も，たかだか 10 個の

例外的デーン手術しか持たないだろう．

(15)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

問題

一つの双曲結び目は，

例外的デーン手術を最大いくつ持つか？

予想 [Gordon]

どんな双曲結び目も，たかだか 10 個の例外的デーン手術しか持たないだろう．

定理 [ Agol (2000), Lackenby (2000) ]

どんな双曲結び目も，たかだか 12 個の

(16)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

以前の結果（〜 2007 _）

K ：双曲結び目

E (K ) ：例外的手術スロープの集合 ⊂ Q

♯ E (K) := E (K) の要素の個数

(17)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

以前の結果（〜 2007 _）

K ：双曲結び目

E (K ) ：例外的手術スロープの集合 ⊂ Q

♯ E (K) := E (K) の要素の個数

定理 1. [I. （ 2004 年） ]

あるスロープ γ

0

が存在して，

∀

γ ∈ E (K ), ∆(γ

0

, γ) ≤ 1 ⇒ ♯ E (K ) ≤ 10

(18)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

以前の結果（〜 2007 _）

K ：双曲結び目

E (K ) ：例外的手術スロープの集合 ⊂ Q

♯ E (K) := E (K) の要素の個数

定理 1. [I. （ 2004 年） ]

あるスロープ γ

0

が存在して，

∀

γ ∈ E (K ), ∆(γ

0

, γ) ≤ 1 ⇒ ♯ E (K ) ≤ 10

定理 2. [I. （ 2006 年） ]

双曲交代結び目 K について， ♯ E (K ) ≤ 10

(19)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

一般化は？

∆(γ

0

, γ) ≤ 1 となるようなスロープ γ

0

がとれないような例がある．

有名な例： ( − 2, 3, 7)-

プレッツェル結び目

7 個の例外的手術をもつ：

E (K ) =

1 0 , 16 1 , 17

1 , 18 1 , 37

2 , 19 1 , 20

1 注： ∆

^a_b

,

^c_d

= | ad − bc |

(20)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

系

しかし，以下は知られている．

定理 [Gabai-Mosher], [Calegari]

任意の双曲結び目 K について，

あるスロープ γ

0

が存在して，

∀

γ ∈ E (K ), ∆(γ

0

, γ) ≤ 2

(21)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

系

しかし，以下は知られている．

定理 [Gabai-Mosher], [Calegari]

任意の双曲結び目 K について，

あるスロープ γ

0

が存在して，

∀

γ ∈ E (K ), ∆(γ

0

, γ) ≤ 2

∆ E (K ) = max { ∆(γ, γ

^′

) | γ, γ

^′

∈ E (K ) }

として，上の定理を使うと

(22)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

系

しかし，以下は知られている．

定理 [Gabai-Mosher], [Calegari]

任意の双曲結び目 K について，

あるスロープ γ

0

が存在して，

∀

γ ∈ E (K ), ∆(γ

0

, γ) ≤ 2

∆ E (K ) = max { ∆(γ, γ

^′

) | γ, γ

^′

∈ E (K ) } として，上の定理を使うと

系 (I. 2007 年 )

∆ E (K ) ≤ 8 ならば ♯ E (K) ≤ 10 が成り立つ．

あとは ∆ E (K ) の評価ができれば良い．．．

(23)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

さらに考えたこと

定理 [Gabai-Mosher], [Calegari] の定理

⇐ foliation theory による

双曲構造を用いて証明できないか？

(24)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

さらに考えたこと

定理 [Gabai-Mosher], [Calegari] の定理

⇐ foliation theory による

双曲構造を用いて証明できないか？

定理 (I. 2007 年 )

The slope on the peripheral torus represented by

the shortest geodesic on the horotorus have

distance at most two from all exceptional surgery

slopes for the knot.

(25)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

その後 ...

定理 [Lackenby-Meyerhoff (2008)]

Gordon の予想は正しい．

さらに， ∆ E (K ) ≤ 8 と ♯ E (K ) ≤ 10 が成り立つ．

(26)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

その後 ...

定理 [Lackenby-Meyerhoff (2008)]

Gordon の予想は正しい．

さらに， ∆ E (K ) ≤ 8 と ♯ E (K ) ≤ 10 が成り立つ．

・コンピュータ援用の証明

・ ∆ E (K ) ≤ 8 と ♯ E (K ) ≤ 10 を

独立に

証明．

⇒ 別証明を作りたい．．．

(27)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

訂正

今年 arXiv に投稿 ⇒ D.Futer の指摘： Gap あり

(28)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

訂正

今年 arXiv に投稿 ⇒ D.Futer の指摘： Gap あり

定理 (2011)

If a hyperbolic knot complement contains a horotorus of area greater than 8/ √

3 , then the

slope on the peripheral torus represented by the

shortest geodesic on the horotorus have distance

at most two from all exceptional surgery slopes for

the knot.

(29)

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

訂正

今年 arXiv に投稿 ⇒ D.Futer の指摘： Gap あり

定理 (2011)

If a hyperbolic knot complement contains a horotorus of area greater than 8/ √

3 , then the slope on the peripheral torus represented by the shortest geodesic on the horotorus have distance at most two from all exceptional surgery slopes for the knot.

generic

なケース

になってるはず．

by [Gabai-Meyerhoff-N.Thurston] の研究：

(30)

と最短スロープ市原一裕今日，話したいこと３次元多様体デーン手術

2007）

その後（2008〜）

（訂正）

最後に

双曲結び目の例外的デーン手術スロープ集合と最短スロープ

双曲結び目の

例外的デーン手術スロープ集合と 最短スロープ

市原一裕 日本大学文理学部

IV

, 2011

12

25

今日の発表について

以下の論文の紹介

プレプリント（

On the maximal number and

the diameter of exceptional surgery slope sets.

(arXiv:1110.0572)

今日の発表について

以下の論文の紹介

プレプリント（

On the maximal number and

the diameter of exceptional surgery slope sets.

(arXiv:1110.0572)

内容 2007 年

「 ILDT 兼 拡大 KOOK 」

「 Knotting Mathematics and Art 」

３次元多様体とは

3-dimensional manifold (3-manifold)

局所的に３次元ユークリッド空間 R

と 同一視できる空間

３次元多様体の分類

分類定理

任意の向き付け可能な閉 3 次元多様体は，

What’s the NEXT?

未解決問題 に挑戦 .

(e.g., 仮想ハーケン予想 , etc . . . )

幾何的 & 位相的 不変量の関連づけ . (e.g., 体積予想 , etc . . . )

3 次元多様体間の 関係 の研究 .

(e.g., デーン手術 , etc . . . )

デーン手術

3 次元多様体どうしを関係づける操作 K: 結び目 ⊂ M : 有向閉 3 次元多様体

Dehn surgery

デーン手術の基本定理

定理 [Wallace (’60), Lickorish (’62)]

任意の 2 つの向き付け可能閉 3 次元多様体どうしは，

有限回のデーン手術で移り合う．

3 次元多様体の集合に「構造」を入れられる．

⇒ さまざまな研究．．．

デーン手術の基本定理

定理 [Wallace (’60), Lickorish (’62)]

任意の 2 つの向き付け可能閉 3 次元多様体どうしは，

有限回のデーン手術で移り合う．

3 次元多様体の集合に「構造」を入れられる．

⇒ さまざまな研究．．．

・大域的な研究 ．．．まだ未発展

・局所的な研究 ．．．例外的手術の研究

補足：デーン手術のパラメータ

手術スロープ

結び目 K に沿ったデーン手術は，

∂N (K) 上のスロープ

γ = [ f ( V のメリディアン ) ]

で決まる ⇔ 有理数と 1:1 対応

γ m

f

スロープ γ, γ

の距離 ∆(γ

, γ

)

＝それらの代表元どうしの最小交差数．

例外的デーン手術

定理（ Thurston, 1978 ）

双曲結び目に沿ったデーン手術は

双曲的多様体を生成する．

例外的デーン手術

定理（ Thurston, 1978 ）

双曲結び目に沿ったデーン手術は

双曲的多様体を生成する．

例外的デーン手術

双曲結び目に沿ったデーン手術

問題

問題

一つの双曲結び目は，

例外的デーン手術を最大いくつ持つか？

例外的デーン手術スロープ集合と最短スロープ

市原一裕日本大学文理学部

内容 2007 _年

「 ILDT _{兼拡大} KOOK _」

「 Knotting Mathematics and Art _」

と同一視できる空間

未解決問題に挑戦 .

幾何的 & _位相的 _{不変量の関連づけ} . (e.g., _体積予想 , etc . . . )

3 _{次元多様体間の} _関係 _の研究 .

(e.g., _{デーン手術} , etc . . . )

・大域的な研究．．．まだ未発展

・局所的な研究．．．例外的手術の研究

どんな双曲結び目も，たかだか 10 個の例外的デーン手術しか持たないだろう．

以前の結果（〜 2007 _）

以前の結果（〜 2007 _）

以前の結果（〜 2007 _）

がとれないような例がある．