非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論-改訂版--香川大学学術情報リポジトリ

(1)

香川大学経済論叢第72巻第 1号 1999年 6月 241-270

非定常

SUR

モデルの推定と検定の漸近理論

ー改訂版四

久松博之

1

1 はじめに

拙著『単位根の推定と検定

n

(1997)の第8章では説明変数がランダム・ウオークにしたがい各方程式の誤差項が互いに相関関係をもっSUR(SeeminglyUnrelated Regression)モデルを考え、制約付き、制約なしSUR推定量と OLS推定量の漸近分布を非標準的な漸近理論を使って求めた。本稿ではこれと同じモデルで誤差に AR(1)過程を想定し共和ゆ検定統計量の帰無分布(漸近分布)を導出する。どの推定法から計算される残差で検定量を評価するかによiって帰無分布の形状は異なりそれそeれの場合で有“意点が異なるので、シミュレーションで帰無分布の有意点を求めそ・れを使って検出力を計算した。その結果、制約なしSUR推定による残差で開国した検定量が制約付きSUR推定による残差やOLS推定による残差で評価した検定量よりもより検出力が高いことがわかった。本稿ではこのほかに、拙著(1997)で扱った SURランダム・ウオ}クモデルよりもより現実的な、定常・非定常混在型、すなわちランダム・ウオークと定常過程が混在し誤差項が互いに相関関係をもっSURモデルを考え、制約付き、制約なし SUR推定量とOLS推定量の漸近分布を導出する。 1本稿は香川大学経済論調整第 71巻第 4号に渇載されたものの改訂版である。刊行後脈に落ちない点があって見直したら、全部で15ヶ所の綴りに気が付いた。統計学や計量経済学を一通り習ったことのある人でもこれらの誤りに気が付く人は少ないと思う。それゆえやっかいである。したがって、部分的な正誤表で済ませるわけにはし、かないので全文改訂版としてここに潟載することにした。なお、この改訂版ではSURランダム・ウォ}クモデルにおける単位線検定の検出力の比較を新たに付け加えた。本稿は科学研究費特定領域研究『ネットワlーク型パ:;t.lレデ}タベ!ースの構築と統計分析の研究:課題番号08209114J1の共同研究成果の一部である。本稿作成にあたり広島大学経済学部の前川功一教綬から貴重まなコメントをいただいた。ここに記して謝意を表します。

(2)

242

この理論分析の背景には、和分・共和/が畠程を含む大量のミクロパネノレデー夕、例えば数百の企業の数千日にわたる株価日次デ}タの時系列的な構造をいくつかのタイプの異なるSURモデルで記述し、 OLS、制約付き・制約なし SUR で推定する場合を暗黙に想定している。非定常な要素を含むため漸近分布はブラウン運動の汎関数で表現され、有限標本分布はシミュレーションでグラフ化される。本稿では説明を簡単にするために2方程式ーモデルを想、定しているが、この結果はn方程式SURモデルに一般化できる。

AR(l)誤差をもっ SUR

モデル

説明変数が1(1)過程にしたがい AR(1)誤差をもっ SURモデルを考える。従属変数と説明変数の聞に共和分(∞integration) 関係があるかどうかは誤差の自己回帰係数が1かどうかを見ればよい。まずはじめに、共和分関係が存在しないという帰無仮説のもとで、 OLS、制約付き、制約なし Zellner推定量の極限分布をブラウン運動の汎関数で求め、シミュレーションによってこれら3.つの推定量の分布特性を比較する。次に、検定統計量の帰無分布をブラウン運動の汎関数で求め、有限標本分布をシミュレーションでグラフ化し、その際計算される有h意点を{吏つtて‘検出力を比較・する。また、補論では従属変数聞に共和分関係があるかどうかの判定法について.ふれる。香川大学経済論叢

-242-2

SUR

推定量の極限分布

次のような見かけ上無相関な回帰モデ、/レ(SeeminglyUnrelated Regr国 SiOIl model:SUR‘モデノレ)を考える。:

2 .

1

Ylt

=

βlX1t

+

Ult

，

Y2t

=

s

2

X2t

+

U宮t

)

噌_i ， t ・、説明変数Xit

，

i

=

1

，

2は (2) Xlt

=

Xlt-l十 Vlt

，

X2t= X2t-l

+

V2t

(3)

243 非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論 -243-ーで、誤差項は 'U1t

=

P1'Ult-1

+

Elt， 'U2t = P2'U2t-1

+

E2t (3) ここで、 Yit，Xit， 'Uit， Vit， i

=

1

，

2

，はいずれもスカラーである。 E，1tE2tは、 ‘ . ，， Q n u ，， E‘ 、 A N

、

_E B B -， / -A 内 4 r t r c

f

i

t

-E

¥

と仮定する。ここに

市

;

:

)

=

(

;

:

;

)

である。また、

(

け

rv _N

(

0 .(

I

0

，

I "

σ

3 .

1 I

O

)

I

V2J ¥'¥ 0 σ_;_{21 J}_J と仮定する。すなわち、 'UtとVtは無相関であると仮定する。ここで、次の行列を導入する。

¥

l

'

/

h . 句

/

1

1 ¥

一一

U

、

_EBB-/ 噌_A 内， “ β β J F E E -¥

一一

局 μ ・ 1 E B B -，/ 0 勾町 0 J I S E t t

-一 -一

X

、、

Z

E

-/

唱_A m a u u u z J ' S E E -¥

一一

Y ただし釣

₌

(Yi1， Yi2，…，YiT)'，Xi，'Ui，Vi，i

=

1，2，も同様に定義される。 Txl ベクトノレである。これらの行列を用いれば、われわれのモデルは

y=X

β

+U

(4) と表される。このときβの

OLS

および

GLS

推定量は次のように定義される。

OLS

推定量

:s=(X'X)一1

X

γ

(5)

(4)

-244- 香川大学経済論叢 244 GLS推定量:

s

=

(

X

'

O

-

1

_X

₎

_-

_l

_X'O-

1

_y

_.

₍₆₎ ここで、

ベ

S1l1 S

つ

S211 s221

I

制約付き Zellner推定量 (Zellner(1962

，

63))をsR、制約なし Zellller推定量をんとすると、制約付き Zellner推定量のSii.は 6141n S _t_.1

一

- T -k

ー

一

ー

-

i'

u

i

=

Yi -Xisi

，

A ニ (X~Xi) 一14U4， t=1， 2，制約なし Zellner推定量のSijは

s--4

ej η -

T-k

₁-

k

_2' ei

=

Yi'-Z守ここで、 Z

=

(

Xl X2 ，) 守

=

(Z'Z)-lZ'Yi

，

i

=

1

，

2

，

この場合、 k1= k2二 1である。 Phillips(1987)あるいは Phillipsand Durlauf(1986)と同様にで与えられる。

¥

l

/

4 b a z u u / ， Z E E -¥

一一

ω

、、

E E E S F f t t 唱ムの a u u

f

l

¥

一一

む

、、

B E E S ，/ 噌 A の 4 M U U

/

I

l ‘

¥

一一

u と置けば、それIぞれの parもialsumを標準化したものは次のようなブラウン運動に収束する。

ム

I

Bl(r) ¥

-

;

:

;

:

γ

初ITrl=争B(1")

=

1

~1\'1 1 ，(j -1)IT~r~jIT， j ニ 1 ， 2，.."， T W

信

¥

B2(r)

J

(5)

245 非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論 -245-( B11(r) ¥ ~" ( B

川

1'') ¥ 」こで、 Bl(r)

=

f

-

.

"

I

，B2(1''}

=

I

¥ B12(1''}

J

'

¥

B22(1)

J

これより、帰無仮説lIo: Pi

=

1， i

=

1， 2，のもとでの OLS推定量の極限分布は容易に

I

J:BMr)B川T')dr

C

B:;n(r)'dr β-β=今

i

F1h

I

J

0-B22(r )B1.(r)dr

¥ f

o

<

B2

，

(r)'d で与えられることがわかる。次に Zellner推定量の極限分布を求める。

s-

βご

(

x

'

f

l

-1

x

)

-

lX

'

f

l

-1

u

(hT2hT1

822 L..，t=l Xit -812 L..，t=1 XltX2t ¥ 一知乞L1Z1tZ2t S11εL14t

f

( 822

2 :

;=1 Xl仰1t-812

乞

乙

lXlt匂t ¥ X I ¥ -821

乞

L1Z2仰1t

+

811

2 :

:=1 X2仰2t

J

である。 Pi

=

1， i

=

1， 2，のとき、項別に収束をみると

会

言

X7t

キ

バ

1B2z(T)2b

，

t=1

，

2

訪問

，itキ

1

1 B2i(r)

内

(r)州 =

1 ，

2 会

会

XltX2t

キ

か

1(r'}B22(r)dr と計算される。また、

ー

8ii.

=

会

UitUjt=}

1

1 Bli(r)Bl.i(r)合ごいである。証明は AppendixAを参照。 (7) (8)

(6)

-246-- 香川大学経済論叢 246 以上の結果から、帰無仮説のもとでの

SUR

推定量

9

ーβの極限分布は次式で与えられる。定理1.1 ;:; t:J

_~

1

I

C

l1

J

;

B22(r)2dr

*

P

+

62

J

0

1 B21 (1・)B22dr

*

Q

I

β-β=今一

l

￨

I

61

J

;

B

以

r)B22(1'')dr

*

P

+

62

J

0

1

B~1dr

*

Q

I

(9) ここで D = 6釦

ω1

P=C2

ω

吋

21 1

ぬ

(r)Bl1(r)dr -

吋

1島1(r)B12(

，

')dr Q = -C211 1 制帆(1'')川 σ12 =σ21 = 0のとき

s-

β=βーβ ，， . ‘ 、噌・ A nu 、 ‘ ，，，となる。口なお、この結果から直ちにσ12=σ21 = 0のときZellner推定量の分布は漸近的にOLSの分布と同等になることがわかる。

2 .

2 共和分検定量の分布

前節で定義した

SUR

モデルについて帰無仮説Ho:仇 =

1

， i

=

1

，

2

，を検定する共和分検定量 ('L，;=1 UitUit-1

，

1 T

(

んー

1)

=

T~ LJ.:....~ ~.~:..-~

-

1 ，>i

=

1，2， (11)

L

ε

:=1Û~t_1

J

(7)

247 非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論 -247-を考える。 Maekawa(1980)はSURモデ、ルの係数の上、への線形制約に関する仮説検定について、 SURの誤差項間の相関を考慮したtタイプの検定法のパフォーマンスが相闘が低い場合もそう悪くはないことを示した。また、 Hatallakaalld Id田(1995)は説明変数に非定常な要素を含む線形回帰モデ、ノレを想定し、 AR(I) 誤差の係数が1かどうかを検定する共和分検定量の漸近分布を求めた。本稿では、誤差項の相関を考慮する場合と考慮、しない場合について、共和分検定量の検出力をグラフで比較する。 (11)式の仏tは残差であるがモ‘デ、ノレを何で推定するかによって、 OLS残差、制約付き SUR残差、制約なし SUR残差の 3通りが考え

られる。 Uit

=

Y

i

t

-s

i

X

i

t

=

-

(

s

i

-s

i

)

X

i

t

+

包it・これより

偽

=(A-A)223-2(A-A)zuuu+

包

Z

したがって T 噌 T T T

会

Z63=

会

(A-A)22;zZ

一

会

(

s

i-s

i

)ζωit

+

戸

2;uz

キ

(

1

1 B2i(r

向一吋

1 h

(

T

)

B

1

4 (

仙

1

1 B

川

また、 T T T

手芸似ー仇一向

-

1 )

手

=

(A-A)2zzu-IUU

一

手

(

ム -

s

i

)

妄

均

一

1 V

i

t

T • T

一

手

(A-A)EZ4t-1EU+

手

芸

叫

t

一向ここで、 T→∞のとき、右辺第2

，

3項は0に収束し、

主

均

一

lV

i

t

キ

仲

ぉ

(1)2

吋

(8)

-248 香川大学経済論議 248

2 室

町

t-1Eit

キ的

μ

俳句

}

i

したがって、

T

-

z

向一1(仏t-Uit-1)キ

d(j

胸

(1)2-4}+(j){BIdly

一向}

となる。 RSUR、USUR、OLSのそれぞれの残差を用いた場合も同様な項別計算を行うことができる。以上の結果を(11)に代入すれば、共和分検定量の漸近分布は次式で与えられる。

定理1.2OLS，RSURおよびUSURの3通りの推定量に対して、んの漸近分布は次の形で与えられる。一ε21G4t-1(向 -uit-1)/T

T

(

ん

-

1 )

=

L A 1 m

E

ご

LIfiz-1/T2

=今

c

;(t){B2i(1)2 ー_σ~i}

₊

(t){Bli(1)2ー σii} ('f

f

;

B2i(r)2drー₂₍_i_J₀1B:

以

r')Bli(r')dr十

1

0

1Bli(r)_2dr (12) (i， i = 1，2，は政

-si， i = 1，2の帯低分布で、 OLS，RSUR， USURの3通りが考えられる。

ロ

前節の結果より σ12=σ21 = 0のとき3者の分布は漸近的に同じになるが、一般には同等にはならない。次節においてシミュレーションでそれぞ、れの小標本分布を比較す・る。

2 .

3 シミュレーション

U1と包2の分散比をη=σ22/σ11、UとUの分散比をκ=σii/σ34，t=I，2およびU1とU2の相関係数をr=σ12/、/万11<7₂_{2と・す・る。まず、 σ}11，η，r'を与え、 σ22= η。_σ₁_1，_σ₁₂₌

r

.

_σ₁_{1・ゾ可より誤差の分散共分散行列。を生成する。次}

_l

_こ_Q_をコレスキー分解した行列を用いて平均0分散 1の正規乱数系列を変換してデータを生

(9)

249 非定常 SURモデルの推定と検定の漸近理論 -24少ー成する。 SURおよび OLS推定量の計算を 50∞回くり返し、ヒストグラムと累積度数分布をGAUSSで描いた。結果は図1.1、図12に示される。グラフより次のことが観察された。 1si -si， i二 1，2，の分布について (1)SURとOLSの分布はいずれも左右対称。 (2)Pi= 0， i = 1，2，のときとは異なりん

=

1，i = 1，2，のときは制約なし SUHの方が制約付きSURよりもより中心に集中している。

(3)lrlが 1に近いほど、 SURに比べて OLSの分散は大きくなる。 (SUHの方がより効率性が高し、) (4)κ(uとむの分散比)が小さくなるにしたがって、いずれの推定量の分布もより中心に集中する。(ただ、しr'

=

0.0のときは変化なし。) 2..T(ん-1)の分布について図1.3、図 1.4からわかるように検定量の分布は非対称で、 OLS残差、 RSUH 残差、 USUR残差のどれを使って評価、するかで形状が異なるが、 USUR残差を使う場合が最も帰無分布が0軸に集中することがわかる。この傾向は誤差項聞の相関係数Iが1に近いほど顕著である。

2 .

4 検出力

ここでは T= 30， 100，r = 0.8のときの検出力を繰り返し回数3000回のシミュレーションで比較した。一般に、誤差項どうしの共分散が0でない限りこれらの検定量は漸近的に同等にはならない。検定の5%点は繰り返し回数5000 回のシミュレーションで計算した検定量の帰無分布から求めた。 T(Pl， RSUR-1)， T(

九

USUR-1)， T(

九

OLS-1)の有意点はそれぞれ、 Tニ30のとき-13.217， -11313，-14. 128，T=1∞のとき-14.110，-11.625，-15.100である。図1.5、図L6を見ると、 T(

九

USURー1)が他の 2つの検定量に比べてより検出力が高いことがわかる。この傾向は、誤差項聞の相関係数Iが1に近いほど顕著である。

(10)

-250ー香川大学経済論叢 250

2 .

5 定数項がある場合

次に、モデ、ルに定数項がある場合の推定量と共和分検定量ωの極限分布を求める。モデルは Ylt

=

μ1+β1Xlt十 Ult

，

Y

2t

=

μ2+β

i

2 X

2t+ 'lJ

'

2 t

(13) と表される。説明変数と誤差項の構造は前節までの想定と同じであり、異なる点は定数項が含まれることである。この場合、 OLS推定量の漸近分布は

l

ド [T-

…一

_β_角

k

一

_s_i

J l

ψ

J

F こでψ仇

;=J

o

1

予

h

弘4

バ

ρω(

か

r

け

)

B

1i

(

r

)

附砂一

(ω

J

o

1 弘

B

幻

以

(

か

約

T

け

)d

砂

州

r

け

)(ω

J

;

B

l

i

(

1 '

)

川

d

の

合

州

r

け

.)

J

o

'

1弘

(

r

)

2 砂一(広島

i

(

r

)

d

r

)

2

で与えられる。一方、

SUR

推定量の漸近分布は ×

T-

1 /2(

んー

μ1) β1ーβ1

T-

1_/2₍_ゐ一向) β'2 -s2 = 今

I

'22'

Ah

-62 .

Ah

I

i

ー

と

21・

Ah

61

・

A

2

2 I

'

2

2 J

0

1 B

川

r)

合一ご

12

J

0

1 B以r

)

d

r

62 J

;

B2

1(

r

)

B

川

r

)

d

r

ー

と

1

2 J

0

1 B

:

川

r

)

B

以r

)

d

r

-61

J

;

BU(1・

)

d

r

+

~l1 J;

B以r

)

d

r

-

'

2

1 J

;

B2

2(

1

・

)

B

川

r

)

d

r

+

ご

1

1 J

0

1 B

以

r

)

B

以

r

)

d

r

である。ここで、

r - f l d

島1(

榊 }

1

1 -

¥

J

o

1

島市)dr

d

島1

(

1

，

)

2 d

r

)

(11)

251 非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論 -251ー

A~.，

=

( .

1

J

;

B22(r)dT'

l

- ¥Jo'B

川

r)dr Jo'B21 (r)B22 (r)dr )

A~，

= ( . 1

J

o

1

~1(悦.

l

一 ¥Jo'B22(r)dr J;B

叫

r)B21(1')dr )

A~.，

=

( .

1

J

?

1

B22(r)dr

l

22 - ¥

J

0

1 B22 (1')dr

が

B22(1')

切/

また、

志

向

j =

おい

1

B

1i(1"

削伸二匂

である。次に、 Ho: Pi

=

1， i

=

1，2，を検定するための共和分検定量の極限分布は、容易に

f

E

L

1

6

4 ぬい

1

T(

ん

-1)

=

T{

日

T 4 - 1 } =争BdAi'i

=

1

，

2 l 2...，t=1 Uit-1 ) となることが示される。ただし、ここに 1.(_ ... ...1 ，.1.(_ ... 1 Bi

=c

仇σviB2i(1)+ ψi(一)~ B₂_I₁_-2i_I_i_>_-_"_'_¥(1)2 ー σ乙~

_，

_-

_V~

r

-

(_，_，_"i_"_¥(三₂_'

H

₁B_-_.₁l_._"i_'_¥(

_，

1

_-

)2ーσ

_-

“

_"

}

_f

+(~){

Bli

件吋

Ai

=

(r+ψ~

I

品 i(r)2d1'+

I

Bli(r)2dr+2(i仇

I

B2i(r)dr-2(i

I

B

川

r)dr JO JO Jo JO

-

吋

1 島B弘削帥附4バ幻巾(以山ヤけr例州仰帆B品B帆l)i問μ4山尚附で与えられる。

RSUR

、

USUR

の場合も同様の計算を行えば同じ結果が得られ

る。したがって仇は角の

OLS

，

RSUR

，

USUR

推定量の漸近分布を、

G

は

1 /

-

.

;

守

で標準化した仰の3つの推定量の漸近分布を表す。帰無分布のグラフ化や検出力

の比較については省略するが、定数項がない場合と同様にシミュレーションで求めることが出来る。

(12)

-252ー香川大学経済論叢 252

3 定常、非定常混在型 SUR

モデル

拙著(1997)第8章では、いずれの方程式もランダム・ウオークで誤差項聞に相関のある

SUR

モデ〉レ

(

S

U

R

ランダム・ウオーク)を考えた。ここでは、それより現実的なランダム・ウオークモデ、ノレと定常AR(l)モデ、ルからなり誤差項が相闘を持つ

2

方程式

SUR

モ句デ〉レを考える。以下では、

OLS

、制約付き、制約なし

SUR

推定量の極限分布をブラウン運動の汎関数で求め、シミュレーションによってhこれら3つの推定量の分布特性を比較、する。

3 .

1 SUR

推定量の極限分布

次のような見かけ上無相関な回帰モデル

(

S

明凶

n

g

l

yU

n

r

e

l

a

t

e

d

R

e

g

r

四

s

i

o

n

m

o

d

e

l

:

S

U

R

モデル)を考える。:

Y1t

=

β1Ylt-1十Ult

，

Y2t

=

β:2Y2t-1

+

U2t (14) ここで、 β1ニ 1.0，

I

s

2

1 <

1.0で、仰の初期値は0とする。 Yit，Uit， i = 1，2，はいずれもスカラーである。 ( :: )

~N(O， n)

吋

;

:

;

:

)

r t n ψ M U

Z

一一

、、

EBB-/ r S A r i q 4 q a ' A n ' a σσ rtrt 噌A 噌_i 噌_A 内， “ σσ f t a Z E B

-一 -一

、

_E B E E E ，/ ' A q a u u

/11¥

一一

U

、

₁

l

/

唱 A n ， “

β

J

'

l

t

¥

一一

d u '

、

₁

1

1 /

唱 A nu-' 。 e HUG 唱_A 一 ' n u ' A N V J F S Z E E -

、

一一

X

¥

i

j

/

唱 -a q a N V M u o

f

l

E

¥

一一

Y ただし仇，y_{丸一 1}，Ui， i二 1，2，はTx1ベクトル。

(13)

253 非定常SURモデJレの推定と検定の漸近理論 -253-これらの行列を用いて

y=x

β+ U と表すと、 βの

OLS

および

GLS

推定量は次のように定義される。 (15) OLS推定量:

s

=

(

X

'

X

)

-

1 X'y

(IG) GLS推定量:

s

=

(

X

'

{

}

-

1 X

)

一

1 x

'

n

-1

y

(17) ここで、

_¥

l

i

'

/

rtrt q & 。， a 句 A 。， . e u c υ rtrt 唱 A 噌 A ' A 9 e c u e υ

/

I

l

E

¥

一一

向。

制約付きZellner推定量を

s

R

、制約なしZellner推定量を

s

u

とすると、制約付きZellner推定量のSi，iは S-u;dj ηー T-k_i' Ui

=

釣 -Yi，-1si'

ム

=

(

ν

;

，-1Uzー，1)-1d，-dz，

t=I

，

2

，制約なしZellner推定量のSi:jは s - 4_i_j_- ej T -k1 -k2 ' 向=Yi- Z今ここで Z

=

_(Yl_，_-_l_Y₂_，_ー₁，) 今ニ(Z'Z)-lZ'Yi，i

=

1，2，で与えられる。この場合、 k1

₌

ん =1である。 s，ii.i，j= 1，2の一致性の証明は Appendix Bを参照。以下、項別の収束のオーダ}を見る。

Ylt = Ylt-l

+

Ult =

~ン

lj

，

(14)

-254

ー

香川大学経済論叢

=

U

2 t

+

!

h

U

2 t

-1

+

β

2 U

2 t

-

2 +

・

+

β

;

-

1 U

2

1 +

・

1 ここで￨β'21

<

1.0である。 (ωα

吋

)

ロ

(

ν

ljj'門[也"勺1-

2)εL1U

必?乙

t

斗

♂百

山

d

l日W竹'怜

1

11 ここで、 Hf1(r)は標準ウィナー過程で Stニ

(

5

1 )

とおくと

I

B

1 (

r

)

¥

つ

云

SITrlキ

B

(

r

)

=

I

卜

(j -1)jT

5 :

r

壬jjT

，

j

=

1

，

2

…，

，

T y1'• • ¥

B

2 (

r

)

I

/2~ ，

，

I

H

え

i

.

(

け

l

となり、 E~1/2

B

(

r

)

=

W

(

r

)

=

f

"

'

1 ¥

'

J

I

が成り立つ。

¥

Hセ

(

r

)

I

T T

E

ン

2 t

=

芝

;

(

包

2 t

+

伽

2t-1

+ β~U2t-2

+…+必

-1U21

+…

)2 T

=玄('U~t

+

ß~U~t-1

+

ßi'U~t-2

+…

+pp-11+

…

)

・

これより

(b) (ljT)

乞

乙

₁

_Y~t

_→

σ

22j(1

_一局)・

T T

254

LYltY

2 t

=乞

(

包

1 t

+

Ult-1

+

Ult-2

+・

・

仰

2 t

+

β

山一

1 +

β

2 U

2 t

-

2 十

…

)

・

T

(15)

255 非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論これより (c)(I/T)εLU1tU2t

→

σ12/(1 -

1

3

2 )

.

同様に (d) (I/T)

乞

乙

1Y2tY1t

→

σ2

1 /

(1 -

1

3

2 )

.

(e)

附忌

1仇t-

…

(J) (I/T)εLIU1t-1匂t

→

ya11a22J01 W1(

制的

(1')・

(g)(1/

ゾ

T

)

乞

L1bt-IU1t=今N(O

，

σ11σ22/(1

一

局

)

・

(h) (1/

但)乞

LIU2t-1包.2t

=争 N(O， σ~2/(1 一緒)

)

.

したがってOLS推定量の極限分布はで与えられる。 (t){W1(1)2

-1}

T

(

仇 -s1)

=

争唱 Jo~ ltV1(r)2dr'

V

T

(

I

3

2 -

1

3

2 )

=

争

N

(

伐

l

-

s

i

)

次に、 SUR推定量の極限分布を求める。

s

-

β

=

(X'n-1X)一1x'n-1u

一(

822

乞

乙1

Y~t-1

-812εLIU1tー仙一1¥ -1 ¥ -821

乞

LIU1t-1bt-1S11

乞

LIUL-1j { 8222

二

L1U1t一世 lt-812

乞

i=1Y1t-1U2t

，

X I --~.-. --- - - -¥ -821

L:~1

Y2t-1U1t

+

811l

ご

i=1Y2t-1U2t

J

-255ー (18) (19) (20)

(16)

256 香川大学経済論叢 256-O

T

o

/

1

1 ¥

一一 φ の左から行列<T、を掛けて

b

を標準化すると (21) φ(

[

3

-β)

=

(<T一1x'n-1xφ-1)-1φ

-

l

x

'

n

-1

u

これらを書き下せば

げ

11

乞

L1UL-1*P

十句乞

LIU1t-1伽ー1*

Q

)

/

T

2 T(s1ーβd=〆 ( 811822

立

1dt-1

立

1yit-1 -812821

(

忌

1Yltールとなり、

V

T

(

ん

-s2)

=

〆 ¥821

立

1Yltー蜘ー1*P+

知立

1UL-1

叫)/戸イ

( 811822

乞

LuL-12:LuL-1-S12

知(乞

LU1t-1U2tー1

)

2 )

/

]

'

3

ここで匂引 u u

T Z

M

c υ U H u o T ヤム出 S 一一 P となる。 T T Q

=

-821 L Y2t-1Ult

+

811

乞

Yu一向と表される。項別に(α)rv

(

h

)

の結果を代入し、整理すると次式を得る。 (22)

(

ま

){W1(1)2ー1} T(β1 -s1)均一唱 fo'l町(r

)

2

dr

V

T

(

!

h

-

132)

=

争N(O

，

(1-r~2)(I- ß~)) 定理

2 .

1

(23)

ロ

第 1方程式(ランダム・ウオーク)の推定では、 OLSとSURはし、ずれも T田 COllsistelltであり Tで標準化した OLSとSURは漸近的に同等な非標準的な分布ただし、 r'12

=

σ21八/町

T

ゾ石

E

はUltとU宮tの相関係数l

(17)

257 非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論 .257二一にしたがう。また第2方程式(定常 AR(1)過程)の推定では推定量はいずれもゾT-consistentで、ゾTで標準化した OLSとSURは漸近的に分散の異なる正規分布にしたがう。常にSURの方が OLSより分散は小さく、相関係数1'12が0、すなわちσ12

=

0のとき漸近的に同等になる。以下のシミュレーション分析で明らかなように、どちらの方程式の推定に関しても有限標本ではSURの方が OLSより効率性が高い。

3 .

2 シミュレーション

T=30、Ul，U2の相関係数が008のときの制約付き、制約なしSUR推定量およびOLS推定量の計算をくり返し回数5000回のシミコ.レーションで行い、ヒストグラムと累積度数分布のグラフをGAUSSで描いた。結果は図 2.1-24で与えられる。これらのグラフより次のことが観察された。 1. T(β1 -sl)の分布について (1) SURとOLSの分布はいずれも非対称である。 (2)漸近的には同等であっても、有限標本では OLSより SURの方がより中心に集中している。その意味でSURはOLSより効率性が高い。 2 ゾ

T

(

ゐ-

1

3

2 )

の分布について (1) OLSもSURも左右対称な分布である。 (2) OLSより SURの方がより中心に分布が集中している。その意味でSURは OLSより効率性が高い。

3 .

3 定数項がある場合

れる。定常・非定常混在型モデ、ルに定数項がある場合、モデルは次のように表さ Ylt

=

μ1+β1Ylt-l + Ult

，

Y2t=μ2+角的t-1+ U2t (24)

(18)

-258- 香川大学経済論叢 258 ここで、 β1

=

1.0

，

I

s

2

1 <

1.0でYitの初期値は0とする。証明は省略し結果だけを示す。 0，18推定量の漸近分布は、第 1式について q L

，

F I 噌 A

μ

/

i

l

¥

唱 A 噌_A σ n U J F S E t t -1

、

N 4f 司 E E E E E -- a ，，， J

)

- A 噌_i μ β

一

噌 A 4 A A μ A β ， s ・ ‘ 、，， . ‘ 、 q a w a ，， J J r

p

F

F E E -E Z a g -E L 1

、

_E E E E E ﹄， F ' ー ¥EBEES/ q a q d / / / / 1 2 1

μμ

である。また、第2式については、 n u

/

1

1 ¥

N 4 ﹃ 1 a a l i -- ﹂向島

一

h

A

q a q a ，，，，，， T T r E E B E E S -- E E E L

(

糊

+

の

2 一向(1十品) ー

;

μ

ツ

))

)

となる。一方、 8UR推定量の漸近分布は、

[

2

1 l

{~ ( 4.σ11(1

一命

)+σ12σ2

1 /

σ22 =争

N

I

O

.

I

¥ . ¥ -6(σu/μ1)(1 -r'~2) -6(σ11/μ1)(1

一也)

，

12(σ11/μ~)(1 -1・~2)

J

[

:

;

:

2

1 (

1

1 (荘告μ~(1- r~2)

+

σ22 =争NIO. I ¥ . ¥ -μ2(1 +品)(1-r

ち

)

で与えられる。ここで、 r'~2

=

σ12σ2

1 /

(σuσ22)である。前節で得られた結果と比較すると、第

1

式(ランダム・ウオーク)について定数項を含まない場合のβ1の8UR、0，18推定量の漸近分布はいずれも非標準的な分布にしたがい、定数項を含む場合はいずれの推定量の分布も漸近的に正規分布にしたがうことがわかる。また、第2式(定常AR(I))については、定数項を含まない場合、含む場合いずれの推定量も漸近的に正規分布にしたがうことがわかる。 r~2 が 1 に近いほど 8UR 推定量の方が分散は小さくなる。

(19)

259 非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論 -25少ー

4 SUR

推定量による単位根の検定

拙著(1997)第8章では、いずれの方程式もランダム・ウオークで誤差項聞に相関のあるSURモデル (SURランダム・ウオーク)を考え推定効率をグラフで比較した。ここでは、この、モデ、ルを帰無モデ、ルと・する単位根検定量の検出力をシミュレーションで比較する。次のような見かけ上無相関な回帰モデ、ル(SeeminglyUnrelated Regr四 SiOll model:SURモデル)を考える。: Y1t=βlY1t-l

+

U1t，

Y2t =β'2Y2t-l

+

U2t

(25) ここで、 β1

=

s

2 =

1.0で加の初期値は0とする。 Yit，Uit， i

=

1，2，はいずれもスカラーである。、 ‘ ，，， Q n u ，， . ‘ 、 N N

、

_E B E E t / 町均 J F E E --

_{、、}

r t @ 制也

、

_I B E E f z u n = Q Q ¥ 1 1 1 j

I

-A m ，脂。，“。 4 0 0 一町内

f

i

-¥

r t r t = 日幻

Q

σ

J ' I I E ¥ 一一 -E E --

，

J 唱 A の a u u J F I E -¥ 一一 U ¥ B E E S

，

J 噌_A 内 ' u dμ'RM J ' S B E E t -一 -一局 μ

、

_E E l -/ 唱 A n u 一内 4 M M V 噌 A

一

' n u 唱 A 刺 u o J ' Z E E -t

、

一一 X

¥

l

/

噌_A ' e 制 guuu fIlE¥ 一一r τ 1 ただし仇，Yi，-l，Ui， i

=

1，2，はTx1ベクトル。これらの行列を用いて y = xβ+ U と表すと、 βのOLSおよびGLS推定量は次のように定義される。 (26)

OLS

推定量:

s

=

(

X

'

X

)

-

l

X

'

y

(27)

(20)

-26(トここで、香川大学経済論叢 GLS推定量:

s

=

(

X

'

n

-1

X

)

-

1

X'n-1_y

寸

_$₂1₁11₁

つ

_$₂₂₁

_J

260 (28) 制約付き

Z

e

l

n

e

r

推定量を

s

R

、制約なし

Z

e

l

n

e

r

推定量を

s

u

とすると、制約付き

Z

e

l

n

e

r

推定量の$i.iは s-46j i.i

一子士五'

仏 =y仇4

一

U仇i一，制約なし

Z

e

l

n

e

ぽI推定量の

s

句好は

s - 4

. ej り

T-

kl -k2' ei

=

仇ーZ守ここで

z

=

(Yl，-l Y2，-1)，守

=

(Z'Z)-lZ'，釣i

=

1，2，で与えられる。この場合、 kl

=

ん=1である。

T(sゅLS-β}， Tt (sl，RSUR -s

，

d

T(sl，USUR -sl)、ただしHo:β1二 1、

の帰無分布を5000囲のシミュレーションで計算し、検定の5%有意点を求めた。

T = 30、γ =0.8のときOLS: -7.394、RSUR : -5.657、USUR: -5.631

、T= 100、r= 0"8のときOLS:-7"933、RSUR : -5..945、USU R : -5.883で

ある。これらを使って'3000回のくり返しで3つの単位根検定量の検出力を計算した。検定仮説は Ho:β1

=

1 Ha:β1

<

1 である。図31および図3.2にそれぞれ

T

= 30

，

T

= 100

，

r = 0.8のときの検出力のグラフが与えられている。いずれの場合も SURの方が OLSより検出力が高いことがわかる。この傾向はEが1に近いほど顕著である。

(21)

-261ー非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論 261

補論

5

事島 E b e ' b ' ι t F p v p 品 l 酢 Z 仇 F L T t k 実 2 ﹄ P & t a ' F L K 酔 ι r f f v e p 世 pp 最初の節で扱ったモデ、ノレ

Y

1t=βlX1t

+

U1t， Y u

=

s2X2t

+

112t においては、説明変数向日=1

，

2の生成過程として XltニXlt-l

+

V1t， X2t= X2t-l

+

V2t ここでは、説明を簡単lこするために誤差項をAR(1)とするのでは

¥

l

/

、

_E E E E ，/ FEArsA q a 内 4 唱 A q a

σσ

(

け

rv N

.(

0 (

I

0

，

I -

σ

I

-1 -1 2 σ211 とおく。また、 Vl

，

V2については本論と閉じくを仮定した。なく単に

¥

l

i

，/

、

_E E E E E

，

r y t 。， “ 。勾

。

v a ' A 唱 A 。， U 制 u '

σ

，

I

z

-¥

n u / ' E E t E E

_{、、}

N N

¥

l

_，

j 噌ーの 4 u u

/

I

l ‘

¥

。

とおしこのとき、 YltとY2tの聞に共和分関係があるかど、うかは

P

h

i

l

i

p

s

(

1

9

8

6 )

の方法で確認できる。モデルを

Ylt

=

Ylt-l

+

βlVlt

+

Ult - Ult-l

Y2t

=

Y2t-l

+

s2't・2t

+

U2t - U'2t-l

と書き換え、第1式の右・辺第2項以降を旬、第2式の右}辺第2項以降を

m

とお

~=E(:)( 句

くと、

(22)

-262ー香川大学経済論叢

=

(

附

2

づ

2σ12 ß~σ32 262 となる。 Yltとめtの聞に共和分関係があるかどうかはEのsingularityを調べればよい。すなわち、 I~I = ß~ß~σ31σ~2 -4σ

も

と表される。そして I~I=O のとき Vt と的の長期の相関係数:p=2σ1

2 /

(βl

O

2

σt'10 v2) が1になるのでYltとY2tの聞に共和分関係が存在すhる。 Phillips(1986)にあるように、 EのsingularityはYlt

，

Y2tの聞に共和分が存在するための必要条件である。因みにpが1より小さければ両者の聞に共和分は存在せず、 0の場合両者は独立で、仮にYltをY2tで説明するモデルを考えるとGrangerand Newbold(1974)の “見せかけの回帰(spurious、regr田sion)"にあたる。

6 参考文献

[1]久松博之， 1997，W単位根の推定と検定~，香川大学経済研究叢書 No .lO.

[2] Gra時旬、GW.J，and P， Newbold， 1974， Spurious regr回sionsin economet

-rics，Journal 01 Econornetrics， 2， 111-120.

[3] Hatanaka， l¥

t

and T.Idee， 1995， CoII陶 grationsin panel alld macro data，

mllneo.. [4] Maekawa， K.， 1980， An asymptotic expausion of the test statistics for linear restrictions in Zellner's SUR model，広島大学経済論叢，第4巻，第2号，81-97 [5] Phillips， P.GB.， 1986， Understandillg spurio四時間蜘sin ecol1ometrics， Joumal 01 Econornetrics

，

33

，

311-340. [6] Phillips， P.C.B.， 1987， Time ser随時ressionwith a ullit root， Econornet -riω) 55

，

277-301. [7] Phillips， P.C.B.， alld S.N. Durlauf， 1986， Multiple time seri田 regr'回SiOll with illtegrat政1processes， Review 01 Economic Studies， 53， 473-496刷

(23)

263 非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論 -263ー [81 Zellner

，

A.

，

1962

，

An efficier凶 met口I叫

“

t1;肌 1 of e邸s枇州t

“

ima剖.til時 s肥eer凶I l I 陀eg伊r邸eωss説ioωn隠sa創.n吋dt回t句sfor a昭，ggr句ega叫，tほi011bia回s

，

Jo包mαaloザ1ftめ!<IteAt仰neric印αnSt

“

αt

似

的4

“

st仇t化cαd Associαt

“

ion

，

57

，

348-368“ [9

例

9

明

1Zell悶

，

A

，

叩196郎3

，

Es討凶t

“

imato叩11for悶se田em山i s拘amplereωs叫ur1tω芯ls

，

Joumal of the American Stalistical Associαtion

，

58

，

977-992

Appendix A

(

1 )

制約付き

SUR

の場合したがって 44=46j . / T -k1 Y~ [1 一向 (X~Xi)-1xn

[

1 -

Xj(xj町 )-1xj]Yj T-k1 - ー .

=ユコー十

_T_-_k Op(

ニ

)

，

i

，

j

=

1

，

2 1 ' ~l}'T" 1 1 (1 =一一一一:\U~Uj キ I Bli(γ)B1i(t")dr

，

i

，

j

=

1

，

2.

T

l;ii= T(T _ k1)U(Uj

んリ

(

2 )

制約なし

SUR

の場合 s:.

=

e~ej Y~[1 -

Z

(

Z

'

Z

)

一

1 Z

'

]

釣 ij_{- T -k1}_{-k2 -} _{T -k1}-k迎 1 1 .

I

X~ ¥ . .

I I

X~ ¥

ご _{T -k1}_-k2U~Uj-r__"'i"'3-_{T _ k}

_

:

k

₁_{_ k}kn U~(X1 X2)~ ( ~:

J

(X1 勾)~ (~_: JUj

2 ul¥-"l-"21) ¥ "'~

I

¥-"1'''21 ( ¥ "'~

I

I¥X2 1 ¥X21 = 1 4 u

・

+Op(~)，

i

，

j = 1

，

2. T-k1-k2 -t-3 ' -P'T したがって

占

sL=T

_(T

_ー

_;1-b

)U~Ui:::}

₁

1 Bli(r')B

州

r

，

i

，

j

_=口

(24)

264- 香川大学経済論叢.

Appendix B

2 Si，j→σijの証明 (1)制約付きSURの場合 S-u;Gj ij - T

士五;

d

[

I

-

Yi，-l(Y~，ー 1Yi，ー l)-lYL_d

[

I

-

Yj

，

-l(

り

，

ー

尚

，

-1)一1y

j

，

-

d

ω

T-k1 二川Op

ヤ

，

i

，

j

=

1

，

2 (2)制約なしSURの場合 e:~e:j y~ [I -Z(Z'Z)一1Z']約 S4j=T-K1-K2-T-K1-K2 1

_U~Ui

_{一一一土-，-_}

_-U~(Y1

_，

_-1

Y2

，

-1) T -k1 -k2 -t -7 T .-k1 -k2

，

-x

~

(

y~

，

ー 1

I

₍_Y₁

・

-1Y2，-.1)

~

(YL-1)町

I

¥純一1 / ¥ Yi，-l /

= 川

Op(

_{去川 =}

1

，

2 264 2Appendix Bの余剰項の確率オーダーが 1/、/子の大きさにになることは、広島大学経済学部の福地純一郎助教綬の指摘による。同氏に記して謝意を表します。

(25)

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(27)

267 非定常SURモデルの推定と検定の漸近理論 -267-ーロ . F 図1.5: T(

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図 3.2:単位根検定量の検出力の比較

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