原子核の相対論的平均場模型 プログラムの開発と検証

修士論文

原子核の相対論的平均場模型 プログラムの開発と検証

2008

2

福井大学 大学院 工学研究科 物理工学専攻

18

10

本研究の目的

•

C

•

C.J.Horowitz and B.D.Serot(1981)

模型の物理的な位置付け

核力を表す有効中間子場

原子核を相対論的に記述したい。

σ :

Φ ( x ^µ ) ω :

V _ν (x ^µ )

ρ :

R _ν (x ^µ )

γ :

A _ν ( x ^µ )

中間子場の古典場近似

ラグランジアン密度

L = ψ ¯ (

i γ ^µ ∂ _µ − m

)

ψ + L ⁽ _meson ^{free )} − g _σ Φ ψψ ¯

平均場近似とは、中間子場の全ての量子的揺動を無視し 、期待値だけに注 目するという近似法

⇒

c-数 (classical number)

−→

no sea

(

)

核子場の演算子

ψ

ψ = ∑

α ϕ _α (x ^µ )ˆ a _α .

h : ¯ ψψ : i = ∑

α< F

ϕ ¯ _α ϕ _α − ∑

α< F

ϕ ¯ ^free _α ϕ ^free _α ,

h : ¯ ψψ : i =

∑ A α= 1

ϕ ¯ _α ϕ _α +

 

 ∑

α< F

ϕ ¯ _α ϕ _α − ∑

α< F

ϕ ¯ ^free _α ϕ ^free _α

 

 ,

∼

∑ A α=

ϕ ¯ _α ϕ _α .

模型の数学的定式化

核子の性質

 



スピン

s = ¹ ₂ ,

t = ¹ ₂ 



t ₃ = ¹ ₂ ,

t ₃ = − ¹ ₂ . { m _p c ² = 938 . 27200 MeV ,

m _n c ² = 939 . 56533 MeV .

「結果の検証」では比較対象の文献に合わせて

m _p c ² = m _n c ² = 939 MeV

自然単位系

~ = c = 1 .

有効場のラグランジアン密度

L = L _N + L _σ + L _ω + L _ρ + L _γ + L _c .

核子部分

L _N = ψ ¯ (

i γ _µ ∂ ^µ − m ) ψ .

σ

L _σ = − 1 {

( ∇φ _σ ) ² + m ² _σ φ ² _σ }

.

ω

L _ω = 1 2

{ ( ∇φ _ω ) ² + m ² _ω φ ² _ω } .

ρ

L _ρ = 1 2

{( ∇φ _ρ ) ₂

+ m ² _ρ φ ² _ρ } .

光子場部分

L _γ = 1 2

( ∇ A ₀ ) ₂ .

核子場と中間子場・光子場の結合

(Coupling)

L _c = − g _σ ψφ ¯ _σ ψ − g _ω ψγ ¯ 0 φ _ω ψ − g _ρ ψγ ¯ 0 τ 3 φ _ρ ψ − ^e ψ ¯ 1 − τ 3

2 γ 0 A ₀ ψ .

核子場、中間子場の従う方程式

Dirac

(核子場)

{ − i α · ∇ + β (

m + V

) + V

} ψ i = E _i ψ i , V

= − g _σ φ _σ ,

V

= g _ω φ _ω + g _ρ τ 3 φ _ρ + ^e 1 − τ 3

2 A ⁰ . Screened Poisson

(中間子場 σ, ω, ρ ⁾

( ∆ − m ² _σ )

φ _σ = − g _σ ρ _s , ( ∆ − m ² _ω )

φ _ω = − g _ω ρ _V , ( ∆ − m ² _ρ )

φ _ρ = − g _ρ ρ 3 . Poisson

(クーロン場 γ ⁾

∆ A = − ^e ρ .

球対称な系の取扱い

核子の波動関数

球対称系での核子の波動関数

ψ _$ jmnt

(

r , θ, ϕ, m _s , m _t ) =

 

 i ^G

_r

^(r) Φ l jm ( θ, ϕ, m _s )

− ^F

_r

^(r) Φ l

jm ( θ, ϕ, m _s )

 

 δ t

m _t .

但し

l = j + 1 2 $ , l ⁰ = j − 1

2 $ , Φ l jm ( θ, ϕ, m _s ) = ∑

m

, m

h l , m ₁ , 1

2 , m ₂ | jm i Y _{l , m}

1

( θ, ϕ ) δ m _s m

,

= h l , m − m _s , 1

2 , m _s | jm i Y _{l , m − m}

s ( θ, ϕ ) .

核子の状態を指定する為の量子数

核子の状態

j , $

{ j = ¹ ₂ , ³ ₂ , ⁵ ₂ , · · · ^(半奇数) .

$ = ± 1 .

κ = $ (

j + 1 2

)

= ± 1 , ± 2 , ± 3 , · · · ,

G : l = j + ¹ ₂ $ F : l ⁰ = j − ¹ ₂ $ 

 = 0 , 1 , 2 , · · · .

軌道の表

j $ l l ⁰ κ

1 2

− 1 0 1 − 1 s

2

1 1 0 1 p

2

3 2

− 1 1 2 − 2 p

2

1 2 1 2 d

2

5 2

− 1 2 3 − 3 d

2

1 3 2 3 f

2

7 2

− 1 3 4 − 4 f

1 4 3 4 g

2

9 2

− 1 4 5 − 5 g

1 5 4 5 h

2

11 2

− 1 5 6 − 6 h

2

1 6 5 6 i

2

13 2

− 1 6 7 − 7 i

2

1 7 6 7 j

2

動径波動関数の従う方程式

G : large component , F : small component .

d dr

( G F

)

=

( − ^κ _r µ + ε µ − ε ^κ _r

) ( G F

)

但し

µ = m + V

, ε = E − V

.

各種の核子密度

ρ s (r) = 1 4 π r ²

∑

i

n _i {

| G _i (r) | ² − | F _i (r) | ² } , ρ V (r) = 1

4 π r ²

∑

i

n _i {

| G _i (r) | ² + | F _i (r) | ² } , ρ 3 (r) = 1

4 π r ²

∑

i

n _i ( τ 3 )

i

{ | G _i (r) | ² + | F _i (r) | ² } , ρ p (r) = 1

4 π r ²

∑

i

n _i

( 1 − τ 3

2 )

i

{ | G _i (r) | ² − | F _i (r) | ² } .

i

 



( τ 3 )

i = 1 , (

1 −τ

2

)

i = 0 .

( τ 3 )

i = − 1 , (

1 −τ

2

)

i = 1 .

核子の波動関数の求め方

境界条件

r → + 0

r = 0

G = r ^{l + 1} − ε ² − µ ²

2 (2l + 3) r ^{l + 3} + O (

r ^{l + 5} ) , F = l + 1 + κ

ε + µ r ^l − l + 3 + κ

2 (2l + 3) ( ε − µ ) r ^{l + 2} + O (

r ^{l + 4} ) .

但し

{

ε = E − V _V (r = 0) , µ = m + V _s (r = 0) .

r → +∞

r = +∞

G = ^{e − √ m}

^{− E}

^r , F = −

√ m − E m + E ^e

− √

m

− E

r .

エネルギー固有値の求め方

Matching condition

接続条件

E = E ₀ ⇔ G ₁ ( r _m ) F ₁ (

r _m ) = G ₂ ( r _m ) F ₂ (

r _m ) , D = G ₁ (

r _m )

F ₂ ( r _m )

− F ₁ ( r _m )

G ₂ ( r _m )

= 0 .

D ⁰ = G ₁ ( r _m )

G ₂ (

r _m ) { G ₁ (

r _m )

F ₂ ( r _m )

− F ₁ ( r _m )

G ₂ (

r _m )}

.

 

 



n < n ₀

E < E ₀ . n > n ₀

E > E ₀ . n = n ₀

 



D ⁰ < 0

E < E ₀ .

D ⁰ = 0

E = E ₀ .

D ⁰ > 0

E > E ₀ .

Matching point

動径グリッド のとり方

等間隔グリッド

r _i = h · i , 0 ≤ i ≤ 3000 , h = 0 . 01 fm .

r E

0

r

G₁ G₂

m

potential

E

0

r

r

G¹

G

m

中間子場の求め方

Screened Poisson

( ∆ − m ² )

φ = − g ρ ,

  d ²

dr ² + 2 r

d

dr − m ²

  φ (r) = − g ρ (r) .

この方程式の解

φ (r) = g ^e

− mr

mr

∫ _r

0

sinh (

mr ⁰ ) ρ (

r ⁰ )

r ⁰ dr ⁰ + g sinh (mr) mr

∫ _∞

r

e ^{− mr}

ρ ( r ⁰ )

r ⁰ dr ⁰ .

m → 0

φ (r) = g

r

∫ _r

0 ρ ( r ⁰ )

r ^{0 2} dr ⁰ + g

∫ _∞

r ρ ( r ⁰ )

r ⁰ dr ⁰ .

自己無撞着解の求め方

自己無撞着解を得るためのアルゴ リズム

1. V

V

E _i

2. E _i

n _i

3.

V

V

4.

V

V

V

V

原子核の全エネルギーの表式

原子核の全エネルギー

E

E = ∑

i

n _i E _i − 1 2

∫ _∞

0

{ − g _σ φ _σ (r) ρ s (r) + g _ω φ _ω (r) ρ v (r) + g _ρ φ _ρ (r) ρ 3 (r) + ^e A ₀ (r) ρ p (r) }

4 π r ² dr .

V _s , V _V

空間的に一様な系では

∆φ = 0

( ∆ − m ² )

φ = − g ρ

φ = g m ² ρ

ρ _n = 0 . 16 N A

( fm ^{− 3} )

, ρ _p = 0 . 16 Z A

( fm ^{− 3} )

と仮定すれば

ρ V = ρ n + ρ p = 0 . 16 , ρ _s ^. = ^. ρ _V × 0 . 9 ,

ρ 3 = ρ n − ρ p = 0 . 16 N − Z A

V _V ⁽⁰⁾ = g ² _ω

m ² _ω ρ _V + τ 3

g ² _ρ m ² _ρ ρ 3 , V _s ⁽⁰⁾ = − g ² _σ

m ² _σ ρ s

となる。そこで

V _V (r) = V _V ⁽⁰⁾ 1 + exp (

− ^{r −} _a ^R ) + V _coul (r) , V _s (r) = V _s ⁽⁰⁾

1 + exp (

− ^{r − R} )

とすればよい。但し 、

a = 0 . 7 fm , R = r ₀ A

, r ₀ = 1 . 2 fm

とし 、クーロンポテンシャルは陽子に対してのみ働き、

V _coul (r) =  



Z e

4 π R

{ 3

2 − ¹ ₂ ( _r

R

) ₂ }

(r ≤ R)

Z e

4 π r (r > R)

と近似するとよい。

結果と検証

208 Pb

208 Pb

0 . 16 × N

A = 0 . 16 × 126 208

= 0 . 097 fm ^{− 3} , 0 . 16 × Z

A = 0 . 16 × 82 208

= 0 . 063 fm ^{− 3} .

208 Pb

Horowitz and Serot,

Nucl. Phys. A368, 523 (1981)

との比較。

40 Ca

40 Ca

0 . 16 × N

A = 0 . 16 × Z A ,

= 0 . 16 × 20 40 ,

= 0 . 08 fm ^{− 3} .

40 Ca

結論と展望

•

C

C.J.Horowitz and B.D.Serot(1981)

•