一13一
「所 要 限 界 牧 盆 率 」 に つ い て
研 究 ノ ー ト
木 村 増 三
1
(め
本 稿 は,前 稿 『会 社 証 劣 発 行 決 意 の 分 析 』 と同 一 の 問 題 を 取 り扱 う一 の 研 究 ノ ー トで あ る。 前 稿 で は,会 社 金 融 に つ い て のModiglianiお よ びZeman両
(2)
氏 の 理 論 的 仮 説 を手 が か りと し て この 問 題 に 接 近 し た が,こ .こで はDavid
ね ラ
Durandの 論 文 『企 業 の 借入 資金 お よび 自己資 金 の コス ト』 にお い て提 示 さ れ
くの
た 「所 要 限 界 牧 益 率 」 の概 念 を中 心 に この 問 題 を考 え て み た い と 思 う。
前 稿 で 述 べ た よ うに,Modiglianiお よ びZemanの 仮 説 で は,社 内 留 保 の 問 題 が 考 慮 外 に お か れ て い る 。 これ に 対 しDurandに あ っ て は,社 内留 保 の 問 題 もと り上 げ られ て い る の で,こ の 点 に 関 連 し てModiglianiお よ びZeman
の 仮 説 に 一 の 修 正 を試 み る こ と も,本 稿 の 意 図 の 一 部 分 を な し て い る。
2
Durandは 上記 の論文 にお い て,次 の よ うな仮 定 の上 に 立 って その分 析 を進 めて い る。一… 会社 は その資 本 調 達 に つい て決 意 す る さ い に,現 存 普 通 株 の
「投 資価 値 」を極 大 に す るよ うに決 定 を行 う もの とす る。こ こに現 存 普 通株 の「投
(1)「 一一橋 論 叢 」 第40巻 第4号(昭 和33年10月),83〜89頁 。
(2)FrancoModiglianiandMortonZeman,"TheEffectoftheAvailability ofFunds,andtheTermsthereof,onBusinessInvestment,"inConference onResearchinBusinessFinance(heldundertheauspicesofUniversities.
NationalBureauCommitteeforEconomicResearch))・NationqlBureauof EconomicResearch,NewYork,ユ952,pp.263〜309.
(3)DavidDuiand,̀̀CostofDebtandEquityFundsforBusiness:Trends andPIoblemsofMeasurement,"inConferenceonResearchinBusine∬
Finanee,op.cit.,pp◆215〜247.
(4)Durandは こ れ を 簡 単 に̀requi・edreturn'と 名 づ け て い る が,そ の 意 味 内 容
か ら い つ て,「 所 要 限 界 収 益 率 」 と 訳 す こ と に す る 。
ρ
資 価 値 」 と い うの は,現 在 の 普 通 株 主 に 帰 属 す べ き将 来 の 予 想 純 牧 益(利 子 お
の
よ び会 社 所 得 税 控 除後)の 系 列 の 割 引現価 を意 味 し,そ の さい用 い られ る割 引 率(す な わ ち資 本 還元 率)に は,す でに危 険 の度 合 が加 味 され てい る もの とす
,る。@) 一 馳
Durandの 分 析 は,「 所 要 限 界牧 益 率 」 とい う概 念 を用 い て行 わ れ る。 「所 要 限界牧 益 率 」 とい うの は,あ る金 融 方 法 を用 い て新 資 本1単 位 を調 達 す る こ
とを会 社 に決 意 させ るた めに は,資 本 の 限 界牧 益率(利 子 お よ び税 込 み)が 最 小 限 どれ だ け な けれ ばな らない か とい うこと,す な わ ち その さい の資 本 の 限界 牧 益率 の最 低 所 要 値 を意 味 す る。 い い か えれ ば それ は,あ る金 融 方 法 に よ り新 資 本1単 位 を調 達 す る さい に,現 存 普 通株 の投 資価 値 を減少 させ な い た め に必 要 と され る資 本 の限 界牧 益 率 の最 低 所 要値 の こ とで あ る。 これ は,新 資 本 調 達 の 一 種 の費 用一 一 種 の機 会 費 用(oPPortunitycost)一 一 で あ って,他 人 資 本 の調 達 の場 合 だ けで な く,株 式 の 発 行 あ るい は純 牧益 の社 内留保 に よ る 自己 資 本調 達 の場 合 に も存 在 す るもの で あ るこ とを,Durandは 指 摘 して い る。
以 上 の よ うな仮 定 お よび概 念 を用 い て,彼 は,会 社 の資 本 調 達 に 関 す る最 適 計 画 を次 の よ うに規 定 す る。 一 一会 社 の最 適 金融 計 画 は現 存 普 通 株 の投 資価 値 を 極 大 に す るそれ で あ り,そ の極 大化 の 条件 は,資 本 の限 界牧 益 率 が 「所 要 限 界牧 益 率 」 に一 致 す るこ とで あ る。 なぜ な ら,前 者 が 後 者 よ り大 な る限 り資 本 を 増 す こ とに よ って現 存 普通 株 の投 資価 値 は増大 し,逆 に前 者 が後 者 よ り小 な る限 り資本 を増 す こ とに よっ て現 存 普 通 株 の投 資価 値 はか え って 減 少 す る こ と に な るか らで あ る。
Durandの 上 記 の論 文 は,い くつか の図 と仮 設 的 な数字 例 を用 い て,「 所 要 限 界牧 益 率 」 に も とつ く分 析 を提 示 して い るが,そ の提 示 の 仕方 は例示 的 に と どま り,一 般 的 な数 式 化 に まで い た って い な い。 本 稿 で は,彼 の説 明方 法 か ら 若干 離 れ て,議 論 を あ ま り複 雑 に しない程 度 にお い て,で きるだ け一 般 的 な取
り扱 い を試 み る こ とに す る。
(5)正 確 に い え ば,そ の よ う な 割 引 現 価 に,当 年 の 配 当 金 の 額 を 加 え た も の で あ る 。 後 述5を 参 照 。
(6)し た が つ て こ の 「投 資 価 値 」 は,不 確 定 予 想 値 の 確 定 等 価(certainty equivalent)で あ る 。
馬
「所 要 限界収益 率」 につい て(木 村)
5
一15一
くの
ま ず,本 稿 で 用 い る記 号 を 次 の よ うに きめ て お こ う。
π・… ・現 在 の 普 通 株 主 に 帰 属 す べ き将 来 の 長 期 的 ・平 均 。年 当 り予 想 純 牧 益(利 子 お よ び 会 社 所 得 税 控 除 後)以 下 た ん に 「予 想 純 牧 益 」 と呼 ぶ ,の 期 待 値 。
C… … 現 存 普 通 株 の 投 資 価 値 を 計 算 す る さい に,π に 適 用 され るべ き割 引 率(資 本 還 元 率)。 こ れ は,「 予 想 純 牧 益 」 に ま つ わ る危 険 が 大 な る ほ ど,ヨ リ大 な る値 を と る も の とす る。 ゆ え にCは,後 掲 の3,Bお よ びRの 函 数 と考 え られ る。
π/̀… … 「予 想 純 牧 益 」 の 系 列 の 割 引現 価(確 定 等 価)。
πo… … 当 年 の 純 牧 益(利 子 お よ び 会 社 所 得 税 控 除 後)。
R… … π。の うち 社 内 留 保 され る額 。 し た が っ て 当 年 の 配 当 金 は 〔π。‑R〕 で 表 わ され る。 い うま で も な く,πo‑R≧0,R≧0
路 ・・… 現 存 普 通 株 の 投 資 価 値 。 これ は,現 存 普 通 株 の 所 有 者 に 帰 属 す る現 在 価 値 の 総 体 で あ っ て,7=π/c十 πo‑‑R
S… … 普 通 株 の 発 行 に よ っ て 調 達 され るべ き新 資 本 の 額 。 既 発 行 普 通 株 は 償 還 し え な い もの とす る。 し た が っ て,S≧O
B・・… ・社 債 の 発 行 に よ っ て 調 達 され るべ き新 資 本 の 額(ま た は,現 存 社 債 の 償 還 な い し買 入 消 却 に よ っ て 減 少 す べ き資 本 の額 ・一 一この 場 合 は 負 の 値 を と る)。 い ま,現 存 社 債 全 部 の償 還 な い し買 入 消 却 に 必 要 な資 金 額 をB。 で 表 わ せ ば,B≧‑B。
F・… ・・総 体 と して の 新 資 本 の 純 調 達 額(正 ま た は 負 の 値 を と る)。 た だ し,用 い られ る金 融 方 法 は,普 通 株 の 発 行,純 牧 益 の 社 内 留 保 お よ び 社 債 の 発 行(ま た は償 還L買 入 消 却)に 限 られ る もの とす る 。 し た が っ て,F=8+B+R,
F≧‑B。
Y(F)… … 新 資 本Fの 追 加 に よ っ て 生 ず るべ き 「予 想 牧 益 」 増 加 分(正 ま7Cは (7)こ れ らの記 号の大部分 は,前 掲 拙稿 『会 社証 券発行決意 の分 析 』で用 いた記号
を そのまま うけつい だ もので あ る。
負)の 期 待 値 。 た だ し こ こに 「予 想 牧 益 」 とい う の は,将 来 の 長 期 的 。平 均 ・年 当 り予 想 牧 益(利 子 お よ び税 込 み)を さ す もの とす る 。
ρ(F)… …Yl(F),す な わ ち,新 資 本1単 位 の 追 加 に よ っ て 生 ず るべ き 「予 想 牧 益 」 増 分 の 資 本1単 位 に対 す る比 率 。 以 下 これ を 資 本 の 「限 界 牧 益 率 」 と呼 ぶ こ とに す る。
Zo… … 普 通 株 の 発 行 も社 内 留 保 も社 債 の 発 行(ま た は償 還 等)も 行 わ れ な い場
ワ
合(S=O,B;O,R=O)に お け る将 来 の長 期 的 ・平 均 ・年 当 り税 込 み 純 牧 益 (利 子 を含 まず)の 期 待 値 。
r… … 現 行 の 社 債 利 率(発 行 差 額 お よ び 発 行 費 用 を 考 慮 に 入 れ る)。
π… …現 存 普 通 株 の 数 。
P… … 現 在 の 市 場 で 普 通 株 を発 行 す る こ とに よ り得 ら るべ き一一株 当 り発 行 手 取 金(発 行 価 格 マ イ ナ ス 発 行 費 用)。
α… … 〔1・‑t〕。 こ こ にtは 予 想 され る会 社 所 得 税 率 を示 し,そ れ は所 得 の 大 小 に か か わ りな く一 定 率 で あ り,ま た 確 定 値 で 予 想 され る もの と仮 定 す る。
以 上 の 記 号 を 用 い るな らば,定 義 に よ り (1}F=S十B十R
ゆ れ
{2}π= 『 皿ぎ く 乙+y(F)‑B・ 〕
"+ア
(3}c=c(s,B,R)
(4)ア=一+π 。‑R
c
一 諜
3・Zo+婆F)‑B「+z・ 一一R
象
Durandに よ れ ば,会 社 は(2)式 の π(「 予 想 純 牧 益 」 の 期 待 値)を 極 大 に す るの で は な く,(4)式 のV(現 存 普 通 株 の 投 資 価 値)を 極 大 に す る よ うに 決 定 を 行 うも の と仮 定 され るの で あ る。
4
Durandは,(i)会 社 に とっ て 利 用 可 能 な金 融 方 法 が 社 債 の 発 行 の み で あ る
「所要限界収 益率 」について(木 村)‑17一
場 合,(ii)そ れ が 普 通 蛛 の 発 行 の み で あ る場 合,お よ び(iii)そ れ が 社 内 留 保 の み で あ る場 合,の 三 っ の場 合 に つ い て 最 適 金 融 計 画 の 内 容 と条件 を 分 析 し て い るが,二 種 以 上 の 金 融 方 法 が 利 用 可能 で あ る場 合 に つ い て は特 別 に ふ れ る と こ ろ が な い 。 そ こ で ま ず,彼 の 扱 っ て い る三 つ の 場 合 に つ い て 考 えて み る こ と に す る。
4・1会 社 に と っ て 利 用 可 能 な 金 融 方 法 が 社 債 の 発 行(ま た は償 還 等)の み で あ る場 合 。
こ の 場 合 に は,S=O,R・O,F・ ・Bで あ るか ら,c=c(B)で あ り,極 大 化 さ れ るべ き現 存 普 通 株 の投 資 価 値Vは 次 式 の よ うに な る。
ぴ
(5)V=一 〔Zo十Y(B)一 一Br〕 十 π0 6
これ の一 次 の極 大 化 条件 は,
{6〕 張=÷ 〔ρ(B)… 藷 ・Zo+聖)‑B「 〕
を 零 とお くこ とに よ っ て 求 め られ る。 す な わ ち そ れ は, (7〕 ρ(B)=・+藷 ・Zo+鷺 の 一B7
dc7一 πo
=γ+一 盃 ● α で あ る 。
こ こ で,Durandの い う資 本 の 「所 要 限 界 牧 益 率 」に つ い て 考 え て み よ う。い ま の 場 合 の 所 要 限 界 牧 益 率 は,社 債 に よ り新 資 本1単 位 を 追 加 す る さ い に,現 存 普 通 株 の投 資 価 値Vを 不 変 に保 つ た め に は 資 本 の 限 界 牧 益 率 ρ(B)は い く ら で な け れ ば な らな い か とい うこ とで あ り,い い か え れ ばew/4Bを 零 に す るた め に必 要 と され る ρ(B)の 値 で あ る。 し た が っ て この 場 合 の 所 要 限 界 牧 益 率 を g(B)で 表 わ す こ とに す れ ば,(6}式 か ら明 らか な よ うに,
{8】q(B)■r+巻 ・Zo+ylB)‑B「
dcV‑一 一rro
=7+ヨ 万'●
α
(8)(9)
で.あって,【7}式 の 極 大 化 条 件 は 次 の よ うに 書 き直 す こ とが で き る。
{7γ ρ(B)=9(B)
と こ ろ でDurandは,B≧0な る範 囲 内 に お い て は,資 本 の 限 界 牧 益 率 ρ(B) はBの 減 少 函 数 一 す な わ ちpl(B)<O‑一 一で あ り,他 方 に お い て 所 要 限 界 牧 益 率g(B)はBの 増 加 函 数 す な わ ちg'(B)>O‑一 で あ る と想 定 し て い
く の
る よ うで あ る。 い ま こ の よ うな 想 定 がB≧ 一一一・Boな る範 囲 内 に お い て も妥 当 す る もの と仮 定 す れ ば,こ の 場 合 の 最 適 金 融 計 画,す な わ ち現 存 普 通 株 の投 資 価 値 を 極 大 に す る金 融 計 画 は,次 の よ うに な る。
(以 下 に お い て,F=B=一 一B①の 場 合 に お け るcお よ びdcldBの 値 を そ れ ぞ れ6お よ びCBで 表 わ す こ と に す る。)
(Nも し も,B=‑B。 に お け る資 本 の 限 界牧 益 率 ρ(‑Bo)が そ の 場 合 の所 要 限 界 牧 益 率9B(‑B・)よ りも小 で あ るな らば,す な わ ち
ρ←B・)<・+誰+≒ 跳)+Bo「
な らば,B=‑B。 の と きに 現 存 普 通 株 の投 資 価 値Vは 極 大 と な り,こ れ が 最 適 金 融 計 画 とな る。
(B)も し も,ρ(‑B。)が9B(‑B。)に 等 し い か ま た は それ よ り も大 で あ る な らば,す な わ ち.
ρ←B・)≧ ・+6.Zo‑±y(・ 一一Bo c)+Bo「
鮎
(8)Durand,op.cit.,p.225に 示 さ れ て い る 式 は,本 稿 の 記 号 に 直 せ ば q(B)=r+言 dc亙 レ
で あ るが,こ れ は 当 年 の 配 当 金 お よ び 会 社 所 得 税 を 考 慮 外 に お い た 場 合 で あ る 。 (9)後 述5・2の よ う に,「 予 想 純 収 益 」 に ま つ わ る 危 険 の 度 合 を そ の 標 準 偏 差 で
測 る こ と に す る な らば,自 己 資 本 を 一 定 に し て お い て β を 増 す と きは,一 般 に 「予 想 純 収 益 」 に ま つ わ る危 険 が 増 大 す る こ と に な る か ら(後 註(20)参 照),ヨ リ 大 な る資 本 還 元 率cが 適 用 さ れ る こ と に な る 。 ゆ え に こ の 場 合,一 般 にdcldBは 正 で あ ろ う。 ま たZo+Y(B)‑Brは,問 題 と な ろ 範 囲 内 で は 正 で あ ろ う。 し た が
つ て,こ の 場 合 の 所 要 限 界 収 益 率q(B)は,一 般 に 利 子 率rよ り も大 で あ る こ と に な る 。 こ れ に 対 し,も し も 「予 想 純 収 益 」 の 変 異 係 数 を もつ て 危 険 の 尺 度 とす る な らば,こ れ と は 異 な つ た 帰 結 に 導 か れ る(後 註(27)参 照)。
(10)こ の こ とは,彼 の 描 い て い る 図 か ら推 察 さ れ る一Durand,op.cit・,P.223 の 第2図 を 参 照 。
嘱
「所要 限界 収益率 」について(木 村)‑19一
な佑 ば,例 式 の 条 件 を みtすBの 値 をB骨 で 表 わ す こ とに して,B・B*の と きにVは 極 大 とな り,こ れ が 最 適 金 融 計 画 とな る。 等 号 が成 り立 つ と きは も ち ろ んB畳=‑Boで あ る。.・
な お この 場 合,Bの 最 適 値 が 正 とな る た め の 条 件(す な わ ち 社 債 の 追 加 発 行 が 行 わ れ るtめ の 条 件)は,F=B=Oの 場 合 の お け る9(B),cお よ びdc/dB
の 値 を9B(0),̀oお よ びCBOで 表 わ す こ とに し て で, Zo
ρ(0)>qB(0)=r十CBO
CO
で あ る。 もし も不 等 号 が逆 な らばBの 最適 値 は負,す なわ ち社 債 の償 還 また は 買 入消 却 を行 う計 画 が最 適 とな り,ま た等 号 が成 り立 つ と きはBの 最 適 値 は零,す な わ ち現 状 の ま まが最 適 とな る。
磁
4・2会 社 に と っ て 利 用 可 能 な 金 融 方 法 が 普 通 株 の 発 行 の み で あ る場 合 。 この 場 合 に は,B=O,R=O,F=Sで あ るか ら,c=c(S)で あ り,極 大 化 さ れ るべ き現 存 普 通 株 の投 資 価 値Vは,次 式 の よ うに な る。
(9}7㍉ 鵠 ・Zo+、K8)+n・
これ の一 次 の極 大 化 条件 は,
害誓 一 講P3)〔 ρ(s)一 る講3)
一 壽 ・Zo+
、K3)〕
を零 とお くこ とに よ っ て 求 め られ る。 す な わ ち そ れ は, aOlρ(s)一 乙 講8)+差 多 ・Zo+、K8)
で あ る。 以 上 か ら明 らか な よ うに,こ の 場 合 の所 要 限 界 牧 益 率9(S)は 硬O)式の
ゴ ユ
右 辺 に ほ か な ら な い の で あ っ て,限 界 牧 益 率 ρ(S)が こ れ に 一 致 す る こ と に よ
(ll)e(S)一 一(10)式 の 右 辺 一 は 二 つ の 項 か ら成 る。 第 一 項 の Zo+Y(S) ̲Zo+Y(S).」̲
nP十 ∫‑sP
n+i'一
は,「 予 想 収 益1価 格 」 比 率(expected‑earnings!priceratio),す な わ ち,普*
商 学 討 究 第9巻 第3号 って,γ の一次 の極 大 化条 件 が み た され る。
この場 合 の最適 金 融 計画 は,次 の仮 定一
(i)も し もS・oに お け る資 本 の 限 界牧 益 率 ρ(の とその場 合 の所 要 限 界牧
益率
z④Zo es(o)=読 ア+Cs・c
。
(tcだ しes。 はF=S==Oの 場 合 に お け るdc/dSの 値 を 示 し,c。 は 同 じ
(12)
場 合 に お け るCの 値 を示 す)
とを 比 較 して,ρ(0)≦9s(0)で あ る と きは,S≧0な る範 囲 内 に お い てdV/as は 終 始 マ イ ナ ス で あ り,
(の も し も ρ(0)が9MO)よ り も大 で あ るな らば,Sが 零 か ら正 の あ る一 定 値 に 達 す る ま で はdV/dS>0で あ り,そ の一 定 値 に お い てdV/dS=Oで あ
■
り,Sが そ の 値 を 越 え る とdV/dSは 負 とな り,そ の 後 は 引 続 き負 の ま ま で
あ る,
ロの
と い う仮 定 が 妥 当 とす る とす るな らば,次 の よ うに し て決 定 さ れ る こ と に な
*通 株(現 存 普通株の みな らず新規 発行分 を も含 めた)一 株 当 りの予想税 込み 純 収益 (期待値)の 株 価Pに 対す る比率 で あ る。い ま これ をeで 表 わせば,
畜 一 講3〔 ρ(s)一堕 講 円 一 試 8〔 ρ(s)一弓
で あ るか ら,限 界 収 益 率 ρ(s)が 「予 想 収 益1価 格 」 比 率eよ り大 な る 限 りsを 増 す ほ どeは ヨ リ大 と な り,逆 に ρ(S)がeよ り小 な る 限 りSを 増 す と か え つ てeは 減 少 す る と い う こ と に な る 。
次 にe(S)の 第 二 項 dcZo+y(S) 廊 「'c'
は,正 の 値 を と る こ と も あ り負 の 値 を と る こ と もあ る 。 な ぜ な ら,「 予 想 純 収 益 」 の 標 準 偏 差 ま た は 変 異 係 数 の い ず れ を 危 険 性 の 尺 度 に 用 い る 場 合 で も,他 の 資 本 を 一 定 に し て お い てSを 増 す と き は
,危 険 が 増 大 す る こ と も あ り,ま た 減 少 す る こ と も あ るか らで あ る(後 註(20)お よ び(27)参 照)。 ゆ え に,所 要 限 界 収 益 率g(S) は 「予 想 収 益1価 格 」 比 率eよ り大 な る こ と も あ り,小 な る こ と も あ る 。
(12)こ のCoは,先 の4・1に お け るF==B=Oの 場 合 のCoと 同 じで あ る 。 要 す る に これ は,S・ ・O,B=O,R=Oの 場 合 に お け るcの 値 で あ る 。
(13)Durandは こ の 条 件 に つ い て は 何 も ふ れ て い な い 。 な お4・1の 場 合 に お い て も こ れ と 同 様 の 仮 定 を す れ ば 足 り る の で あ つ て,必 ず し も,B≧‑Boな る範 囲 内 に お い て 〆(B)<0,gt(B)>0で あ る と仮 定 す る こ と は 必 要 で な い 。
「所 要 限 界 収 益 率1に つ い て(木 村)‑21一 る 。
ノ
〈Nρ(0)<9's(0)な らば,S=0の と きに 現 存 普 通 株 の 投 資 価 値Vは 極 大 とな り,現 状 の ま ま が 最 適 金 融 計 画 と な る。
⑧ ρ(0)≧9,9(0)な らば,闘 式 の 条 件 を み た す3の 値 をS*で 表 わ す こ とに して,S==S*の と きにVは 極 大 とな り,こ れ が 最 適 金 融 計 画 とな る 。 等 号 が 成 り立 つ と きは も ち ろ ん8*=Oで あ る 。'
4・3会 社 に とっ て 利 用 可能 な 金 融 方 法 が 社 内 留 保 の み で あ る場 合 。 こ の 場 合 に は,S==O,B・0,F=R(た だ し0≦R≦ πσ)で あ るか ら, c=c(R)で あ り,極 大 化 され るべ き現 存 普 通 株 の投 資 価 値Vは,次 式 の よ う
に な る。
Z。+M(R)
但nv =α 一 十 πo‑R
c
これ の 一 次 の極 大 化 条件 は,
wa一 雅 等 ÷ 〔ρ(R)一一一÷ 一 菰 「 ・Zo+警R)〕
を 零 とお くこ と に よ っ て求 め られ る 。 す な わ ち それ は,
amρ(R)一 ÷+盤 一 乙 増R)
で あ る。 以上 か ら明 らか な よ うに,こ の場 合 の所 要 限 界牧 益 率g(R)は 幟 式の
ロの
右 辺 に ほ か な らな い の で あ っ て,限 界 牧 益 率 ρ(R)が こ れ に一・致 す る こ と に よ っ てVの 一 次 の 極 大 化 条 件 が み た され る。
、
い ま,次 の 仮 定 一 一
(i)ρ'。)≦9R(。)一 血+、 。。Z・
αCO
(7Cだ し,9R(0)は い ま の 場 合 のR・Oに お け る所 要 限 界 牧 益 率,c・ お よ (14)こ の 場 合 の 所 要 限 界 収 益 率g(R)は,「 予 想 純 収 益 」 に ま つ わ る危 険 を そ の 標
準 偏 差 で 測 るな らば,claよ り大 で あ ろ う。 な ぜ な ら こ の 場 合,dcldRは 一 般 に 正 で あ ろ うか ら(後 註(25)参 照)。 ま た も し,f予 想 純 収 益 」 の 変 異 係 数 に よ り危 険 の 度 合 を 測 る な らば,dc/dRは 正 と な る こ と も あ り負 と な る こ と も あ るか ら(後 註(27)参 照),q(R)はc/aよ り大 な る こ と も 小 な る こ と もあ る 。
(15)
びCROはF=R=Oに お け るcお よ びdc/dRの 値 を 示 す)
な らば,0≦R≦ π。な る範 囲 内 に お い てdV/dRは 終 始 マ イ ナ ス で あ り, (ii)ρ(o)>qR(o)な らば,o≦R≦ πoな る 範 囲 内 に お い て,dV/dRが 終 始 正
で あ るか,ま た はRの 一 定 値 まで は正,一 定 値 に お い て 零,一 定 値 を 越 え る と負 とな る,
とい う仮 定 が 妥 当 す る もの とす れ ば,こ の 場 合 の 最 適 金 融 計 画 は次 の よ うに な る。
猷(A)ρ(0)く ・9〆0)な らば,R=Oが 最 適 とな り,
ロ も
B)ρ(0)≧9R(0)な らば,R=πoに お け るdV/dRの 値 が 負 ま た は 零 な る と き はR=R*(た だ しRXはa3)式 の 条 件 を み た すRの 値 で あ っ て,R*=0お
1よ びRX=πoの 場 合 を 含 む)が 最 適 と な り,ま た,R=π 。に お け るdV/dRの
く
値 が 正 で あ る と きはR』 ・π。が 最 適 とな る。
5
Durandの 論 文 で と り上 げ られ て い る範 囲 は 以 上 の 場 合 に つ き るが,次 に 二 種 以 上 の 金 融 方 法 が 利 用 可能 で あ る場 合 に つ い て 考 え て み よ う。
5・1ま ず,Modigliani,Zemal1両 氏 の 仮 説 と の比 較 を 容 易lcす る た め,利 用 可 能 な金 融 方 法 が 株 式 の 発 行 お よ び 社 債 の 発 行(ま た は 償 還 等)に 限 られ て い
る場 合(す な わ ち 社 内 留 保 を 考 慮 外 に お く場 合) ,を と り上 げ て み よ う。
こ の 場 合 に は,F=S+B,R=Oで あ るか ら, 叫c=c(s,B)
(15)Coに ついては前註(12)参 照 。 (16)こ れは次 の こ とに帰 着す る。
,(。 。)≦eR(。 。)‑i‑+2.Z・+ぎ(・ ・)
ac
む り
た だ し,cお よ びCRは そ れ ぞ れF=R=πoの 場 合 に お け るcお よ びdc/dRの 値 を 示 し,qR(πo)は そ の 場 合 に お け る所 要 限 界 収 益 率q(R)の 値 を 示 す 。
(17)こ れ は 次 の こ と に 帰 着 す る 。
,(n。)〉鋼 ヨ÷+8。 鱒(π ・)'
̀
「所 要限界 収益 率」 につ いて(木 村)‑23‑
ua7≒ 階 ・Ze+婆F)‑B「+…
で あ っ て,境 界 条 件 ε≧0,B≧ 一一Boの 範 囲 内 でVを 極 大 化 す る ε お よ びBの 値 を み い だ す こ とが 問 題 とな る。
㈲ 式 に お い て,
as)‑gz‑一 麟85〔 ρ、F)一 嘉 ・Ze+擁F)‑B「 〕
⑰1誓=講 ε)〔ρ(F)一 島+謂 幽87
t ‑8毒 ・Zo+嬰 一B「 〕
で あ るか ら,Vの 一 次 の極 大化 条 件 は,
OS」 ρ㈹ ゴ ・+8/・Zo+琴F)‑B「
⑲ ρ(の 一 乙+。 鴇 轍 βγ+塞 一・tZl'LUsETY(F)一一'B「
で あ る。倒 式 お よびag)式の 右辺 は それ ぞ れ,社 債発 行 お よび 普 通株 発 行 につ い て の所 要 限界牧 益 率 で あ る。
ハ
い ま,二 次 の極 大 化 条 件 がmatcさ れ て い る と す れ ば,S≧0,B≧‑8。 な る範 囲 内 に お い て 連 立 方 程 式 ⑬,ag)を 満 足 す るSお よ びBの 値 を み い だ す こ とが で き るな らば,そ れ が 最 適 金 融 計 画 で あ る。 こ れ に 対 し,境 界 条 件 の 範 囲 内 に お い て そ の よ うな 値 が み い だ され な い 場 合 に は,株 式 発 行 か 社 債 発 行 か の い ず れ か 一 方 の み を 用 い る の が 最 適 で あ っ て,4・1のF・B=B*に お け るVの 値 と4・2のF=3・S*に お け るVの 値 とを 比 較 し,Vの 値 の ヨ リ大 な る方
(18,
が最 適 金融 計 画 とい うこ とに な る。
(18)境 界 条 件 の 範 囲 内 で 連 立 方 程 式(18),(19)を 満 足 す るSお よ びBの 値 が み い だ さ れ な い 場 合,も し も4・1のF『 の 最 適 値(Bめ が 正 な らば,株 式 と 社 債 の い ず れ に よ る べ きか は,次 の よ う に し て 判 定 す る こ と も で き る 。 す な わ ち,Fの 値
を.B*に 固 定 し て お い て,・ ・
晋 一 諾5)〔 ・(B*)一 毎y(篇(聾 墜
一 畜 ・Zo+y(BX)一(Bee‑s‑
6)「 〕
(た だ し,静
商 学 討 究 第9巻 第3号
5・2Modigliani,Zeman両 氏 の 仮 説 は,「 予 想 純 牧 益 」 に ま つ わ る危 険 に つ い て 明 示 的 な 尺 度 を 導 入 して い る点 に お い て 上 述 の5・1の 場 合 と異 な っ て い る 。 そ こ で,比 較 の た め に,Modigliani,Zeman両 氏 に よ っ て 用 い ら れ た と 同 じ 危 険 性 の 尺 度 を5・1に 導 入 し て,ヤ こ れ を 再 構 成 し て み る こ と に し よ う 。
「予 想純牧 益 」 の標 準 偏差 を もって その危 険 性 の尺 度 とし,こ れ を σ で示 す 。 そ こで,総 体 として の 資 本(既 存資 本 プ ラスF)か ら生 ず るべ き 「予想 牧
ほ ラ
益 」総 額 の標 準 偏差 を φ(F)で 表 わせ ば, αnP
⑳ σ一
。P+3φ(F)
で あ り,CはOの 函 数 で あ る か ら, 伽c=c(o)
で あ る 。 こ こ に,
窃 一一 誕3げ(F)
as)'ρ(F)含 ・+〆(σ)課8グ(F)
3/〒 一詳5〔 φ久F)一論 〕
で 扇 鄭 ら,勉 ⑬ お よ.醐 式 は次の よ うに変形 され る。
Zo十Y(F)‑Br
6,
腓 ρ(の=乙+謂 一研
㌔(B・)‑r+c。 ・互+Y(麹 二 堕
c
CB*はF=・B=B*に お け るdc1dBの 値)
を 計 算 す れ ば,い ま の 場 合 こ れ はSの 値 の い か ん に か か わ らず 正 で あ る か,ま た は 負 で あ る か の い ず れ か で あ ろ う 。 こ れ が 正 な らばF・S・=S*が 最 適 で あ り,負 な ら ばF醤 β望 右*が 最 適 で あ る 。 な お こ の 点 に つ い て は,Modig}ianiandZeman,
op.cit.,pp.300,301,Note3参 照 。
(19)い う ま で もな く,「 予 想 純 収 益 」 の 期 待 値 は π で あ り,=「 予 想 収 益 」 総 額 の 期 待 値 はZo+Bor+Y(F)‑Brで あ る 。 な お 「予 想 収 益 」 総 額 の 標 準 偏 差 は,予 想 税 込 み 純 収 益 の 標 準 偏 差 に 等 しい 。
(20)通 常 の 場 合,Fが 大 な る ほ ど企 業 活 動 の 規 模 が 大 とな り,そ の 結 果 「予 想 収 益 」 の 標 準 偏 差 φ(F)も 大 に な る 一 す な わ ち,φ,〈.1')>0一 と考 え られ るか ら,
∂a1∂Bは 一 般 に 正 で あ ろ う。 こ れ に 対 し ∂ σ/∂sは,φ,(F)が φ(動1(nP+s) よ り 大 で あ るか 小 で あ る か に よ つ て,正 ま た は 負 と な る 。
「所要 隈界 収益 率 」につLlて(木 村)‑25‑
+〆 σ)。鵠 〔φ'(の一 慕 渉 〕Zo+彗F)‑B「
こ れ は け っ き よ く,次 の 二 式 に 帰 着 す る。
e2ρ1憂 誌 ㌧ 皐 ・講 〔z・+Y(F)一司
(こ の 式 の 右 辺 は 〆(a)Tに ほ か な らな い)
ガ 伽 ㌧ 乙+K編 〃P豊
こ の⑳,㈱ 式 を 連 立 さ せ て 解 くこ とに よ っ て最 適 金 融 計 画 を 求 め る こ とが,こ の 場 合 の 問 題 と な るわ け で あ る。
以 上 の 帰 結 は,た だ 次 の 一 点 を除 い て,Modigliani,Zemanの 場 合 と同 じで あ る一一 伽 式 の 右 辺 は π,σ平 面 に お け るVの 等 高 曲 線 の 傾 斜 を示 す も の で あ
ぐ い
る の に 対 し て,Modigliani,Zemanの 場 合 に お け る そ れ の 対 応 物 は π,a平 面
くコ ラ
に お け る効 用 無 差 別 曲 線 の傾 斜 で あ る。
5・5次 に,純 牧 益 の 社 内 留 傑 を も考 慮 に 入 れ た 場 合 を 考 え て み よ う。 ζ の 場 合 の 問 題 は,F=S+B+R,S≧0,B≧ 二B。,π 。≧R≧ σ,c=c(S,B,R)一 一 一(3}
式 … … とい う条 件 の も と で,ぐ
一(4)7㍉ 鵠 ・ 乙+琴 の 亟+n・‑R
を極 大 に す る こ とで あ る。 この場 合,一 次 の極 大化 条 件 は, 'fi8)ρ(F)=r+9/・Zo+lz(!IF)‑B「
(21)な ぜ な ら, .
=一 v 一トπ0 6
で あ るか ら,
avl∂v〆(の
ニち ニニコ
∂ πc,∂oc2 し た が っ て
一号 影 慕 一・!(・〉÷
'だ か らで あ る
。
(22)前 掲 拙 稿 『会 社 証 券 発 行 決 意 の 分 析 』85,86頁 参 照 。
一26一 商 学 討 究 第9巻 第3号
伍9ρ(F)一 乙+謂 一B「+9/・Zo+彗F)一'‑Br
・Pρ(F)一 緯 ε)+8/・Zo+弩F)‑B「
くふ
で あ る。 これ らの 右 辺 は それ ぞ れ,社 債 発 行,普 通 株 発 行 お よ び 社 内 留 保 に つ い て の 所 要 限 界 牧 益 率 で あ る。
い ま,二 次 の 極 大 化 条 件 が み た され て い る とす れ ば,境 界 条 件 の 範 囲 内 に お い て 連 立 方 程 式 ⑬,鋤,圏 を満 足 す るS,Bお よ びRの 値 を み い だ す こ とが で き るな らば,そ れ が 最 適 金 融 計 画 で あ る。 これ に 対 し,も し も 境 界 条 件 の 範 囲 内 で そ の よ うな 値 が み い だ され な い な らば,
(i)F==S+B,R・=Oの 場 合 に お け る最 適 金 融 計 画 お よ び そ れ に よ り得 られ る Vの 値
(ii)F=S+R,B=Oの 場 合 に お け る最 適 金 融 計 画 お よ び そ れ に よ り得 られ る Vの 値
(iii)F=B+R,S=Oの 場 合 に お け る最 適 金 融 計 画 わ よ び そ れ に よ り得 られ るVの 値
を比 較 し て,こ れ ら三 つ の うち でVの 値 の 最 も大 きい 金 融 計 画 が い まの 場 合 の 最 適 金 融 計 画 だ とい うこ と に な る。 こ れ5の うち(i)の 場 合 の 最 適 金 融 計 画 の 求 め方 に つ い て は,す で に5・1で 取 り扱 っ た が,(ii)お よ び(iii)の 場 合
(21)
に つ い て も これ と同様 の 方法 に よ って最 適 金 融 計 画 を求 めれ ば よい 。
(23)な ぜ な ら,
一{張 一一
c(αnPnP十s)〔 ρ(1〜)一 螺 ポ)一 一8ft}c‑Zo→ 一]tls(iEF)‑B「〕 (24)ま ず(ii)の 場 合 に は,
7一 諜 ザ あ+多(F)+・ ・‑R
そ の 一 次 の 極 大 化 条 件 は,
Zo+Y(F)∂6Zo十y(F)
{:二=準廓 傘
次 に(iii)の 場 合 に は, Zo十y(F)‑Br
十 π③ 一Rv=α 6
'
.「 所 要 限 界 収 益 率 」 に つ い て(木 村)‑27‑‑
5・4Modigliani,zeman両 氏 に よ っ て 用 い ら れtcと 同 じ 危 険 性 の 尺 度(5・2 参 照)を,以 上 の5・5の 場 合 に 導 入 し て,こ れ を 再 構 成 し て み よ う 。
∂aα πP
∂R==nP+sφ'(F)・
くヨうあ
で あ るか ら,Vの 一 次 の 極 大 化 条 件 は,前 掲 の 圏 ノ式,ag)ノ 式 お よ び 次 の ⑳ ノ式 で あ る。
2al'ρ(F)一鯉 鎧詣3)+〆(σ)詳3爾 乙 鰺F昭7
この 条 件 は け つ き よ く次 の こ と に 帰 着 す る 。
・nρ 舞 チ ーd{(iga)・ 講 〔z・+¥(・ ・)‑Br〕
ρ(F)‑rZo十y(F)・ 一一.一(nP十S十B)7 圏
φ'(F)φ(F) nP十5
⑳ r=c
απP
こ の 連 立 方 程 式 を 解 く こ とに よ っ て 最 適 金 融 計 画 を 求 め る こ とが,こ の 場 合 の
(%)
問 題 とな るわ け で あ る。
5・5以 上 の5・4の 仮 説 は,「 予 想 純 牧 益 」 に ま つ わ る危 険 の 度 合 を そ の 標 準 偏 差 を も っ て 測 ろ う とす る もの で あ るが,そ れ は 次 の よ うな 重 要 な 欠 点 を も
つ 。 す な わ ち,∂ σ/∂Bと ∂a/∂Rと が 等 し い た め に,社 債 発 行 と社 内 留 保 柴 その一次 の極大化 条件は ,
・㈹ 一・+釜 ・ZQ+y『)亜
に+蓋.卑 丑
(25)こ れ は ∂ σ!∂Bと か わ りな く,し た が つ て 一一般 に 正 で あ る(前 註(20)参 照)。
(26)前 掲 拙 稿 『会 社 証 券 発 行 決 意 の 分 析 』85,86頁 で 述 べ た よ う に,Modigliani, Zeman両 氏 の 場 合 に あ つ て は,(境 界 条 件 を 考 慮 外 に お け ば)Fの 最 適 値 は 経 営 者 の 危 険 回 避 の 態 度 か らは 独 立 に 決 定 さ れ る と い う単 純 な 関 係 が 成 り立 つ が(本 稿 の(23)式 を 参 照),い ま の 場 合 の よ う に 社 内 留 保 を 考 慮 に 入 れ る な らば,1こ れ は 成 り立 た な い こ と に な る。 い ま の 場 合 に お け る(23)式 の 対 応 物 は(25)式 で あ る が,(23)式 はF以 外 の 変 数 を 含 ま な い の に 対 し て,(25)式 は そ うで な い 。
な お,(22)式 の 右 辺(π,d平 面 に お け るVの 等 高 曲 線 の 傾 斜)に,π,o平 面 に お け る効 用 無 差 別 曲 線 の 傾 斜 を 入 れ 換 え れ ば,Modigliarii,Zemanめ 仮 説 に 社 内 留 保 を 補 足 導 入 し た 場 合 の 連 立 方 程 式 が 得 られ る こ と に な る 。
一28一 商 学 討 究 第9巻 第3号
とが危 険 の 度合 に関 して 同 じ影 響 を もつ こ とに な って し ま うの で あ る 。 そ の 上,「 予想 純牧 益 」 に まつ わ る危 険 の 度合 が その期 待 値 か ら独 立 に 評 価 さ れ
ぐ
る とみ な す こ とは 当 を得 て い な い よ うに 思 われ る。
そ こで以 下 に おい て は この点 を修正 して,「 予想 純牧 益 」 の変 異係 数 で危 険 の度 合 を測 るこ とに しよ う。 これ を 抄 で表 わ せ ば,
=
σπ
電0
⑳ φ(F)
Zo十YgF)‑Br
璽
で あ っ て,
∂ 〃 φ(F)
∂8Zo十y(F)一 β7
∂v φ(F)
〔 φノ(F)ρ(F)‑7・φ(F)Zo十y(F)‑Br〕
∂sZo十y(F)一 一一Bt 〔甥 一Zo十Y(F)‑Brρ(F) 〕 8/‑z+魏)一 研〔甥 一π 趨 勧 ア〕
(27)
と な り,∂V/∂Sと ∂V/∂Rと は 等 し くな る。 普 通 株 の 発 行 と 社 内 留 保 と 一一 そ の 方 法 は 異 な っ て い るが ,い ず れ も 自己 資 本 調 達 の 方 法 で あ るか ら,そ
の 危 険性 に及 ぼす影 響 が 同 じで あ るこ とは,い ちお う首 肯 す る こ とが で きるで
あ ろ う 。
資 本 還 元 率cをvの 函 数 と し て, pmc・c(の
(27)∂v/∂B昏 よ,
φ,(F) ρ(F)‑r(
a) 〉 一
φ(F)Zo十y(F)‑Br
な る 限 り一 す な わ ち,予 想 税 込 み 純 収 益 の 標 準 偏 差 の 増 加 率 が,そ の 期 待 値 の 増 加 率(た だ し社 債 に よ り資 本1単 位 を 追 加 す る場 合 に お け る)よ り も大 な る限 り 一 正 で あ り,逆 の 場 合 に は 負 で あ る 。 こ れ は 前 註(20)の 場 合 の 帰 結 と は 異 な る 。
ま た ∂v/∂sお よ び ∂v1∂Rは,
(b)辮>z
。+鋸 一Br
な る限 り一 す なわ ち,予 想税 込み純収益 の標 準偏差 の増加 率が,そ の 期待値 の増 加率(た だ し普 通株式 または社内留保 によ り資本1単 位 を追 加 す る場合 にお け る) よ りも大 な る限 り一 正 とな り,逆 の場 合には 負 とな る。ただ し,(a)の 右 辺 と (b)の 右 辺 とを比 較 してみればす ぐわか るよ うに,同 じ状況の もとで は前者は必ず 後 者 よ り も小 であ るか ら,∂v/∂sお よび ∂v/∂Rと 比 較 して,∂v1∂Bは 正 に
な りや すい。
「所要 限界 収益率 」につい て(木 村) と表 わ す こ と に す れ ば,ア の 一 次 の 極 大 化 条 件 は,
⑳ ρ㈹ 一・+〆1の〔φ㈹ 一一2石艦 蒜 φ(F)〕
圃 ρ(の」+課 鱒B「+塑 〔φ・(F)一 講 喋 研 〕
(3・)ρ(F)‑es(・zsii;g2nPn+pS)+一暫 弼(F)一 器 鯉8,〕
r‑29‑一 ・
と な る 。 こ れ は け っ き よ く,.次 の 条 件 に 帰 着 す る 一 一 す な わ ち,⑳,儲 ㊥お よ び αnP
(32)・(nP+S)rP廊 「 〔Z・+Y(の 一β・〕
で あ る。 この 連 立 方 程 式 を解 く こ と に よ っ てS,Bお よ びRの 最 適 値 を求 め る こ とが,こ の 場 合 の 問 題 と な る わ け で あ る。
σ ま た は む の い ず れ を危 険 性 の 尺 度 と す る に せ よ,社 内 留 保 を考 慮 に 入 れ る場 合 に は,こ れ を考 慮 に 入 れ な いModigliani,Zemanの 場 合 よ りも問 題 が
く ブ
複 雑 と な る こ と を ま ぬ が れ な い 。‑1959.2.1‑一
(28)前 註(26)参 照 。
