微分積分第 2 資料 No. 2
担当：松田 晴英
4 偏微分
4.1
多変数の関数xy
平面上の点P(x, y)
が点A(a, b)
に限りなく近づくことを次のとおりに表す。(x, y) → (a, b)
xy
平面上の点(x, y)
を点(a, b)
にどのように近づけても，関数f (x, y)
の値が定数ℓ
に限りな く近づくとき，ℓ
を関数f (x, y)
の点(a, b)
における極限値といい，次のように表す。lim
(x, y)→(a, b)
f(x, y) = ℓ
1
変数の場合，変数x
は直線上を動くので，x
が点a
に近づく方法は，左右の2
通りしかない。しかし，
2
変数の場合，点(x, y)
が点(a, b)
に近づく方法は無数にある。2
変数の関数の極限値を 求める際には，この点に注意しなければならない。例題1 次の極限値を調べよ。
(1) lim
(x, y)→(1,2)
x(x + y) (2) lim
(x, y)→(0,0)
x
2− y
2√
x
2+ y
2(3) lim
(x, y)→(0,0)
x + y
√
x
2+ y
2考え方
(1)
式変形することなく，簡単に求められるタイプ。まずはこのタイプかどうかを確認 する。(2)
[収束する場合の解法]（分子の各項での最小次数）>
（分母の各項での最小次数）のと きは，収束すると予想される。このときは収束することを示すために，x = r cos θ, y = r sin θ, r > 0, 0
≦θ < 2π
とおく。(3)
[収束しない場合の解法]（分子の各項での最小次数）=
（分母の各項での最小次数）の ときは，収束しないと予想される。このときは収束しないことを示すために，y = mx
k とおき，分子の次数と分母の次数が同じになるようにk
を選ぶ。解答
(1) lim
(x, y)→(1,2)
x(x + y) = 1 · (1 + 2) = 3 · · · (
答)
(2) x = r cos θ, y = r sin θ, r > 0, 0
≦θ < 2π
とおくと，次が得られる。0 ≤
x
2− y
2√
x
2+ y
2=
r
2(cos
2θ − sin
2θ) r
=
r
2cos 2θ r
≦
| r |
ここで，(x, y) → (0, 0)
のとき，r =
√x
2+ y
2→ 0
なので，はさみうちの原理により，lim
(x, y)→(0,0)
x
2− y
2√
x
2+ y
2= 0 · · · (
答)
(3) (x, y)
が直線y = mx
にそって(0, 0)
に近づくとき，x + y
√
x
2+ y
2= x(1 + m)
| x | √
1 + m
2→ ± 1 + m
√ 1 + m
2となり，
m
によって値が異なる。よって，lim
(x, y)→(0,0)
x + y
√
x
2+ y
2は存在しない。
· · · (
答)
練習問題1. 次の極限値を求めよ。
(1) lim
(x, y)→(−3,1)
2xy
x − y (2) lim
(x, y)→(0,0)
x
2y
2x
2+ y
2(3) lim
(x, y)→(0,0)
xy x
2+ y
2
関数
f(x, y)
が，次の3
つの条件をすべてみたすとき，f (x, y)
は点(a, b)
で連続であるという。(1) lim
(x, y)→(a, b)
f (x, y)
が存在する。(2) f(x, y)
は点(a, b)
で定義されている。(3) lim
(x, y)→(a, b)
f (x, y) = f(a, b)
また，
f (x, y)
が領域D
のどの点でも連続であるとき，f (x, y)
はD
で連続であるという。
例題2 次の関数
f(x, y)
が点(0, 0)
で連続であるように，定数c
を定めよ。f(x, y) =
√
xy
x
2+ y
2(x, y) ̸ = (0, 0) c (x, y) = (0, 0)
解答x = r cos θ, y = r sin θ
とおくと，次が得られる。0 ≤
√
xy
x
2+ y
2=
r
2cos θ sin θ r
= | r cos θ sin θ |
≦| r |
ここで，(x, y) → (0, 0)
のとき，r =
√x
2+ y
2→ 0
なので，はさみうちの原理により，lim
(x, y)→(0,0)
√
xy
x
2+ y
2= 0
したがって，f (x, y)
が点(0, 0)
で連続となるのは，c = 0
である。今日のまとめ ：教科書
80
〜82
ページの内容を扱いました。復習として ：教科書
84
ページ1，3を解くことで，今回の内容を確認しましょう。次回のために ：教科書
