一般相対論的宇宙論一般相対論的宇宙論

(1)

一般相対論的宇宙論一般相対論的宇宙論

数理情報基礎講座

数理情報基礎講座鎌田裕之鎌田裕之

(2)

(3)

太陽系の惑星

(4)

(5)

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(8)

(9)

２次形式２次形式

^Ｌ^Ｌ^２^２^＝ｘ^＝ｘ^２^２^＋ｙ^＋ｙ^２^２^＋ｚ^＋ｚ^２^２ + a + a xyxy + b + b yzyz + c + c zxzx どうしてピタゴラスの定理は、

どうしてピタゴラスの定理は、

a=b=c=0

a=b=c=0なのか！？なのか！？

平らな空間（ユークリッド幾何学）→平らな空間（ユークリッド幾何学）→a=b=c=0a=b=c=0

曲がった空間（リーマン幾何学）→曲がった空間（リーマン幾何学）→a≠a≠0,0, b≠b≠0, c≠0, c≠00

(10)

局所的平面

(11)

物質も電磁波もないところの重力方程式は、

0 R

_μν

=

となる。

時間に依存せず、座標原点に重心をもち、球対称な質量分布をしている場合、

シュヴァルツシルトの解がある。

(12)

シュヴァルツシルトの解

2

a 2GM

= c

この場合、重力ポテンシャルΦは、と書ける。

時間に依存せず、

座標原点に重心をもち、

球対称な質量分布をしている場合、

シュヴァルツシルトの解がある。

この半径で、ｇ^１１が発散する。→特異点

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

{

( ) ( )

}

2 2 2 2 2

2

2 2 2

00 2

sin cos sin sin cos

' ' ' '

1 ( ) 1 sin

1 /

1 2 x r

y r z r

c d cdt dx dy dz

a cdt dr r d d

r a r

g c

θ φ θ φ θ

τ

θ θ φ

⎧ =

⎪ =⎨

⎪ =⎩

− = − + + +

⎛ ⎞

= − −⎜⎝ ⎟⎠ + − + +

= − − Φ

GM Φ = − r

(13)

r r ＝＝ a: a: 事象の地平線事象の地平線

2

a 2GM

= c

A

より内部からでた光は、外にでられない。

太陽の場合：

a=3

ｋｍ、地球の場合：

a=9mm

天体の半径が

a

よりも小さい場合

ブラック・ホール化する

(14)

ブラックホールを描いてみようブラックホールを描いてみよう

新しい軸（ｚ軸）を作る。新しい軸（ｚ軸）を作る。

( ) ( )

2 2

1

1 /

dz dL dr

dr dr a dr

a r r a

= −

= − =

− −

(15)

(16)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

(17)

絵あるＢＨは、非対称絵あるＢＨは、非対称

絵のＢＨは、別解のもの。絵のＢＨは、別解のもの。

「カーの解」とよばれており、軸対称の解。「カーの解」とよばれており、軸対称の解。

シュワルツシルト解を改良したもの。シュワルツシルト解を改良したもの。

(18)

ＢＨによる不思議な現象

(19)

一つの星が２つ見える！？

★

(20)

(21)

0

0 0

, , , _obs

obs

q q u b q u

s x r r r r

x

ψ θ θ

θ θ θ φ ψ

= = = = = +

= + = + Δ −

(22)

2

4 ,

G M

b q u c b

φ

Δ ≈ = + =

インパクト係数

（シュバルツシルトの解から導かれる）

(23)

0 0 0 2

2

0 2

1

0 2

4

4 4

1 4 1 4

1 4

obs

obs obs

obs

G M

x c b

u M q u G M q u u

r r s r c r s s

r u r q u G M s r s r c r

r r G M

s s c r

r G M

s c r

θ θ θ φ ψ θ ψ

θ θ

θ

θ θ

θ θ θ

θ

−

= + = + Δ − = + −

= + − = + − + +

⎛ ⎞ +

= ⎜⎝ + ⎟⎠ − +

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ − +

⎝ ⎠

⎛ ⎞

∴ = + +⎜⎝ ⎟⎠

θobs

についての２次方程式＝解が２つある。

(24)

ブラックホールによる食ブラックホールによる食

アインシュタイン・リング

(25)

水星の近日点前進水星の近日点前進

周期周期

（年）（年）

予想値予想値

（秒（秒/100/100年）年）

観測値観測値

（秒（秒/100/100年）年）

水星水星 0.24090.2409 43.043.0 43.0843.08±±0.30.3 金星金星 0.61520.6152 8.638.63 8.68.6

地球地球 1.00001.0000 3.843.84 3.83.8 火星火星 1.88091.8809 1.351.35

P. Bretagnon, Astron. Astrophys. 114 (1984) 278.

R. L. Duncombe, Astron. J. 61 (1956) 174.

(26)

宇宙の起源と広がり

(27)

宇宙原理宇宙原理

空間は一様で等方的に広がっている。空間は一様で等方的に広がっている。

我々の３次元空間は、４次元球（あるいは４次元双曲面）張り我々の３次元空間は、４次元球（あるいは４次元双曲面）張り

付いている。

( )² ² ( )² ² ²

{

( )² ² ( )²

}

) sinh sin cos

sinh sin sin sinh cos

cosh

= sinh sin

x r y r

z r w r

R d R d d

χ θ φ

χ θ φ χ θ

χ

χ χ θ θ φ

⎧ =

⎪ =⎪

⎨ =

⎪⎪ =

⎩

+ +

4次元双曲面座標:(r, , ,

ｄL

(28)

( ) ( )

{

( ) ( )

}

( )

{

( ) ( )

}

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

= sinh sin

1 sin

1 /

R d R d d

dr r d d

r R

χ χ θ θ φ

θ θ φ

+ +

= + +

+ ｄL

ここで、改めてｒ＝

R sinh

χと読みかえる。

R: 曲率半径 K=－１/R² K=0・・・平坦な宇宙

K＞0・・・４次元球面上の宇宙（閉じた宇宙）

K＜０・・・４次元双曲面上の宇宙（開いた宇宙）

(29)

K＞0：閉じた宇宙

(30)

K＜0：開いた宇宙

(31)

ハッブルの法則ハッブルの法則

遠い天体ほど、太陽系から速い速度で遠ざかっ遠い天体ほど、太陽系から速い速度で遠ざかってゆく。てゆく。

膨張宇宙を意味している。膨張宇宙を意味している。

H⁰:ハッブル定数、a(t)：スケール因子

0

( ) :

( ) ( )

R t

dR t H R t dt

R t R a t da t H a t

dt

=

天体までの距離

　とおくと同じ方程式を得る。

H0=63±１２ｋｍ/(sec・Mｐｃ）

(32)

エドウィン・パウエル・ハッブル

Edwin Powell Hubble（1889-1953）アメリカの天文学者。我々の銀河系の外にも銀河が存在することや、それらの銀河からの光が宇宙膨張に伴って赤方偏移していることを発見したことで知られている。彼は近代を代表する天文学者の一人であり、現代の宇宙論の基礎を築いた人物である。

(33)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

(34)

ロバートソン・ウォーカー時空ロバートソン・ウォーカー時空

宇宙原理（４次元面上の３次元空間）とスケール因宇宙原理（４次元面上の３次元空間）とスケール因子を組み合わせる。

子を組み合わせる。

( )² ( ) ( )² ²

2 2

c dτ = c dt − dL

( ) ( ) ( )

( ) ( )

{

( ) ( )

}

2 2 2

2 2 2 2

2 2

( )

( ) 1 sin

1 /

c d c dt a t dL

c dt a t dr r d d

r R τ

θ θ φ

= −

⎡ ⎤

= − ⎢⎣ + + + ⎥⎦

平坦な宇宙

膨張する宇宙

Howard Percy Robertson (1903 – 1961) 、 Arthur Geoffrey Walker （1909- 2001)

(35)

フリードマン方程式フリードマン方程式

^速度^速度 ^ｖ^ｖ ^{で膨張する宇宙。}^{で膨張する宇宙。}

^{運動エネルギー：}^{運動エネルギー：}

^{重力エネルギー：}^{重力エネルギー：}

エネルギー保存則から、エネルギー保存則から、

両者はつりあう。

1 2

2 v

K m

V GMm

r Δ =

Δ = −

1 2

v 0

2 K V m GMm

Δ + Δ = − r =

, v da

r a a

dt

= = = •

1 2

2

a GM

a

⎛ ⎞ =•

⎜ ⎟⎝ ⎠

a:スケール因子

（宇宙の半径）

G:重力定数 M：宇宙の質量

(36)

4 3

M = 3π ρa ^{ρは、宇宙全体の密度}

2

3 2

1 4 4

2 3 3

GM G

a a Ga

a a

π ρ π ρ

• ⎛ ⎞

⎛ ⎞ = = =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

フリードマン方程式

右辺２項３項は、相対論的補正項。

2

2 2

8

3 3

a G c c

a^• π ρ a R

⎛ ⎞ Λ

⎜ ⎟ = − +

⎜ ⎟⎝ ⎠ ^現在

＋

(37)

Alexander Alexandrovich Friedman or Friedmann (1888-1925)

アレキサンダー・フリードマンロシアの天文学者、数学者

(38)

佐藤・グース理論

佐藤・グース理論 ( ( １９８１年）１９８１年）

１９８１年に佐藤勝彦・アメリカのグースによって導１９８１年に佐藤勝彦・アメリカのグースによって導入された。

入された。

宇宙の初期には、宇宙項宇宙の初期には、宇宙項ΛΛが無視できないくらいが無視できないくらい大きかったと仮定する。

大きかったと仮定する。

2

2 2

8

3 3

a G c c

a^• π ρ a R

⎛ ⎞ Λ

⎜ ⎟ = − +

⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 3 ^ct

a t e

Λ

≈ ビックバン：インフレーション宇宙

＋

(39)

まとめまとめ

ハッブルの法則から、現在の宇宙は膨張している。

^{ハッブルの法則}から、現在の宇宙は膨張している。

^{宇宙の運命を決める}^{宇宙の運命を決める}

^{フリードマン方程式}

^{フリードマン方程式}^は、^は、

^ロバー

トソン・ウォーカー時空

とと

一般相対性理論

一般相対性理論の宇宙方の宇宙方程式によって導かれる。

程式によって導かれる。

フリードマン方程式によって、宇宙はどこまで膨張しフリードマン方程式によって、宇宙はどこまで膨張し続けるのかが理解できる。

続けるのかが理解できる。

^{宇宙の初期に}^{宇宙の初期に}

^{インフレーション宇宙}

^{インフレーション宇宙}^{があった。}^{があった。}

（佐藤・グース理論（

佐藤・グース理論）

）

(40)

参考文献参考文献

^{「なっとくする}^「^{なっとくする}宇宙論」ニ間瀬敏史著（講談社）宇宙論」ニ間瀬敏史著（講談社）

「相対性理論」中野薫夫著（岩波書店）「相対性理論」中野薫夫著（岩波書店）

「一般相対性理論入門」「一般相対性理論入門」エドウィン・エドウィン・F・テイラー他F・テイラー他著（著（Pearson,Pearson, Education Japan)Education Japan)

[相対性理論」窪田高弘、佐々木隆[相対性理論」窪田高弘、佐々木隆共著（裳華房テ共著（裳華房テキストシリーズ・物理学）

キストシリーズ・物理学）

「相対性理論」内山龍雄著（岩波全書）「相対性理論」内山龍雄著（岩波全書）

「デラック・一般相対性理論」江沢洋訳（東京図書）「デラック・一般相対性理論」江沢洋訳（東京図書）

一般相対論的宇宙論 一般相対論的宇宙論