数学演習 II 練習問題 No.1

1.

(1)

! ₋ 2

− 4

dx x

(2)

!

0

dx cos ² x

(3)

!

−

√ dx 1 − x ²

(4)

! 2 1

xe ^x dx

(5)

! 4 2

x log x dx

(6)

!

0

x ² cos x dx

(7)

!

0

cos x 1 + sin x dx

(8)

! ^√ 2 0

xe ^{− x}

dx

(9)

! 3 1

x ³

√ x ² + 2 dx

(10)

! ^√ 3

− 1

cos ^{− 1} x

2 dx

1. W =

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

⎡

⎢ ⎢

⎣ x y z

⎤

⎥ ⎥

⎦ ∈ R ³ + + + + + + + +

x + y + z = 0

x − 2y + 3z = 0

⎫ ⎪

⎪ ⎬

⎪ ⎪

⎭

とする．

(i) 0 3 =

⎡

⎢ ⎢

⎣ 0 0 0

⎤

⎥ ⎥

⎦ ∈ W

(ii) u =

⎡

⎢ ⎢

⎣ u 1

u 2

u 3

⎤

⎥ ⎥

⎦ , v =

⎡

⎢ ⎢

⎣ v 1

v 2

v 3

⎤

⎥ ⎥

⎦ ∈ W

u + v ∈ W

(iii) u =

⎡

⎢ ⎢

⎣ u 1

u 2

u 3

⎤

⎥ ⎥

⎦ ∈ W, c ∈ R

cu ∈ W

(iv) W

xyz

R ³

2. W =

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

⎡

⎢ ⎢

⎣ x y z

⎤

⎥ ⎥

⎦ ∈ R ³ + + + + + + + +

x − y + z = 0

4x − 2y + z = 1

⎫ ⎪

⎪ ⎬

⎪ ⎪

⎭

とする．

(1) W

3

(i), (ii), (iii)

1

1

(i) 0 3 ∈ W

(ii) u, v ∈ W

u + v ∈ W

(iii) u ∈ W, c ∈ R

cu ∈ W

(2) W

xyz

R ³

3. W = / 0 x

y 1

∈ R ² + + + +

+ x + y ≤ 1, 2x − 3y ≤ 4, 0 ≤ x, 0 ≤ y 2

とする．

(1) W

3

(i), (ii), (iii)

1

1

(i) 0 2 ∈ W

(ii) u, v ∈ W

u + v ∈ W

(iii) u ∈ W, c ∈ R

cu ∈ W

(2) W

xy

R ²

1. R ³

1

1

1

1

1

a 1 =

⎡

⎣ 1

− 2 3

⎤

⎦ , a 2 =

⎡

⎣ − 3 5 2

⎤

⎦ , a 3 =

⎡

⎣ 5

− 1 0

⎤

⎦

2. R ³

1

1

1

1

1

b 1 =

⎡

⎣ 1 2 3

⎤

⎦ , b 2 =

⎡

⎣ 4 5 6

⎤

⎦ , b 3 =

⎡

⎣ 7 8 9

⎤

⎦

3.

V

v 1 , v 2 , v 3

1

x 1 , x 2 , x 3 ∈ V

1

1

x 1 = 3v 1 − 4v 2 + v 3 , x 2 = 4v 1 + 5v 2 − 3v 2 , x 3 = v 1 − v 2 − v 3

4.

V

v 1 , v 2 , v 3

1

y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ∈ V

1

1

y 1 = 4v 1 + v 2 + 6v 3 , y 2 = 2v 1 − 7v 2 − 3v 3 , y 3 = − 5v 1 − 5v 2 − 6v 3 , y 4 = − 9v 1 − 6v 2 − 9v 3

以下の積分を求めよう．

(1)

! 3 2

3x ³ + 4x ² + 7x + 3

3x + 1 dx

(2)

! 3 2

x ² + 3x + 5

(3x + 1)(x ² + 4) dx

(3)

! 2 1

2x ⁶ − x ⁵ + 4x ⁴ − 2x ³ + 6x ² − 4x + 3

x ³ (x ² − x + 1) ² dx

以下の広義積分を求めよう．

(1)

! 1 0

√ dx x

(2)

! 2

− 2

√ x

4 − x ² dx

(3)

! 1 0

x log x dx

(4)

! ∞ 0

xe ^−x

dx

(5)

! ∞ 1

log x x ² dx

(6)

! ∞

−∞

dx x ² + 4

(7)

! ∞ 0

e ^−x x ³ dx

以下の

R

V

1

(1) V =

!

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣ 0

− 1 1 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦ ,

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣ 1

− 2 1

− 1

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦ ,

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣ 1

− 5 4 2

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦ ,

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣ 1

− 1 0

− 2

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦ ,

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣ 3

− 4 1

− 5

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦ (

⊂ R ⁴

(2) V =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩ x ∈ R ⁵

- - - - - - - - - -

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

0 1 1 1 3

− 1 − 2 − 5 − 1 − 4

1 1 4 0 1

1 − 1 2 − 2 − 5

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦ x = 0 4

⎫ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎭

(3) V =

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

0 1 1 1 3

− 1 − 2 − 5 − 1 − 4

1 1 4 0 1

1 − 1 2 − 2 − 5

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦ x - - - - - - - - - -

x ∈ R ⁵

⎫ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎬

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎭

1.

(1)

! 2 1

"! 4 3

# x ² + 2y ² $ dx

% dy

(2)

!

0

&! 2 sin x sin x

(x + y) dy '

dx

(3)

! 2 1

"! y 0

(x + y) dx

%

dy

2.

(1)

!!

D

x dxdy, D = { (x, y) | y ≤ x ≤ √ y }

(2)

!!

D

xy dxdy, D = (

(x, y) ) ) x + y ≤ 2, y ² ≤ x, 0 ≤ y *

(3)

!!

D

y dxdy, D = +

(x, y) ) ) ) y

2 ≤ x ≤ 2y, x + y ≤ 1 ,

次の重積分を求めよう．

(1)

!!

D

(x ² − y ² ) dxdy, D = { (x, y ) | 1 ≤ x + y ≤ 2, 0 ≤ x − y ≤ 1 }

(2)

!!

D

e ^{− x}

^{− y}

dxdy, D = "

(x, y) # #x ² + y ² ≤ 1 $

(3)

!!

D

% x ² + y ² dxdy, D = "

(x, y) # # 0 ≤ y ≤ x ² + y ² ≤ 1, 0 ≤ x $

(4)

!!

D

xy dxdy, D = "

(x, y) # # √

x + √ y ≤ 1 $

1. A =

! − 2 0 10 8

"

とする．

R ²

# v 1 =

! 1 1

"

, v 2 =

! − 1 3

" $

に関する線形変換

T (x) = Ax

B

2. A =

! 8 − 10 5 − 7

"

とする．

R ²

# v 1 =

! 1 1

"

, v 2 =

! 2 1

" $

に関する線形変換

T(x) = Ax

B

3. A =

⎡

⎢ ⎢

⎣

3 2 0 0 3 4 0 0 3

⎤

⎥ ⎥

⎦

R ³

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩ v 1 =

⎡

⎢ ⎢

⎣ 1 1 0

⎤

⎥ ⎥

⎦ , v 2 =

⎡

⎢ ⎢

⎣ 0 1 1

⎤

⎥ ⎥

⎦ , v 3 =

⎡

⎢ ⎢

⎣ 1 0

− 2

⎤

⎥ ⎥

⎦

⎫ ⎪

⎪ ⎬

⎪ ⎪

⎭

に関する線形変換

T (x) = Ax

B

4. A =

⎡

⎢ ⎢

⎣

5 6 0

− 1 0 0 1 2 2

⎤

⎥ ⎥

⎦

T (x) = Ax

B =

⎡

⎢ ⎢

⎣

3 0 0 0 2 0 0 0 2

⎤

⎥ ⎥

⎦

R ³

{ v 1 , v 2 , v 3 }

次の行列

A

A ⁿ

(1) A =

! 8 − 10 5 − 7

"

(2) A =

! 2 1 1 2

"

(3) A =

⎡

⎢ ⎢

⎣

− 2 − 3 3 0 − 2 0 0 − 3 1

⎤

⎥ ⎥

⎦

(4) A =

⎡

⎢ ⎢

⎣

1 1 0 0 1 0 0 0 2

⎤

⎥ ⎥

⎦